上海市黃浦區(qū)盧灣高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年上海市黃浦區(qū)盧灣高級中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、填空題：本題共12小題，每小題3分，共36分，把答案寫在題中橫線上。每個空格填對得全分，否則一律得零分。1．（3分）已知全集，集合，，則______．2．（3分）已知等式恒成立，則______．3．（3分）若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過，則此函數(shù)的表達(dá)式為____________．4．（3分）已知方程的兩個根為，，則______．5．（3分）已知，，化簡______．6．（3分）若實數(shù)，則的最小值為______．7．（3分）用描述法表示圖中陰影部分（包括邊界）為__________________．8．（3分）滿足的集合有______個．9．（3分）已知關(guān)于的不等式組沒有實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為____________．10．（3分）已知，，試用，表示__________________．11．（3分）已知命題：關(guān)于的方程在上有解；命題：只有一個實數(shù)滿足不等式．若命題和中有且僅有一個是真命題，則實數(shù)的取值范圍是____________．12．（3分）已知函數(shù)，若該函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，且函數(shù)值不恒為負(fù)，則實數(shù)的取值范圍為__________________．二、選擇題：本題共有4題，每小題4分，共16分。每題都給出代號為A、B、C、D的四個結(jié)論，其中有且只有一個結(jié)論是正確的，必須把正確結(jié)論的代號填入下面的表格中，選對得4分，不選、錯選或者選出的代號超過一個，一律得零分。13．（4分）設(shè)有意義，有意義，若是的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分也非必要條件14．（4分）已知：，且，則（）A． B． C． D．15．（4分）已知全集，集合，，若，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．16．（4分）假設(shè)在某次交通事故中，測得肇事汽車的剎車距離大于20m，肇事汽車在該路段的限速為30km/h．根據(jù)經(jīng)驗，在該路段的剎車距離（單位：m）與剎車前的速度（單位：km/h）之間的關(guān)系為，下面的表格記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)：（單位：km/h）51020…（單位：m）1.20252.7256.73…對于以下兩個結(jié)論：①若該肇事汽車剎車前的速度為，則的最小正整數(shù)的值為41km/h；②可以斷定，該肇事汽車在剎車前是超速行駛．其中正確的是（）A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立三、解答題（本大題共5題，共48分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（8分）已知集合為不等式的解集．（1）求集合；（2）若，且，求實數(shù)的范圍．18．（8分）設(shè)，，，是四個正數(shù)．（1）已知，比較與的值的大小；（2）若，求證：，，，中至少有一個小于1．19．（10分）某村計劃建造一個室內(nèi)面積為的矩形蔬菜溫室（如圖）．在溫室內(nèi)，沿左、右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1m寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m寬的空地．設(shè)矩形溫室的左側(cè)邊長為，蔬菜的種植面積為．（1）用表示；（2）當(dāng)為多少時，蔬菜的種植面積最大？最大值是多少？20．（10分）已知，，關(guān)于的不等式．（1）若，且不等式對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時，解關(guān)于的不等式（解集用表示）．21．（12分）已知，，，冪函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)．（1）求函數(shù)的表達(dá)式；（2）若關(guān)于的不等式的解集中有且僅有5個整數(shù)，求實數(shù)的范圍；（3）若，關(guān)于的方程的兩實根分別為，（其中），求的值．四、附加題（高一（5）（6）（7）（8）班必做，其它班選做，每題5分，共10分）22．（5分）對于實數(shù)，規(guī)定表示不大于的最大整數(shù)，如，，則不等式成立的充分非必要條件是（）A． B． C． D．23．（5分）方程的兩個根均大于1，則實數(shù)的取值范圍是__________________．五、附加題二（高一（8）班必做，其它班選做，共10分）24．（10分）已知，，點在函數(shù)的圖像上，且，則的最小值為__________________．2024-2025學(xué)年上海市黃浦區(qū)盧灣高級中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題：本題共12小題，每小題3分，共36分，把答案寫在題中橫線上．每個空格填對得全分，否則一律得零分．1．【答案】．【分析】結(jié)合交集、補集的定義，即可求解．【解答】解：全集，，則，集合，則．故答案為：．2．【答案】5．【分析】由題意列出方程組，即可得答案．【解答】解：因為恒成立，即恒成立，所以，所以．故答案為：5．3．【答案】．【分析】將點的坐標(biāo)代入，即可確定解析式．【解答】解：冪函數(shù)的圖像經(jīng)過，則，，．故答案為：．4．【答案】3．【分析】由已知結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系即可求解．【解答】解：因為方程的兩個根為，，所以，則．故答案為：3．5．【答案】．【分析】由已知結(jié)合指數(shù)冪的運算性質(zhì)即可求解．【解答】解：因為，，所以．故答案為：．6．【答案】7．【分析】由已知結(jié)合基本不等式即可求解．【解答】解：因為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．故答案為：7．7．【答案】．【分析】根據(jù)描述法的定義求解．【解答】解：用描述法表示圖中陰影部分（包括邊界）為：．故答案為：．8．