數(shù)學(xué)學(xué)案：學(xué)習(xí)導(dǎo)航冪函數(shù)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3。3冪函數(shù)自主整理1。冪函數(shù)的定義（1）定義:一般地，我們把形如y=xα（α∈R）的函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中x為自變量,α為常數(shù).（2)關(guān)于定義的理解：①冪的底數(shù)是自變量；②冪的指數(shù)是一個常數(shù),它可以取任意實數(shù)；③冪值前面的系數(shù)是1，否則不是冪函數(shù)，如函數(shù)y=5x就不是冪函數(shù)。④冪函數(shù)的定義域是使xα有意義的所有x的集合,因α的不同，定義域也不同,如函數(shù)y=x2的定義域為R，而函數(shù)y=的定義域為｛x｜x∈R,且x≠0}.2.函數(shù)y=x，y=x2,y=x3，y=x，y=x—1的圖象與性質(zhì)：y=xY=x2y=x3y=xy=x-1圖象定義域RRR[0，+∞)（-∞,0）∪（0，+∞)值域R［0，+∞）R［0,+∞)（—∞,0）∪（0，+∞)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增增增定點(0，0)，（1，1）（0,0）,（1，1）（0，0）,(1，1）(0,0），（1，1）（1,1）3.冪函數(shù)的性質(zhì)當(dāng)n〉0時,冪函數(shù)y=xn有下列性質(zhì)：（1)圖象都通過點(0，0)，（1，1）；(2)在第一象限內(nèi),函數(shù)值y隨x的增大而增大。當(dāng)n<0時，冪函數(shù)y=xn的性質(zhì):（1）圖象都過點（1，1）；（2）圖象以直線x=0，y=0為漸近線；(3）在第一象限內(nèi)的圖象是下降的，即函數(shù)值y隨x的增大而減??；（4）x∈(0,1)時，n越大曲線越靠近y軸;x∈(1，+∞)時,n越小曲線越靠近x軸.高手筆記1.判斷函數(shù)是否為冪函數(shù)時要根據(jù)定義，即xα的系數(shù)為１，指數(shù)位置的α為一個常數(shù)，且常數(shù)項要為０，或者經(jīng)過變形后滿足條件的均可.2。在研究冪的性質(zhì)時，通常將分?jǐn)?shù)指數(shù)冪化為根式形式,負指數(shù)整數(shù)冪化為分式形式再去進行討論。3.記憶口訣：如何分析冪函數(shù),記住圖象是關(guān)鍵，雖然指數(shù)各不同，分類之后變簡單。大于0時拋物線，小于0時雙曲線，還有0到1之間，拋物開口方向變,不僅開口向右方,原來圖象取一半。函數(shù)奇偶看指數(shù)，奇母奇子奇函數(shù)，奇母偶子偶函數(shù),偶母非奇偶函數(shù).圖象第一象限內(nèi)，函數(shù)增減看正負。名師解惑1.如何理解冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)？剖析:冪函數(shù)y＝xn的性質(zhì)和圖象，由于n的取值不同而比較復(fù)雜，我們可以從下面幾個方面來把握:（1）n<0時，圖象不過原點,在第一象限內(nèi)圖象是下降的曲線,冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù).在第一象限內(nèi),當(dāng)x從右邊趨向原點時,圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當(dāng)x趨于+∞時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸。n>0時，圖象必經(jīng)過原點和（1,1)兩定點，在第一象限內(nèi)圖象是上升的曲線,并且在區(qū)間[0，+∞)上是增函數(shù)。（2）冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可歸納為下表:圖象冪函數(shù)y=xn(n為常數(shù))n>0n<0性質(zhì)（1）圖象都通過點（0，0)和（1，1）;（2)在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而增大(1）圖象都通過(1，1）;（2)在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而減小;(3)以x、y軸為漸近線2。