MATLAB的符號(hào)計(jì)算資料

第七講MATLAB的符號(hào)計(jì)算

所謂符號(hào)計(jì)算是指在運(yùn)算時(shí)，無須事先對(duì)

變量賦便，而將所得到結(jié)果以標(biāo)準(zhǔn)的符號(hào)形

式來表不。

MathWorks公司以Maple的內(nèi)核作為符號(hào)

計(jì)算引擎（Engine），依賴Maple已有的函

數(shù)庫，開發(fā)了實(shí)現(xiàn)符號(hào)計(jì)算的兩個(gè)工具箱:

基本符號(hào)工具箱和擴(kuò)展符號(hào)工具箱。

、符號(hào)奸案基砒

、符號(hào)計(jì)算基礎(chǔ)

（一）定義符號(hào)變量

參與符號(hào)運(yùn)算的對(duì)象可以是符號(hào)變量、

符號(hào)表達(dá)式或符號(hào)矩陣。符號(hào)變量要先定

義，后引用?？梢杂胹ym函數(shù)、syms函數(shù)

將運(yùn)算量定義為符號(hào)型數(shù)據(jù)。引用符號(hào)運(yùn)

算函數(shù)時(shí)，用戶可以指定函數(shù)執(zhí)行過程中

的變量參數(shù)；若用戶沒有指定變量參數(shù)，

則使用Endsym函數(shù)默認(rèn)的變量作為函數(shù)的

變量參數(shù)。

、符號(hào)計(jì)算基礎(chǔ)

（一）定義符號(hào)變量

1、sym函數(shù)

sym函數(shù)的主要功能是創(chuàng)建符號(hào)變量，以便進(jìn)行符號(hào)

運(yùn)算，也可以用于創(chuàng)建符號(hào)表達(dá)式或符號(hào)矩陣。用sym函

數(shù)創(chuàng)建符號(hào)變量的一般格式為：

x=sym('x')

其目的是將'X，創(chuàng)建為符號(hào)變量，以X作為輸出變量名。

每次調(diào)用該函數(shù)，可以定義一個(gè)符號(hào)變量。

、符號(hào)計(jì)算基礎(chǔ)

（一）定義符號(hào)變量

【例1】作符號(hào)計(jì)算：

ax-by=l

{ax+by=5

a,b,x,y均為符號(hào)運(yùn)算量。在符號(hào)運(yùn)算前,

應(yīng)先將a,b,x,y定義為符號(hào)運(yùn)算量

一、符號(hào)計(jì)算基礎(chǔ)

(一)定義符號(hào)變量

a=sym(6a,);%定義，，為符號(hào)運(yùn)算量，輸出變量名為a

y=2/bb=sym(6b,);

x=sym('x');

尸ym(y);

[x,y]=solve(a*x-b*y-l,a*x+b*y-5,x,y)

%以2力為符號(hào)常數(shù)，x,y為符號(hào)變量

即可得到方程組的解：

x=3/a

y=2/b

、符號(hào)計(jì)算基礎(chǔ)

(一)定義符號(hào)變量

【例2】已知一復(fù)數(shù)表達(dá)式z=x+i*y,試

求其共輒復(fù)數(shù),并求該表達(dá)式與其共甄復(fù)數(shù)

乘積的多項(xiàng)式。

為了使乘積表達(dá)式屐2+y-2非負(fù)，這

里，把變量x和y定義為實(shí)數(shù)。

x=sym(4x\^reaT);

y=sym('y'，'real');

、符號(hào)計(jì)算基礎(chǔ)

(一)定義符號(hào)變量

Z=x+i*y;%定義復(fù)數(shù)表達(dá)式

conj(z);%求共甄復(fù)數(shù)1

expand(z*conj(z))%求表達(dá)式與其共輾復(fù)數(shù)乘積的多項(xiàng)式

ans=

xA2+yA2

若要去掉'X，的屬性，可以使用下面語句

x=sym('x\'unreal')

