廣東省汕頭市2024屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)解析

2024年汕頭市普通高考第一次模擬考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答題前，考生在答題卡上務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，并貼好條形碼.請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)?姓名和科目.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫(xiě)在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)城內(nèi).4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交.第I卷選擇題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件、必要條件求解即可.【詳解】因?yàn)?，而推不出，例如滿足，但不成立，所以“”是“”充分不必要條件，故選：A2.在3與15之間插入3個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則插入的3個(gè)數(shù)之和為（）A.21 B.24 C.27 D.30【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)求解即得.【詳解】令插入的3個(gè)數(shù)依次為，即成等差數(shù)列，因此，解得，所以插入的3個(gè)數(shù)之和為.故選：C3.的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，則結(jié)合的值，下列解三角形有兩解的為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由正弦定理代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由正弦定理可得，，所以，因?yàn)槿切斡袃山?，所以，且，因此由選項(xiàng)知，只有符合.故選：B4.展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】寫(xiě)出展開(kāi)式通項(xiàng)，令的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，代入通項(xiàng)后即可得解.【詳解】的展開(kāi)式通項(xiàng)為，因?yàn)?，在中，令，可得?xiàng)的系數(shù)為；在中，令，得，可得項(xiàng)的系數(shù)為.所以，展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為.故選：A.5.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則的最小值為（）A.3 B.5 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得，利用基本不等式求最值即可.【詳解】令，得，故函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)槭瞧婧瘮?shù)，則其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得，即，此時(shí)，可得，可得是奇函數(shù)，即符合題意；故，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為，故選：C．6.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，下列命題是真命題的為（）A.若，則是純虛數(shù)B.若，則是純虛數(shù)C.若，則且D.若、為虛數(shù)，則【答案】D【解析】【分析】利用特殊值法可判斷ABC選項(xiàng)；利用共軛復(fù)數(shù)的定義結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法、復(fù)數(shù)的概念可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，取，則，所以，，此時(shí)，不是純虛數(shù)，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，取，則成立，但不是純虛數(shù)，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，取，，則，但且，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，若、為虛數(shù)，設(shè)，，則，，所以，，D對(duì).故選：D.7.已知圓錐頂點(diǎn)為，為底面圓心，母線與互相垂直，的面積為，與圓錐底面所成的角為，則（）A.圓錐的高為B.圓錐的體積為C.圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為D.二面角的大小為【答案】D【解析】【分析】利用三角形的面積公式求出圓錐的母線長(zhǎng)，結(jié)合線面角的定義可判斷A選項(xiàng)；利用圓錐的體積公式可判斷B選項(xiàng)；利用扇形的弧長(zhǎng)公式可判斷C選項(xiàng)；利用二面角的定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)榕c底面垂直，為底面圓的一條半徑，則，所以，與圓錐底面所成的角為，又因?yàn)?，所以，的面積為，解得，所以，該圓錐的高為，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，該圓錐的底面半徑為，故該圓錐的體積為，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)該圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為，底面圓周長(zhǎng)為，則，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，則，由垂徑定理可得，所以，二面角的平面角為，因平面，平面，則，因?yàn)?，，則為等腰直角三角形，則，所以，，所以，，因?yàn)椋?，所以，二面角的大小為，D對(duì).故選：D.8.如圖，設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn)，延長(zhǎng)與橢圓交于點(diǎn)，若，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由點(diǎn)為圓與橢圓的焦點(diǎn)，可得，，結(jié)合條件，應(yīng)用勾股定理即可得.【詳解】連接、，由在以為直徑的圓上，故，、在橢圓上，故有，，設(shè)，則，則有，，即可得，解得，故，則，故.故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某次數(shù)學(xué)考試后，為分析學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，某校從某年級(jí)中隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績(jī)，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.