2024高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)：83 空間直線、平面的平行(解析版)

8.3空間直線、平面的平行

思維導(dǎo)圖

L線線平行n線向平打

一線面平行，面面fir

L判定定理一

一線線垂H?線面亞A

平J找的乖口n面的乖1,1

行

與

垂

直L線面平行c線線平.行

一面面平行=>線級平行

J性質(zhì)定理—

L線面垂直」線線平行

I-面面垂直n竣血垂目

知識點(diǎn)總結(jié)

1.直線與平面平行

(1)直線與平面平行的定義

如果一條直線。與一個(gè)平面a沒有公共點(diǎn)，那么稱直線a與平面a平行.

(2)直線與平面平行的判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

如果平面外一條直線

a

與此平面內(nèi)的一條直aQa,bua,a//b=>a

判定定理

線平行，那么該直線與//o

此平面平行

一條直線和一個(gè)平面

平行，如果過該直線的/〃a,luB,aC8=

性質(zhì)定理

平面與此平面相交，那

fn=^l//m

么該直線與交線平行

2.平面與平面平行

(1)平面與平面平行的定義

如果兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，那么稱這兩個(gè)平面互相平行.

(2)平面與平面平行的判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交GU4,bua,(iQb

判定定理直線與另一個(gè)平面平行，那=A,a/邛,b//歸

么這兩個(gè)平面平行a//P

兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)

性質(zhì)平面內(nèi)的直線壬紅于另一個(gè)a//aca=〃〃B

平面

兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)

a//P，aC\y=cbp^\y

性質(zhì)定理平面與這兩個(gè)平面相交,那

=b=a//b

么兩條交線平行

［常用結(jié)論］

1.飛行關(guān)系中的三個(gè)重要結(jié)論

(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a4,則。〃及

(2)平行于同一平面的兩個(gè)平面平行，即若p//y,則。〃y.

(3)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即若。J_a,則?！?

2.三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化

性質(zhì)定理

,判定定理,判定定理I,

線線平行」性二質(zhì)尺線,理面平性行質(zhì),-J、面面平行

典型例題分析

考向一直線與平面平行的判定與性質(zhì)

角度1直線與平面平行的判定

例1如圖，在四棱錐尸一ABC。中，底面ABCO是平行四邊形，E,尸分別是3C,PD的中點(diǎn),

求證：

⑴P8〃平面ACT；

(2)E/〃平面PAB.

證明(1)如圖，連接BQ交4C于。，連接OF,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

???。是80的中點(diǎn)，

又??,尸是P。的中點(diǎn)，

：.OF//PB,

又?.?ORz平面ACR,平面ACQ,

???PB〃平面ACF.

(2)取%的中點(diǎn)G,連接G居BG.

??了是PD的中點(diǎn),

???GF是△巾。的中位線，/.GF^AD,

??,底面A8CO是平行四邊形，E是BC的中點(diǎn),

；?BE%AD,:.GF統(tǒng)BE,

???四邊形BEFG是平行四邊形，

：,EF〃BG,

又?.?￡7七平面PABt3Gu平面PAB,

，￡尸〃平面PAB.

角度2直線與平面平行的性質(zhì)

例2如圖所示，在四棱錐中，四邊形A8CD是平行四邊形，M是PC的中點(diǎn)，在

OM上取一點(diǎn)G,過G和玄作平面交4。于點(diǎn)H.求證：PA//GH.

證明如圖所示，連接AC交8。于點(diǎn)。，連接。M,

???四邊形ABCD是邛行四邊形，

工。是AC的中點(diǎn)，

又歷是尸。的中點(diǎn)，

:.PA〃OM,

又OMu平面BMD,平面BM。,

???以〃平面BMD,

又平面力"GA平面BMD=GH,

：.PA//GH.

感悟提升1.判斷或證明線面平行的常用方法

(1)利用線面平行的定義(無公共點(diǎn)).

(2)利用線面平行的判定定理(H。，bua,a//b=^a//a),

(3)利用面面平行的性質(zhì)(a〃eoua=a〃￡).

(4)利用面面平行的性質(zhì)(a〃尸,aQB,?！?。=?！ā?.

2.應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置.，有時(shí)需要經(jīng)過已知直線作輔助平面確定

交線.

考向二平面與平面平行的判定與性質(zhì)

例3(1)如圖所示，四邊形E/GH為空間四邊形A8CO的一個(gè)截面，若截面為平行四邊形.

(1)求證：48〃平面ER777,CD〃平面E/PH；

(2)若A3=4,CD=6,求四邊形EFG4周長的取值范圍.

(1)證明四邊形ErG”為平行四邊形,

：.EF//HG.

