初中數(shù)學(xué)必會幾何模型精講精練之全等三角形的常見輔助線

初中數(shù)學(xué)常見幾何模型精講精練全等三角形的常見輔助線方法一作平行線法作平行，構(gòu)造全等．利用的思維模式是全等變換中的“平移”．【例題1】1.△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求證：AB＋BP＝BQ＋AQ．（有多種輔助線作法）【答案】見解析【解析】【分析】方法一，延長AB到D，使BD＝BP，連接PD，根據(jù)已知條件求得各個角的值，發(fā)現(xiàn)∠4＝∠C，，進(jìn)而得QB＝QC，，再根據(jù)△APD≌△APC，得AD＝AC，等量代換之后得證；方法二，過點P作PD//BQ交CQ于點D，結(jié)合已知條件可得BQ＋AQ＝CQ＋AQ＝AC，證明△ABP≌△ADP，可得AB＋BP＝AD＋PD＝AD＋CD＝AC，等量代換之后得證；【詳解】方法一、證明：延長AB到D，使BD＝BP，連接PD，則∠D＝∠5.∵AP，BQ分別是∠BAC，∠ABC的平分線，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，∴∠1＝∠2＝30°，∠ABC＝180°－60°－40°＝80°，∠3＝∠4＝40°＝∠C，∴QB＝QC，又∠D＋∠5＝∠3＋∠4＝80°，∴＝40°,在△APD與△APC中，，∴△APD≌△APC（AAS），∴AD＝AC．即AB＋BD＝AQ＋QC，∴AB＋BP＝BQ＋AQ．方法二、如圖，過點P作PD∥BQ交CQ于點D，BQ平分∠ABC∴∠CBQ＝∠ABC＝×80°＝40°，∴∠CBQ＝∠ACB，∴BQ＝CQ，∴BQ＋AQ＝CQ＋AQ＝AC①，∵PD∥BQ∴∠CPD＝∠CBQ＝40°，∴∠CPD＝∠ACB＝40°，∴PD＝CD，∠ADP＝∠CPD＋∠ACB＝40°＋40°＝80°，∵∠ABC＝80°，∴∠ABC＝∠ADP，∵AP平分∠BAC，∴∠BAP＝∠CAP，∵在△ABP與△ADP中，，∴△ABP≌△ADP（AAS），∴AB＝AD，BP＝PD，∴AB＋BP＝AD＋PD＝AD＋CD＝AC②，由①②可得，BQ＋AQ＝AB＋BP．【點睛】本題考查了角平分線的定義，三角形全等的性質(zhì)與判定，等角對等邊，熟練以上知識點是解題的關(guān)鍵．變式12.如圖，△ABC中，AB=AC,在AB上取一點E，在AC的延長線上取一點F，使CF=BE,連接EF,交BC于點D．求證DE=DF.【答案】證明見解析【解析】【詳解】試題分析：作FH∥AB交BC延長線于H，構(gòu)造全等三角形：△DBE和△FHE，由平行線得出兩對內(nèi)錯角相等，只需要再證一組邊對應(yīng)相等，根據(jù)已知條件，以及所作平行線，可證出HF=BD，三角形全等可證．試題解析：證明：作FH∥AB交BC延長線于H，∵FH∥AB，∴∠FHC=∠B．又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB．又∠ACB=∠FCH，∴∠FHE=∠FCH．∴CF=HF．又∵BD=CF，∴HF=BD．又∵FH∥AB，∴∠BDE=∠HFE，∠DBE=∠FHE．∴△DBE≌△FHE（ASA）．∴DE=EF．考點：1.等腰三角形的判定與性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)．變式23.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D，E分別是邊AB，AC的中點，延長BC到點F，使CF＝BC．連結(jié)CD、EF，那么CD與EF相等嗎？請證明你的結(jié)論．【答案】CD=EF，理由見解析．【解析】【分析】根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得DE∥BC且DEBC，然后證得四邊形DEFC是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的對邊相等即可說明．【詳解】解：結(jié)論：CD=EF．理由如下：∵D、E分別是邊AB、AC的中點，∴DE∥BC，DEBC．∵CFBC，∴DE=CF，∴四邊形DEFC是平行四邊形，∴CD=EF．【點睛】本題主要考查了三角形的中位線和平行四邊形的判定與性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半成為解答本題的關(guān)鍵．變式34.如圖所示，為等邊三角形，邊長為4，點為邊中點，，其兩邊分別交和的延長線于，，求的值.【答案】6【解析】【分析】過點O作OC∥AB交AD于點C，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)就可以得出△OCF≌△OBE，就可以得出CF=BE，進(jìn)而可以得出結(jié)論．【詳解】過點O作OD∥AB交AC于點D，∴∠CDO=∠A=∠ACB=∠ABC=60°，∴∠DOC=60°，∠ADO=∠BOD=120°．∴△CDO是等邊三角形，∴DO=CO，∴DO=BO=AD．∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC．∠CAB=∠ABC=∠C=60°，∴∠OBE=120°，∴∠ODF=∠OBE．∵∠FOB+∠BOE=∠EOF=120°，∠DOF+∠FOB=∠BOD=120°∴∠FOD=∠EOB．在△DOF和△BOE中，，∴△DOF≌△BOE（ASA）．∴FC=EB．OF=OE．∵AE=AB+BE，∴AE=AB+DF，∴AE=AB+AD+AF，∴AE-AF=AB+AD．∵AB+AD=AB，∴AE-AF=AB．∵AB=4，∴AE-AF=6.【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，線段中點的性質(zhì)的運用，解答時正確作輔助線證明三角形全等是關(guān)鍵．變式45.如圖，將一把三角尺放在邊長為1的正方形ABCD上使它的直角頂點P在對角線AC上滑動，直角的一邊始終經(jīng)過點B，另一邊與射線DC相交于點Q，當(dāng)點Q在邊CD上時，線段PQ與線段PB之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你觀察得到的結(jié)論．【答案】PQ=PB【解析】【分析】過點P作MN∥BC，分別交AB于點M，交CD于點N，可得四邊形AMND和四邊形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰三角形；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)與角的互余關(guān)系進(jìn)行代換可得△QNP≌△PMB，故PQ=PB．【詳解】答：PQ=PB

