《自動(dòng)控制原理》課件第四章

第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析法

4.1根軌跡法的基本概念4.2繪制根軌跡的基本法則4.3廣義根軌跡4.4利用Matlab繪制根軌跡4.5利用根軌跡分析系統(tǒng)性能

4.1根軌跡法的基本概念

4.1.1根軌跡的概念

為了說(shuō)明根軌跡的基本概念，首先通過(guò)求解閉環(huán)特征方程的根，得到一個(gè)二階系統(tǒng)的根軌跡，然后討論一般情況。

例如，圖4-1所示的二階系統(tǒng)。其開環(huán)傳遞函數(shù)為

它有兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)p1＝0，p2＝-2，沒(méi)有開環(huán)零點(diǎn)，根軌跡增益K*＝2K。其閉環(huán)傳遞函數(shù)為圖4-1二階系統(tǒng)于是，閉環(huán)特征方程為

D(s)=s2+2s+K*=0

由求根公式容易得到該系統(tǒng)的閉環(huán)特征根為可見，當(dāng)K*(或K)由零到無(wú)窮大變化時(shí)，閉環(huán)特征根在s平面上的位置也隨之改變。當(dāng)0≤K*＜1時(shí)，閉環(huán)特征根s1,2為介于0和－2之間的互異實(shí)數(shù)；當(dāng)K*＝1時(shí)，s1，2為位于－1處的重實(shí)根；當(dāng)K*＞1時(shí)，s1，2成為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)根，其實(shí)部均為-1，虛部隨著K*值的增大而增大。這樣，可以繪出此二階系統(tǒng)閉環(huán)特征根隨著開環(huán)增益K的變化在s平面上移動(dòng)的軌跡，如圖4-2所示。圖4-2二階系統(tǒng)的根軌跡4.1.2根軌跡與系統(tǒng)性能的關(guān)系

依據(jù)根軌跡圖(如圖4-2所示)，就能分析系統(tǒng)性能隨參數(shù)(如K)變化的規(guī)律。

1．穩(wěn)定性

開環(huán)增益從零變到無(wú)窮大時(shí)，圖4-2所示的根軌跡全部落在左半s平面，因此，當(dāng)K＞0時(shí)，圖4-1所示系統(tǒng)是穩(wěn)定的；如果系統(tǒng)根軌跡越過(guò)虛軸進(jìn)入右半s平面，則在相應(yīng)K值下系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；根軌跡與虛軸交點(diǎn)處的K值，就是臨界開環(huán)增益。

2．穩(wěn)態(tài)性能

由圖4-2可見，開環(huán)系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)有一個(gè)極點(diǎn)，系統(tǒng)屬于Ⅰ型系統(tǒng)，因而根軌跡上的K值就等于靜態(tài)誤差系數(shù)Kv。當(dāng)r(t)＝1(t)時(shí)，ess＝0；當(dāng)r(t)＝t時(shí)，ess＝1/K=2/K*。

3．動(dòng)態(tài)性能

由圖4-2可見，當(dāng)0＜K＜0.5時(shí)，閉環(huán)特征根為互異實(shí)根，系統(tǒng)呈現(xiàn)過(guò)阻尼狀態(tài)，階躍響應(yīng)為單調(diào)上升過(guò)程；當(dāng)

K＝0.5時(shí)，閉環(huán)特征根為二重實(shí)根，系統(tǒng)呈現(xiàn)臨界阻尼狀態(tài)，此時(shí)的阻尼比ζ＝1，階躍響應(yīng)仍為單調(diào)過(guò)程；當(dāng)K＞0.5時(shí)，閉環(huán)特征根為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)根，系統(tǒng)呈欠阻尼狀態(tài)，階躍響應(yīng)為衰減振蕩過(guò)程，且K越大，阻尼系數(shù)ζ就越小，階躍響應(yīng)的超調(diào)量越大，振蕩越劇烈。4.1.3閉環(huán)零、極點(diǎn)與開環(huán)零、極點(diǎn)之間的關(guān)系

為了更好地利用根軌跡來(lái)分析系統(tǒng)，有必要了解閉環(huán)零、極點(diǎn)與開環(huán)零、極點(diǎn)之間的關(guān)系。設(shè)反饋控制系統(tǒng)的方框圖如圖4-3所示，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(4-1)式中，G(s)是前向通道傳遞函數(shù);H(s)是反饋通道傳遞函數(shù)；G(s)H(s)為開環(huán)傳遞函數(shù)，并將它們分別表示為(4-2)圖4-3反饋控制系統(tǒng)的方框圖式中，KG為前向通道增益，K*G為前向通道根軌跡增益，它們之間有如下關(guān)系:(4-3)(4-4)式中，K*H為反饋通道的根軌跡增益。將式(4-2)和式(4-4)代入開環(huán)傳遞函數(shù)表示式中，則(4-5)如果開環(huán)傳遞函數(shù)有n個(gè)極點(diǎn)和m個(gè)零點(diǎn)，且n≥m，則有關(guān)系式mG＋mH=mnG＋nH=n把式(4-2)和式(4-5)代入式(4-1)中，則

(4-6)4.1.4根軌跡方程

由圖4-3所示反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)式(4-1)，可得到閉環(huán)特征方程式為

D(s)=1+G(s)H(s)=0

(4-7)

閉環(huán)極點(diǎn)就是閉環(huán)特征方程的解，也稱為特征根。若求開環(huán)傳遞函數(shù)中某個(gè)參數(shù)從零變到無(wú)窮時(shí)所有的閉環(huán)極點(diǎn)，顯然，就要求解方程式(4-7)，因此它就是根軌跡方程，通常將其寫成

G(s)H(s)＝－1

(4-8)