???〃6<3邛面月8。，￡網(wǎng)邛面A3，

???￡/〃平面ABD

又：以七平面ABC,平面ABDA平面ABC=AB,

:.EF〃AB,

又EFu平面EFGH,ABQ平面EFGH,

???八8〃平面EFGH.

同理可得CO〃平面EFGH.

(2)解設(shè)EF=x(0<x<4),

由于四邊形￡￡GH為平行四邊形,

CF=x

所以CB~^

r』FGBFBC—CF.x

貝16—BC-BC-1-4,

3

.*.FG=6—2?r,

???四邊形EFGH為平行四邊形,

???四邊形EFG”的周長

L=21+6—|x)=12—x.

又?.?0VxV4,A8<L<12,

故四邊形ER"周長的取值范圍是(8,12).

(2)如圖所示，在三棱柱A3C—AIBCI中，過8c的平面與上底面交于G〃(G”與81cl

不重合).

(1)求證：BC//HG；

(2)若E,F,G分別是A&AC,的中點(diǎn)，求證：平面E/小〃平面8cHG

證明(1),??在三棱柱ABC—431cl中，

平面A8C〃平面48G,

又平面8C77GA平面A8C=8C,且平面8C/7GG平面48G=〃G,

???力面面平行的性質(zhì)定理得BC//HG.

(2)VE,F分別為4分AC的中點(diǎn)，

；.EF〃BC,

;瑁過平面BCHG,BCu平面BCHG,

.?.石/〃平面BCHG.

又G,E1分別為43,A3的中點(diǎn)，

???AiG統(tǒng)EB,

，四邊形AiEBG是平行四邊形，

：.A\E//GB.

?：A】EQ平面BCHG,GBu平mBCHG,

.??Ai￡〃平面BCHG.

又'??AiEQEF=E,A\E,EFu平面EFAi,

???平面EMi〃平面BCHG.

遷移在本例中，若將條件“E,F,G,H分別是/W,AC,AiB,4G的中點(diǎn)”變?yōu)?點(diǎn)、D,

An

Oi分別是AC,4G上的點(diǎn)，且平面BCQ〃平面ABQi”，試求肝的值.

解連接A山交力8i于。，

D.

Ai

B

連接ODi.

由平面BG。〃平面ABiQi,

且平面4BGA平面BCiD=BCi,

平面4BCin平面AB\Di=DiOt

所以BG〃。。，則酚=需=1,

ZJlClUD

又由題設(shè)得給=標(biāo)

AD=1'即賽=L

感悟提升證明面面平行的常用方法

(1)利用面面平行的判定定理.

(2)利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行(/J_G,11ga//￡).

⑶利用面面平行的傳遞性，即兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行3〃6,

夕〃/=a//y).

考向三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用

COBP

例4如圖，在正方體43coA中，P,。分別為對角線8Q,C)上的點(diǎn)，且忒=而

0

~y

⑴求證:P0〃平面4出。A；

(2)若R是4B上的點(diǎn)，芯的值為多少時(shí)，能使平面PQR〃平面4D1D4?請給出證明.

(1)證明連接CP并延長與ZM的延長線交于M點(diǎn)，如圖，連接MO],

因?yàn)樗倪呅?8CD為正方形，所以BC〃A。，

CPBP2

故LPBCS^PDM,所以麗=方=?

CQBP2CQCP2

QD\~PD~Y^^QD~PM~y

所以PQ//MD\、

又邛面AiDQA,尸內(nèi)平面AQiZM,

故尸。〃平面A\D\DA.

⑵解當(dāng)?shù)诘闹禐?時(shí)，能使平面PQR〃平面AiDiDAf

如圖，證明如下：

因?yàn)锳8_5'K|RA~39°^RA~PD9

所以PR//DA,

又D4u平面AiOiOA,巴過平面4QiD4,

所以尸R〃平面4OQA,

又PQ〃平面AiOiZM,PQCPR=P,PQ,PRu平面PQR,

所以平面PQR〃平面A\D\DA.

感悟提升證明平行關(guān)系的常用方法

熟練掌握線線、線面、面面平行關(guān)系間的相互轉(zhuǎn)化是解決線線、線面、面面平行的綜合問題的

關(guān)鍵；面面平行判定定理的推論也是證明面面平行的一種常用方法.

基礎(chǔ)題型訓(xùn)練

一、單選題

1.下列命題一定正確的是

A.三點(diǎn)確定一個(gè)平面B.依次首尾相接的四條線段必共面

C.直線與直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面D.兩條直線確定一個(gè)平面

【答案】C

【詳解】A：不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故錯(cuò)誤；

B：空間四邊形，不共面，故錯(cuò)誤：

C：正確；

D:兩條異面直線不能確定一個(gè)平面，故錯(cuò)誤.

