第01講 平面向量的概念、線性運算及其坐標運算（學生版）-2025版高中數學一輪復習考點幫

Page第01講平面向量的概念、線性運算及其坐標運算（5類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關聯考點2024年新I卷，第3題,5分平面向量線性運算的坐標表示向量垂直的坐標表示2023年新I卷，第3題,5分平面向量線性運算的坐標表示向量垂直的坐標表示利用向量垂直求參數2022年新Ⅱ卷，第4題,5分平面向量線性運算的坐標表示數量積及向量夾角的坐標表示2021年新Ⅱ卷，第10題,5分坐標計算向量的模數量積的坐標表示逆用和、差角的余弦公式化簡、求值二倍角的余弦公式2020年新Ⅱ卷，第3題,5分向量加法的法則向量減法的法則無2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內容是新高考卷的必考內容，設題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分【備考策略】1了解向量的實際背景,理解平面向量的基本概念,理解向量的幾何表示2掌握向量的加、減運算并理解其幾何意義3掌握向量的數乘運算并理解其幾何意義以及兩個向量共線的含義4理解向量的線性運算性質及其幾何意義5會向量間的坐標運算【命題預測】本節(jié)一般考查平面向量的基本概念、線性運算及坐標運算，易理解，易得分，需重點復習知識講解1．向量的有關概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．(3)單位向量：長度等于1個單位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量平行．(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．2．向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算交換律：a＋b＝b＋a；結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運算a－b＝a＋(－b)數乘求實數λ與向量a的積的運算|λa|＝|λ||a|，當λ>0時，λa與a的方向相同；當λ<0時，λa與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb1．平面向量加減法求解的關鍵是：對平面向量加法抓住“共起點”或“首尾相連”．對平面向量減法應抓住“共起點，連兩終點，指向被減向量的終點”，再觀察圖形對向量進行等價轉化，即可快速得到結果．2．在一般向量的線性運算中，只要把其中的向量當作一個字母看待即可，其運算方法類似于代數中合并同類項的運算，在計算時可以進行類比．3.向量共線定理向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個實數λ，使得b＝λa.向量共線定理可以解決一些向量共線，點共線問題，也可由共線求參數；對于線段的定比分點問題，用向量共線定理求解則更加簡潔．（1）若eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為常數)，則A，B，C三點共線的充要條件是λ＋μ＝1.（2）P為線段AB的中點?eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→)))．4.向量的坐標運算兩點間的向量坐標公式：，，終點坐標始點坐標向量的加減法，，向量的數乘運算，則：向量的模，則的模相反向量已知，則；已知單位向量向量的平行關系，，考點一、平面向量基本概念的綜合考查1．關于平面向量，下列說法正確的是（

）A．向量可以比較大小 B．向量的?？梢员容^大小C．速度是向量，位移是數量 D．零向量是沒有方向的2．下列結論正確的是：（

）A．若與都是單位向量，則．B．若與是平行向量，則．C．若用有向線段表示的向量與相等，則點M，N重合D．直角坐標平面上的x軸、y軸都是向量3．（多選）下列結論中，錯誤的是（

）A．表示兩個相等向量的有向線段，若它們的起點相同，則終點也相同；B．若，則，不是共線向量；C．若，則四邊形是平行四邊形；D．與同向，且，則1．下列說法正確的是（

）A．數量可以比較大小，向量也可以比較大小B．由于零向量的方向不確定，因此零向量不能與任意向量平行C．模為1的向量都是相等向量D．向量的模可以比較大小2．下列說法正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．對任意非零向量，是和它同向的一個單位向量 D．零向量沒有方向3．下列說法錯誤的是（）A．B．，是單位向量，則C．若，則D．兩個相同的向量的模相等4．（多選）下列說法錯誤的是（

）A．若與都是單位向量，則B．方向為南偏西60°的向量與北偏東60°的向量是共線向量C．直角坐標平面上的x軸、y軸都是向量D．若用有向線段表示的向量與不相等，則點M與N不重合考點二、相等向量及其應用1．（23-24高三上·遼寧·階段練習）設，都是非零向量，下列四個條件中，能使一定成立的是（

）A． B． C． D．2．（2024高三·上?！ｎ}練習）已知向量，不共線，實數，滿足，則（

）A．4 B． C．2 D．1．（2023·北京大興·三模）設，是非零向量，“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．已知平行四邊形ABCD的頂點A（﹣1，﹣2），B（3，﹣1），C（5，6），則頂點D的坐標為．考點三、平面向量線性運算的綜合考查1．（廣東·高考真題）如圖所示，已知在中，是邊上的中點，則（

）A． B．C． D．2．（海南·高考真題）在中，D是AB邊上的中點，則=（

）A． B． C． D．3．（2024·江蘇南通·模擬預測）在梯形中，，且，點是的中點，則（

）A． B．C． D．4．（2024·全國·模擬預測）已知，，且，則點的坐標為（

）A． B． C． D．1．（2024·河南·模擬預測）已知向量，，點，則點B的坐標為（

）A． B． C． D．2．（山東·高考真題）已知平行四邊形，點，分別是，的中點（如圖所示），設，，則等于（

）

A． B． C． D．3．（2024·河南三門峽·模擬預測）在中，，則（

）A． B．C． D．4．（2024·浙江紹興·二模）已知四邊形是平行四邊形，，，記，，則（

）A． B．C． D．考點四、平面向量共線定理與點共線問題1．（2022·四川綿陽·二模）已知平面向量a，b不共線，，，則（）A．A，B，D三點共線 B．A，B，C三點共線C．B，C，D三點共線 D．A，C，D三點共線2．（2024·浙江·模擬預測）已知向量，是平面上兩個不共線的單位向量，且，，，則（