證明：過點P作MN∥BC，分別交AB于點M，交CD于點N，則四邊形AMND和四邊形BCNM都是矩形，

△AMP和△CNP都是等腰三角形．

∴

∵∠BPQ=90°

∴∠QPN+∠BPM=90°，而∠BPM+∠PBM=90°

∴∠QPN=∠PBM．又∠QNP=∠PMB=90°

∵在△QNP和△PMB中，∴△QNP≌△PMB（ASA），

∴PQ=PB．【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)．注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三邊關(guān)系，可有助于提高解題速度和準(zhǔn)確率．培優(yōu)變式56.如圖1，已知和都是等邊三角形，且點E在線段AB上．（1）過點E作交AC于點G，試判斷的形狀并說明理由；（2）求證：；（3）如圖2，若點D在射線CA上，且，求證：．【答案】（1）是等邊三角形，理由見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析．【解析】【分析】（1）如圖（見解析），先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)等邊三角形的判定即可得；（2）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)平行線的判定即可得證；（3）先根據(jù)平行線的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得，最后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，據(jù)此根據(jù)線段的和差、等量代換即可得證．【詳解】（1）是等邊三角形，理由如下：如圖，過點E作交AC于點G，是等邊三角形，，，是等邊三角形；（2）和是等邊三角形，，，即，在和中，，，，，；（3）由（2）知，，，，，，，由（2）已證：，，和是等邊三角形，，在中，，在中，，，在和中，，，，．【點睛】本題考查了三角形全等的判定定理與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識點，較難的是題（3），正確找出兩個三角形全等的條件是解題關(guān)鍵．方法二作垂直法作垂直，構(gòu)造全等．分為做1條垂直輔助線和2條垂直輔助線．可以利用通過作角平分線上的點兩邊的距離得全等，或截取等長線段得全等；思維模式是全等變換中的“軸對稱”即“對折”．【例題2】7.如圖，△ABC中，AB＝2AC，AD平分∠BAC，且AD＝BD．求證：CD⊥AC．【答案】見解析【解析】【分析】過D作DE⊥AB于E，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)推出AE=AB，∠DEA=90°，求出AE=AC，根據(jù)SAS證△DEA≌△DCA，推出∠ACD=∠AED即可．【詳解】過D作DE⊥AB于E，∵AD＝BD，DE⊥AB∴AE＝AB，∠DEA＝90°，∵2AC＝AB∴AE＝AC∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD，在△DEA和△DCA中，，∴△DEA≌△DCA，∴∠ACD＝∠AED，∴∠ACD＝90°，∴AC⊥DC．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出△DEA≌△DCA，主要培養(yǎng)了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，題目比較好，難度適中．變式18.如圖所示，在四邊形中，平分，求證：．【答案】詳見解析【解析】【分析】過點C分別作于E，于F，由條件可得出△CDF≌△CEB，可得∠B=∠FDC，進(jìn)而可證明∠B+∠ADC=180°．【詳解】證明：過點C分別作于E，于F，∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，于F，

