2024春新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6.4平面向量的應(yīng)用6.4.3.1余弦定理分層演練含解析新人教A版必修第二冊

6.4平面對量的應(yīng)用A級基礎(chǔ)鞏固1.△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊的長分別為a,b,c,設(shè)向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a).若p∥q,則角C等于 ()A.π6 B.π3 C.π解析:因?yàn)閜=(a+c,b),q=(b-a,c-a),p∥q,所以(a+c)(c-a)-b(b-a)=0,整理,得b2+a2-c2=ab,所以cosC=b2+a2-c22ab=答案:B2.在△ABC中,A,B,C的對邊分別為a,b,c,若c2-△ABC()A.肯定是銳角三角形B.肯定是直角三角形C.肯定是鈍角三角形D.是銳角三角形或直角三角形解析:由c2-a2-所以cosC<0,所以C為鈍角,即△ABC肯定是鈍角三角形.答案:C3.已知△ABC的兩邊長a,b是方程x2-23x+2=0的兩個實(shí)數(shù)根,且有2cos(A+B)=1,則第三邊長c等于10.解析:易知cosC=-cos(A+B)=-12所以C=120°.因?yàn)閍,b是方程x2-23x+2=0的兩個實(shí)數(shù)根,所以a所以c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-2abcos120°=a2+b2+ab=(a+b)2-ab=(23)2-2=10,即c=10.4.在△ABC中,若a=2,b+c=7,cosB=-14,則b=4解析:因?yàn)閎+c=7,所以c=7-b.由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB,即b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×（-14）解得b=4.5.在△ABC中,已知sinC=12,a=23,b=2,求邊解:因?yàn)閟inC=12,且0<C所以C=π6或5π當(dāng)C=π6時,cosC=3此時,c2=a2+b2-2abcosC=4,即c=2.當(dāng)C=5π6時,cosC=-3此時,c2=a2+b2-2abcosC=28,即c=27.B級實(shí)力提升6.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若a=2,c=23,cosA=32,且b<c,則b= (A.3 B.22 C.2 D.3解析:由a2=b2+c2-2bccosA,得4=b2+12-6b,解得b=2或4.因?yàn)閎<c,所以b=2.答案:C7.如圖所示,△ABC的內(nèi)切圓O切邊AC于點(diǎn)E,且AE=1,EC=3.若2B=A+C,則AB的長等于13-1.解析:由于2B=A+C,所以B=π3依據(jù)切線長定理可知AF=AE=1,EC=DC=3.設(shè)BF=BD=x,則由余弦定理,得cosπ3=(x+1解得x=13-2,所以AB=AF+BF=1+13-2=13-1.8.在△ABC中,AB=2,AC=6,BC=1+3,若AD為邊BC上的高,則AD的長是3.解析:因?yàn)閏osC=BC2+所以sinC=22,所以AD=ACsinC=39.在△ABC中,A,B,C的對邊分別為a,b,c,且1+tanAtanB(1)求A;(2)若a=3,求b+c的最大值.解:(1)因?yàn)?+tanAtanB所以1+sinAcosB即sinBcosA所以sin(A+所以cosA=-12因?yàn)?<A<π,所以A=2π3(2)因?yàn)閍=3,A=2π3所以由余弦定理可知a2=b2+c2-2bccosA,即3=b2+c2+bc=(b+c)2-bc.因?yàn)閎c≤(b+c)24所以b+c的最大值為2.C級挑戰(zhàn)創(chuàng)新10.多空題在△ABC中,若AB=5,BC=7,AC=8,則cos∠ABC=17,AB·BC=-5解析:由余弦定理,得cos