第三章 圓錐曲線的方程 單元檢測(cè)（含解析）-2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

第三章圓錐曲線的方程單元檢測(cè)-2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)一、單選題1．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，的內(nèi)切圓圓心為，當(dāng)時(shí)，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．2．已知橢圓過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A． B．或 C． D．以上都不對(duì)3．如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn).若雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)圖2中的，兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，且，，則的離心率為（

）

A． B． C． D．4．已知雙曲線過(guò)點(diǎn)，且與橢圓有相同的頂點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．25．過(guò)拋物線：焦點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作該拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若是正三角形，則（

）A． B． C． D．26．若橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則的值為（

）A． B． C． D．二、多選題7．已知關(guān)于，的方程表示的曲線是，則曲線可能是（

）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓8．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為和，點(diǎn)為橢圓上的任意點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的有（

）A．B．的最大值為25C．的最小值為9D．若，則的面積為三、填空題9．已知橢圓.過(guò)點(diǎn)作圓的切線交橢圓于兩點(diǎn).將AB表示為的函數(shù)，則AB的最大值是.10．請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)焦點(diǎn)在軸，并與雙曲線有相同漸近線的雙曲線的方程：.11．過(guò)原點(diǎn)的一條直線與圓相切，交曲線于點(diǎn)，若，則的值為.12．已知橢圓的一條弦所在的直線方程是，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是，則橢圓的離心率是．四、解答題13．設(shè)橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為4.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)，且斜率為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn).①若直線與軸相交于點(diǎn)，且，求的值；②已知橢圓的上?下頂點(diǎn)分別為，是否存在實(shí)數(shù)，使直線平行于直線？14．如圖，是雙曲線上的兩點(diǎn)，是雙曲線的右焦點(diǎn).是以為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，延長(zhǎng)交雙曲線于點(diǎn).若兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，求雙曲線的離心率.15．已知?jiǎng)狱c(diǎn)與點(diǎn)的距離比其到直線的距離小1.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)求點(diǎn)與點(diǎn)的距離的最小值，并指出此時(shí)的坐標(biāo).16．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)為、，虛軸長(zhǎng)為，離心率為，過(guò)的左焦點(diǎn)作直線交的左支于A、B兩點(diǎn).(1)求雙曲線C的方程；(2)若，求的余弦值；(3)若，試問(wèn)：是否存在直線，使得點(diǎn)在以為直徑的圓上？請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案：題號(hào)12345678答案CACBBBABDAB1．C【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合橢圓的定義及圓的切線長(zhǎng)定理可得，再借助兩點(diǎn)間距離公式列式求解即得.【詳解】依題意，，設(shè)橢圓的半焦距為，點(diǎn)，令的內(nèi)切圓切的切點(diǎn)分別為，，聯(lián)立解得，則，消去得：，所以橢圓的離心率.故選：C2．A【分析】根據(jù)給定條件設(shè)出橢圓方程，將給定點(diǎn)的坐標(biāo)代入，列出方程組求解即得.【詳解】設(shè)橢圓方程為：，因橢圓過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，于是得，解得，所以所求橢圓方程為.故選：A3．C【分析】利用雙曲線的光學(xué)性質(zhì)及雙曲線定義，用表示，再在兩個(gè)直角三角形中借助勾股定理求解作答.【詳解】依題意，直線都過(guò)點(diǎn)，如圖，有，，

設(shè)，則，顯然有，，，因此，，在，，即，解得，即，令雙曲線半焦距為c，在中，，即，解得，所以E的離心率為.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求圓錐曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見(jiàn)有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式（不等式）兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程（不等式），解方程（不等式）即可得（的取值范圍）.4．B【分析】根據(jù)條件先確定出雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)所過(guò)點(diǎn)求解出的值，由此可求的值，則離心率可求.【詳解】因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以頂點(diǎn)在軸上，因?yàn)闄E圓的左右頂點(diǎn)為，所以，因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)，所以，所以，所以，所以，故選：B.5．B【分析】先由是正三角形得到直線的傾斜角是，即可得到直線的方程，聯(lián)立拋物線和直線方程，得到，根據(jù)拋物線定義可得結(jié)果.【詳解】由題意可知直線的斜率一定存在，設(shè)直線的傾斜角為，由圖，根據(jù)是正三角形，有，又F1,0，所以，聯(lián)立，得，設(shè)，則，由拋物線的定義，.故選：B.