∴CF=CE，

在Rt△CDF與Rt△CEB中，∴，，，.【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)HL證明△CDF≌△CEB進(jìn)而得出∠B=∠FDC．變式29.已知：∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分線,將三角板的直角頂點P在射線OM上滑動,兩直角邊分別與OA、OB交于C、D.求證：PC=PD.【答案】見解析【解析】【分析】過P分別作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，由角平分線的性質(zhì)易得PE＝PF，然后由同角的余角相等證明∠1＝∠2，即可由ASA證明△CFP≌△DEP，從而得證．【詳解】證明：過P分別作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，∴∠CFP=∠DEP=90°,∵OM是∠AOB的平分線，∴PE=PF,∵∠1+∠FPD=90°又∵∠AOB=90°∴∠FPE=90°，∴∠2+∠FPD=90°∴∠1=∠2,∵在△CFP和△DEP中：，∴△CFP≌△DEP(ASA)∴PC=PD.【點睛】此題主要考查角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，難度中等，作輔助線很關(guān)鍵．變式310.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，點D為BC的中點，CE⊥AD于點E，其延長線交AB于點F，連接DF．求證：∠ADC＝∠BDF．【答案】見解析【解析】【分析】作BG⊥CB，交CF的延長線于點G，由ASA證明△ACD≌△CBG，得出CD＝BG，∠CDA＝∠CGB，證出BG＝BD，∠FBD＝∠GBF＝∠CBG，再由SAS證明△BFG≌△BFD，得出∠FGB＝∠FDB，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：作BG⊥CB，交CF的延長線于點G，如圖所示：∵∠CBG＝90°，CF⊥AD，∴∠CAD+∠ADC＝∠BCG+∠ADC＝90°，∴∠CAD＝∠BCG，在△ACD和△CBG中，，∴△ACD≌△CBG（ASA），∴CD＝BG，∠CDA＝∠CGB，∵CD＝BD，∴BG＝BD，∵∠ABC＝45°，∴∠FBD＝∠GBF＝∠CBG，在△BFG和△BFD中，，∴△BFG≌△BFD（SAS），∴∠FGB＝∠FDB，∴∠ADC＝∠BDF．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)；本題有一定難度，需要通過作輔助線兩次證明三角形全等才能得出結(jié)論．變式411.如圖，四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是BC的中點，DE平分∠ADC．(1)求證：AE平分∠BAD．(2)求證：AD＝AB＋CD．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）過點E作EF⊥DA于點F，首先根據(jù)角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得CE=EF，根據(jù)等量代換可得BE=EF，再根據(jù)角平分線的判定可得AE平分∠BAD；

（2）首先證明Rt△DFE和Rt△DCE可得DC=DF，同理可得AF=AB，再由AD=AF+DF利用等量代換可得結(jié)論；【詳解】（1）證明：過點E作EF⊥DA于點F，

∵∠C=90°，DE平分∠ADC，

∴CE=EF，

∵E是BC的中點，

∴BE=CE，

∴BE=EF，

又∵∠B=90°，EF⊥AD，

∴AE平分∠BAD．

（2）證明：AD=CD+AB，

∵∠C=∠DFE=90°，

∴在Rt△DFE和Rt△DCE中，

∴Rt△DFE和Rt△DCE（HL），

∴DC=DF，

同理AF=AB，

∵AD=AF+DF，

∴AD=CD+AB；【點睛】此題考查角平分線的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，解題關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)和判定定理．培優(yōu)變式512.已知如圖,在△ABC中,以AB、AC為直角邊,分別向外作等腰直角三角形ABE、ACF,連結(jié)EF,過點A作AD⊥BC,垂足為D,反向延長DA交EF于點M.（1）用圓規(guī)比較EM與FM的大小.（2）你能說明由(1)中所得結(jié)論的道理嗎?【答案】(1)EM=FM；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）直接用圓規(guī)比較兩線段的大??；（2）作EH⊥AM,垂足為H,FK⊥AM,垂足為K.先說明Rt△EHA≌Rt△ADB,得EH=AD,Rt△FKA≌Rt△ADC,得FK=AD,得EH=FK,在Rt△EHK與Rt△FKM中,Rt△EHM≌Rt△FKM,得EM=FM.【詳解】解：（1）EM=FM（2）作EH⊥AM,垂足為H,FK⊥AM,垂足為K,則∠AHE=90?,∠AKF=90?,因為，AD⊥BC,所以，∠ADB=90?,所以，∠ABD+∠BAD=90?,又因為，△ABE是等腰直角三角形，所以，AE=AB,∠BAE=90?,所以，∠EAH+∠BAD=90?,所以，∠EAH=∠ABD，所以，Rt△EHA≌Rt△ADB（AAS），所以，EH=AD，同理：Rt△FKA≌Rt△ADC，F(xiàn)K=AD，所以EH=FK在Rt△EHK與Rt△FKM中,所以，Rt△EHM≌Rt△FKM（AAS）得EM=FM.