故選C.

2."直線/與平面。沒有公共點(diǎn)〃是“直線/與平面。平行〃的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】從充分性和必要性兩方面來分析即可.

【詳解】若直線/與平面。沒有公共點(diǎn)，那直線/與平面。只能平行，故充分條件成立；若直線/與平面。平

行，則直線/與平面。沒有公共點(diǎn)，故必要性也成立，所以“直線；與平面。沒有公共點(diǎn)''是"直線/與平面?。平

行”的充分必要條件.

故選：C

3.已知，〃、〃是不重合直線，a、。、，是不重合平面，則下列命題

①若凌_1_八0工y,則1團(tuán)￡

②若〃?ua、〃ua、〃坦夕、〃自夕，則a自/

③若。團(tuán)夕、/團(tuán)/，則/團(tuán)儀

④若a_L/?、加_1,/，則〃?團(tuán)。

⑤若/〃_La、nLa?則〃

為假命題的是

A.①②③B.①②⑤C.③④⑤D.①②④

【答案】D

【分析】由垂直于同?平面的兩平面平行或相交，可判斷①：由面面平行的判定定理可判斷②：由平行平

面的傳遞性可判斷③；由線面垂直和面面垂直的性質(zhì)可判斷④；由垂直于同一平面的兩直線平行可判斷⑤.

【詳解】〃?、〃是不重合直線，a、B、y是不重合平面,

對于①,若誕丫、B團(tuán)Y，則a郵或a，B相交，故①錯(cuò)誤;

對于②,若〃?ua、“ua、加邪、闔0,且加,〃相交，則a郵，故②錯(cuò)誤;

對于③,若述0、yf3p,則Y0a，故③正確;

對于④,若述0、〃?郵,則〃翹a或mua,故④錯(cuò)誤;

對于⑤,若〃溜a、則加3〃，故⑤正確.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查空間線線、線面和面面的位置關(guān)系的判斷，考查平行和垂直的判斷和性質(zhì)，考查推理能

力，屬于基礎(chǔ)題.

4.如圖在正四面體4-4CO中，E,〃分別為48和AC的中點(diǎn)，則兩條異面直線CE與Qr所戊角的余弦值

)

A81I

B.-D.-

6643

【答案】B

【分析】取AE的中點(diǎn)M，連接用凡例。，則NMFD為兩條異面直線CE與所成角（或其補(bǔ)角），設(shè)正四

面體A-8CO的邊長為2,求出MEOROM,即可求出cosNMFD.

【詳解】取人石的中點(diǎn)M,連接MEMO,則NMFO為兩條異面直線CE與。尸所成角（或其補(bǔ)角）,

設(shè)正四面體A-8co的邊長為2,MF=B,DF=瓜DM=4+--2x2xlcos60o=巫

242—，

所以cosNMFD=44

2x^-x\/36,

2

兩條異面直線CE與8所成角的余弦值為《

故選：B.

5.已知兩個(gè)平面口、#,在下列條件下，可以判定平面。與平面夕平行的是（）

A.。、夕都垂直于一個(gè)平面/

B.平面。內(nèi)有無數(shù)條直線與平面夕平行

C./、〃，是。內(nèi)兩條直線，且/、機(jī)都與平面夕平行

D./、機(jī)是兩條異面宜線，且/、切分別與平面。、夕都平行

【答案】D

【分析】根據(jù)空間線面位置關(guān)系，依次討論各選項(xiàng)即可得答案.

【詳解】解：對于A選項(xiàng)，。、尸都垂直于??個(gè)平面/,平面。與平面夕平行或相交，故錯(cuò)誤;

對于B選項(xiàng)，平面。內(nèi)有無數(shù)條直線與平面夕平行，則兩個(gè)平面平行或相交，故錯(cuò)誤：

對于C選項(xiàng)，當(dāng)/、〃?是。內(nèi)兩條相交直線，且/、〃?都與平面/平行時(shí)，alip,故錯(cuò)誤；

對于D選項(xiàng)，/、〃?是兩條異面直線，且/、“分別與平面丑夕都平凈，則a〃P，故正確.

故選：D

6.設(shè)a,夕為兩個(gè)不同平面，“，人是兩條不同的直線，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若U，bla,則a//a

B.若aua,bu。,則〃與匕是異面直線

C.若bA.B

D.若aP—b,allb則a//a且a〃尸

【答案】C

【解析】利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系求解.