將'X，創(chuàng)建為純格式的符號(hào)變量。

、符號(hào)計(jì)算基礎(chǔ)

（一）定義符號(hào)變量

2、syms函數(shù)

syms函數(shù)的功能與sym函數(shù)類似。syms

函數(shù)可以在一個(gè)語句中同時(shí)定義多個(gè)符號(hào)

變量，其一般格式為：

symsarglarg2...argN

用于將rgl,arg2,...,argN等符號(hào)創(chuàng)建為符

號(hào)型數(shù)據(jù)。

、符號(hào)計(jì)算基礎(chǔ)

（二）默認(rèn)符號(hào)變量

在數(shù)學(xué)表達(dá)式中，一般習(xí)慣于使用排在

字母表中前面的字母作為變量的系數(shù)，而

用排在后面的字母表示變量。例如：

f=ax2+bx+c

表達(dá)式中的a,b,c通常被認(rèn)為是常數(shù)，用

作變量的系數(shù)；而將x看作自變量。

一、符號(hào)計(jì)算基礎(chǔ)

(二)默認(rèn)符號(hào)變量

例如，數(shù)學(xué)表達(dá)式

f=xn

g=sin(at+b)

根據(jù)數(shù)學(xué)式中表示自變量的習(xí)慣，默認(rèn)a,b,c為符號(hào)常

數(shù)，x為符號(hào)變量。

若在MATLAB中表示上述表達(dá)式，首先用syms函數(shù)

定義a,b,n,t,x為符號(hào)對(duì)象。在進(jìn)行導(dǎo)數(shù)運(yùn)算時(shí)，由

于沒有指定符號(hào)變量，則系統(tǒng)采用數(shù)學(xué)習(xí)慣來確定表達(dá)

式中的自變量，默認(rèn)a,b,c為符號(hào)常數(shù)，x,t為符號(hào)變量。

即：對(duì)函數(shù)俅導(dǎo)為：df/dx

對(duì)函數(shù)g求導(dǎo)為：dg/dt

一、符號(hào)計(jì)算基礎(chǔ)

(二)默認(rèn)符號(hào)變量

為了了解函數(shù)引用過程中使用的符號(hào)變量個(gè)數(shù)及變量

名，可以用flndsym函數(shù)查詢默認(rèn)的變量。該函數(shù)的引用

格式為：

flndsym(f,n)

說明：f為用戶定義的符號(hào)函數(shù)，

n為正整數(shù)，表示查詢變量的個(gè)數(shù)。

n=i,表示查詢i個(gè)系統(tǒng)默認(rèn)變量。n值省略時(shí)表示查詢

符號(hào)函數(shù)中全部系統(tǒng)默認(rèn)變量。

、符號(hào)計(jì)算基礎(chǔ)

(二)默認(rèn)符號(hào)變量

［例3］查詢符號(hào)函數(shù)

f=xn

g=sin(at+b)

中的系統(tǒng)默認(rèn)變量。

symsabntx%定義符號(hào)變量

f=xAn;%給定符號(hào)函數(shù)

g=sin(a*t+b);

findsym(f,l)%在￡函數(shù)中查詢1個(gè)系統(tǒng)默認(rèn)變量

ans=x

表示f函數(shù)中查詢的1個(gè)系統(tǒng)默認(rèn)變量為X。

-、符號(hào)計(jì)算基礎(chǔ)

(三)符號(hào)表達(dá)式

符號(hào)表達(dá)式由符號(hào)變量、函數(shù)、算術(shù)運(yùn)算符等組成。

符號(hào)表達(dá)式的書寫格式與數(shù)值表達(dá)式相同。例如,數(shù)學(xué)表

達(dá)式

其符號(hào)裂決式晝產(chǎn)1+sqr(5*x))/2

注意，在定盤達(dá)式前應(yīng)先將表達(dá)式中的字符x定義為

符號(hào)變量。

、符號(hào)計(jì)算基礎(chǔ)