【點睛】本題考核知識點：全等三角形的判定和性質(zhì).解題關(guān)鍵點：熟記全等三角形的判定和性質(zhì).方法三倍長中線法倍長中線主要用于證明全等三角形，其主要是在全等三角形的判定過程中，遇到一般三角形邊上的中線或中點，考慮中線倍長；思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”，可轉(zhuǎn)移元素或?qū)⒎稚⒌臈l件聚集攏來．其主要的圖形特征和證明方法如圖：已知：在三角形ABC中，O為BC邊中點，輔助線：延長AO到點D使AO＝DO，結(jié)論：△AOB≌△DOC證明：延長AO到點D使AO＝DO，由中點可知，OB＝OC，在△AOB和△DOC中∴△AOB≌△DOC同理在下圖中仍能得到△AOB≌△DOC規(guī)律總結(jié)：由倍長中線法證明三角形全等的過程一般均是用SAS的方法，這是由于作出延長線后出現(xiàn)的對頂角決定的．補(bǔ)充：關(guān)于倍長中線的其他方法①向中線做垂直，易證△BEO≌△CDO步驟：延長AO到點D，過點B，C分別向AD作垂線，垂足為E，D，易證△BEO≌△CDO（AAS）②過中線做任意三角形證明全等，易證△BDO≌△CEO步驟：在AC上任意選取一點E，連接EO并延長到點D，使EO＝DO，連接BD，易證△BDO≌△CEO（SAS）點撥：倍長中線的思路：已知中線——作中線倍長線——證全等——找大小關(guān)系【例題3】13.如圖，是的中線，分別在邊上（不與端點重合），且，則（）．A. B.C. D.與的長短關(guān)系不確定【答案】A【解析】【分析】延長至點G，使，連接，證明，可得，進(jìn)而根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得．【詳解】如圖，延長至點G，使，連接，是邊上的中線，,又，是的垂直平分線，，又(SAS)，，．故選A．【點睛】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，三角形三邊關(guān)系，證明是解題的關(guān)鍵．變式14.如圖，為AD上的中點，則BE＝______．【答案】【解析】【分析】延長BE交CD于點F，證，則BE=EF=BF，故再在直角三角形BCF中運用勾股定理求出BF長即可.【詳解】解：延長BE交CD于點F,∵AB平行CD，則∠A=∠EDC，∠ABE=∠DFE，又E為AD上的中點，∴BE=EF,所以.∴∴在直角三角形BCF中，BF==.∴.【點睛】本題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造三角形全等，找到線段的關(guān)系，然后運用勾股定理求解.變式15.如圖，中，為的中點，是上一點，連接并延長交于，，且，，那么的長度為__．【答案】；【解析】【分析】延長至使，連接，得出,得出，所以得出是等腰三角形，根據(jù)已知線段長度建立等量關(guān)系計算．【詳解】如圖：延長至使，連接在和中：∴∴∵∴∴∵∴∴∴即∴【點睛】倍長中線是常見的輔助線、全等中相關(guān)的角的代換是解決本題的關(guān)鍵．變式16.如圖，E是BC的中點，點A在DE上，且∠BAE＝∠CDE.求證：AB＝CD.【答案】見解析【解析】【分析】此題要證明AB=CD，不能通過證明△ABE和△CED全等得到，因為根據(jù)已知條件無法證明它們?nèi)?；那么可以利用等腰三角形的性質(zhì)來解題，為此必須把AB和CD通過作輔助線轉(zhuǎn)化到一個等腰三角形中，而延長DE到F，使EF=DE，連接BF就可以達(dá)到要求，然后利用全等三角形的判定與性質(zhì)就可以證明題目的問題．【詳解】證明：延長DE至點F，使EF＝DE，連接BF.∵E是BC的中點∴BE＝CE在△BEF和△CED中∴△BEF≌△CED∴∠BFE＝∠CDE，BF＝CD又∵∠BAE＝∠CDE∴∠BFE＝∠BAE∴AB＝BF又∵BF=CD，∴AB＝CD【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)；一般證明線段相等大多數(shù)是通過全等三角形解決問題，有時沒有全等三角形時，可以利用等腰三角形的性質(zhì)解決問題．變式17.某數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動中進(jìn)行了探究試驗活動，請你來加入．【探究與發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，AD是的中線，延長AD至點E，使，連接BE，證明：．【理解與應(yīng)用】（2）如圖2，EP是的中線，若，，設(shè)，則x的取值范圍是________．