【詳解】解：對于A：由：_!_%，則或aua,故A錯(cuò)誤；

對于8：若aua,bu0,則。與方可能是異面直線、平行或相交，故8錯(cuò)誤；

對于C：若。_1,。，b10,：_L力，則故C正確；

對于O：若aB=b,a//bf則a//a或aua或au/7,故。錯(cuò)誤；

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求

解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

二、多選題

7.已知a、夕為平面，4、8、M為點(diǎn)，。為直線，下列推理正確的是（）

A.Awa,Aea,Bea,Bwanaua

B.ac°=a,Mea,Me0=MGa

C.Aea,Aw￡=ac/?=A

D.A、B、Mwa,A、3、Me/?,且A、B、M不共線=。、四重合

【答案】ABD

【分析】兩個(gè)平面的公共部分不可能只有?個(gè)點(diǎn)，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤，其余選項(xiàng)根據(jù)線面關(guān)系可判定正確.

【詳解】直線上有兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，則這條直線在這個(gè)平面內(nèi)，所以A選項(xiàng)正確：

兩個(gè)平面相交于一條直線，則公共部分一定全在這一條直線上，所以B選項(xiàng)正確；

兩個(gè)平面的公共部分不可能只有一個(gè)點(diǎn)，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

有三個(gè)不共線的點(diǎn)屬于兩個(gè)平面的公共部分，則這兩個(gè)平面重合，所以D選項(xiàng)正確.

故選：ABD

8.已知〃?,〃是空間中兩條不同的直線，a,夕為空間中兩個(gè)互相垂直的平面，則下列命題不正確的是（）

A.若機(jī)ua,則/〃_!_/?B.若〃?ua,〃u〃，則"?"L〃

C.若mUa,m±p,則〃〃/aD.若aP=m,〃_!_〃？，則〃_Lct

【答案】ABD

【分析】A：根據(jù)線面位置關(guān)系，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可；B：根據(jù)線線位置關(guān)系，結(jié)合面面垂

直的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可；C：根據(jù)面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合線面位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可；D：

根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理進(jìn)行判斷即可.

【詳解】對于A,直線〃?與平面夕可能垂直，也可能平行或m在平面4內(nèi)，故A不正確；

對于B,直線機(jī)與〃平行、異面或相交，故B不正確；

對于C,〃?，尸，則〃〃/〃或機(jī)ua,又〃zaa,所以〃?"a,故C正確；

對于D,缺少條件〃u〃，故D不正確；

故選：ABD

三、填空題

9.若兩條直線。和。沒有公共點(diǎn)，則。與〃的位置關(guān)系是（從“平行，相交，異面"中選）

【答案】平行或異面

【分析】由兩條直線的位置特點(diǎn)再結(jié)合兩條直線平行的定義與兩條直線異面的定義可得直線4與直線〃平行

或異面.

【詳解】解：當(dāng)直線a與直線b共面時(shí)，由兩條直線平行的定義得a/".

當(dāng)直線〃與直線匕不共面時(shí)，由異面直線的定義得直線。與直線b異面.

故答案為：平行或異面.

10.如圖，正方體ABCO-AqGA的所有棱中，其所在的直線與直線BG成異面直線的共有條.

【答案】6

【分析】根據(jù)幾何體依次寫出與直線8G成異面的直線即可得解.

【詳解】在正方體的所有棱中，其所在的直線與直線成異面直線有:

AA，AA，M，AD，OC，QA,共有6條

故答案為：6

11.正方體中，棱長為2,歷為A3的中點(diǎn)，則異面直線用M與4Q所成角的余弦值是

5

【分析】連接BC，CM,證明/MAC（或其補(bǔ)角）為所求異面直線所成的角，在三角形中應(yīng)用余弦定理求

解.

【詳解】如圖，連接4CCM,正方體中A4與co平行且相等，團(tuán)AqCO是平行四邊形，團(tuán)第7〃A。，回異

面直線與A。所成角為NMBC（或其補(bǔ)角），

△MCM中，[3M是/W中點(diǎn)，團(tuán)MC=MB[=有,4c=2血，

【點(diǎn)睛】本題考查求異面直線所成的角，解題方法是作出異面直線所成的角并證明，然后解三角形可得.三

個(gè)步驟：一作二證三計(jì)算.

12.已知“是“8C所在平面外的一點(diǎn)，M、N分別是A3、PC的中點(diǎn)，若MN=BC=4,PA=46,則異面

直線PA與MN所成角的大小是.

【答案】30

【分析】連接AC,并取其中點(diǎn)為。，連接ON,則NOVM就是異面直線Q4與MN所成的角，由此能

求出異面直線PA與所成的角.

【詳解】解：取AC的中點(diǎn)。，連接OM、ON,則

OM//BC,ON//PA,OM--BC.ON--PA

22

由MN=BC=4,PA=4G得OM=2,ON=,

ON2+MN2-OM212+16-4_V3

cos/ONM

2ON?MN2x273x4-2

.?./QNM=30,即異面直線RI與MN所成角的大小為30.