為進(jìn)一步分析高分學(xué)生的成績(jī)分布情況，計(jì)算得到這名學(xué)生中，成績(jī)位于內(nèi)的學(xué)生成績(jī)方差為，成績(jī)位于內(nèi)的同學(xué)成績(jī)方差為.則（）參考公式：樣本劃分為層，各層的容量?平均數(shù)和方差分別為：、、；、、.記樣本平均數(shù)為，樣本方差為，.A.B.估計(jì)該年級(jí)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)約為C.估計(jì)該年級(jí)成績(jī)?cè)诜旨耙陨系膶W(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為D.估計(jì)該年級(jí)成績(jī)?cè)诜旨耙陨系膶W(xué)生成績(jī)的方差為【答案】BCD【解析】【分析】利用頻率分布直方圖中，所有直方圖的面積之和為，列等式求出實(shí)數(shù)的值，可判斷A選項(xiàng)；利用中位數(shù)的定義可判斷B選項(xiàng)；利用總體平均數(shù)公式可判斷C選項(xiàng)；利用方差公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，在頻率分布直方圖中，所有直方圖的面積之和為，則，解得，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，前兩個(gè)矩形的面積之和為，前三個(gè)矩形的面積之和為，設(shè)計(jì)該年級(jí)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為，則，根據(jù)中位數(shù)的定義可得，解得，所以，估計(jì)該年級(jí)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)約為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，估計(jì)成績(jī)?cè)诜忠陨系耐瑢W(xué)的成績(jī)的平均數(shù)為分，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，估計(jì)該年級(jí)成績(jī)?cè)诜旨耙陨系膶W(xué)生成績(jī)的方差為，D對(duì).故選：BCD.10.已知函數(shù)，則（）A.曲線的對(duì)稱軸為B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.的最大值為D.在區(qū)間上的所有零點(diǎn)之和為【答案】BC【解析】【分析】由題意利用三角恒等變換整理可得：，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】由題意可得：.對(duì)于選項(xiàng)A：令，解得，所以曲線的對(duì)稱軸為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，則，且在內(nèi)單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)，即時(shí)，取到最大值為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：令，解得，可知的零點(diǎn)為，則在區(qū)間上的零點(diǎn)為，共8個(gè)，結(jié)合A可知，這些零點(diǎn)均關(guān)于直線，所以在區(qū)間上的所有零點(diǎn)之和為，故D錯(cuò)誤；故選：BC.11.如圖，是連接河岸與的一座古橋，因保護(hù)古跡與發(fā)展的需要，現(xiàn)規(guī)劃建一座新橋，同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū).規(guī)劃要求：①新橋與河岸垂直；②保護(hù)區(qū)的邊界為一個(gè)圓，該圓與相切，且圓心在線段上；③古橋兩端和到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于.經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)分別位于點(diǎn)正北方向?正東方向處，.根據(jù)圖中所給的平面直角坐標(biāo)系，下列結(jié)論中，正確的是（）A.新橋的長(zhǎng)為B.圓心可以在點(diǎn)處C.圓心到點(diǎn)的距離至多為D.當(dāng)長(zhǎng)為時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出直線的方程，聯(lián)立求出點(diǎn)的坐標(biāo)判斷A；設(shè)，由題意列出不等式組，再結(jié)合代換求得的范圍，判斷BCD.【詳解】如圖，以為軸建立直角坐標(biāo)系，則，，依題意，直線斜率，直線方程為：，直線的斜率，則直線方程為，由，解得，即，，A正確；設(shè)，即，直線的一般方程為，圓的半徑為，顯然，由，得，則，解得，即長(zhǎng)的范圍是，B錯(cuò)誤，C正確；當(dāng)，即長(zhǎng)為時(shí)，圓的半徑最大，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大，D錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：某些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，由題意建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解是解題的關(guān)鍵.第II卷非選擇題三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.第13?14題第一空2分，第二空3分.12.在一組樣本數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為_(kāi)__________.【答案】【解析】【詳解】試題分析：由已知，這組樣本數(shù)據(jù)的樣本完全正相關(guān)，故其相關(guān)系數(shù)為.考點(diǎn)：變量的相關(guān)性.13.已知外接圓的半徑為1，圓心為點(diǎn)，且滿足，則__________，__________.【答案】①.##②.##【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算律及數(shù)量積的定義求出夾角余弦、數(shù)量積.【詳解】由兩邊平方得：，依題意，，所以；.故答案為：；14.如圖，在正方體中，是棱的中點(diǎn)，記平面與平面的交線為，平面與平面的交線為，若直線分別與所成的角為，則__________，__________.【答案】①.##0.5②.##【解析】【分析】利用平面基本事實(shí)作出直線，進(jìn)而求出；利用面面平行的性質(zhì)結(jié)合等角定理，再利用和角的正切計(jì)算即得.【詳解】在正方體中，是棱的中點(diǎn)，延長(zhǎng)與延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，則直線即為直線，，由，得，又，于是，由平面平面，平面平面，平面平面，則，又，因此，，所以.故答案為：；關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用平面的基本事實(shí)作出直線是求出角的關(guān)鍵.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知數(shù)列和，其中，，數(shù)列的前項(xiàng)和為．（1）若，求；（2）若是各項(xiàng)為正的等比數(shù)列，，求數(shù)列和的通項(xiàng)公式．