（3）如圖3，AD是的中線，E、F分別在AB、AC上，且，求證：．【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定即可得到結(jié)論；（2）延長至點，使，連接，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得到結(jié)論；（3）延長FD至G，使得，連接BG，EG，結(jié)合前面的做題思路，利用三角形三邊關(guān)系判斷即可．【詳解】（1）證明：，，，，（2）；如圖，延長至點，使，連接，在與中，，，，在中，，即，的取值范圍是；故答案為：；（3）延長FD至G，使得，連接BG，EG，在和中，，，，，，在和中，，，，，，在中，兩邊之和大于第三邊，，又，，【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中線的定義，三角形的三邊關(guān)系，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．培優(yōu)變式18.問題探究：小紅遇到這樣一個問題：如圖1，中，，，AD是中線，求AD的取值范圍．她的做法是：延長AD到E，使，連接BE，證明，經(jīng)過推理和計算使問題得到解決．請回答：（1）小紅證明的判定定理是：__________________________________________；（2）AD的取值范圍是________________________；方法運用：（3）如圖2，AD是的中線，在AD上取一點F，連結(jié)BF并延長交AC于點E，使，求證：．（4）如圖3，在矩形ABCD中，，在BD上取一點F，以BF為斜邊作，且，點G是DF的中點，連接EG，CG，求證：．【答案】（1）；（2）；（3）見解析；（4）見解析【解析】【分析】（1）利用三角形的中線與輔助線條件，直接證明，從而可得證明全等的依據(jù)；（2）利用全等三角形的性質(zhì)得到求解的范圍，從而可得答案；（3）延長至點，使，證明，利用全等三角形的性質(zhì)與，證明，得到，從而可得答案；（4）延長至點使，連接、、，證明，得到，利用銳角三角函數(shù)證明，再證明，利用相似三角形的性質(zhì)可得是直角三角形，從而可得答案．【詳解】解：（1）如圖，AD是中線，在與中，故答案為：（2）故答案為：（3）證明：延長至點，使，∵是的中線∴在和中∴，∴，又∵，∵，∴，又∵，∴∴，又∵∴（4）證明：延長至點使，連接、、∵G為的中點∴在和中∴∴在中，∵，∴又矩形中，∴，∴，∴，又，∴，∴，又為的外角，∴，即，∵，∴，∴，即，在和中，∴，又，∴，∴，∵，∴，∴是直角三角形，∵G為的中點，∴，即．【點睛】本題考查的是倍長中線法證明三角形全等，同時考查全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．方法四截長補(bǔ)短法基本方法已知條件在中，平分輔助線作法（1）在上截?。唬?）把延長到點，使可用結(jié)論截長補(bǔ)短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種策略．截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；補(bǔ)短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段．理論依據(jù)（1）因為平分，且，所以；（2）因為平分，且，所以【例題4】19.在中，，點D、E分別在、上，連接、和；并且有，．（1）求的度數(shù)；（2）求證：．【答案】（1）；（2）見解析【解析】【分析】（1）由，，可得為等邊三角形，由，，，可證（2）延長至F，使，連接，由，，且，可證由，可證為等邊三角形，可得，可推出結(jié)論，【詳解】解：（1）∵，，∴為等邊三角形，∴，∵，，∵，∴（2）如圖，延長至F，使，連接，由（1）得為等邊三角形，∴，∵，又∵，且，∴，在與中，∴∴，∴，∴又∵，∴為等邊三角形∴，又∵，且，∴，【點睛】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，線段和差，三角形外角性質(zhì)，關(guān)鍵是引輔助線構(gòu)造三角形全等證明等邊三角形．變式120.如圖，在中，為的平分線，如圖，若，求線段的長度．【答案】4.8【解析】【分析】在AB上截取AE=AC，連接DE，證明△ACD≌△AED（SAS），得出∠C=∠AED，證出∠B=∠BDE，得出BE=DE，即可得出答案；【詳解】解：在AB上截取AE=AC，連接DE，如圖1所示：