故答案為：30.

【點(diǎn)睛】平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化

歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：

①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；

②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；

③計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形：

④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是（。，^，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直

線所成的角.

四、解答題

13.如圖，在長方體的六個(gè)表面中，指出A4'在哪些平面內(nèi)，與哪些平面相交，與哪些平

面平行.

【分析】根據(jù)長方體的圖像直接可判斷.

【詳解】由圖可知AA'u平面/VT86,AA'u平面AA'D,O,

A4'與平面A8C。、平面相交，

AA〃平面夕3CC,A4〃平面CC7XO.

（1）求直線EF與平面ABCD所成角的正切值;

（2）求異面直線AiC與EF所成角的余弦值.

【答案】⑴李⑵;

【分析】（1）取BC中點(diǎn)H,連結(jié)FH,EH,證明WEH為直線EF與平面ABCD所成角，即可得出結(jié)論:

（2）取4。中點(diǎn)0,連接OF,0A,則/AOA為異面直線AC與EF所成角，由余弦定理，可得結(jié)論;

【詳解】（1）取BC中點(diǎn)H,連結(jié)FH,EH,設(shè)正方體棱長為2,

即為BCJBi中心,E為AB中點(diǎn),

團(tuán)FH包平面ABCD,FH=1,EH=&,

釀FEH為直線EF與平面ABCD所成角，且FH圓EH,

團(tuán)tan/EHE=罌=9=孝'

所以直線EF與平面ABCD所成角的正切值為日

（2）取中點(diǎn)0，連接OF,0A,

則0FI3AE,H.OF=AE,

團(tuán)四邊形AEFO為平行四邊形，0AO0EF,

00AOA1為異面直線AiC與EF所成角,

0A)A=2>AO=AjO=\/5,

3+3-4I

盟A0A1中,由余弦定理得網(wǎng)/入口人二萬;而方;”

15.如圖，已知點(diǎn)瓦EG,“分別為正方體ABCQ-AqGA的棱"ICCGCA的中點(diǎn)，求證：EF,HG,DC

三線共點(diǎn).

【答案】證明見解析

【分析】利用分別在兩個(gè)平面內(nèi)的點(diǎn)在兩個(gè)平面的交線上，即匕證得三線共點(diǎn).

【詳解】0點(diǎn)E,F,G,，分別為所在棱的中點(diǎn)，連接8G，團(tuán)G尸是A4CG的中位線，團(tuán)G尸//BQ周

BE//CyH,且BE=qH,團(tuán)四邊形反G”是平行四邊形.回E〃〃8G，?GF//EHBE,F,G,”四點(diǎn)共

面.

田GFhEH,故E尸與”G必相交.設(shè)E產(chǎn)c〃G=/.

0I三GH,6"(=平面。0。|。，0/￡平面。。自。.

同理可證/w平面48CD團(tuán)點(diǎn)/在交線OC上，即瓦HG,DC三線共點(diǎn).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中合理應(yīng)用三角形的中位線，平行線分線段成

比例，以及平行線的傳遞性和平面的基本性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.

CFAFI

16.在空間四邊形4BCD中，H,G分別是AO,CO的中點(diǎn)，反尸分別邊A8,BC上的點(diǎn)，fi—求

證:

⑴點(diǎn)￡F,G,，四點(diǎn)共面;

（2）直線EH,BD,尸G相交于一點(diǎn).

【答案】（1）見解析

⑵見解析

【分析】（1）利用三角形的中位線平行于第三邊和平行線分線段成比例定理，得到EEG”都平行于AC,

由平行線的傳遞性可得EFHGH,根據(jù)兩平行確定一平面得出證明；

（2）利用分別在兩個(gè)平面內(nèi)的點(diǎn)在這兩個(gè)平面的交線上，即可證明.

【詳解】（1）由題意，作圖如下：

空間四邊形A8C。中，".G分別是ARC。的中點(diǎn)，.?."G//AC.

CPAf1

又==上二一，：.EFUAC,:EFHHG,E,F,G”四點(diǎn)共面.

FBEB3

（2）證明：連接HG,因?yàn)镸G分別是ARC。的中點(diǎn)，所以“G//AC,

且又因?yàn)锧=絲=:，所以E尸〃AC,且E尸二?AC，

2FBEB34

所以“G//AC,且HGHEF,故四邊形EFGH為梯形，且防,卬是梯形的兩腰,

所以依相交于一點(diǎn).設(shè)交點(diǎn)為P，因?yàn)槿?u平面說，所以Pw平面曲，

同理夕￡平面BCO,而平面人如門平面以笫二也），所以P￡/比）,

故點(diǎn)尸時(shí)直線EH、BD,FG的公共點(diǎn)，即直線EH,BD、FG相交于一點(diǎn).