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）先判定數(shù)列和分別為等差和等比數(shù)列，進(jìn)而分別得到其通項(xiàng)公式，從而利用分組求和的方法得到數(shù)列的前項(xiàng)和．（2）利用數(shù)列的前項(xiàng)和列出方程組，解之即可求得、、、，進(jìn)而求得數(shù)列和的通項(xiàng)公式．【小問(wèn)1詳解】解：當(dāng)時(shí)，，從而是等差數(shù)列，，，所以是等比數(shù)列，又，則，所以．【小問(wèn)2詳解】解：是各項(xiàng)為正的等比數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，公比為，由，可得，則，（定值）則數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，公差為，由數(shù)列的前項(xiàng)和，可得方程組，整理得，解得：，，，且，由，可得，則，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為；數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項(xiàng)公式的異同；會(huì)根據(jù)數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，是難題．16.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若既存在極大值，又存在極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）把代入，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，求出的范圍.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.【小問(wèn)2詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，由，得，由，得，則函數(shù)在上遞增，在上遞減，函數(shù)只有極大值，不合題意；當(dāng)時(shí)，由，得或，①若，即，由，得或，由，得，則函數(shù)在上遞增，在上遞減，因此函數(shù)的極大值為，極小值為，符合題意；②若，即，由，得或，由，得，則函數(shù)在上遞增，在上遞減，因此函數(shù)的極大值為，極小值為，符合題意；③若，即，由在上恒成立，得在上遞增，函數(shù)無(wú)極值，不合題意，所以的取值范圍為.17.如圖，三棱臺(tái)中，側(cè)面四邊形為等腰梯形，底面三角形為正三角形，且.設(shè)為棱上的點(diǎn).（1）若為的中點(diǎn)，求證：；（2）若三棱臺(tái)的體積為，且側(cè)面底面，試探究是否存在點(diǎn)，使直線與平面所成角的正弦值為？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在，與重合，理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，利用線面垂直的判定、性質(zhì)推理即得.（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角向量求法求解即得.【小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn)，連結(jié)、，則，由平面，得平面，又平面，所以.【小問(wèn)2詳解】取中點(diǎn)，連結(jié)，由（1）得為二面角平面的平面角，由平面平面得：，即，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)該棱臺(tái)的高為，由，得，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，設(shè)，則，于是，解得或(舍去)，所以存在點(diǎn)滿足條件，此時(shí)與重合.18.已知點(diǎn)為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn).（1）判斷直線與雙曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；（2）（i）如果把（1）的結(jié)論推廣到一般雙曲線，你能得到什么相應(yīng)的結(jié)論？請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論，不必證明；（ii）將雙曲線的兩條漸近線稱為“退化的雙曲線”，其方程為，請(qǐng)利用該方程證明如下命題：若為雙曲線上一點(diǎn)，直線：與的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，則為線段的中點(diǎn).【答案】（1）1個(gè)，理由見(jiàn)解析；（2）（i）過(guò)雙曲線上一點(diǎn)的切線方程為；（ii）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）聯(lián)立直線與雙曲線方程，借助判別式求解即得.（2）（i）寫(xiě)出結(jié)論；（ii）分討論，直線與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求解即得.【小問(wèn)1詳解】由點(diǎn)在雙曲線上，得，即由消去y得：，則，顯然，所以該直線與雙曲線有且只有1個(gè)公共點(diǎn).【小問(wèn)2詳解】（i）由（1）知，直線與雙曲線相切于點(diǎn)，所以過(guò)雙曲線上一點(diǎn)的切線方程為.證明如下：顯然，即，由消去y得：，于是，因此直線與雙曲線相切于點(diǎn)，所以過(guò)雙曲線上一點(diǎn)的切線方程為.（ii）當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，由對(duì)稱性知，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，設(shè)，線段的中點(diǎn)，由消去y得：，由，得，則，又，于是，即點(diǎn)與點(diǎn)重合，所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn).【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：過(guò)雙曲線上一點(diǎn)的切線方程為.19.2023年11月，我國(guó)教育部發(fā)布了《中小學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)基本目錄》，內(nèi)容包括高中數(shù)學(xué)在內(nèi)共有16個(gè)學(xué)科900多項(xiàng)實(shí)驗(yàn)與實(shí)踐活動(dòng).我市某學(xué)校的數(shù)學(xué)老師組織學(xué)生到“牛田洋”進(jìn)行科學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，在某種植番石榴的果園中，老師建議學(xué)生嘗試去摘全園最大的番石榴，規(guī)定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回頭.結(jié)果，學(xué)生小明兩手空空走出果園，因?yàn)樗恢狼懊媸欠裼懈蟮?，所以沒(méi)有摘，走到前面時(shí)，又發(fā)覺(jué)總不及之前見(jiàn)到的，最后什么也沒(méi)摘到.假設(shè)小明在果園中一共會(huì)遇到顆番石榴（不妨設(shè)顆番石榴