6．B【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得出關(guān)于的等式，即可得解.【詳解】對(duì)于拋物線，，可得，，故該拋物線的焦點(diǎn)為，由題意可知，橢圓的右焦點(diǎn)為，則，解得，故選：B.7．ABD【分析】根據(jù)橢圓、雙曲線、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得出相應(yīng)的的取值范圍，可得ABD正確，再根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可C錯(cuò)誤.【詳解】由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可知當(dāng)且時(shí)，即且，也即時(shí)，曲線是橢圓，即A正確；由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可知當(dāng)時(shí)，即時(shí)，曲線是雙曲線，即B正確；由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可知，曲線不可能是拋物線，即C錯(cuò)誤；根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，當(dāng)，可得，此時(shí)曲線是圓，即D正確.故選：ABD8．AB【分析】利用橢圓的方程和橢圓的定義結(jié)合性質(zhì)逐一考查每個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】設(shè)Px,y，則，.對(duì)于A，有，，故A正確；對(duì)于B，有，且當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為，故B正確；對(duì)于C，有，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，此時(shí)，所以.從而，故D錯(cuò)誤.故選：AB.9．2【分析】對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，和分開(kāi)討論，將AB表示為的函數(shù)，通過(guò)轉(zhuǎn)化結(jié)合基本不等式求解.【詳解】由題意知，，當(dāng)時(shí)，切線的方程為，點(diǎn)A，的坐標(biāo)分別為，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，同理可得；當(dāng)時(shí)，設(shè)切線方程為，

由得，設(shè)A，兩點(diǎn)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為x1,y1，，又由于圓相切，得，即，所以，由于當(dāng)時(shí)，，所以，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，綜上，AB的最大值為2．故答案為：210．（答案不唯一）【分析】設(shè)所求雙曲線的方程為，再根據(jù)焦點(diǎn)在y軸上，可得，即可得解.【詳解】設(shè)所求雙曲線的方程為，因?yàn)樗箅p曲線的焦點(diǎn)在y軸上，所以，則可取，所以所求雙曲線的方程為（答案不唯一）.故答案為：（答案不唯一）11．/【分析】根據(jù)圓和曲線y2=2pxp>0關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，設(shè)切線方程為，，即可根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，直線與拋物線的位置關(guān)系解出．【詳解】易知圓和曲線y2=2pxp>0關(guān)于設(shè)切線方程為，，所以2k1+k2由解得：或，即，所以，解得：．故答案為：.12．/【分析】橢圓的中點(diǎn)弦問(wèn)題，點(diǎn)差法構(gòu)造中點(diǎn)坐標(biāo)與的關(guān)系，結(jié)合離心率公式即可求解.【詳解】設(shè)直線與橢圓相交于，由，直線的斜率，由，得，整理得，所以，故橢圓的離心率為.故答案為：.13．(1);(2)①，②不存在.【分析】（1）利用橢圓方程的知識(shí)，即可求解；（2）①利用直線與橢圓聯(lián)立方程組，把轉(zhuǎn)為坐標(biāo)關(guān)系，再結(jié)合韋達(dá)定理，即可求解；②先假設(shè)存在平行關(guān)系，再利用斜率關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，同樣結(jié)合韋達(dá)定理，求解判斷.【詳解】（1）由題意，有，，，解得，故橢圓的方程為.（2）根據(jù)題意可知直線，與聯(lián)立，得，其中Δ=設(shè)，，.①由，則有，即，有，解得.②由橢圓方程可知上下頂點(diǎn)，假設(shè)存在直線平行于直線，有，有，又，有，得，有，代入，得，則有，代入，有，整理，得，有，顯然矛盾，故不存在實(shí)數(shù)，使直線平行于直線.14．【分析】結(jié)合雙曲線的定義、對(duì)稱(chēng)性列方程，化簡(jiǎn)求得的關(guān)系式，從而求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)左焦點(diǎn)為，連接，依題意，是以為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，結(jié)合雙曲線的對(duì)稱(chēng)性可知：四邊形是矩形，所以，設(shè)，則，由，即，整理得故雙曲線的離心率為：15．(1)(2)最小值為，或【分析】（1）利用拋物線的定義得解；（2）設(shè)，求出即得解.【詳解】（1）由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)到的距離與它到的距離小1即與到直線的距離相等，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為以為焦點(diǎn)、以直線為準(zhǔn)線的拋物線，因此動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.（2）設(shè)，由兩點(diǎn)間的距離公式得：，當(dāng)，即時(shí)，，即當(dāng)或時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)的距離最小，最小值為.16．(1)(2)(3)不存在，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)條件列出關(guān)于的方程組，由此求解出的值，則雙曲線方程可知；（2）根據(jù)雙曲線的定義求解出，在中利用余弦定理求解出；（3）當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，直接分析即可，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)出的方程并與雙曲線方程聯(lián)立，得到橫坐標(biāo)的韋達(dá)定理形式，根據(jù)進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算，從而判斷出是否存在.【詳解】（1）由題意可知：，解得，所以雙曲線的方程為：；（2）因?yàn)?，所以，且，所?所以的余弦值為.（3）假設(shè)存在滿足要求，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，，由解得，所以，所以不垂直