提升題型訓(xùn)練

一、單選題

1.設(shè)“，〃是兩條不同的直線，a，尸是兩個(gè)不同的平面，則下列正確的是（）

A.若°工b,aJLa，則B.若a//a,p\_a,則a〃夕

C.若a_L〃，pLa,則a//aD.若“J./?,aA.a,bJ.0,則4_La

【答案】D

【分析】由空間中直線、平面的位置關(guān)系逐一判斷即可得解.

【詳解】解：由小力是兩條不同的直線，a,4是兩個(gè)不同的平面，知：

在A中，若。_L力，a_La,則Z?/；a或力ua,故A錯(cuò)誤；

在B中，若alia,。工a,則故B錯(cuò)誤；

在C中，若01a,則或aua,故C錯(cuò)誤；

在D中，若g，ala,bl/3,則由面面垂直的判定定理得〃_L。，故D正確；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求

解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬中檔題.

2.設(shè)機(jī)，〃是兩條不同的直線，a,0,7是三個(gè)不同的平面，則下列命題為真命題的是（）

A.若aJ_y,PLy,則aJL/7

B.若a，，，Q_Ly,則a〃戶

C.若=/〃〃〃，則〃"Ia,mp

D.若?！āā?，mA.a,則〃?

【答案】D

【分析】根據(jù)線面、面面垂直及平行的判定定理判斷即可得出結(jié)論.

【詳解】若。，九?,則。不一定垂直尸，故A錯(cuò)誤；

若。。工y,則。不一定平行故B錯(cuò)誤；

若a/?=//,m//n,則機(jī)可能在。或夕內(nèi)，故C錯(cuò)誤；

若a〃6，B〃丫,則a〃7,又m_La,則〃?正確；故D正確:

故選：D.

3.設(shè)川:“是兩條不同的直線，6尸是兩個(gè)不同的平面，下列命題正確的是

A.若?，a.反則afiB.若"a.”Q.a0則，;

c.若ma/a：〃尸:則aD.若△則用一只

【答案】D

【詳解】選項(xiàng)A,若m(3n,m0a,n郎，則龍。，該命題不正確，m[3n,m0a,n郵，a00；

選項(xiàng)B,若m團(tuán)a,n郵，述。，則砸n,該命題不正確，m團(tuán)a,n郵，a0B，m與n沒有公共點(diǎn)，則也可能異

面；

選項(xiàng)C,若mE)n,m0a,n郵，貝ijotH。，該命題不正確，mHn,m0a,n郵，a與。平行或相交

選項(xiàng)D,根據(jù)mEla,a郵，則m郵，而n郵則mf3n,則該命題正確；故選D

4.如圖，在正四面體A—8CO中，/^二：4。g為/^中點(diǎn)，P是棱C。上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)異面直線8P與石產(chǎn)

所成角的正弦值最小時(shí)，為CP=()

A

78

C--

8D.9

【答案】C

【分析】如圖，作。G=:/)A,則人人依，則由三角形中位線定理可得所〃8G,得NP8G是異面直線/小

與E尸所成的角，當(dāng)城與BG在平面8C。里的投影重合時(shí)，NPBG最小，然后根據(jù)己知條件在中求

解即可

【詳解】如圖，作。G=：OA,則4/二/G.

E為48中點(diǎn)，所是ABG的中位線，則EF//BG,

則NP8G是異面直線8P與EF所成的角.

.?.當(dāng)為＞與8G在平面8c。里的投影重合時(shí)，NP8G最小,

設(shè)AOJ.平面8C。，易知。為等邊△88的重心，連接

。。并延長，交BC于點(diǎn)M,作GH//AO交DO于點(diǎn)H.

設(shè)正四面體4一88的棱長為66，則8M=MC=36,

MD=9.

在△8C。中，O為重心，..MO=3,QO=6.

又DH=yDO,:.DH=2,OH=4,則MH=7,BH=JBM?+MH)=阮

在ABPC中，設(shè)CP=x.NPC8二二,sin/P8C=-Z=,cos/TOC=翌,

3V76V76

?_C_P_=_C_P_=_s_i_n_/_P_B__C_=_______s_i_n_/_P__4_c________=___s_i_n_Z_P__B_C_____

CD~CB~sinZBPC~s\x\(7t-ZBCP-ZPBC\~.n,

'，sin—+/PBC

13)

7

,C尸二隔二7

"CD~y[3373I7-8,

--xi—H-x—==

2V762V76

故選:C.