∵AD為∠BAC的平分線，

∴∠DAE=∠DAC，在△ACD和△AED中，∴△ACD≌△AED（SAS），

∴∠C=∠AED，

∵∠C=2∠B，

∴∠AED=2∠B，

∵

∴

∴，

∴BE=DE，

∵

∴【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．變式221.如圖，P為等邊△ABC外一點，AH垂直平分PC于點H，∠BAP的平分線交PC于點D．（1）求證：DP＝DB；（2）求證：DA+DB＝DC；【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）首先由等邊三角形的性質(zhì)易得AB=AC=BC，由垂直平分線的性質(zhì)易得AP=AC，等量代換可得AP=AB，由SAS定理可證得△PAD≌△BAD，利用全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）在CP上截CQ=PD，證明△ACQ≌△APD，等量代換，證得△ADQ為等邊三角形，得出結(jié)論.【詳解】(1)∵AH是PC的垂直平分線∴PA＝PC＝AB∵AD平分∠PAB∴∠PAD＝∠BAD在△PAD和△BAD中，∴△PAD≌△BAD（SAS）∴DP＝DB(2)在CP上截取CQ＝PD，連接AQ∵AP＝AC∴∠APD＝∠ACQ在△APD和△ACQ中，∴△APD≌△ACQ（SAS）∴AD＝AQ，∠CAQ＝∠PAD∴∠BAC＝∠CAQ＋∠BAQ＝∠PAD＋∠BAQ＝∠BAD＋∠BAQ＝∠DAQ＝60°∴△ADQ為等邊三角形∴AD＝DQ∴CD＝DQ＋CQ＝AD＋DB【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等，作出輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．變式322.在等邊△ABC中，E為BC邊上一點，G為BC延長線上一點，過點E作∠AEM＝60°，交∠ACG的平分線于點M．（1）如圖1，當(dāng)點E在BC邊的中點位置時，求證：AE＝EM；（2）如圖2，當(dāng)點E在BC邊的任意位置時，（1）中的結(jié)論是否成立？請說明理由．【答案】（1）見解析；（2）（1）中的結(jié)論成立，理由見解析.【解析】【分析】（1）取AB的中點N，連接EN，可證明△ANE≌△ECM，可證得AE＝EM；（2）在AB上取點H，使BH＝BE，根據(jù)等邊三角形的證明△AHE≌△ECM即可求解.【詳解】（1）證明：取AB的中點N，連接EN，∵△ABC為等邊三角形，E，N為中點，∴AE⊥BC，且AE平分∠BAC，∴AN＝NE＝EC，∠NAE＝∠NEA＝30°，∴∠ANE＝120°，∵∠AEM＝60°，∴∠MEC＝30°，∴∠NAE＝∠CEM，∵CM平分∠ACG，∴∠ACM＝60°，∴∠ECM＝∠ANE＝120°，在△ANE和△ECM中，，∴△ANE≌△ECM（ASA），∴AE＝EM；（2）在AB上取點H，使BH＝BE，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠B＝60°．∵BH＝BE，∴AH＝CE．∴△BHE是等邊三角形，∴∠BHE＝60°．∴∠AHE＝120°．∵∠ECM＝120°．∴∠AHE＝∠ECM．∵∠AEM+∠MEC=∠ABC+∠EAH，∴∠EAH=∠MEC在△AHE和△ECM中，∴△AHE≌△ECM（ASA）．∴AE＝EM．【點睛】本題為三角形的綜合應(yīng)用，涉及等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、幾何變換、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識點．根據(jù)題目條件構(gòu)造相應(yīng)的全等三角形是解題的關(guān)鍵，注意等邊三角形性質(zhì)的應(yīng)用．本題考查知識點較多，綜合性較強(qiáng)，但難度不大．變式423.如圖，在Rt△BCD中，∠CBD=90°，BC=BD，點A在CB的延長線上，且BA=BC，點E在直線BD上移動，過點E作射線EF⊥EA，交CD所在直線于點F．（1）當(dāng)點E在線段BD上移動時，如圖（1）所示，求證：AE=EF；（2）當(dāng)點E在直線BD上移動時，如圖（2）、圖（3）所示，線段AE與EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想，不需證明．【答案】（1）證明見解析；（2）AE=EF，證明見解析.【解析】【分析】（1）如圖1中，在BA上截取BH，使得BH=BE．證明△AHE≌△EDF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AE=EF；（2）如圖2中，在BC上截取BH=BE，類比（1）的方法可證AE=EF；如圖3中，在BA上截取BH，使得BH=BE．類比（1）的方法可證AE=EF．【詳解】（1）證明：如圖1中，在BA上截取BH，使得BH=BE．∵BC=AB=BD，BE=BH，∴AH=ED，∵∠AEF=∠ABE=90°，∴∠AEB+∠FED=90°，∠AEB+∠BAE=90°，∴∠FED=∠HAE，∵∠BHE=∠CDB=45°，∴∠AHE=∠EDF=135°，∴△AHE≌△EDF，∴AE=EF．（2）如圖2中，在BC上截取BH=BE，同法可證：AE=EF如圖3中，在BA上截取BH，使得BH=BE．同法可證：AE=EF．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．變式524.如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，點E，F(xiàn)分別在四邊形ABCD的邊BC，CD上，∠EAF=∠BAD，連接EF，試猜想EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系．（1）思路梳理將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ADG，使AB與AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即點F，D，G三點共線，易證△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系為__；（2）類比引申如圖2，在圖1的條件下，若點E，F(xiàn)由原來的位置分別變到四邊形ABCD的邊CB，DC延長線上，∠EAF=∠BAD，連接EF，試猜想EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．