數學學案：預習導航直線的方向向量與直線的向量方程平面的法向量與平面的向量表示

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精預習導航課程目標學習脈絡1.理解直線的方向向量與平面的法向量．2．會用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關系．3．會利用向量運算證明兩直線垂直，或求兩直線所成的角．4．理解并會應用三垂線定理及其逆定理.1．用向量表示直線或點在直線上的位置（1）直線的方向向量給定一個定點A和一個向量a，再任給一個實數t，以A為起點作向量eq\o(AP,\s\up6（→））＝ta,這時點P的位置被t的值完全確定．當t在實數集R中取遍所有值時,點P的軌跡是通過點A且平行于向量a的一條直線l,向量a稱為該直線的方向向量．(2)空間直線的向量參數方程點A為直線l上的一個定點，a為直線l的一個方向向量，點P為直線l上任一點，t為一個任意實數，以A為起點作向量eq\o（AP，\s\up6(→））＝ta.①對空間任一個確定的點O,點P在直線l上的充要條件是存在唯一的實數t,滿足等式eq\o(OP,\s\up6(→））＝eq\o(OA,\s\up6（→）)＋ta.②如果在l上取eq\o(AB，\s\up6(→))＝a,則②式可化為eq\o(OP,\s\up6(→））＝eq\o（OA,\s\up6(→）)＋teq\o(AB，\s\up6(→））＝eq\o（OA,\s\up6（→))＋t(eq\o（OB,\s\up6（→））－eq\o(OA，\s\up6(→))），即eq\o(OP，\s\up6（→))＝(1－t）eq\o（OA,\s\up6（→))＋teq\o（OB,\s\up6(→)).③以上三種形式都叫做空間直線的向量參數方程，它們都與平面的直線向量參數方程相同．(3)線段AB的中點M的向量表達式設O是空間任一點，M是線段AB的中點，則eq\o（OM，\s\up6(→）)＝eq\f(1,2)（eq\o(OA，\s\up6（→））＋eq\o（OB，\s\up6（→）））．思考1空間一條直線的方向向量唯一嗎？提示：不唯一．2．用向量方法證明直線與直線平行、直線與平面平行、平面與平面平行（1)直線與直線平行設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1∥l2或l1與l2重合v1∥v2.（2)直線與平面平行已知兩個不共線向量v1，v2與平面α共面，一條直線l的一個方向向量為v，則l∥α或l在α內存在兩個實數x，y,使v＝xv1＋yv2。（3)平面與平面平行已知兩個不共線的向量v1,v2與平面α共面，則α∥β或α與β重合v1∥β，且v2∥β。思考2如何用向量的方法證明空間中的平行關系？提示:空間中的平行關系本質上是線線平行，根據共線向量定理，只需證明直線的方向向量a∥b，即a＝λb（λ∈R)．此外，證明線面平行也可用共面向量定理,即只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內兩個不共線向量線性表示即可．3．用向量運算證明兩直線垂直或求兩直線所成的角(1）設兩條直線所成的角為θ，則直線方向向量間的夾角與θ相等或互補;(2）設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，直線l1與l2的夾角為θ，則l1⊥l2v1⊥v2,cosθ＝｜cos<v1，v2〉|.思考3兩直線所成的角與這兩直線方向向量的夾角有何關系？提示：兩直線方向向量的夾角為銳角時，兩直線所成的角與其相等，兩直線方向向量的夾角為鈍角時，兩直線所成的角與其互補．4.平面的法向量及其應用思考4一個平面的法向量是否唯一？提示:不唯一,一個平面的法向量有無數多個．5．三垂線定理及三垂線定理的逆定理三垂線定理：如果在平面內的一條直線與平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，則它也和這條斜線垂直．三垂線定理的逆定理：如果平面內的一條直線和這個平面的一條斜線垂直，則它也和這條斜線在平面內的射影垂直．思考5三垂線定理及其逆定理有何區(qū)別與聯(lián)系？提示:聯(lián)系：都是一面四線，三種