5.已知正三棱柱A4G中，AB=4,AA=3,點(diǎn)用為AB1的中點(diǎn)，則異面直線3M與AG所成角的

余弦值為（）

A.巫B.巫C.ED.亞

131075

【答案】A

【分析】以A8、AC為鄰邊作平行四邊形A5OC,以4海、人《為鄰邊作平行四邊形人用?！?連接D。、

叫、D、M,分析可知異面直線BM與AG所成角為或其補(bǔ)角，計(jì)算出.4?！叭呥呴L，利用余弦

定理可求得結(jié)果.

【詳解】以AB、AC為鄰邊作平行四邊形A8OC,以4四、AG為鄰邊作平行四邊形AqAG，連接。。、

BA、AM,如下圖所示：

因?yàn)樗倪呅蜛8DC為平行四邊形，則A8〃CQ且A8=CO,

同理可知8〃CQ且CO=GA，所以，AB//CR且AB=CR,

所以，四邊形A8RG為平行四邊形，所以，BD“AC\,

所以，異面直線8M與AC所成角為NM8R或其補(bǔ)角，

由勾股定理可得8M=jBB；+4M2=53、22=Jii,BD'ZBD'DD；=5,

在中，44=4,B\M=2,ZMB.D,=120,

2

所以,DtM=B.D/+cosl20=28,

8M2+8葉-A/13+25-28

由余弦定理可得cos/MB。=

2BM?BR_2x713x5

因此，直線8W與AC；所成角的余弦值為嚕.

故選：A.

6.在直二棱柱A6C-A5G中，44cA=9()1R,g分別是4C；、AC的中點(diǎn)，CA=C6=C￡,則Ag與CQ

所成角的余弦值為（）

A

-IT

4

5

【答案】D

【分析】取CG的中點(diǎn)F,過戶作EM3cA交GA于N,作FG0A罵交AC于G,則NGFN（或其補(bǔ)角）即

為與CR所成角.過N作MM3CG交BC于M,連結(jié)MM在△/GN中，利用余弦定理即可求得A￡與C。

所成角的余弦值.

【詳解】如圖所示，取CG的中點(diǎn)尸，過尸作FM3CR交G用于N,作尸G3A用交4c于G,因?yàn)閮H，片分

別是4G、AG的中點(diǎn)，所以N為G。的中點(diǎn)，G為AC上靠近點(diǎn)。的。點(diǎn).

4

所以NGFN（或其補(bǔ)角）即為與CR所成角.

過N作M/V0CG交于M,則M為8C上靠近點(diǎn)C的;點(diǎn)，連結(jié)MN.

Ei

B

在直三棱柱A8C?中，ZACB=900.D,,￡分別是用G、AG的中點(diǎn)，不妨設(shè)。=8=CG=4,則

CG=CM=NC、=1,CF=FCt=2,MN—4

所以GF=NF=d爰=&,NG=dMN?MG?=j42+2=3&-

在叵戶GN中，由余弦定理可得：8S4NFG=FG、NF2_GN2N）?洞一0應(yīng)）=_g,

2NFxGF2xx/5xV55

4

所以A々與CD.所成角的余弦值為彳.

故選；D

二、多選題

7.已知直線。與〃異面，則（）

A.存在無數(shù)個(gè)平面與。力都平行

B.存在唯一的平面夕，使。力與〃所成角相等

C.存在唯一的平面a,使aua,且〃Pa

D.存在平面a,P,使aua,/?u/7,且al尸

【答案】ACD

【分析】利用直線與平面關(guān)系對各選項(xiàng)逐一判斷即可.

【詳解】選項(xiàng)A：將異面直線〃，力通過平移到同一平面夕內(nèi)，則存在無數(shù)個(gè)與平面。平行的平面與。力都平

行，A正確：

選項(xiàng)B：兩異面直線與同一平面所成角可以相等，而與此平面平行的平面有無窮多個(gè)，B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C：因?yàn)椤κ钱惷嬷本€，平移直線b與直線。相交，確定一個(gè)平面平行于直線6,所以過直線。有且僅

有一個(gè)平面。與直線b平行，C正確；

選項(xiàng)D：〃ua,存在直線/_La,通過平移直線/與直線匕相交或重合，//u/,所以由面面垂直的判定定

理可知￡_La,D正確；

故選:ACD

8.如圖所示是一個(gè)正方體的表面展開圖，則在原正方體中，下列說法正確的是（）

A.A8與C。所在直線垂直B.CO與所所在直線平行

C.E/與G”所在直線異面D.G”與A8所在直線成60角

【答案】BCD

【分析】作出正方體，利用異面直線所成先的定義可判斷AD選項(xiàng)；利用平行四邊形的性質(zhì)可判斷B選項(xiàng);

利用圖形可判斷C選項(xiàng).

