遼寧省撫順德才高級中學2024-2025學年高二繽紛勤學班上學期階段驗收數(shù)學試卷

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024-2025學年度上學期繽紛勤學階段驗收考試高二數(shù)學試卷滿分：150分考試時間：120分鐘一、單選題（每題5分，共40分）1．復數(shù)滿足：（其中是虛數(shù)單位），則的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．用斜二測畫法畫出水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的，已知，則的面積為（

）A． B． C．8 D．3．已知某圓錐的側(cè)面積為，軸截面面積為1，則該圓錐的母線與底面所成的角為（

）A． B． C． D．4．如圖，某同學為測量南京大報恩寺琉璃塔的高度，在琉璃塔的正東方向找到一座建筑物，高約為，在地面上點處（，，三點共線）測得建筑物頂部和琉璃塔頂部的仰角分別為和，在處測得塔頂部的仰角為，則琉璃塔的高度約為（

）A．78 B．74 C．64 D．525．如圖，在長方體中，已知為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．6．已知的內(nèi)角所對的邊分別為，，下面可使得有兩組解的的值為（

）A． B． C． D．7．在正四棱柱中，，設，則（

）A．2 B． C．4 D．88．如圖所示的實驗裝置中，兩個互相垂直的正方形框架的邊長均為1，活動彈子分別在對角線上移動，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．設l，m，n是不同的直線，α，β是不同的平面，則下列判斷錯誤的是（

）A．若，，，則B．若，，，則C．若直線，，且l⊥m，l⊥n，則D．若l，m是異面直線，，，且，，則10．在中，下列結論正確的是（

）A．若，則為等腰三角形B．若，則是直角三角形C．若，則是鈍角三角形D．若，則是等邊三角形11．如圖，點是棱長為2的正方體的表面上一個動點，則（

）A．當在平面上運動時，四棱錐的體積不變B．當在線段上運動時，與所成角的取值范圍是C．若是的中點，當在底面上運動，且滿足平面時，長度的最小值是D．使直線與平面所成的角為的點P的軌跡長度為三、填空題12．已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)z和均為純虛數(shù)，則.13．已知三棱錐，若兩兩垂直，且，則三棱錐外接球的表面積為.14．正三棱柱中，，是的中點，點在上，且滿足，當直線與平面所成的角取最大值時，的值為．四、解答題15．已知復數(shù)，且為純虛數(shù).(1)求復數(shù)；(2)若，求復數(shù)及.16．已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且(1)求角A；(2)若為邊上一點，為的平分線，且，求的面積17．如圖：三棱柱中，，是的中點．(1)在線段上是否存在一點，使得四邊形為梯形?說明理由；(2)若點是棱所在直線上的點，設，當時，求實數(shù)的值．18．在中，角的對邊是，已知．(1)求角；(2)若點在邊上，且，求面積的最大值．19．如圖，在三棱柱中，平面，E，F(xiàn)，G分別是棱AB，BC，上的動點，且．

(1)求證：；(2)若平面與平面的夾角的余弦值為，求．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2024-2025學年度上學期繽紛勤學階段驗收考試數(shù)學答案A1．D【詳解】由，得，則在復平面內(nèi)對應的點的坐標為，位于第四象限．故選：D.2．A【詳解】因為，所以是直角三角形且，可得，所以的面積，則的面積．3．C【詳解】設圓錐的母線為，底面半徑為，高為，由題意可得：，解得，設該圓錐的母線與底面所成的角為，則，可得，所以該圓錐的母線與底面所成的角為.故選：C.4．A【詳解】根據(jù)題意，可得，，在中，.在中，，，所以，在中，由正弦定理得，即，即，解得，在中，，，所以.故選：A.5．A【詳解】取的中點F，連接EF，CF，，又為的中點，在長方體中，可得，所以為異面直線BD與CE所成的角或其補角，因為，所以，，所以在中，由余弦定理得.6．D【詳解】要使得有兩組解，則，又，得到，故選：D.7．C【詳解】在正四棱柱中，，.8．B【詳解】以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，A1,0,0，設，則，則單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以時，最小值為，時，最大值為，所以.9．ABC【詳解】對于A，若，，，則l與m可能平行，可能相交，也可能異面，A錯誤．對于B，若，，，則l與m可能平行，可能相交，也可能異面，B錯誤．對于C，沒有說m，n是相交直線，所以不能得到，C錯誤．對于D，因為，設平面平面，，所以，因為l，m是異面直線，，所以l，a相交，因為，，，所以，因為，，l，a相交，所以，D正確．10．CD【詳解】對于A，中，若，則有或，當時，，為等腰三角形；當時，，為直角三角形，故A選項不正確，對于B，中，若，則或，即或，因此不一定是直角三角形，故B選項不正確；對于C，中，若，則根據(jù)正弦定理得，余弦定理得，則為鈍角，是鈍角三角形，故C選項正確；對于D，中，若，則，即，由，得，所以，，是等邊三角形，故D選項正確．故選：CD．11．ABD【詳解】對A：如圖：

當在平面上運動時，四棱錐的底面面積為定值4，高為點到平面的距離為定值2，所以為定值.故A正確；對B：如圖

當在線段上運動時，與所成角就是與所成的角，因為為等邊三角形，所以當點與線段的端點重合時，與所成的角最小，為，當點為線段中點時，與所成的角最大，為.故B正確；對C：如圖：

因為是的中點，當在底面上運動，且滿足平面時，所在的平面為如圖正六邊形，正六邊形的邊長為，當點與中點重合時，最小，為.故C錯誤；對D：如圖：

使直線與平面所成的角為的點P的軌跡為對角線、以及平面內(nèi)以為圓心，以2為半徑的圓的，故點的軌跡長度為：.故D正確.故選：ABD12．【詳解】由題意設，則是純虛數(shù)當且僅當，解得，所以.故答案為：.13．【詳解】在三棱錐中，因為PA，PB，PC兩兩垂直，且，以PA，PB，PC為棱構造一個長方體，則這個長方體的外接球就是三棱錐的外接球，由題意可知，這個長方體的體對角線的中點是三棱錐的外接球的球心，三棱錐的外接球半徑為，所以外接球的表面積為.故答案為：.14．/【詳解】

如圖，正三棱柱中，取中點，連接，則，則平面，不妨設，以為坐標原點，以分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，于是，則，取平面ABC的一個法向量為，設直線PN與平面ABC所成的角為，，當時，，此時角最大．15．(1)(2)，【詳解】（1）由，所以，又為純虛數(shù)，所以，解得，所以復數(shù)；（2）由（1）知，所以，故，.16．(1)(2)【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，且，即，整理可得，且，則，可得，又因為，則，可得，所以.（2）因為為的平分線，則，因為，則，即，可得，在中，由余弦定理可得，即，整理可得，解得或（舍去），所以的面積.17．(1)存在，為中點.(2)【詳解】（1）為中點，四邊形為梯形，理由如下：為中點，連接，又是的中點，則有且，三棱柱中，且，所以有且，故為中點，四邊形為梯形；（2）依題意，，，則有，，，，，則，即，解得.18．(1)(2)【詳解】（1）因為，由正弦定理得，整理得到，即，又B∈0,π，所以，得到，又，所以.（2））因為，所以，又，又由余弦定理，得到，所以，所以，當且僅當取等號，所以面積的最大值為.19