高等應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課件：數(shù)學(xué)建模初步

數(shù)學(xué)建模初步掌握建立數(shù)學(xué)模型的基本方法和步驟;掌握庫(kù)存模型、人口預(yù)測(cè)模型、市場(chǎng)價(jià)格模型、混合溶液模型、振動(dòng)模型、投入產(chǎn)出模型等七橋問題模型教學(xué)要求

數(shù)學(xué)模型是對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，一個(gè)特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。簡(jiǎn)單地說(shuō)：就是系統(tǒng)的某種特征的本質(zhì)的數(shù)學(xué)表達(dá)式（或是用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)對(duì)部分現(xiàn)實(shí)世界的描述），即用數(shù)學(xué)式子（如函數(shù)、圖形、代數(shù)方程、微分方程、積分方程、差分方程等）來(lái)描述（表述、模擬）所研究的客觀對(duì)象或系統(tǒng)在某一方面的存在規(guī)律。數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的一種實(shí)踐。即通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化、假設(shè)、引進(jìn)變量等處理過(guò)程后，將實(shí)際問題用數(shù)學(xué)方式表達(dá)，建立起數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用先進(jìn)的數(shù)學(xué)方法及計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行求解。什么是數(shù)學(xué)模型

建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟并沒有一定的模式，但一個(gè)理想的模型應(yīng)能反映系統(tǒng)的全部重要特征。建模的一般方法有機(jī)理分析和測(cè)試分析方法。機(jī)理分析：根據(jù)對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象特性的認(rèn)識(shí)，分析其因果關(guān)系，找出反映內(nèi)部機(jī)理的規(guī)律，所建立的模型常有明確的物理或現(xiàn)實(shí)意義。測(cè)試分析方法：將研究對(duì)象視為一個(gè)“黑箱”系統(tǒng)，內(nèi)部機(jī)理無(wú)法直接尋求，通過(guò)測(cè)量系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)，并以此為基礎(chǔ)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)分析方法，按照事先確定的準(zhǔn)則在某一類模型中選出一個(gè)數(shù)據(jù)擬合得最好的模型。測(cè)試分析方法也叫做系統(tǒng)辯識(shí)。將這兩種方法結(jié)合起來(lái)使用，即用機(jī)理分析方法建立模型的結(jié)構(gòu)，用系統(tǒng)測(cè)試方法來(lái)確定模型的參數(shù)，也是常用的建模方法。數(shù)學(xué)建模的一般方法和步驟

在實(shí)際過(guò)程中用那一種方法建模主要是根據(jù)我們對(duì)研究對(duì)象的了解程度和建模目的來(lái)決定。機(jī)理分析法建模的具體步驟大致可見右圖。建模過(guò)程示意圖機(jī)理分析建模過(guò)程數(shù)學(xué)建?；静襟E符合實(shí)際不符合實(shí)際交付使用，從而可產(chǎn)生經(jīng)濟(jì)、社會(huì)效益實(shí)際問題抽象、簡(jiǎn)化、設(shè)確定變量、參數(shù)建立數(shù)學(xué)模型并數(shù)學(xué)、數(shù)值地求解、確定參數(shù)用實(shí)際問題的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)等來(lái)檢驗(yàn)該數(shù)學(xué)型數(shù)學(xué)模型的分類：

按研究方法和對(duì)象的數(shù)學(xué)特征分：初等模型、幾何模型、優(yōu)化模型、微分方程模型、圖論模型、邏輯模型、穩(wěn)定性模型、擴(kuò)散模型等。

按研究對(duì)象的實(shí)際領(lǐng)域（或所屬學(xué)科）分：人口模型、交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、生理模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、污染模型、經(jīng)濟(jì)模型、社會(huì)模型等。數(shù)學(xué)模型及其分類摘要:問題、模型、方法、結(jié)果問題重述模型假設(shè)分析與建立模型模型求解模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ屯茝V參考文獻(xiàn)附錄怎樣撰寫數(shù)學(xué)建模的論文？（1）成批到貨，不允許短缺的庫(kù)存模型ttt當(dāng)批量時(shí)，總費(fèi)用最小Q（庫(kù)存水平）每批數(shù)量O最高庫(kù)存水平平均庫(kù)存水平T（時(shí)間）

庫(kù)存問題模型（2）陸續(xù)到貨，不允許短缺的模型tttT（時(shí)間）Q庫(kù)存水平Ot1(P-u)平均庫(kù)存水平t1t1t1由極值的必要條件和充分條件，容易算得，經(jīng)濟(jì)批量

這時(shí)，庫(kù)存總費(fèi)用的最小值（3）成批到貨，允許短缺的模型Q（庫(kù)存水平）批量QOt2tt最高庫(kù)存水平T（時(shí)間）t2t1t1BQ－B由二元函數(shù)極值存在的必要條件，有可得存貨總費(fèi)用的最小值：（1）指數(shù)增長(zhǎng)模型（馬爾薩斯人口模型）：英國(guó)人口學(xué)家馬爾薩斯（Malthus1766~1834）于1798年提出。（2）阻滯增長(zhǎng)模型（Logistic模型）（3）更復(fù)雜的人口模型隨機(jī)性模型、考慮人口年齡分布的模型等

可見數(shù)學(xué)模型總是在不斷的修改、完善使之能符合實(shí)際情況的變化。人口預(yù)測(cè)模型市場(chǎng)價(jià)格模型

設(shè)一容器內(nèi)原有100L鹽,內(nèi)含有鹽10kg,現(xiàn)以3L/min的速度注入質(zhì)量濃度為0.01kg/L的淡鹽水,同時(shí)以2L/min的速度抽出混合均勻的鹽水,求容器內(nèi)鹽量