式中，G(s)H(s)是系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。上式已明確展示出開環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)極點(diǎn)的關(guān)系。設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)有m個(gè)零點(diǎn)、n個(gè)極點(diǎn)，并假定n＞m，這時(shí)式(4-8)又可寫為

(4-9)式中，K*是開環(huán)根軌跡增益；zi、pj分別為開環(huán)零、極點(diǎn)。不難看出式(4-9)是關(guān)于s的復(fù)數(shù)方程，等式兩邊幅值和相角應(yīng)分別相等，即幅值條件：(4-10)相角條件：(4-11)

式中，k＝0，1，2，…。如果在復(fù)平面上某點(diǎn)s是閉環(huán)極點(diǎn)，即是根軌跡上的點(diǎn)，那么它必然要同時(shí)滿足上述兩個(gè)條件。

4.2繪制根軌跡的基本法則

法則1

根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)：根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)。如果開環(huán)零點(diǎn)個(gè)數(shù)m少于開環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)n，則有n—m條根軌跡終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處。

根軌跡的起點(diǎn)、終點(diǎn)分別是指根軌跡增益K*＝0和K*→∞時(shí)的根軌跡點(diǎn)。將幅值條件式(4-10)改寫為(4-12)

法則2

根軌跡的分支數(shù)、對(duì)稱性和連續(xù)性：根軌跡的分支數(shù)與開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n相等，根軌跡連續(xù)并且對(duì)稱于實(shí)軸。

根軌跡是開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變到無(wú)窮大時(shí)閉環(huán)極點(diǎn)在s平面上的變化軌跡，因此，根軌跡的分支數(shù)必與閉環(huán)特征方程根的數(shù)目一致，即根軌跡分支數(shù)等于系統(tǒng)的階數(shù)。實(shí)際系統(tǒng)都存在慣性，反映在傳遞函數(shù)上必有n＞m。一般地，根軌跡分支數(shù)就等于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)。

實(shí)際系統(tǒng)的特征方程都是實(shí)系數(shù)方程，依代數(shù)定理特征根必為實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)，因此根軌跡必然對(duì)稱于實(shí)軸。由對(duì)稱性，在畫根軌跡時(shí)只須畫出s平面上半部和實(shí)軸上的根軌跡，下半部的根軌跡即可對(duì)稱畫出。特征方程中的某些系數(shù)是根軌跡增益K*的函數(shù)，K*從零連續(xù)變到無(wú)窮大時(shí)，特征方程的系數(shù)是連續(xù)變化的，因而特征根的變化也必然是連續(xù)的，故根軌跡具有連續(xù)性。

法則3

實(shí)軸上的根軌跡：實(shí)軸上的某一區(qū)域，若其右側(cè)開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。證明設(shè)系統(tǒng)開環(huán)零、極點(diǎn)分布如圖4-4所示，其中“×”表示開環(huán)極點(diǎn)，“○”表示開環(huán)零點(diǎn)(以后根軌跡圖同樣)。圖中s0是實(shí)軸上的點(diǎn)，φi(i＝1，2，3，4)是開環(huán)零點(diǎn)zi到s0點(diǎn)矢量s0－zi的相角，θj(j＝1，2，3，4，5)是開環(huán)極點(diǎn)pj到s0矢量s0－pj的相角。由圖4-4可見，實(shí)軸上任意一點(diǎn)(包括s0點(diǎn))到一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)(或者一對(duì)共軛復(fù)數(shù)零點(diǎn))的矢量之相角和為2π。因此，在確定實(shí)軸上的根軌跡時(shí)，可以不考慮開環(huán)復(fù)數(shù)零、極點(diǎn)的影響。在圖4-4中，s0點(diǎn)左側(cè)的開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)到s0點(diǎn)矢量之相角均為零，而s0點(diǎn)右側(cè)開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)到s0點(diǎn)矢量之相角均為π，故只有落在s0點(diǎn)右側(cè)實(shí)軸上的開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)才有可能對(duì)s0點(diǎn)的相角條件造成影響，且這些開環(huán)零、極點(diǎn)提供的相角均為π。那么，當(dāng)s＝s0時(shí)，有

即相角條件成立，s0點(diǎn)位于根軌跡上。圖4-4實(shí)軸上的根軌跡

一般地，設(shè)s0點(diǎn)之右的開環(huán)實(shí)數(shù)零點(diǎn)有p個(gè)、開環(huán)實(shí)數(shù)極點(diǎn)有q個(gè)，則s0點(diǎn)位于根軌跡上的充分必要條件是即上式中p＋q為奇數(shù)。于是法則3得證。根據(jù)法則3可知，在圖4-4所示的實(shí)軸上，區(qū)間［p1，z1］、［z4，p4］和(－∞，p5］都是實(shí)軸上的根軌跡。

法則4

根軌跡的漸近線：當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)n大于開環(huán)零點(diǎn)個(gè)數(shù)m時(shí)，有n－m條軌跡分支沿著與實(shí)軸夾角為φa、交點(diǎn)為σa的一組漸近線趨向于無(wú)窮遠(yuǎn)處，且有證明漸近線就是s→∞時(shí)的根軌跡，因此漸近線也一定對(duì)稱于實(shí)軸。將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成多項(xiàng)式的形式，得式中