【詳解】如下圖所示，連接質(zhì).

對干A選項(xiàng)，因?yàn)榍?則四邊形3OC/為平行四邊形，

故A8與。。所成的角為NA8尸或其補(bǔ)角，

易知△A8/7為等邊三角形，則45尸=60>A錯(cuò)；

對于B選項(xiàng)，由A可■知，四邊形CDM為平行四邊形，則C。〃印，B對：

對于C選項(xiàng)，由圖可知，勿與G〃所在更線異面，C對；

對于D選項(xiàng)，因?yàn)椤ā?G/且AH=GA\故四邊形APG〃為平行四邊形，

所以，G”與A4所成的角為NA即或其補(bǔ)角，

因?yàn)椤鰽M為等邊三角形，則N"B=60，即G”與A4所在直線成60角，D對.

故選：BCD.

三、填空題

9.在長方體4ACO-ABCA中，直線41與直線與。的位置關(guān)系是

【答案】異面

【分析】結(jié)合圖形，直接根據(jù)異面直線的定義求解即可.

【詳解】因?yàn)橹本€人由與直線4c不同在任何一個(gè)平面內(nèi),

所以由異面直線的定義可知，

直線AB與直線B,C的位置關(guān)系是異面.

故答案為；異面

【點(diǎn)睛】本題考查異面直線的定義，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，是基礎(chǔ)題.

10.將正方體的表面的對角線稱為面對角線.若4,〃是任意兩條面對角線，則4,。所成角的大小為

（寫出所有可能的值）

【答案】0。、60。、90°.

【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，以其中一條面對角線為例，列舉出其它面對角線與其夾角的所有可能即可.

【詳解】以正方體中的面對角線為例，

如上圖，AD*。與DA成90。角;

如上圖，與。A成00角;

如上圖，BA，CD1,BD,qR,A￡,AC,Z)G,八片與成60。角；

綜上，任意兩條面對角線夾角為0。、6()。、90°.

故答案為：0°、60。、90°

11.下列四個(gè)命題：

①過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與該平面垂直；

②過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與該平面平行；

③如果兩個(gè)平行平面和第三個(gè)平面相交，那么所得的兩條交線平行；

④如果兩個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)點(diǎn)且垂直于第二個(gè)平面的直線必在第一個(gè)平面內(nèi).

其中所有真命題的序號是.

【答案】①③④

【分析】依次判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤，得到答案.

【詳解】根據(jù)空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系：

過平面外點(diǎn)有且只有一條直線與該平面垂直，故①正確；

過平面外一點(diǎn)有無數(shù)條直線與該平面平行，故②不正確；

根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面和第三個(gè)平面相交，那么所得的兩條交線平行，故③

正確；

根據(jù)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)且垂直于第二個(gè)平面的直

線必在第個(gè)平面內(nèi)，故④正確.

從而真命題的序號為①③④.

【點(diǎn)睛】本題考查了空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對于點(diǎn)線面關(guān)系的性質(zhì)的理解和空間

想象能力.

12.在棱長為2的正方體ABC。-44cA中，已知點(diǎn)。為棱A4的中點(diǎn)，點(diǎn)。為棱CO上一動(dòng)點(diǎn)，底面正

方形AI3CD內(nèi)的點(diǎn)M始終在平面RPQ上，則由所有滿足條件的點(diǎn)M構(gòu)成的區(qū)域的面積為.

【答案】3

【分析】首先確定兩種臨界位置.，即。與。重合或。與C重合，分別確定此時(shí)滿足條件的點(diǎn)M所在的位置，

再確定。點(diǎn)不在C、。兩點(diǎn)時(shí)，比所在的位置，即可得到滿足條件的平面區(qū)域，即可得解：

【詳解】解：因?yàn)椤Ｔ诶馍线\(yùn)動(dòng)，當(dāng)。與。重合時(shí)，顯然平面即為平面RPQ,乂平面人。"Ac

平面48CQ=AO,所以點(diǎn)M在人。上運(yùn)動(dòng),

當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，取AB的中點(diǎn)N,連接PN、A/、NC,因?yàn)槭瑸榈闹悬c(diǎn)，所以川/叢馬

又由正方體的性質(zhì)可知A8//.C,所以PNHD\C,所以戶、N、Q、。四點(diǎn)共面，所以平面。尸。?平面

ABCD=NC,即〃在NC上運(yùn)動(dòng)，

pADD

若。點(diǎn)不在C、。兩點(diǎn)時(shí)，則可在AB上取一點(diǎn)G,使得下=/3則PG〃QA，所以。、G、Q、。