數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)學(xué)案：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點剖析1.兩個向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示【例1】已知向量a=(4，3)，b=（-1，2).（1)求a與b的夾角θ的余弦值;（2）若向量a-λb與2a+b解：（1)a·b=4×(-1）+3×2=2，又∵|a|==5,|b｜=，∴cosθ=.（2）a-λb=(4+λ,3-2λ）,2a+b∵(a—λb)⊥（2a+b∴(a-λb）·（2a+b∴7×（4+λ）+8(3—2λ）=0.∴λ=。溫馨提示運用數(shù)量積解決有關(guān)角度、長度、垂直問題的關(guān)鍵是正確地使用運算公式.2。數(shù)量積坐標(biāo)表示的應(yīng)用【例2】已知a、b是兩個非零向量，同時滿足|a|=|b|=｜a—b|，求a與a+b的夾角.思路分析：根據(jù)向量夾角公式得：cosθ=，須根據(jù)已知條件找到a·b與a的關(guān)系.｜a+b|與|a｜的關(guān)系即可解決.解法1:根據(jù)|a|=｜b｜，有|a｜2=｜b｜2。又由|b｜=｜a-b｜，得|b｜2=｜a|2—2a·b+｜b|2∴a·b=|a｜2.而|a+b|2=｜a|2+2a·b+｜b｜2=3｜a|2∴｜a+b|=|a｜.設(shè)a與a+b的夾角為θ，則cosθ=。∴θ=30°解法2：設(shè)向量a=（x1，y1),b=(x2，y2）。∵｜a|=|b|，∴x12+y12=x22+y22.由｜b|=|a—b｜，得x1x2+y1y2=（x12+y12)。即a·b=（x12+y12）.由|a+b|2=2(x12+y12）+2×（x12+y12)=3(x12+y12)，得|a+b|=。設(shè)a與a+b的夾角為θ,則cosθ=?！唳?30°。解法3：根據(jù)向量加法的幾何意義，作圖如右圖在平面內(nèi)任取一點O,作=a，=b，以、為鄰邊作平行四邊形OACB?！遼a|=｜b|,即｜|=｜｜,∴平行四邊形OACB為菱形,OC平分∠AOB.這時=a+b，=a—b。而|a|=|b|=｜a—b｜，即|｜=｜｜=|｜?！唷鰽OB為正三角形，則∠AOB=60°。于是∠AOC=30°,即a與a+b的夾角為30°。溫馨提示基于平面向量的表示上的差異，也就是表示方法的不同，才產(chǎn)生了以上三種不同解法。對于本題的三種解法都要認(rèn)真理解.3。平面向量數(shù)量積坐標(biāo)表示的綜合應(yīng)用【例3】已知A（2，1）,B（3，2）,D（—1,4).（1）求證：⊥；（2)若四邊形ABCD是矩形，試確定點C的坐標(biāo)并求該矩形的兩對角線所成的銳角的余弦值。思路分析：本題主要考查向量垂直的等價條件及夾角公式.要證明⊥,只需證·=0.在⊥的前提下，只要找點C使=.(1）證明:∵A(2,1)，B（3，2）,D(—1,4），∴=（1，1），=(—3，3）,又·=1×（—3）+1×3=0,∴⊥。(2)解：∵四邊形ABCD為矩形且AB⊥AD，∴=.設(shè)點C的坐標(biāo)為（x，y）,則(-3,3）=（x—3，y—2），∴∴∴點C坐標(biāo)為（0，5）。又∵=（—2，4），=(—4，2）,∴·=（—2)×（-4）+4×2=16，而｜|=，|｜=。設(shè)與的夾角為θ，則cosθ=.∴該矩形兩對角線所成銳角的余弦值為。溫馨提示(1）注意區(qū)分兩向量平行與垂直的條件.(2）向量的運算可以用坐標(biāo)表示，向量中的位置關(guān)系（平行和垂直）也可用坐標(biāo)表示，向量中的度量（模長和夾角)也可用坐標(biāo)表示，而且使用起來非常方便，所以同學(xué)們要熟練掌握利用坐標(biāo)法解決有關(guān)問題。各個擊破類題演練1已知a=（k,-2),b=（2k,k+1），求實數(shù)k的值，使a⊥b.解：（1)∵a⊥b,∴a·b=0?！鄈·2k+（—2)(k+1)=0，k2-k—1=0。∴k=。變式提升1(2005重慶文，4)設(shè)向量a=(—1，2),b=(2,—1）,則（a·b）（a+b)等于()A.（1，1）B。（—4，-4）C。—4D.（—2，—2）解析:（a·b）(a+b）=［—1×2+2×（—1)］（-1+2,2-1）=-4（1,1）=（—4，-4）.答案：B類題演練2已知：a=（cosα,sinα）,b=（cosβ,sinβ）(0＜α＜β＜π）,求證：a+b與a—b互相垂直.證法1：∵a=(cosα,sinα）,b=(cosβ，sinβ)，∴（a+b)=(cosα+cosβ，sinα+sinβ）,（a-b)=（cosα—cosβ,sinα-sinβ).又（a+b)·(a-b）=(cosα+cosβ)(cosα-cosβ)+（sinα+sinβ)(sinα—sinβ)=cos2α—cos2β+sin2α-sin2β=0，∴(a+b)⊥（a-b）。證法2：∵a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ),∴｜a｜2=cos2α+sin2α=1，|b|2=cos2β+sin2β=1?！鄚a｜2=|b|2.∴(a+b)(a—b）=a2—b2=|a|2—｜b｜2=0，∴（a+b）⊥（a-b）.變式提升2(1）已知向量a=(4，-3），b=（2，1)，若a+tb與b的夾角為45°，求實數(shù)t的值.解：a+tb=（4,—3）+t(2，1)=（4+2t，t-3）,（a+tb）·b=(4+2t,t—3）·（2，1)=5t+5。｜a+tb|=由（a+tb）·b=｜a+tb｜|b｜cos45°，得5t+5=，即t2+2t-3=0,∴t=—3或t=1。經(jīng)檢驗知t=-3不合題意，舍去,∴t=1.（2）如右圖所示以原點和A（5，2)為頂點作等腰直角三角形OAB，使∠OBA=90°,求點B和向量的坐標(biāo)。解：設(shè)B點坐標(biāo)為（x,y）,則=（x，y），=（x-5，y—2).∵⊥，∴x（x-5）+y（y—2)=0。x2+y2—5x—2y=0①又∵｜|=｜|,∴x2+y2=（x—5)2+（y-2）2，②即10x+4y=29。由①②，得或∴B點坐標(biāo)為(，）或（，)?！?（,—)或=（-,)。類題演練3已知直角三角形的兩直角邊長分別為4和6,試用向量方法求兩直角邊中線所成鈍角的余弦值。解：建立如右圖所示的坐標(biāo)系，則A(4，0）,B（0,6）,E（2，0）,F（0,3）。=（—4,3)，=（2，—6）,||=5,||=，cos∠AO′B=∴兩中線所成鈍角的余弦值為。變式提升3（1）直角坐標(biāo)平面xOy中，若定點A(1，2）與動點P(x,y）滿足·=4,則P點的軌跡方程是______________________。解析：·=（x，y)·（1，2）=x+2y=4.答案：x+2y=4（2）已知A、B、C是坐標(biāo)平面上的三點,其坐標(biāo)分別為A(1，2)，B（4，1），C（0，—1)，則△ABC的形狀為(）A.直角三角形