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由，知集合中必有元素，且中還有元素，，中的0個，1個，或2個，所以滿足的集合的個數(shù)．【解答】解：，集合中必有元素，且中還有元素，，中的0個，1個，或2個，滿足的集合的個數(shù)．故答案為：7．9．【答案】．【分析】由已知結(jié)合二次不等式及一次不等式的求法即可求解．【解答】解：由可得，由可得，若不等式組沒有實數(shù)解，則．故答案為：．10．【答案】【分析】根據(jù)對數(shù)的運算即可得．【解答】解：因為，所以，所以．故答案為：．11．【答案】．【分析】根據(jù)題意，分別求出、為真命題時的取值范圍，再分“真假”和“假真”兩種情況討論，求出的取值范圍，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，對于方程，變形可得，解可得或，若為真命題，則或，則有，對于，只有一個實數(shù)滿足不等式，則有，解可得或，若命題和中有且僅有一個是真命題，有2種情況，①假真，即，此時無解；②真假，即，此時或；綜合可得：或，即的取值范圍為．故答案為：．12．【答案】．【分析】先進(jìn)行分離變形，然后結(jié)合反比例函數(shù)的單調(diào)性即可求解．【解答】解：由已知，，又函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，且函數(shù)值不恒為負(fù)，所以，解得，故答案為：．二、選擇題：本題共有4題，每小題4分，共16分。每題都給出代號為A、B、C、D的四個結(jié)論，其中有且只有一個結(jié)論是正確的，必須把正確結(jié)論的代號填入下面的表格中，選對得4分，不選、錯選或者選出的代號超過一個，一律得零分。13．【答案】B【分析】先求出，對應(yīng)的范圍，然后檢驗充分必要性即可判斷．【解答】解：由可得，由可得，故推不出，，故是的必要不充分條件．故選：B．14．【答案】C【分析】由題意可得，且，再利用不等式的基本性質(zhì)可得，從而得出結(jié)論．【解答】解：，且，，且，故有，故選：C．15．【答案】D【分析】先求出集合的補集，再對集合分空集和非空集討論，建立不等式關(guān)系，進(jìn)而可以求解．【解答】解：由已知可得，又，當(dāng)時，，解得，此時滿足題意；當(dāng)時，要滿足題意，只需，解得，綜上，實數(shù)的范圍為．故選：D．16．【答案】C【分析】先根據(jù)題意建立方程求出函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)的單調(diào)性驗證臨界值，即可分別求解．【解答】解：由題意可得，則，即，易知該函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，，若該肇事汽車剎車前的速度為，則的最小正整數(shù)的值為42km/h，①不成立；又的最小正整數(shù)的值為，可以斷定，該肇事汽車在剎車前是超速行駛，②成立．故選：C．三、解答題（本大題共5題，共48分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）把分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式求解即可；（2）先求出，結(jié)合，列出不等式，求解即可．【解答】解：（1）由不等式可得，，即，解得，所以集合；（2），因為，所以，無解，即實數(shù)的范圍為．18．【答案】（1）；（2）詳見解答．【分析】（1）利用作差比較即可判斷；（2）利用反證法即可證明．【解答】解：（1）因為，則，所以；（2）證明：假設(shè)，，，都不小于1，即，，，，則，，，，所以，與已知矛盾，故，，，中至少有一個小于1．19．【答案】（1）；（2）當(dāng)為40m時，蔬菜的種植面積最大，最大值為．【分析】（1）由題得，化簡即得解；（2）利用基本不等式即可求解．【解答】解：（1）；（2），，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，當(dāng)為40m時，蔬菜的種植面積最大，最大值為．20．【答案】（1）；（2）當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為，當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為．【分析】（1）由恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)對的范圍進(jìn)行分類討論即可求解；（2）由恒成立，不等式可化為，然后結(jié)合二次不等式的求法對的范圍進(jìn)行分類討論即可求．【解答】解：（1）若，且不等式對一切恒成立，又恒成立，所以恒成立，當(dāng)時，恒成立，符合題意；當(dāng)時，，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍為；（2）當(dāng)時，又恒成立，不等式可化為，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，不等式可化為，解得，當(dāng)時，不等式可化為，當(dāng)時，解得或；當(dāng)時，；當(dāng)時，解得或，故當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為，當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為．21．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合題意，列不等式求解即可；（2）解不等式，根據(jù)不等式的解集中有且僅有5個整數(shù)，得出這5個整數(shù)，由此列不等式求出的取值范圍；（3）由題意列方程，求出和，判斷、與、的大小，計算的值即可．【解答】解：（1）由題意知，，即，解得，又因為，所以，所以；（2）不等式為，即；所以，解得，所以不等式的解集為，其中；因為不等式的解集中有且僅有5個整數(shù)，則這5個整數(shù)分別為2，3，4，5，6；所以，即，解得；所以的取值范圍是；（3）由題意知，方程為，所以，即；由根與系數(shù)的關(guān)系知，，；解方程，得；因為，且，所以，；因為，所以，因為，所以，所以．四、附加題（高一（5）（6）（7）（8）班必做，其它班選做，每題5分，共10分）22．【答案】B【分析】由已知結(jié)合二次不等式求法先求出的范圍，然后結(jié)合已知定義即可求解．【解答】解：由可得，所以，所以，故選：B．23．【答案】．【分析】結(jié)合二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，根據(jù)一元