當(dāng)s→∞時(shí)，上式可近似為由G(s)H(s)＝-1得或

將用泰勒級(jí)數(shù)在(1/s)→0處展開，并取近似線性項(xiàng)，有例4-1

單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

,試根據(jù)已知的基本法則繪制根軌跡的漸近線。

解

(1)在復(fù)平面上畫出開環(huán)極點(diǎn)p1＝0、p2＝－1＋j、

p3＝－1－j、p4＝－4及開環(huán)零點(diǎn)z1＝－1，如圖4-5所示。

(2)根據(jù)法則3，實(shí)軸上的根軌跡區(qū)段：［－∞，－4］和［－1，0］。

(3)根據(jù)法則4，系統(tǒng)有4條根軌跡分支，有n－m＝3條根軌跡趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處，其漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)及夾角分別為三條漸近線如圖4-5中虛線所示。圖4-5例4-1開環(huán)零、極點(diǎn)及漸近線圖

法則5

根軌跡的分離點(diǎn)與分離角：兩條或兩條以上根軌跡分支在s平面上相遇又分離的點(diǎn)稱為根軌跡的分離點(diǎn)，分離點(diǎn)的坐標(biāo)d是方程的解。證明由根軌跡方程式(4-9)有所以閉環(huán)特征方程為或(4-13)根軌跡在s平面相遇，說(shuō)明閉環(huán)特征方程出現(xiàn)重根。設(shè)重根為d，根據(jù)代數(shù)方程的重根條件，有或(4-14)將式(4-14)、式(4-13)等號(hào)兩端對(duì)應(yīng)相除，得

這里不加證明地指出：當(dāng)l條根軌跡分支進(jìn)入并立即離開分離點(diǎn)時(shí)，分離角可由(2k＋1)π/l決定，其中k＝0，1，…，l-1。需要說(shuō)明的是，分離角定義為根軌跡進(jìn)入分離點(diǎn)的切線方向與離開分離點(diǎn)的切線方向之間的夾角。顯然，當(dāng)l＝2時(shí)，分離角必為直角。

例4-2

控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

，試概略繪制系統(tǒng)根軌跡。

解將系統(tǒng)開環(huán)零、極點(diǎn)標(biāo)于s平面，如圖4-6所示。

根據(jù)法則2和法則4，系統(tǒng)有3條根軌跡分支，且有n－m＝2條根軌跡趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處。圖4-6例4-2根軌跡圖繪制根軌跡的步驟如下：

(1)在復(fù)平面上畫出開環(huán)極點(diǎn)p1＝0、p2＝－1、p3＝－4以及開環(huán)零點(diǎn)z1＝－2。

(2)實(shí)軸上的根軌跡：根據(jù)法則3，實(shí)軸上的根軌跡區(qū)段：［－4，－2］和［－1，0］。

(3)漸近線：根據(jù)法則4，根軌跡的漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)和夾角為

(4)分離點(diǎn)：根據(jù)法則5，計(jì)算分離點(diǎn)坐標(biāo)，解經(jīng)整理得

(d＋4)(d2＋4d＋2)＝0解得d1＝－4，d2＝－3.414，d3＝－0.586，顯然，分離點(diǎn)位于實(shí)軸上［－1，0］區(qū)間，故取d＝－0.586，而分離角等于90°。根據(jù)上述討論，可繪制出系統(tǒng)根軌跡如圖4-6所示。法則6

根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：若根軌跡與虛軸相交，意味著閉環(huán)特征方程出現(xiàn)純虛根。故可在閉環(huán)特征方程中令s＝j(luò)ω，然后分別令方程的實(shí)部和虛部為零，從中求得交點(diǎn)的坐標(biāo)值及其相應(yīng)的K*值。此外，根軌跡與虛軸相交表明系統(tǒng)在相應(yīng)K*值時(shí)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，故亦可用勞斯穩(wěn)定判據(jù)求出交點(diǎn)的坐標(biāo)值及其相應(yīng)的K*值。此處的根軌跡增益稱為臨界根軌跡增益。

例4-3

某單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

,試概略繪制系統(tǒng)根軌跡。

解繪制根軌跡的步驟如下：

(1)在復(fù)平面上畫出開環(huán)極點(diǎn)p1＝0，p2＝－1，p3＝－5。

(2)實(shí)軸上的根軌跡：(－∞，－5］和［－1，0］。

(3)漸近線：

(4)分離點(diǎn)：經(jīng)整理得

3d2＋12d＋5＝0解得d1＝－3.5，d2＝－0.47。分離點(diǎn)應(yīng)位于實(shí)軸上［－1，0］區(qū)間，故取d＝－0.47，分離角等于90°。

(5)與虛軸交點(diǎn)：

方法一：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為

D(s)＝s3＋6s2＋5s＋K*＝0

令s＝j(luò)ω，則

D(jω)＝(jω)3＋6(jω)2＋5(jω)＋K*＝－jω3－6ω2＋j5ω＋K*＝0

令實(shí)部、虛部分別為零，有

K*－6ω2＝0

5ω－ω3＝0

解得方法二：用勞斯穩(wěn)定判據(jù)求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。列勞斯表：當(dāng)K*＝30時(shí)，s1行元素全為零，系統(tǒng)存在共軛虛根。共軛虛根可由s2行的輔助方程求得s＝±j為根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。根據(jù)上述討論，可繪制出系統(tǒng)根軌跡如圖4-7所示。圖4-7例4-3根軌跡圖法則7

根軌跡的起始角和終止角：根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角稱為起始角，以表示；根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角稱為終止角，以

表示。

起始角、終止角的計(jì)算公式可利用相角條件得出。

例4-4

設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

,試概略繪制系統(tǒng)根軌跡。

解繪制根軌跡的步驟如下：

(1)在復(fù)平面上畫出開環(huán)極點(diǎn)p1＝0、p2＝－0.5＋j1.5、p3＝－0.5－j1.5、p4＝－2.5以及開環(huán)零點(diǎn)z1＝－1.5、z2＝－2＋j、z3＝－2－j。

