數(shù)學(xué)課堂探究排列

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一排列數(shù)公式的應(yīng)用排列數(shù)公式的乘積形式一般用于具體數(shù)字的計(jì)算和展開，而當(dāng)排列數(shù)中含有字母或涉及化簡問題時(shí)一般選用階乘式．在具體應(yīng)用時(shí)，應(yīng)注意先提取公因式再計(jì)算，同時(shí)還要注意隱含條件“m≤n,且m，n∈N＋”的運(yùn)用．【典型例題1】計(jì)算：（1)Aeq\o\al（3,16)＝__________；(2）eq\f(8!＋A\o\al（6,6）,A\o\al（2,8)－A\o\al(4，10)）＝__________.解：（1）Aeq\o\al（3，16)＝16×15×14＝3360。（2）eq\f(8?。獳\o\al（6,6)，A\o\al(2,8）－A\o\al（4,10））＝eq\f（8×7×6×5×4×3×2×1＋6×5×4×3×2×1,8×7－10×9×8×7）＝eq\f（57×6×5×4×3×2，56×（－89））＝－eq\f(5130,623).答案:(1)3360（2）－eq\f（5130，623）【典型例題2】解下列方程或不等式：（1)3Aeq\o\al（3,x）＝2Aeq\o\al(2，x＋1)＋6Aeq\o\al(2,x)；(2）Aeq\o\al（x,9）＞6Aeq\o\al（x－2,9）.思路分析：求解以排列數(shù)形式給出的方程或不等式時(shí)，應(yīng)體現(xiàn)化歸與轉(zhuǎn)化的思想，利用公式轉(zhuǎn)化為一般的代數(shù)方程、不等式再求解．解:（1）由排列數(shù)公式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（3x(x－1)（x－2）＝2（x＋1)x＋6x（x－1)，,x≥3，x∈N＋。))eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（①,②))由①得3x2－17x＋10＝0,解得x＝5或x＝eq\f（2，3),由②可知x＝5。（2）原不等式可化為eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f(9！，(9－x)?。礬f（6×9!,（9－x＋2)！)，，2≤x≤9，x∈N＋。）)eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（①，，②))由①式化簡得（x－8)（x－13)＞0，所以x＜8或x＞13。由②可知2≤x＜8，x∈N＋,所以x＝2,3,4,5,6，7。故所求不等式的解集為{2，3,4，5，6,7}．探究二組數(shù)問題不同數(shù)字的無重復(fù)排列問題是排列問題中的一類典型問題,常見附加條件有：奇數(shù)、偶數(shù)、倍數(shù)、大小關(guān)系等．解決這類問題的關(guān)鍵是搞清事件是什么,元素是什么，位置是什么，給出了什么樣的附加條件．然后按特殊元素(位置）的性質(zhì)分類(每一類的各種方法都能保證事件的完成），按事件發(fā)生的連續(xù)過程合理分步來解決．這類問題的隱含條件“0不能排在首位"尤其不能忽略．【典型例題3】用0,1，2，3，4,5這六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)符合下列條件的無重復(fù)的數(shù)字？(1)六位奇數(shù);（2)個(gè)位數(shù)字不是5的六位數(shù)；(3)不大于4310的四位偶數(shù)．思路分析：該例中的每一個(gè)小題都是有限制條件的排列問題．除了應(yīng)注意題目中要求的明顯條件外，還應(yīng)注意隱含條件“0不能排在首位"．我們采取先特殊后一般的原則，將問題分解為幾個(gè)易求解的簡單問題．解：（1）方法1：（直接法)第一步：排個(gè)位,有Aeq\o\al（1,3)種排法；第二步：排十萬位,有Aeq\o\al（1,4）種排法；第三步:排其他位，有Aeq\o\al(4，4)種排法．故共可以組成Aeq\o\al（1，3)Aeq\o\al（1，4）Aeq\o\al(4，4）＝288個(gè)無重復(fù)的六位奇數(shù)．方法2：(直接法)0不在兩端有Aeq\o\al(1，4)種排法，從1,3,5中任選一個(gè)排在個(gè)位有Aeq\o\al（1，3）種排法,其他各位上全排列有Aeq\o\al（4，4）種排法，故可以組成Aeq\o\al（1，4)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(4,4)＝288個(gè)無重復(fù)的六位奇數(shù)．方法3：(排除法）6個(gè)數(shù)字全排列有Aeq\o\al(6，6)種排法，0,2,4在個(gè)位上的排列數(shù)為3Aeq\o\al（5,5），1，3，5在個(gè)位上且0在十萬位上的排列數(shù)為3Aeq\o\al（4,4），故可以組成Aeq\o\al(6,6）－3Aeq\o\al(5,5)－3Aeq\o\al（4，4)＝288個(gè)無重復(fù)的六位奇數(shù)．(2)方法1：（排除法）0在十萬位和5在個(gè)位的排列都是不符合題意的六位數(shù)，故符合題意的六位數(shù)共有Aeq\o\al（6,6)－2Aeq\o\al（5，5)＋Aeq\o\al(4，4）＝504(個(gè))．