（3）聯(lián)想拓展如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D，E均在邊BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接寫出DE的長為________________.【答案】（1）EF＝BE＋DF；（2）EF＝DF?BE；證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ADG，使AB與AD重合，首先證明F，D，G三點共線，求出∠EAF＝∠GAF，然后證明△AFG≌△AFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（2）將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到△ADE'，首先證明E'，D，F(xiàn)三點共線，求出∠EAF＝∠E'AF，然后證明△AFE≌△AFE'，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（3）將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ACD'，使AB與AC重合，連接ED'，同（1）可證△AED≌AED'，求出∠ECD'＝90°，再根據(jù)勾股定理計算即可．【詳解】解：（1）將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ADG，使AB與AD重合，∵∠B＋∠ADC＝180°，∴∠FDG＝180°，即點F，D，G三點共線，∵∠BAE＝∠DAG，∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠GAF，在△AFG和△AFE中，，∴△AFG≌△AFE，∴EF＝FG＝DG＋DF＝BE＋DF；（2）EF＝DF?BE；證明：將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到△ADE'，則△ABE≌ADE'，∴∠DAE'＝∠BAE，AE'＝AE，DE'＝BE，∠ADE'＝∠ABE，∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ABE＝180°，∴∠ADE'＝∠ADC，即E'，D，F(xiàn)三點共線，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠E'AF＝∠BAD?（∠BAF＋∠DAE'）＝∠BAD?（∠BAF＋∠BAE）＝∠BAD?∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠E'AF，在△AEF和△AE'F中，，∴△AFE≌△AFE'（SAS），∴FE＝FE'，又∵FE'＝DF?DE'，∴EF＝DF?BE；（3）將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ACD'，使AB與AC重合，連接ED'，同（1）可證△AED≌AED'，∴DE＝D'E．∵∠ACB＝∠B＝∠ACD'＝45°，∴∠ECD'＝90°，在Rt△ECD'中，ED'＝，即DE＝，故答案為：．【點睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識，靈活運用利用旋轉(zhuǎn)變換作圖、掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．培優(yōu)變式625.通過類比聯(lián)想、引申拓展典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的．下面是一個案例，請補(bǔ)充完整．【解決問題】如圖，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，，連接EF，則，試說明理由．證明：延長CD到G，使，在與中，∴理由：（SAS）進(jìn)而證出：___________，理由：（__________）進(jìn)而得．【變式探究】如圖，四邊形ABCD中，，點E、F分別在邊BC、CD上，．若、都不是直角，則當(dāng)與滿足等量關(guān)系________________時，仍有．請證明你的猜想．【拓展延伸】如圖，若，，，但，，連接EF，請直接寫出EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1），理由：SAS；（2），證明見解析；（3）BE+DF=EF．【解析】【分析】（1）在前面已證的基礎(chǔ)上，得出結(jié)論，進(jìn)而證明，從而得出結(jié)論；（2）利用“解決問題”中的思路，同樣去構(gòu)造即可；（3）利用前面兩步的思路，證明全等得出結(jié)論即可．【詳解】（1），，則，，，在與中，，理由：（）；（2）滿足即可，證明如下：如圖，延長至，使，，，，在與中，，，則，，，在與中，，理由：（）；（3）BE+DF=EF．證明如下：如圖，延長至，使，在與中，，，則，，，在與中，，理由：（）；．【點睛】本題考查了截長補(bǔ)短的方法構(gòu)造全等三角形，能夠理解前面介紹的方法并繼續(xù)探究是解決問題的關(guān)鍵．方法五補(bǔ)全圖形法補(bǔ)全定理圖形或基本圖形，運用定理或基本結(jié)論解題．【例題5】26.如圖，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延長線于點D，試說明：BF＝2CD．【答案】見解析【解析】【分析】作BF的中點E，連接AE、AD，根據(jù)直角三角形得到性質(zhì)就可以得出AE＝BE＝EF，由BD平分∠ABC就可以得出∠ABE＝∠DBC＝22.5°，從而可以得出∠BAE＝∠BAE＝∠ACD＝22.5°，∠AEF＝45°，由∠BAC＝90°，∠BDC＝90°就可以得出A、B、C、D四點共圓，求出AD＝DC，證△ADC≌△AEB推出BE＝CD，從而得到結(jié)論．