(2)實(shí)軸上的根軌跡：［－1.5，0］和(－∞，－2.5］。

(3)起始角和終止角：先求起始角。設(shè)s1是由p2出發(fā)的根軌跡分支對(duì)應(yīng)于K*＝ε(ε→0)時(shí)的一點(diǎn)，s1到p2的距離無(wú)限小，則矢量p2s1的相角即為起始角。作各開環(huán)零、極點(diǎn)到s1的矢量，除p2之外，其余開環(huán)零、極點(diǎn)指向s1的矢量與指向p2的矢量等價(jià)，根據(jù)開環(huán)零、極點(diǎn)坐標(biāo)可以算出各矢量的相角。由相角條件式(4-11)得參見圖4-8(a)。因?yàn)閜3與p2為共軛復(fù)數(shù)，所以θp3=－79°。圖4-8例4-4根軌跡的起始角和終止角同理，作各開環(huán)零、極點(diǎn)到復(fù)數(shù)零點(diǎn)－2＋j的矢量，可算出復(fù)數(shù)零點(diǎn)－2＋j處的終止角

＝149.5°(參見圖4-8(b))。作出系統(tǒng)的根軌跡如圖4-9所示。

通過(guò)該例可得起始角、終止角的計(jì)算公式為式中，k＝0，1，2，…。圖4-9例4-4根軌跡圖法則8根之和：當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的分子、分母階數(shù)之差n－m≥2時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)之和等于系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)之和。

，n－m≥2式中，λ1，λ2，…，λn為系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)(特征根)；p1，p2，…，pn為系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)。

證明設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

式中閉環(huán)特征方程為設(shè)λj為閉環(huán)特征根(閉環(huán)極點(diǎn))，則式中當(dāng)n－m≥2時(shí)，dn－1與K*無(wú)關(guān)，即系統(tǒng)n個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)之和等于n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)之和，即在開環(huán)極點(diǎn)確定的情況下，這是一個(gè)常數(shù)。所以，隨著K*的增大，若—部分閉環(huán)極點(diǎn)在s平面上總體上向右移動(dòng)，則另一部分極點(diǎn)必然總體上向左移動(dòng)，且左、右移動(dòng)的距離增量之和為零。利用根之和法則可以確定閉環(huán)極點(diǎn)的位置，判定分離點(diǎn)所在范圍。例4-5

某單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=[K＊/s(s+1)(s+2)]，試概略繪制系統(tǒng)根軌跡，并求臨界根軌

跡增益及該增益對(duì)應(yīng)的三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)。

解系統(tǒng)有3條根軌跡分支，且有n－m＝3條根軌跡趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處。繪制根軌跡的步驟如下：

(1)在復(fù)平面上畫出開環(huán)極點(diǎn)p1＝0，p2＝－1，p3＝－2。

(2)實(shí)軸上的根軌跡：(－∞，－2］和［－1，0］。

(3)漸近線：

(4)分離點(diǎn)：

經(jīng)整理得

3d2＋6d＋2＝0

故d1＝－1.577，d2＝－0.423，分離點(diǎn)應(yīng)位于實(shí)軸上［－1，0］區(qū)間，故取d＝-0.423，而分離角等于90°。

由于滿足n－m≥2，閉環(huán)根之和為常數(shù)，當(dāng)K*增大時(shí)，兩支根軌跡向左移動(dòng)的速度低于一支根軌跡向右移動(dòng)的速度，因此分離點(diǎn)|d|＜0.5是合理的。

(5)與虛軸交點(diǎn)：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為

D(s)＝s3＋3s2＋2s＋K*＝0

令s＝j(luò)ω，則

D(jω)＝(jω)3＋3(jω)2＋2(jω)＋K*＝－jω3－3ω2＋j2ω＋K*＝0令實(shí)部、虛部分別為零，有

K*－3ω2＝0

2ω－ω3＝0

解得顯然，第一組解是根軌跡的起點(diǎn)，故舍去。根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為λ1,2＝±－j

，對(duì)應(yīng)的根軌跡增益K*＝6。因?yàn)楫?dāng)0＜K*＜6時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定，故K*＝6為臨界根軌跡增益。根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為對(duì)應(yīng)的兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)，第三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)可由法則8求得：j＋(－j

)＋λ3＝0＋(－1)＋(－2)

λ3＝－3系統(tǒng)根軌跡如圖4-10所示。圖4-10例4-5根軌跡圖綜上所述，在已知系統(tǒng)開環(huán)零、極點(diǎn)的情況下，利用上述各條繪制根軌跡的基本法則即可方便地繪制出系統(tǒng)的概略根軌跡。具體繪制某一系統(tǒng)根軌跡時(shí)，這八條基本法則并不一定全部用到，要根據(jù)具體情況確定應(yīng)選用的法則。為了便于查閱，將這些基本法則統(tǒng)一歸納在表4-1中。若需得到更準(zhǔn)確的根軌跡，還可根據(jù)相角條件采用試探法準(zhǔn)確地確定軌跡上若干點(diǎn)的位置(尤其是在虛軸附近或原點(diǎn)附近的重要部位上)，在作相應(yīng)的修改后，就能得到比較精確的根軌跡。

圖4-11給出了幾種常見的開環(huán)極點(diǎn)、零點(diǎn)分布及其相應(yīng)的根軌跡概略圖，以供讀者參考。圖4-11開環(huán)零、極點(diǎn)分布及相應(yīng)的根軌跡圖

4.3廣義根軌跡

4.3.1參數(shù)根軌跡

以非開環(huán)增益為可變參數(shù)繪制的根軌跡稱為參數(shù)根軌跡，以區(qū)別于以開環(huán)增益K為可變參數(shù)的常規(guī)根軌跡。