（四）生成符號(hào)函數(shù)

將表達(dá)式中的自變量定義為符號(hào)變量后,

賦值給符號(hào)函數(shù)名，即可生成符號(hào)函數(shù)。

例如有一數(shù)學(xué)表達(dá)式：

ax2+,zby2

=-------1-----

、符號(hào)計(jì)算基礎(chǔ)

(四)生成符號(hào)函數(shù)

其用符號(hào)表達(dá)式生成符號(hào)函數(shù)fky的過程

為：

symsabcxy%定義符號(hào)運(yùn)算量

fxy=(a*xA2+b*yA2)/cA2%生成符號(hào)函數(shù)

生成符號(hào)函數(shù)fxy后，即可用于微積分等

符號(hào)計(jì)算。

-、符號(hào)計(jì)算基礎(chǔ)

(四)生成符號(hào)函數(shù)

【例4】定義一個(gè)符號(hào)函數(shù)fxy=(a*x2+b*y2)/c2,分別求該

函數(shù)對(duì)x、y的導(dǎo)數(shù)和對(duì)x的積分。

symsabcxy%定義符號(hào)變量

fxy=(a*xA2+b*yA2)/cA2；%生成符號(hào)函數(shù)

diff(fxy,x)%符號(hào)函數(shù)fxy對(duì)x求導(dǎo)數(shù)

ans=2*a*x/cA2

diff(fxy,y)%符號(hào)函數(shù)fky對(duì)y求導(dǎo)數(shù)?

ans=2*b*y/cA2%符號(hào)函數(shù)fky對(duì)x求積分

int(fxy,x)

ans=l/cA2*(l/3*a*xA3+b*yA2*x)

二、微積分

（一）微積分函數(shù)

1.求極限

函數(shù)limit用于求符號(hào)函數(shù)f的極限。系統(tǒng)

可以根據(jù)用戶要求，計(jì)算變量從不同方向

趨近于指定值的極限值。該函數(shù)的格式及

功能：

、微積分

limit(f9x9a)：求符號(hào)函數(shù)f(X)的極限值。即計(jì)算當(dāng)變量x趨近

于常數(shù)a時(shí)，f(x)函數(shù)的極限值。

limit(f9a)：求符號(hào)函數(shù)f(X)的極限值。由于沒有指定符號(hào)函

數(shù)f(X)的自變量，則使用該格式時(shí)，符號(hào)函數(shù)f(X)的變量為函數(shù)

findsym⑴確定的默認(rèn)自變量，既變量x趨近于a。

limit(f)：求符號(hào)函數(shù)f(X)的極限值。符號(hào)函數(shù)f(X)的變量為

函數(shù)findsym⑴確定的默認(rèn)變量；沒有指定變量的目標(biāo)值時(shí)，系統(tǒng)默認(rèn)變量

趨近于0,即a=0的情況。

!

limit(f9x9a/right)：求符號(hào)函數(shù)柏勺極限值。Tight，表示變量x

從右邊趨近于a。

f

limit(f9x9a/left)：求符號(hào)函數(shù)柏勺極限值。心田表示變量X從

左邊趨近于a。

二、微積分

【例5】求極限

x(esmx+l)-2(ezgx-l)

lim

x—>0si?n3x

symsx；%定義符號(hào)變量

f=(x*(exp(sin(x))+1)-2*(exp(tan(x))-1))/sin(x)~3；%確定符號(hào)表達(dá)式

w二limit(f)%求函數(shù)的極限

w=-1/2

二、微積分

2.微分函數(shù)

diff函數(shù)用于對(duì)符號(hào)表達(dá)式S求微分。該函數(shù)的一般引

用格式為：

diff(s/v\n)

說明：

.應(yīng)用diff(S)沒有指定微分變量和微分階數(shù)，則系統(tǒng)