方法2：（直接法）十萬位數(shù)字的排法因個(gè)位上排0與不排0而有所不同，因此分兩類．第一類：當(dāng)個(gè)位排0時(shí)，有Aeq\o\al（5，5)種排法；第二類：當(dāng)個(gè)位不排0時(shí),有Aeq\o\al（1,4)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al（4，4)種排法．故共有符合題意的六位數(shù)Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(1,4）Aeq\o\al（1,4）Aeq\o\al（4,4)＝504（個(gè)）．（3)①當(dāng)千位上排1，3時(shí),有Aeq\o\al（1,2）Aeq\o\al(1，3）Aeq\o\al（2,4)種排法．②當(dāng)千位上排2時(shí)，有Aeq\o\al(1，2)Aeq\o\al(2，4)種排法．③當(dāng)千位上排4時(shí)，形如40××,42××的數(shù)各有Aeq\o\al（1,3)個(gè)；形如41××的數(shù)有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al（1,3）個(gè)；形如43××的數(shù)只有4310和4302這2個(gè)數(shù)滿足題意．故共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al（1,3）Aeq\o\al(2，4)＋Aeq\o\al(1，2)Aeq\o\al(2,4）＋2Aeq\o\al（1,3)＋Aeq\o\al（1,2）Aeq\o\al(1，3)＋2＝110個(gè)不大于4310的四位偶數(shù)．探究三排隊(duì)問題排隊(duì)問題除涉及特殊元素、特殊位置外,還往往涉及相鄰,不相鄰,定序等問題．(1)對(duì)于相鄰問題，可采用“捆綁法”解決．即將相鄰的元素視為一個(gè)整體進(jìn)行排列．（2)對(duì)于不相鄰問題，可采用“插空法”解決．即先排其余的元素，再將不相鄰的元素插入空中．(3)對(duì)于定序問題，可采用“除階乘法”解決．即用不限制的排列數(shù)除以順序一定元素的全排列數(shù)．【典型例題4】有5名男生，4名女生排成一排．(1）從中選出3人排成一排,有多少種排法？（2)若男生甲不站排頭，女生乙不站排尾，則有多少種不同的排法?(3)要求女生必須站在一起，有多少種不同的排法？（4）若4名女生互不相鄰，有多少種不同的排法?思路分析:（1）這是一個(gè)無限制條件的排列問題，利用排列數(shù)公式易求；（2）這是一個(gè)有限制條件的排列問題，特殊元素是男生甲和女生乙,排頭和排尾是特殊位置，需將問題合理分類、分步再計(jì)算；（3）女生站在一起，可將所有女生視為一個(gè)整體,既考慮整體內(nèi)部的排列,又考慮這個(gè)整體與其他男生一起的排列；(4）由于4名女生不能相鄰，所以可考慮先將男生排好，再將4名女生插空排列．解：（1）只要從9名學(xué)生中任選三名排列即可，所以共有Aeq\o\al(3,9）＝9×8×7＝504（種）不同排法．(2)將排法分成兩類：一類是甲站在排尾,其余的可全排，有Aeq\o\al（8，8）種排法；另一類是甲既不站排尾又不站排頭，有Aeq\o\al(1，7）種排法,乙不站排尾而站余下的7個(gè)位置中的一個(gè)，有Aeq\o\al（1,7）種排法，其余人全排列，于是這一類有Aeq\o\al(1,7)·Aeq\o\al(1，7）·Aeq\o\al（7，7）種排法．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有Aeq\o\al(8,8)＋Aeq\o\al（1,7）·Aeq\o\al（1,7）·Aeq\o\al（7,7)＝287280（種)不同排法．(3）女生必須站在一起，是女生的全排列，有Aeq\o\al(4,4）種排法．全體女生視為一個(gè)元素與其他男生全排列有Aeq\o\al（6，6)種排法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,共有Aeq\o\al(4，4)·Aeq\o\al(6，6）＝17280（種）不同排法．(4)分兩步．第一步:男生的全排列有Aeq\o\al(5，5)種排法;第二步：男生排好后，男生之間有4個(gè)空，加上男生排列的兩端共6個(gè)空，女生在這6個(gè)空中排列，有Aeq\o\al（4,6）種排法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(4,6)＝43200（種)不同排法．探究四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn):對(duì)問題考慮不全面，導(dǎo)致重復(fù)或遺漏【典型例題5】將鉛筆、圓珠筆、橡皮、直尺四件文具分給甲、乙、丙三個(gè)小朋友,每人至少分到一件文具，有多少種不同的分法？錯(cuò)解：第一步，先分給三個(gè)小朋友每人一件，有Aeq\o\al（3，4）種方法;第二步,將余下的一件給三個(gè)小朋友中任何一個(gè)，有Aeq\o\al（1，3)種方法．所以,共有Aeq\o\al（3，4）·Aeq\o\al(1，3)＝72種方法．錯(cuò)因分析:這是一種常見的處理方式，但不是嚴(yán)密的解題方法,其中含有重復(fù)現(xiàn)象， 甲乙丙甲乙丙如第一步分配為直尺圓珠筆橡皮．第二步將鉛筆分給甲，結(jié)果是直尺鉛筆圓珠筆甲