繪制參數(shù)根軌跡的法則與繪制常規(guī)根軌跡的基本法則完全相同。只要在繪制參數(shù)根軌跡之前，引入等效開環(huán)傳遞函數(shù)的概念，則常規(guī)根軌跡的所有繪制法則均適用于參數(shù)根軌跡的繪制。為此，需要對(duì)閉環(huán)特征方程

1＋G(s)H(s)＝0

進(jìn)行等效變換。假設(shè)系統(tǒng)除K*外的任意變化參數(shù)為A，則需要用閉環(huán)特征方程中不含有A的各項(xiàng)去除該方程，使原特征方程變?yōu)?＋G*(s)H*(s)＝0

式中，G*(s)H*(s)為系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)。它有如下形式：

G*(s)H*(s)＝A(P(s)/Q(s))

式中，P(s)和Q(s)為兩個(gè)與A無(wú)關(guān)的首一化多項(xiàng)式。顯然，參變量A所處的位置與常規(guī)根軌跡開環(huán)傳遞函數(shù)中的K*所處位置完全相同。經(jīng)過(guò)上述處理后，就可以按照G*(s)H*(s)的零、極點(diǎn)來(lái)繪制以A為參變量的根軌跡。這一處理方法和結(jié)論，對(duì)于繪制開環(huán)零、極點(diǎn)變化時(shí)的根軌跡同樣適用。例4-6

已知雙閉環(huán)控制系統(tǒng)框圖如圖4-12所示，試?yán)L制以a為參變量的根軌跡。圖4-12雙閉環(huán)控制系統(tǒng)方框圖解系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為由于a為參變量，因而不能根據(jù)G(s)H(s)的極點(diǎn)來(lái)繪制根軌跡。寫出閉環(huán)系統(tǒng)特征方程:s2＋(1＋2a)s＋4＝0該方程的兩邊同除以s2＋s＋4，則變?yōu)榈刃ч_環(huán)傳遞函數(shù)為其中a*＝2a。等效開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)為

，零點(diǎn)為z1＝0，于是可利用常規(guī)根軌跡的繪制法則畫出根軌跡，如圖4-13所示。圖4-13例4-6所示系統(tǒng)的根軌跡另外，在某些場(chǎng)合需要研究幾個(gè)參量同時(shí)變化時(shí)對(duì)系統(tǒng)性能的影響，此時(shí)就需要繪制幾個(gè)參量同時(shí)變化時(shí)的根軌跡。以兩個(gè)參量同時(shí)變化為例，在繪制根軌跡時(shí)，一般是先將其中一個(gè)參量在0→∞內(nèi)取一組常數(shù)，然后針對(duì)每一個(gè)常數(shù)繪制以另一個(gè)參量為變量的根軌跡，最終得到一組曲線，稱為根軌跡簇。4.3.2零度根軌跡

如果系統(tǒng)的根軌跡方程的右側(cè)不是“－1”而是“+1”，這時(shí)根軌跡方程的幅值方程不變，而相角方程右側(cè)不再是180°＋2kπ，而是0°＋2kπ，因此這種根軌跡稱為零度(0°)根軌跡。

一般來(lái)說(shuō)，零度根軌跡的來(lái)源有兩個(gè)方面：一是系統(tǒng)中包含s最高次冪的系數(shù)為負(fù)的因子；二是控制系統(tǒng)中包含有正反饋內(nèi)回路。前者是由被控對(duì)象，如飛機(jī)、導(dǎo)彈等自身特性所產(chǎn)生的，或者是在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖變換過(guò)程中產(chǎn)生的；后者是由于某種性能指標(biāo)要求，使得在復(fù)雜的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中必須包含正反饋內(nèi)回路所致。零度根軌跡的繪制法則與常規(guī)根軌跡繪制的基本法則略有不同。以正反饋系統(tǒng)為例，設(shè)某個(gè)復(fù)雜控制系統(tǒng)如圖4-14所示，其中內(nèi)回路采用正反饋，這種系統(tǒng)通常由外回路加以穩(wěn)定。

為了分析整個(gè)控制系統(tǒng)的性能，首先要確定內(nèi)回路的零、極點(diǎn)。當(dāng)用根軌跡法確定內(nèi)回路的零、極點(diǎn)時(shí)，就相當(dāng)于繪制正反饋系統(tǒng)的根軌跡。在圖4-14中，正反饋內(nèi)回路的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

圖4-14復(fù)雜控制系統(tǒng)可得到正反饋系統(tǒng)的根軌跡方程為

G(s)H(s)＝1

即

幅值條件:相角條件:修改和調(diào)整后的法則如下：法則3*

實(shí)軸上的根軌跡：實(shí)軸上的某一區(qū)域，若其右側(cè)開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。

法則4*

根軌跡的n－m條漸近線與實(shí)軸的夾角和交點(diǎn)為法則7*根軌跡的起始角和終止角：起始角終止角除上述三個(gè)法則外，其他法則不變。為了便于使用，表4-2列出了繪制0°根軌跡的基本法則。例4-7

設(shè)正反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖4-14中的內(nèi)回路所示，其中試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖。解系統(tǒng)為正反饋，根軌跡方程為應(yīng)繪制0°根軌跡。繪制根軌跡的步驟如下：

(1)在復(fù)平面上畫出開環(huán)極點(diǎn)p1＝－1＋j、p2＝－1－j、p3＝－3以及開環(huán)零點(diǎn)z1＝－2。

(2)實(shí)軸上的根軌跡：(－∞，－3］和［－2，∞)。

(3)漸近線：(4)分離點(diǎn)：經(jīng)整理得

(d＋0.8)(d2＋4.7d＋6.24)＝0

顯然，分離點(diǎn)位于實(shí)軸上，故取d＝－0.8，而分離角等于90°。

(5)起始角：根據(jù)繪制0°根軌跡的法則7*，對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)極點(diǎn)p1的根軌跡的起始角為

