數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)學(xué)正態(tài)分布

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表求正態(tài)總體在某一區(qū)間內(nèi)的概率【例1】設(shè)測(cè)量一條道路長(zhǎng)度的誤差x(單位：m）服從正態(tài)分布N（-5，202），求:（1）誤差的絕對(duì)值不超過(guò)30m的概率;（2）測(cè)得的長(zhǎng)度小于道路真實(shí)長(zhǎng)度的概率;（3）測(cè)得的長(zhǎng)度比道路真實(shí)長(zhǎng)度大35m的概率.(查表，可得Φ(1。75）=0.95994，Φ（1。25）=0.8944，Φ（2)=0.9772,Φ(0。25)=0。5987)解析:（1)P（｜x|≤30）=P（—30≤x≤30)=Φ(）—Φ()=Φ（1.75）-Φ(—1。25)=Φ(1。75)+Φ(1.25）-1=0.85434.(2）由誤差的定義：測(cè)量值=真實(shí)值+誤差?？梢?jiàn)，題意要求的概率為P（x〈0)=Φ(）=Φ（0.25）=0.5987.(3）題意要求的概率為P(x>35)=1—P（x≤35)=1—Φ(）=1—Φ（2)=0.0228。溫馨提示求正態(tài)分布在某一區(qū)間的概率應(yīng)先轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。二、利用正態(tài)曲線(xiàn)的性質(zhì)解題【例2】設(shè)任一正態(tài)總體N(μ,σ2）中取值小于x的概率為F（x)，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N（0，1）中,取值小于x0的概率為Φ（x0）。（1）證明F（x)可化為Φ（x0)計(jì)算。（2）利用正態(tài)曲線(xiàn)的性質(zhì)說(shuō)明：當(dāng)x取何值時(shí)，正態(tài)總體N(μ，σ2）相應(yīng)的函數(shù)f(x)=（x∈R）有最大值，其最大值是多少？（1）證明:由正態(tài)總體N(μ，σ)的概率密度函數(shù)可知F(x）=Φ(），即x0=。(2)解析：由正態(tài)曲線(xiàn)的單調(diào)性和對(duì)稱(chēng)性可知，正態(tài)總體N(μ，σ2）的概率密度函數(shù)f（x)在x=μ時(shí)，取到最大值.溫馨提示注意正態(tài)曲線(xiàn)中μ,σ的幾何意義.三、小概率事件【例3】某廠生產(chǎn)的圓柱形零件的外直徑ξ服從正態(tài)分布N（4,0。25)，如果一批產(chǎn)品的合格率達(dá)到99。7％以上就認(rèn)為這批產(chǎn)品是合格的.質(zhì)檢人員從該廠生產(chǎn)的1000件零件中隨機(jī)抽取一件,測(cè)得它的外直徑為5.7cm，試問(wèn)該廠生產(chǎn)的這批零件是否合格？思路分析：要說(shuō)明這批零件是否合格，就是要說(shuō)明從這批零件中隨機(jī)地取出一件,其尺寸是否落在規(guī)定的范圍內(nèi).由正態(tài)分布的性質(zhì)知，總體中個(gè)體取值的概率為99.7%所對(duì)應(yīng)的區(qū)間為(μ-3σ,μ+3σ）,故只需判斷5。7是否屬于該區(qū)間即可.解:∵ξ~N（4,0.25），由正態(tài)分布的性質(zhì)知，ξ的取值落在區(qū)間（μ—3σ,μ+3σ）之內(nèi)的概率為99。7%.由于μ=4,σ=0.5,∴μ-3σ=4—3×0.5=2.5，μ+3σ=4+3×0。5=5.5，即合格品的產(chǎn)品尺寸的取值范圍是(2。5，5.5）?！?。7（2。5,5.5)，這說(shuō)明在一次試驗(yàn)中小概率事件發(fā)生了，∴可以認(rèn)為這批零件是不合格的.溫馨提示發(fā)生概率一般不超過(guò)5％的事件，稱(chēng)為小概率事件，它在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生。各個(gè)擊破類(lèi)題演練1某學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)?chǔ)畏恼龖B(tài)分布N（42,36)，如某個(gè)學(xué)生得48分，求成績(jī)排在這名學(xué)生以后的學(xué)生占學(xué)生總數(shù)的百分比。解析：由ξ~N(42，36），則η=～N(0,1）.因此，P（ξ〈48)=F（48)=Φ()=Φ(1)≈0。84。因而有84％的學(xué)生成績(jī)排在得48分的學(xué)生之后。變式提升1某縣農(nóng)民平均收入服從μ=500元，σ=20元的正態(tài)分布.求：(1）此縣農(nóng)民的年均收入在500~520元之間的人數(shù)的百分比。(2）此縣農(nóng)民年均收入超過(guò)540元的人數(shù)的百分比。解析：(1）∵正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)x=500對(duì)稱(chēng)，∴P（500<X≤520）=P（480〈X≤520)，=P(μ—σ<X<μ+σ）,=×0.6826=0.3413.（2)∵正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)x=500對(duì)稱(chēng),∴P(X〉540)=P（X〈460)=［P（X>540)+P(X〈460）］=［1—P（460<X<540)］=［1—0.9544]=×0.0456=0。0228.類(lèi)題演練2設(shè)隨機(jī)變量ξ~N（μ，σ2），且P（ξ≤c）=P(ξ>c）,求c。解析：∵正態(tài)分布中,落在數(shù)學(xué)期望μ兩邊的概率相等，∴c=μ。變式提升2如圖為某地成年男性體重的正態(tài)曲線(xiàn)圖，請(qǐng)寫(xiě)出其正態(tài)分布密度函數(shù)，并求P（|X-72｜<20）.解析：由圖可知，μ=72,σ=10,①φμ,σ(x）=π·10,x∈（-∞,+∞），②P（|X—72｜〈20）=P（｜X-μ|<2σ)=P（μ—2σ<X<μ+2σ)=0.9445。類(lèi)題演練3已知某批建筑材料的強(qiáng)度ξ服從N（200，182)的正態(tài)分布，現(xiàn)從中任取一件時(shí)，求:（1）取得這件材料的強(qiáng)度不低于180的概率；（2）如果所用的材料要求以99%的概率保證強(qiáng)度不低于150，問(wèn)這批材料是否符合這個(gè)要求?解析：（1)P（ξ≥180）=1-P(ξ〈180)=1-Φ()=Φ(1。11）=0.8665，取得這件材料的強(qiáng)度不低于180的概率為86。65％。（2)P（ξ≥150）=1-P（ξ<150)=1—Φ()=1-Φ(—2.78)=Φ（2。78)=0.9973,即從這批材料中任取一件，以概率99。73%（大于99%）保證強(qiáng)度不低于150，故這批材料符合提出的要求.變式提升3公共汽車(chē)車(chē)門(mén)的高度是按男子與車(chē)門(mén)碰頭的機(jī)會(huì)在0。01以下來(lái)設(shè)計(jì)的.設(shè)男子身高ξ服從μ=168cm,σ=7cm的正態(tài)分布，即ξ～N(168,72),那么汽車(chē)車(chē)門(mén)的高度應(yīng)如何確定？解析:設(shè)車(chē)門(mén)的高度為hcm,由題意,P（ξ≥h)≤0。01或P（ξ〈h)≥0.