當(dāng)n取不同的有理數(shù)時，冪函數(shù)y=xn的定義域怎樣?剖析：當(dāng)n∈N*時，定義域為R；當(dāng)n=0時，定義域為｛x|x≠0｝；當(dāng)n為負整數(shù)時，定義域為{x|x≠0};當(dāng)n=(p,q∈N＊,q〉1且p，q互質(zhì)）時,①若q為偶數(shù)，則定義域為［0，+∞）；②若q為奇數(shù),則定義域為R；當(dāng)n=(p,q∈N*,q>1且p，q互質(zhì))時，①若q為偶數(shù)，則定義域為（0，+∞)；②若q為奇數(shù)，則定義域為{x|x≠0}.講練互動【例題1】若（a+1）＜（3-2a）,則a的取值范圍是__________。解析：因為函數(shù)y＝x在[0，+∞）上單調(diào)遞增，所以y＝x在(0,+∞）上單調(diào)遞減.所以解得＜a＜。答案：（，）綠色通道雖然解決恒成立問題方法很多,但這里由于是選擇題,用賦值法較方便.黑色陷阱忘記負指數(shù)冪函數(shù)底數(shù)需大于0,將導(dǎo)致解題錯誤.用冪函數(shù)的單調(diào)性解不等式，但要注意x的取值范圍。變式訓(xùn)練1。已知（x-3)〈(1+2x),求x的取值范圍。分析:其實質(zhì)是解不等式(x-3)〈(1+2x)，由于不等式的左右兩邊的冪指數(shù)都是，因此可借助于冪函數(shù)y=x的圖象性質(zhì)來求解。解:因為y=x在(—∞,0）和（0，+∞)上為減函數(shù).x〉0時，y>0；x〈0時，y<0，原不等式可以化為:①②③①無解；②的解為x<—4；③的解是<x〈3。所以所求的x的取值范圍為{x|x<-4或〈x<3}.【例題2】已知0＜a＜1，試比較aa，（aa)a,的大小為__________。解析：為比較aa與（aa）a的大小,將它們看成指數(shù)相同的兩個冪.由于冪函數(shù)f（x）＝xa（0＜a＜1）在區(qū)間［0，＋∞）上是增函數(shù),因此只需比較底數(shù)a與aa的大小.由于指數(shù)函數(shù)y＝az（0＜a＜1）是減函數(shù)，且a＜1，所以a＜aa，從而aa＜(aa）a。比較aa與（aa)a的大小，也可將它們看成底數(shù)相同（都是aa）的兩個冪，于是可以利用指數(shù)函數(shù)y＝bx(b＝aa，0＜b＜1)是減函數(shù)，由a＜1，得到aa＜（aa）a.由于a＜aa,函數(shù)y＝az(0＜a＜1)是減函數(shù)，因此aa＞。答案：a＜aa＜（aa)a綠色通道解以上兩個例題的關(guān)鍵都在于適當(dāng)?shù)剡x取某一個函數(shù)，函數(shù)選得恰當(dāng),解決問題就簡單.變式訓(xùn)練2。比較下列各組中兩個值的大?。?1)1。5與1。6;（2）0。61.3與0。71。3;（3）3.5與5。3;（4)0。18—0.3與0.15—0.3。分析：比較冪值的大小是一種常見題型，也是一類容易做錯的問題。如果指數(shù)相同,可以利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較，如果底數(shù)相同就利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較.解：（1)∵1。5與1.6可分別看作冪函數(shù)y=x在1。5與1.6處的函數(shù)值,且>0，1.5〈1。6,∴由冪函數(shù)單調(diào)性，知1.5<1.6。（2)∵0.61.3與0。71.3可分別看作冪函數(shù)y=x1.3在0.6與0。7處的函數(shù)值，且1.3>0，0.6〈0.7,∴由冪函數(shù)單調(diào)性，知0.61。3〈0。71。3.(3）∵3。5與5.3可分別看作冪函數(shù)y=x在3。5與5.3處的函數(shù)值,且<0，3。5〈5.3,∴由冪函數(shù)單調(diào)性,知3。5〉5.3。（4）∵0。18—0.3與0.15-0。3可分別看作冪函數(shù)y=x-0.3在0。18與0.15處的函數(shù)值，且—0.3〈0，0.18>0.15,∴由冪函數(shù)單調(diào)性,知0.18-0.3<0。15—0.3.【例題3】冪函數(shù)y=xa，y=xb,y=xc，y=xd在第一象限內(nèi)的圖象如圖3-3-1所示，則a,b,c，d的大小關(guān)系是()圖3—3-1A。b〈c〈d<aB。b〈c<a<dC。a〈b<c〈dD。