根據(jù)對(duì)稱性，對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)極點(diǎn)p2的根軌跡的起始角為

。系統(tǒng)的概略0°根軌跡如圖4-15所示。圖4-15例4-7根軌跡圖

(6)臨界開環(huán)增益：由圖4-15可見，坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)應(yīng)的根軌跡增益為臨界值，可由幅值條件求得由于K＝K*/3，于是臨界開環(huán)增益Kc＝1，因此為了使該正反饋系統(tǒng)穩(wěn)定，開環(huán)增益應(yīng)小于1。例4-8

飛機(jī)縱向控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖4-16(a)所示，設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L出飛機(jī)縱向運(yùn)動(dòng)的根軌跡圖。圖4-16例4-8圖解系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為可見，雖然系統(tǒng)是負(fù)反饋的，但因傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式中s最高次冪系數(shù)為負(fù)，從而使系統(tǒng)具有正反饋性質(zhì)。根軌跡方程為可見，應(yīng)該畫0°根軌跡。繪制根軌跡的步驟如下：

(1)在復(fù)平面上畫出開環(huán)極點(diǎn)p1=0、p2=－1.5＋j3.357、p3＝－1.5－j3.357以及開環(huán)零點(diǎn)z1＝－2.5、z2＝0.5。

(2)實(shí)軸上的根軌跡：［－2.5，0］和［0.5，∞)

(3)分離點(diǎn)與分離角：經(jīng)整理得顯然，分離點(diǎn)位于實(shí)軸上［0.5，∞)區(qū)間，故取d＝2.7，而分離角等于90°。

(4)與虛軸交點(diǎn)：系統(tǒng)特征方程為

D(s)=s3+(3－K)s2+(15－2K)s+1.25K=0令聯(lián)立解出根軌跡與虛軸交點(diǎn)為(0，±j3.112)。

(5)起始角：根據(jù)繪制0°根軌跡的法則7*，對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)極點(diǎn)p2的根軌跡的起始角為根據(jù)對(duì)稱性，對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)極點(diǎn)p3的根軌跡的起始角為θp3＝9.18°。系統(tǒng)的概略0°根軌跡如圖4-16(b)所示。

4.4利用Matlab繪制根軌跡

利用Matlab繪制根軌跡非常簡(jiǎn)單，但需要將閉環(huán)特征方程寫成如下形式:

1+K[(P(s)/Q(s)]=0

Matlab提供了rlocus()函數(shù)來(lái)繪制給定系統(tǒng)的根軌跡，該函數(shù)的調(diào)用格式為

rlocus(sys)

式中，sys為多項(xiàng)式P(s)/Q(s)的Matlab模型。利用該命令可以在圖形窗口中繪制系統(tǒng)的根軌跡圖，增益矢量K自動(dòng)確定。若要得到更加精確的根軌跡曲線，可自行定義增益矢量K的取值范圍及步長(zhǎng)，使其步長(zhǎng)盡可能地小，此時(shí)該函數(shù)的調(diào)用格式為rlocus(sys，K)。

若要在同一個(gè)圖上繪制出多個(gè)系統(tǒng)的根軌跡，該調(diào)用格式為rlocus(sys1，sys2，…)。還可以通過(guò)指定顏色、線型和標(biāo)志來(lái)區(qū)分各系統(tǒng)的根軌跡，例如rlocus(sys1，′r′，sys2，′y:′，sys3，′gx′)。采用函數(shù)rIocus(sys)也可以繪制系統(tǒng)根軌跡的漸近線。

設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)為pi(i＝1，2，…，n)，零點(diǎn)為zj(j＝1，2，…，m)，則根據(jù)繪制根軌跡的基本規(guī)則可求得系統(tǒng)根軌跡漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)。構(gòu)造多項(xiàng)式，輸入Matlab命令rlocus(G)，即可繪制出系統(tǒng)根軌跡的漸近線。

在Matlab中，還提供了一個(gè)rlocfind()函數(shù)，該函數(shù)用來(lái)求根軌跡上指定點(diǎn)處的增益值K，并顯示該增益下系統(tǒng)所有的閉環(huán)極點(diǎn)。rlocfind()函數(shù)的調(diào)用格式為

(1)［K，poles］＝rlocfind(sys)

在Matlab命令窗口運(yùn)行該函數(shù)后，在根軌跡圖形窗口上出現(xiàn)要求用戶使用鼠標(biāo)定位的提示，用戶用鼠標(biāo)左鍵點(diǎn)擊所關(guān)注的根軌跡圖上的點(diǎn)后，函數(shù)將返回一個(gè)K變量表示與所選點(diǎn)對(duì)應(yīng)的增益值，并同時(shí)返回一個(gè)poles矢量表示在該增益下所有閉環(huán)極點(diǎn)的位置。另外,該函數(shù)還會(huì)自動(dòng)地將該增益下所有的閉環(huán)極點(diǎn)直接在根軌跡曲線上標(biāo)注出來(lái)。

(2)［K，poles］＝rlocfind(sys，p)

在Matlab命令窗口運(yùn)行該函數(shù)后，函數(shù)將返回一個(gè)K變量表示與所選根軌跡圖上點(diǎn)對(duì)應(yīng)的增益值，并同時(shí)返回一個(gè)poles變量表示在該增益下所有閉環(huán)極點(diǎn)的位置。

例4-9

已知負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)=[K/s(s+1

)(0.5s+1)]，繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡及其漸近線，并求取根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。