）A．、、三點共線 B．、、三點共線C．、、三點共線 D．、、三點共線3．（2024·貴州黔東南·二模）已知向量三點共線，則.1．已知為不共線向量，，則（

）A．三點共線 B．三點共線C．三點共線 D．三點共線2．（2024·遼寧·二模）（多選）的重心為點，點O，P是所在平面內兩個不同的點，滿足，則（

）A．三點共線 B．C． D．點在的內部考點五、平行向量（共線向量）求參數1．（2024·上海·高考真題）已知，且，則的值為．15．2．（2024·浙江杭州·三模）已知不共線的平面向量，滿足，則正數（

）A．1 B． C． D．23．（23-24高一下·廣東河源·期中）已知是兩個不共線的向量，，若與是共線向量，則.4．（2024·全國·模擬預測）已知向量，若，則．1．（2024·山東菏澤·模擬預測）設向量，，若，則實數的值為（

）A． B． C．2 D．12．（2024·安徽馬鞍山·三模）已知平面向量，不共線，，，且，則（

）A． B．0 C．1 D．3．（2024·江蘇·二模）已知非零向量，，若，則（

）A． B． C． D．一、單選題1．（23-24高三下·江蘇揚州·階段練習）下列命題中，正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則2．（22-23高一下·貴州遵義·階段練習）在四邊形中，若，則（

）A．四邊形是平行四邊形 B．四邊形是矩形C．四邊形是菱形 D．四邊形是正方形3．（2024高三·全國·專題練習）設分別為的三邊的中點，則（

）A． B． C． D．4．（2021·全國·二模）已知向量和不共線，向量，，，若??三點共線，則（

）A．3 B．2 C．1 D．5．（2024·陜西西安·一模）已知點是的重心，則（

）A． B．C． D．6．（2024·廣東深圳·模擬預測）已知點，，，，則與向量同方向的單位向量為（

）A． B．C． D．7．（22-23高一下·江西九江·期中）設為兩個非零向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、多選題8．（22-23高一下·吉林四平·階段練習）下列說法中正確的是（

）A．零向量與任一向量平行 B．方向相反的兩個非零向量不一定共線C．單位向量是模為的向量 D．方向相反的兩個非零向量必不相等三、填空題9．（22-23高三上·福建廈門·開學考試）寫出一個與向量共線的向量.10．（2024·陜西西安·一模）已知平面向量，若與共線，則實數．一、單選題1．給出下列命題：①兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量.②兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小.③（為實數），則必為零.④為實數，若，則與共線.其中正確的命題的個數為A．1 B．2 C．3 D．42．已知，，則與共線的單位向量是（）A． B．或C． D．或3．（2022·四川綿陽·模擬預測）已知為坐標原點，，若、，則與共線的單位向量為（

）A． B．或C．或 D．4．下列命題中正確的是（

）A．若，則B．C．若，則與的方向相反D．若，則5．（2024·四川·模擬預測）如圖，是邊的中點，在上，且，則（

）A． B．C． D．6．（2023·湖北武漢·三模）如圖，在中，M為線段的中點，G為線段上一點，，過點G的直線分別交直線，于P，Q兩點，，，則的最小值為（

）．A． B． C．3 D．9二、填空題7．（2024·青海西寧·二模）若向量不共線，且，則的值為．8．（2022·廣西柳州·三模）已知平面向量，，若，則.9．（2024·山西·三模）如圖，函數的圖象經過點A，B，點T在x軸上，若，則點B的縱坐標是．10．（2022高三·全國·專題練習）設兩個向量和＝，其中為實數.若，則的取值范圍是.一、單選題1．（四川·高考真題）如圖，正六邊形中，（

）A． B． C． D．2．（安徽·高考真題）若，,則（）A．（1，1） B．（－1，－1） C．（3，7） D．（-3,-7）3．（遼寧·高考真題）已知點則與同方向的單位向量為A． B． C． D．4．（山東·高考真題）如下圖，是線段的中點，設向量，，那么能夠表示為（

）A． B．C． D．5．（全國·高考真題）在△中，為邊上的中線，為的中點，則A． B．C． D．6．（福建·高考真題）設M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內任意一點，則等于A． B． C． D．7．（山東·高考真題）已知向量與且則一定共線的三點是（

）A．A，C，D三點 B．A，B，C三點C．A，B，D三點 D．B，C，D三點8．（廣東·高考真題）已知平面向量，，且，則等于（

）A．（-2，-4） B．（-3，-6） C．（-5，-10） D．（-4，-8）9．（海南·高考真題）平面向量，共線的充要條件是（

）A．，方向相同 B．，兩向量中至少有一個為零向量C．， D．