專項01 解直角三角形的常見類型

專項01解直角三角形的常見類型類型一已知兩直角邊解直角三角形1.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，a=36,b=92類型二已知一直角邊和斜邊解直角三角形2.在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，已知a=5,c=253.如圖，∠ACB=90°，AB=13，AC=12，∠BCM=∠BAC，求sin∠BAC和點B到直線MC的距離.類型三已知一邊和一銳角解直角三角形4.在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊.已知∠B=45°，c=6，解這個直角三角形.5.(2023江蘇蘇州姑蘇期中節(jié)選)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，c=83，∠A=60°，求這個三角形的其他元素.類型四已知一邊和一銳角的三角函數(shù)值解直角三角形6.(2023安徽滁州天長月考)如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=13，sinB=5137.如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，BC=12，AD=6，sin∠ABC=35類型五“等角代換法”解直角三角形8.(2023陜西西安長安三中三模)如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=24，點D為BC的中點，DE⊥AB于點E，則sin∠BDE的值為()A.1213 B.513 類型六“定義法”解直角三角形9.如圖，E是矩形ABCD中CD邊上一點，△BCE沿BE折疊得△BFE，點F落在邊AD上.(1)求證：△ABF∽△DFE；(2)若sin∠DFE=13，類型七“參數(shù)法”解直角三角形10.已知，如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=10，D為△ABC外一點，連接AD、BD，過D作DH⊥AB，垂足為H，交AC于E.(1)若△ABD是等邊三角形，求DE的長；(2)若BD=AB，且tan∠HDB=34，類型八“化斜為直”解直角三角形11.如圖，等腰三角形ABC的腰長AB=AC=5，底邊長BC=6，求cos C.12.已知BD為等腰三角形ABC的腰AC上的高，BD=1，tan∠ABD=3，求CD的長.

專項01解直角三角形的常見類型答案全解全析1.解析在Rt△ABC中，∠C=90°，a=36,b=9∴tanA=ab∴∠A=30°，∴∠B=90°-∠A=60°，c=2a=66.2.解析在Rt△ABC中，∵∠C=90°，a=5∴b=c∵sinA=ac=3.解析在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=13，AC=12，∴BC=AB2∴sin∠BCM=sin∠BAC=BCAB如圖，作BE⊥MC，垂足是E，則BE=BC·sin∠BCE=5×5134.解析∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴∠A+∠B=90°.又∵∠B=45°，∴∠A=45°，∴a=b.∵c=6,a由上可得∠A=45°，a=3,b=5.解析∵∠C=90°，∠A=60°，∴∠B=90°-∠A=30°，∴b=12∴a=3b=12，綜上∠B=30°，b=43，a=12.6.解析在Rt△ABC中，∵sinB=ACAB=5∴AC=5.∴BC=AB2-A7.解析∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵AD=6，sin∠ABC=35，∴AB=10∴BD=AB2∵BC=12，∴CD=BC-BD=12-8=4，在Rt△ADC中，tanC=ADCD8.A連接AD，如圖，∵AB=AC=13，點D為BC的中點，∴BD=CD=12BC=12，AD⊥BC∴∠B+∠BAD=90°，∵DE⊥AB于點E，∴∠B+∠BDE=90°，∴∠BDE=∠BAD，∴sin∠BDE=sin∠BAD=BDAB方法解讀“等角代換法”解直角三角形是指通過構(gòu)造等角，將原三角形中的某些元素代換，從而將問題簡化，便于求解.緊扣“角相等則其三角函數(shù)值也相等”這一特征用“等角轉(zhuǎn)換法”將所要求的角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為直角三角形中與該角相等的角的三角函數(shù)值.9.解析(1)證明：由題意可得∠A=∠D=∠C=∠BFE=90°，∴∠ABF=90°-∠AFB，∠DFE=90°-∠AFB.∴∠ABF=∠DFE.∴△ABF∽△DFE.(2)由折疊可得FB=BC，EF=EC.∵sin∠DFE=13,∴∴AB=CD=DE+EC=DE+EF=4DE，DF=EF∵△ABF∽△DFE，∴EFDF=FBAB又∵FB=BC，EF=EC，∴tan∠EBC=ECBC10.解析(1)∵△ABD是等邊三角形，AB=10，∴∠ADB=60°，AD=BD=AB=10，∵DH⊥AB，∴AH=1∴DH=A∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，∴∠CAB=45°，∴∠AEH=45°，∴△AEH是等腰直角三角形，∴EH=AH=5，∴DE=DH-EH=53-5.(2)∵DH⊥AB，且tan∠HDB=34，∴可設(shè)BH=3k，則DH=4k根據(jù)勾股定理得DB=5k，∵BD=AB=10，∴5k=10，解得k=2，∴DH=8，BH=6，∴AH=4，又∵EH=AH=4，∴DE=DH-EH=4.11.解析過點A作AD⊥BC，垂足為D.∵AB=AC=5，AD⊥BC，BC=6，∴BD=DC=12在Rt△ADC中，cosC=CDAC12.解析分四種情況：當∠BAC為鈍角，AB=AC時，如圖①，在Rt△ABD中，∵BD=1，tan∠ABD=3，∴AD=3,∴AB=2,∴AC=2,∴CD=2+當∠BAC為銳角，AB=AC時，如圖②，在Rt△ABD中，∵BD=1，tan∠ABD=3，∴AD=3,∴AB=2,∴AC=2,∴CD=2?當∠BCA為鈍角，BC=AC時，如圖③，∵tan∠ABD=3，∴∠ABD=60°.∴在Rt△ABD中，∠A=90°-∠ABD=30°.∵