【詳解】解：取BF的中點E，連接AE，AD，∵∠BAC＝90°，∴AE＝BE＝EF，∴∠ABD＝∠BAE，∵CD⊥BD，∴A，B，C，D四點共圓，∴∠DAC＝∠DBC，∵BF平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠DAC＝∠BAE，∴∠EAD＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ABD＝∠DBC＝22.5°，∴∠AED＝45°，∴AE＝AD，在△ABE與△ADC中，，∴△ABE≌△ADC，∴BE＝CD，∴BF＝2CD．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，四點共圓，直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．變式127.如圖，在中，平分，且垂直于的延長線于點，求證：．【答案】見解析【解析】【分析】延長交的延長線于點.證，.根據(jù)角平分線性質(zhì)證，，可得.【詳解】延長交的延長線于點.∵，∴，.∵，∴.∵，∴.∴.∴.∵，∴.∴.∵平分，∴.∵，∴.∴.∴.∴.【點睛】考核知識點：全等三角形判定和性質(zhì).構(gòu)造全等三角形是關(guān)鍵.變式228.如圖，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角的頂點P是BC中點，兩邊PE、PF分別交AB、CA的延長線于點E、F．（1）求證：AE＝CF；（2）求證：△EPF是等腰直角三角形；（3）求證：∠FEA＋∠PFC＝45°；（4）求證：S△PFC－S△PBE＝S△ABC．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析；（4）見解析．【解析】【分析】（1）先證明，得，再由已知條件即可求證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合題意即可得證；（3）根據(jù)（1）的結(jié)論，進(jìn)行角的等量代換，即可求證；（4）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用全等的性質(zhì)，可得，S△PFC－S△PBE＝S△PFC－，進(jìn)而可求證．【詳解】（1）如圖，連接，P是BC中點，AB＝AC，∠BAC＝90°,，,，,,,,,,,在和中：（ASA）,,,,即．（2）由（1）可知：，，是直角，△EPF是等腰直角三角形．（3）如圖，連接,是等腰直角三角形，即∠FEA＋∠PFC＝45°；（4），S△PFC－S△PBE＝S△PFC－P是BC中點，S△ABC．【點睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，中線的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．方法六旋轉(zhuǎn)法常見通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等的情況1、等腰三角形旋轉(zhuǎn)2、等邊三角形的旋轉(zhuǎn)3、四邊形旋轉(zhuǎn)4、正方形旋轉(zhuǎn)根據(jù)想要轉(zhuǎn)換的線段以及“共頂點等線段"的特點鎖定旋轉(zhuǎn)目標(biāo)，添加輔助線促成全等，實現(xiàn)線段或角度在位置上的變化，再根據(jù)題目中的具體條件從而解決問題．例題6】29.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AC＝2，則四邊形ABCD的面積為________【答案】【解析】【分析】將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ADE．證明△AEC是等邊三角形，四邊形ABCD面積等于△AEC面積．【詳解】如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°到△ADE，則有△ABC與△ADE全等．∴AC＝AE，∠ABC＝∠ADE．∵∠BAD＝60°，∠BCD＝120°．∴∠ADC＋∠ADE＝∠ADC＋∠ABC＝180°．∴C、D、E三點共線．∴BC＋CD＝DE＋DC＝CE．又∵∠CAE等于旋轉(zhuǎn)角，即∠CAE＝60°，∴△ACE為等邊三角形．∴△ACE的面積為．由旋轉(zhuǎn)可知四邊形ABCD的面積等于△ACE的面積故答案為：【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)AB=AD及∠BAD=60°，對△ABC進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，把四邊形轉(zhuǎn)化為等邊三角形求解．變式130.在中，，點在邊上，．若，則的長為__________．【答案】【解析】【分析】將CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CG，連接GB，GF，可得△ACE≌△BCG，從而得FG2＝AE2＋BF2，再證明△ECF≌△GCF，從而得EF2＝AE2＋BF2，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：將CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CG，連接GB，GF，∵∠BCE＋∠ECA＝∠BCG＋∠BCE＝90°∴∠ACE＝∠BCG．∵在△ACE與△BCG中，∵，∴△ACE≌△BCG（SAS），∴∠A＝∠CBG＝45°，AE＝BG，∴∠FBG＝∠FBC＋∠CBG＝90°．在Rt△FBG中，∠FBG＝90°，∴FG2＝BG2＋BF2＝AE2＋BF2．又∵∠ECF＝45°，∴∠FCG＝∠ECG?∠ECF＝45°＝∠ECF．∵在△ECF與△GCF中，，∴△ECF≌△GCF（SAS）．∴EF＝GF，∴EF2＝AE2＋BF2，∵，∴BF=，故答案是：．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)變換，二次根式的化簡，通過旋轉(zhuǎn)變換，構(gòu)造全等三角形，是解題的關(guān)鍵．變式231.如圖，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝8，AB＝AC，∠CBD＝30°，BD＝4，M，N分別在BD，CD上，∠MAN＝45°，則△DMN的周長為_____．【答案】4+4．