a<d〈c<b解析：重點掌握冪函數(shù)在第一象限的圖象特征，它是判斷一些問題的法寶,當(dāng)自變量x＞1時，冪指數(shù)大的函數(shù)的函數(shù)值大。方法一(性質(zhì)法）：由冪函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)自變量x＞1時，冪指數(shù)大的函數(shù)的函數(shù)值較大，故有b＞c＞d＞a.方法二(類比法）：當(dāng)x趨于+∞時，函數(shù)y=xa圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸,類似于典型冪函數(shù)y=x-1,故a〈0.函數(shù)y=xb在區(qū)間［0，+∞)上是增函數(shù)，圖象下凸,類似于函數(shù)y=x2,故b〉1.同法可知y=xc,y=xd類似于y=x，故0<c<1,0〈d<1.∴a最小，b最大.方法三(特殊值法):作直線x=2,由圖象可知2a〈2d〈2c〈2答案:D綠色通道通過這道題，可知對于冪函數(shù)不僅僅是從“形式上”掌握其概念、圖象和性質(zhì)，更重要的是真正的理解，例如需要掌握冪函數(shù)在第一象限的圖象特征,這在今后的學(xué)習(xí)中也應(yīng)注意。變式訓(xùn)練3。圖3—3—2中曲線是冪函數(shù)y=xα在第一象限的圖象，已知α取±2，±四個值，則對應(yīng)于曲線C1，C2，C3，C4的指數(shù)α依次為()圖3-3—2A.-2,,,2B。2,,,-2C.,—2，2,D.2，，—2,解析：要確定一個冪函數(shù)y=xα在坐標(biāo)系內(nèi)的分布特征，就要弄清冪函數(shù)y=xα隨著α值的改變圖象的變化規(guī)律。隨著α的變大，冪函數(shù)y=xα的圖象在直線x=1的右側(cè)從低向高分布。從圖中可以看出，直線x=1右側(cè)的圖象，由高向低依次為C1,C2，C3，C4,所以C1,C2,C3,C4的指數(shù)α依次為2，，,—2.答案：B【例題4】畫函數(shù)y=1+的草圖,并求出其單調(diào)區(qū)間。分析:此函數(shù)的作圖有兩個途徑,一是根據(jù)描點的方法作圖，二是利用坐標(biāo)系的平移來作圖。一般說來，作草圖時，利用坐標(biāo)平移較為方便。解:y=1+=+1?！啻撕瘮?shù)的圖象可由下列變換而得到:先作函數(shù)y=的圖象，作其關(guān)于y軸的對稱圖象，即y=的圖象，將所得圖象向右平移3個單位，向上平移1個單位，即為y=1+的圖象〔如圖3-3-3（1）-(4）所示〕。圖3-3-3黑色陷阱本題容易發(fā)生的錯誤:一是函數(shù)概念不清（該函數(shù)是以x為自變量的函數(shù)）；二是在將函數(shù)式變形的過程不是等價變形，導(dǎo)致變形后的函數(shù)已不再是原有的函數(shù)了.變式訓(xùn)練4.求出函數(shù)f（x)=的單調(diào)區(qū)間，并比較f（—π）與f（）的大小。分析:要寫出f(x）的單調(diào)區(qū)間，可通過化簡把f（x）轉(zhuǎn)化成我們熟悉的基本初等函數(shù)的形式，利用基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，表示出f（x）的單調(diào)區(qū)間.解:f（x)==1+=1+（x+2）—2,它是由g(x）=x—2向左平移2個單位,再向上平移1個單位而得到的。∵g（x)的單調(diào)增區(qū)間是（—∞,0)，單調(diào)減區(qū)間是（0,+∞）,∴f（x）=的單調(diào)增區(qū)間是（—∞，—2)，單調(diào)減區(qū)間是（—2，+∞)，f（x)的圖象關(guān)于直線x=—2對稱.∵-π∈（—∞，—2）,∈（—2，+∞），關(guān)于x=-2對稱的點的橫坐標(biāo)是-4，又∵-4〈—π，∴f（-4）〈f（—π），即f（）〈f（-π）。教材鏈接［思考與討論］(1）在冪函數(shù)y=xα中，如果α是正偶數(shù)（α=2n，n為非零自然數(shù)),如α=2,4，6,…，這一類函數(shù)具有哪些重要性質(zhì)？（2）在冪函數(shù)y=xα中,如果α是正奇數(shù)（α=2n—1,n為非零自然數(shù)）,如α=1，3,5，…，這一類函數(shù)具有哪些重要性質(zhì)?（3)冪函數(shù)y=xα，x∈［0,+∞），α〉1與0<α〈1的圖象有何不同？答：(1)y=xαα是正偶數(shù)定義域R值域[0，+∞)奇偶性偶單調(diào)性x∈［0，+∞)時，增x∈（-∞，0］時，減定點(1