解閉環(huán)特征方程為由多項(xiàng)式[1/s(s+1)(0.5s+1)]知，三條根軌跡都趨向于無(wú)窮遠(yuǎn)處，這三條趨向無(wú)窮遠(yuǎn)的根軌跡的漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)σa＝(0－1－2)/3＝－1。輸入以下Matlab命令，繪制根軌跡的漸近線如圖4-17中虛線所示。

>>num1=1；den1=conv(conv([1，1]，[1，1])，[1，1])；sys1=tf(num1，den1)；

>>rlocus(sys1，′r--′)圖4-17例4-9圖輸入以下Matlab命令，在上述根軌跡圖上繪制系統(tǒng)的根軌跡曲線，如圖4-17中實(shí)線所示。

>>num2=1；den2=conv(conv([1，0]，[1，1])，[0.5，1])；sys2=tf(num2，den2)；

>>holdon；

>>rlocus(sys2，′b′)

>>axis([-3.5，1.5，-3，3])

說(shuō)明：holdon語(yǔ)句的作用是使系統(tǒng)根軌跡曲線與根軌跡漸近線繪于同一圖形上；axis([Xmin，Xmax，Ymin，Ymax])函數(shù)的作用是為圖形設(shè)定坐標(biāo)范圍。

使用rlocfind()函數(shù)確定根軌跡曲線與虛軸交點(diǎn)處的增益值及其對(duì)應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)(如圖4-17中“+”所示)。

>>[K，poles]=rlocfind(sys2)

Selectapointinthegraphicswindow

selected_point=

-0.0000+1.4092i

K=

2.9786

poles=

-2.9961

-0.0020+1.4101i

-0.0020-1.4101i

從運(yùn)行結(jié)果可以看出，根軌跡曲線與虛軸交點(diǎn)處的增益值K=2.9786，對(duì)應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)為-2.9961和-0.0020±j1.4101。例4-10

已知正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

，繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡及其漸近線，并求取根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。

解閉環(huán)特征方程為由多項(xiàng)式知，根軌跡有三條漸近線，這三條漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)σa＝[(－3－3－1＋j1－1－j1)－(－2)]/(4－1)＝-2。輸入以下Matlab命令，繪制根軌跡的漸近線如圖4-18中虛線所示。

>>num1=-1；den1=conv(conv([1，2]，[1，2])，[1，2])；sys1=tf(num1，den1)；

>>rlocus(sys1，′r--′)圖4-18例4-10圖輸入以下Matlab命令，在上述根軌跡圖上繪制系統(tǒng)根軌跡，如圖4-18中實(shí)線所示。

>>num2=[-1,-2]；den2=conv(conv([1,3]，[1,3])，[1,2,2])；

>>sys2=tf(num2，den2)；

>>holdon；rlocus(sys2，′b′)

使用rlocfind()函數(shù)確定根軌跡曲線與虛軸交點(diǎn)處的增益值及其對(duì)應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)(如圖4-18中“+”所示)。

>>[K，poles]=rlocfind(sys2)

Selectapointinthegraphicswindow

selected_point=

0+1.7764e-015i

K=

9.0000

poles=

0

-3.1378+1.5273i

-3.1378-1.5273i

-1.7243

可見，根軌跡曲線與虛軸交點(diǎn)處的增益值K=9，對(duì)應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)為0、－3.1378±j1.5273和－1.7243。

若需要在根軌跡圖上畫等ζ線和等ωn圓，則可以用sgrid命令。例4-11

已知負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡，確定阻尼比ζ為0.5的閉環(huán)極點(diǎn)，并求該點(diǎn)上的增益值K。

解閉環(huán)特征方程為輸入以下Matlab命令，繪制系統(tǒng)根軌跡和ζ＝0.5直線如圖4-19所示。

>>num=1；den=conv([1，0]，[1，4，5])；

>>sys=tf(num，den)；

>>rlocus(sys，[0：0.001：100])

>>sgrid(0.5，[])使用rlocfind()函數(shù)確定根軌跡曲線與ζ＝0.5直線的交點(diǎn)處的增益值及其對(duì)應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)(如圖4-19中“+”所示)。

>>[K，poles]=rlocfind(sys)

Selectapointinthegraphicswindow

selected_point=

-0.6250+1.0825i

K=

4.2969

poles=

-2.7500

-0.6250+1.0825i

-0.6250-1.0825i

可見，根軌跡曲線與ζ＝0.5直線交點(diǎn)處的增益值K＝4.2969，對(duì)應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)為－0.6250±j1.0825和－2.75。

圖4-19例4-11圖

4.5利用根軌跡分析系統(tǒng)性能

利用根軌跡可以定性分析當(dāng)系統(tǒng)某一參數(shù)變化時(shí)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的變化趨勢(shì)，在給定該參數(shù)值時(shí)可以確定相應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)，再加上閉環(huán)零點(diǎn)，可得到相應(yīng)零、極點(diǎn)形式的閉環(huán)傳遞函數(shù)。

本節(jié)將討論如何利用根軌跡分析、估算系統(tǒng)性能，同時(shí)分析附加開環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)根軌跡及系統(tǒng)性能的影響。

4.5.1閉環(huán)零、極點(diǎn)的分布對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響

利用根軌跡得到閉環(huán)零、極點(diǎn)在s平面上的分布情況，就可以寫出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，進(jìn)行系統(tǒng)性能的分析。下面以系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為例，考察閉環(huán)零、極點(diǎn)的分布對(duì)系統(tǒng)性能影響的一般規(guī)律。

設(shè)n階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

式中，zj、λi和K*Φ分別為系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)和根軌跡增益。單位階躍輸入作用下系統(tǒng)輸出的像函數(shù)為設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)無(wú)重根，對(duì)上式進(jìn)行部分分式展開，有即A0、Ai取決于系統(tǒng)閉環(huán)零、極點(diǎn)的分布。經(jīng)拉普拉斯反變換，可求出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為4.5.2利用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)估算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)