按flndsym函數(shù)指示的默認(rèn)變量對(duì)符號(hào)表達(dá)式S求一階微分。

應(yīng)用diff(s,'v')或diff(s,sym(，'))格式,

表示以v為自變量，對(duì)符號(hào)表達(dá)式s求一階微分。

應(yīng)用diff(s,n)格式，表示對(duì)符號(hào)表達(dá)式s求n階微

分，n為正整數(shù)。

應(yīng)用diff(s,'v',n)diff(s,n,▽)格式，表

示以v為自變量，對(duì)符號(hào)表達(dá)式s求n階微分。

、微積分

【例6】求導(dǎo)數(shù):

dsinx2

dx

x=sym('x');%定義符號(hào)變量

t=sym('t');

diff(sin(xA2))%求導(dǎo)運(yùn)算

ans=

2*cos(xA2)*x

二、微積分

3.積分函數(shù)

積分函數(shù)int(s,v,a,b)可以對(duì)被積函

數(shù)或符號(hào)表達(dá)式s求積分。其引用格式為：

int(s,v,a,b)

說明：

應(yīng)用int(s)格式，表示沒有指定積分變量和積分階數(shù)時(shí)，系統(tǒng)按

flndsym函數(shù)指示的默認(rèn)變量對(duì)被積函數(shù)或符號(hào)表達(dá)式s求一階積分。

應(yīng)用int(s,v)格式，表示以v為自變量，對(duì)被積函數(shù)或符號(hào)表達(dá)式

s求一階不定積分。

應(yīng)用積分函數(shù)時(shí)，如果給定a、b兩項(xiàng)，表示是進(jìn)行定積分運(yùn)算。a、

b分別表示定積分的下限和上限。不指定積分的下限和上限表示求不

定積分。

、微積分

【例7】求下述積分。

求積分：

--------———djc

1+\2

symsx

int(l/(l+xA2))

ans二

atan(x)

、微積分

4.級(jí)數(shù)(級(jí)數(shù)求和)

級(jí)數(shù)求和運(yùn)算是數(shù)學(xué)中常見的一種運(yùn)算。

例如：

23n

f(x)=a0+a1x+a2x+a3x+...+anx

函數(shù)symsum可以用于此類對(duì)符號(hào)函數(shù)f的求和

運(yùn)算。該函數(shù)的引用時(shí)，應(yīng)確定級(jí)數(shù)的通項(xiàng)式s,

變量的變化范圍a和b。該函數(shù)的引用格式為：

symsum(s9a9b)

二、微積分

【例8】求級(jí)數(shù)的和：鍵入：

1/12+1/22+1/32+1/42+.......

symsk

symsum(1/kA2J,Inf)%1＜值為1到無窮大

ans=

l/6*piA2

其結(jié)果為：1/12+1/22+1/32+1/42+.......=TT2/6

三、荀化方程表達(dá)式

三、簡(jiǎn)化方程表達(dá)式

1.因式分解

factor函數(shù)的功能為：把多項(xiàng)式S分解為多個(gè)因式，各

多項(xiàng)式的系數(shù)均為有理數(shù)。格式為：

factor(s)

【例9】將表達(dá)式(x八9-1)分解為多個(gè)因式。,

symsx

foctor(xA9-l)

ans=

(x-l)*(x^2+x+l)*(x八6+x八3+1)

三、簡(jiǎn)化方程表達(dá)式

2.嵌套

將符號(hào)多項(xiàng)式S用嵌套形式表示，即用多層括號(hào)的形式

表示。Horner函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)此功能。該函數(shù)的格式為：

homer(s)

【例10】將表達(dá)式*/\3-6*乂”+11*乂-6用嵌套形式表

7J\o

symsx

homer(xA3-6*xA2+ll*x-6)

ans=

-6+(ll+(-6+x)*x)*x

四、解方程

四、解方程