如果高階系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)滿足具有閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的分布規(guī)律，那么就可以忽略非主導(dǎo)極點(diǎn)及偶極子的影響，把高階系統(tǒng)簡(jiǎn)化為階數(shù)較低的系統(tǒng)，近似地估算系統(tǒng)性能指標(biāo)。

例4-12

系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為試近似計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)σ%和ts。解該系統(tǒng)有三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)：s1＝－1.4925，s2，3＝－4±j9.1652，其零、極點(diǎn)分布如圖4-20所示。極點(diǎn)s1離虛軸最近，所以系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)為實(shí)數(shù)極點(diǎn)s1，而極點(diǎn)s2，3可忽略不計(jì)，這時(shí)可將系統(tǒng)近似看成一階系統(tǒng)，則

時(shí)間常數(shù)T＝0.67s。由一階系統(tǒng)時(shí)域分析可知，系統(tǒng)超調(diào)量σ%＝0，調(diào)節(jié)時(shí)間ts＝3T＝2

s。圖4-20例4-12閉環(huán)零極點(diǎn)分布圖例4-13

系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為試近似計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)σ%和ts。解該系統(tǒng)有三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)：s1＝－1.4925，s2，3＝－4±j9.1652；有一個(gè)閉環(huán)零點(diǎn)：z1＝－1.6949。其零、極點(diǎn)分布如圖4-21所示。極點(diǎn)s1與零點(diǎn)z1構(gòu)成偶極子，故主導(dǎo)極點(diǎn)不是s1，而是s2，3，則系統(tǒng)可近似為二階系統(tǒng)，有系統(tǒng)的阻尼比ζ＝0.4，無(wú)阻尼自然振蕩角頻率ωn＝30rad/s。由二階系統(tǒng)時(shí)域分析可知，σ%＝25%，ts＝(3.5/ζωn)＝0.88s。圖4-21例4-13閉環(huán)零極點(diǎn)分布圖例4-14

系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為用根軌跡法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并計(jì)算閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)具有阻尼比ζ＝0.5時(shí)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)σ%和ts。解

(1)繪制根軌跡圖:①起點(diǎn)：p1＝0，p2＝－1，p3＝－2；終點(diǎn)：均趨于無(wú)窮遠(yuǎn)。②實(shí)軸上的根軌跡區(qū)段：[0，－1]和[－2，-∞)。③漸近線與實(shí)軸的夾角與交點(diǎn)：④分離點(diǎn)坐標(biāo)：解得d1＝－0.4226，d2＝－1.5774。舍去d2。⑤與虛軸的交點(diǎn)坐標(biāo)：令s＝j(luò)ω代入系統(tǒng)特征方程，得

D(jω)=(jω)3+3(jω)2+2(jω)+K*=0即圖4-22例4-14根軌跡圖

(2)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)增益K≥3時(shí)，根軌跡有兩個(gè)分支進(jìn)入右半s平面，系統(tǒng)不穩(wěn)定，所以使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益范圍是0＜K＜3。

(3)根據(jù)對(duì)阻尼比的要求，確定閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)s1，2的位置。首先，在s平面上畫出ζ＝0.5時(shí)的等阻尼線，使其與實(shí)軸負(fù)方向的夾角β＝cos－1ζ＝cos－10.5＝60°，等阻尼線與根軌跡相交點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為s1，則從根軌跡圖上可得s1＝

－0.33＋j0.58，與s1共軛的極點(diǎn)s2＝－0.33－j0.58。

利用幅值條件方程可求s1點(diǎn)對(duì)應(yīng)的開環(huán)增益K。因?yàn)?/p>

K*=|s1||s1+1||s1+2|=0.667×0.886×1.77=1.04

故K＝0.525。根據(jù)根之和法則(法則8)確定第三個(gè)極點(diǎn)的位置s3：

s3＝[p1＋p2＋p3]－[s1＋s2]

＝[0＋(－1)＋(－2)]－[(－0.33＋j0.58)＋(-0.33－j0.58)]

＝－2.34

s3與虛軸的距離是s1，2離虛軸距離的7倍，可認(rèn)為s1，2是主導(dǎo)極點(diǎn)。

這樣，可根據(jù)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)s1，2來(lái)估算系統(tǒng)的性能指標(biāo)。閉環(huán)系統(tǒng)近似為二階系統(tǒng)系統(tǒng)的阻尼比ζ＝0.5，無(wú)阻尼自然振蕩角頻率ωn＝0.667rad/s。系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)為σ%＝16.3%，ts＝10.5s。4.5.3系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能分析

對(duì)于典型輸入信號(hào)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與開環(huán)增益K和系統(tǒng)的型別v有關(guān)。在根軌跡圖上，位于原點(diǎn)處的根軌跡起點(diǎn)數(shù)就對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的型別v，而根軌跡增益K*與開環(huán)增益K僅相差一個(gè)比例常數(shù)。具體說(shuō)明如下：式中4.5.4附加開環(huán)零、極點(diǎn)的作用

1.附加開環(huán)極點(diǎn)的影響

設(shè)反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為式中，p3為附加的開環(huán)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，其值可在s左半平面內(nèi)任意選擇。令p3為不同數(shù)值，對(duì)應(yīng)于式(4-17)的閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡如圖4-23所示。從圖4-23中可以看出，增加一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)使系統(tǒng)的根軌跡向右偏移，這樣就降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定度，不利于改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，而且開環(huán)負(fù)實(shí)極點(diǎn)離虛軸越近，這種作用