第03講 平面向量基本定理及其拓展（爪子定理）（高階拓展）（教師版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第03講平面向量基本定理及其拓展（“爪子定理”）（高階拓展）（3類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年全國(guó)乙卷文數(shù)，第6題,5分用基底表示向量數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)量積的坐標(biāo)表示2022年新I卷，第3題,5分用基底表示向量無(wú)2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分【備考策略】1.理解平面向量基本定理及其意義2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示3.掌握基底的概念及靈活表示未知向量4.會(huì)綜合應(yīng)用平面向量基本定理求解【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)一般考查平面向量數(shù)量積基本定理的基底表示向量、在平面幾何圖形中的應(yīng)用問(wèn)題，易理解，易得分，需重點(diǎn)復(fù)習(xí)。知識(shí)講解1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．（1）．基底e1，e2必須是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，零向量不能作為基底．（2）基底給定，同一向量的分解形式唯一．2．平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．應(yīng)用平面向量基本定理應(yīng)注意的問(wèn)題只要兩個(gè)向量不共線，就可以作為平面向量的一組基底，基底可以有無(wú)窮多組．利用已知向量表示未知向量，實(shí)質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減運(yùn)算或數(shù)乘運(yùn)算.形如條件的應(yīng)用（“爪子定理”）“爪”字型圖及性質(zhì)：（1）已知為不共線的兩個(gè)向量，則對(duì)于向量，必存在，使得。則三點(diǎn)共線當(dāng)，則與位于同側(cè)，且位于與之間當(dāng)，則與位于兩側(cè)時(shí)，當(dāng)，則在線段上；當(dāng)，則在線段延長(zhǎng)線上（2）已知在線段上，且，則3、中確定方法（1）在幾何圖形中通過(guò)三點(diǎn)共線即可考慮使用“爪”字型圖完成向量的表示，進(jìn)而確定（2）若題目中某些向量的數(shù)量積已知，則對(duì)于向量方程，可考慮兩邊對(duì)同一向量作數(shù)量積運(yùn)算，從而得到關(guān)于的方程，再進(jìn)行求解（3）若所給圖形比較特殊（矩形，特殊梯形等），則可通過(guò)建系將向量坐標(biāo)化，從而得到關(guān)于的方程，再進(jìn)行求解考點(diǎn)一、基底的概念及辨析1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）下列各組向量中，可以作為基底的是（

）．A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】不共線的非零向量可以作為向量的基底.【詳解】因?yàn)榕c不共線，其余選項(xiàng)中、均共線，所以B選項(xiàng)中的兩向量可以作為基底．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的基本定理及其意義，屬于基礎(chǔ)題.2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如果是平面α內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】D【分析】分別驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)中的兩向量是否共線即可選出正確答案.【詳解】選項(xiàng)A中，設(shè)，無(wú)解，則兩向量不共線；選項(xiàng)B中，設(shè)，則，無(wú)解，則兩向量不共線；選項(xiàng)C中，設(shè)，則，無(wú)解，則兩向量不共線；選項(xiàng)D中，，所以兩向量是共線向量．故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了基底的涵義，考查了兩向量是否共線的判定.本題的關(guān)鍵是判斷兩向量是否共線.3．（2023高三·福建·階段練習(xí)）下列向量組中，可以用來(lái)表示該平面內(nèi)的任意一個(gè)向量的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)平面向量基本定理可知，表示平面內(nèi)的任意向量的兩個(gè)向量不能共線，結(jié)合選項(xiàng)，即可判斷.【詳解】表示平面內(nèi)的任意一個(gè)向量的兩個(gè)向量不能共線，A.向量是零向量，所以不能表示平面內(nèi)的任意向量，故A錯(cuò)誤；B.，兩個(gè)向量共線，所以不能表示平面內(nèi)的任意向量，故B錯(cuò)誤；C.，兩個(gè)向量共線，所以不能表示平面內(nèi)的任意向量，故C錯(cuò)誤；D.不存在實(shí)數(shù)，使，所以向量不共線，所以可以表示平面內(nèi)的任意向量，故D正確.故選：D1．（2023·陜西西安·一模）設(shè)，下列向量中，可與向量組成基底的向量是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)構(gòu)成基地向量的條件不共線的兩個(gè)非零向量解決.【詳解】對(duì)于AB項(xiàng)，若時(shí)，，不滿足構(gòu)成基向量的條件，所以AB都錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，若時(shí)，不滿足構(gòu)成基向量的條件，所以D錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)椋忠驗(yàn)楹愠闪?，說(shuō)明與不共線，復(fù)合構(gòu)成基向量的條件，所以C正確.故選：C2．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)為平面內(nèi)的一個(gè)基底，則下面四組向量中不能作為基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】根據(jù)基底的概念確定正確答案.【詳解】平面向量的基底由兩個(gè)不共線的非零向量組成，C選項(xiàng)中，，即和為共線向量，所以它們不能作為基底.其它選項(xiàng)中的兩個(gè)向量都沒有倍數(shù)關(guān)系，所以可以作為基底.故選：C考點(diǎn)二、平面向量的基本定理綜合1．（2022·全國(guó)·高考真題）在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運(yùn)算即可解出．【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AB上，，所以，即，所以．故選：B．2．（全國(guó)·高考真題）在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則A． B．C． D．【答案】A【分析】分析：首先將圖畫出來(lái)，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得，之后應(yīng)用向量的加法運(yùn)算法則三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應(yīng)用相反向量，求得，從而求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，所以，故選A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要認(rèn)真對(duì)待每一步運(yùn)算.3．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）在中，是的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算、三點(diǎn)共線等知識(shí)列方程組，由此求得正確答案.【詳解】設(shè)，由是的中點(diǎn)，得，由，得，所以，且，由與相交于點(diǎn)可知，點(diǎn)在線段上，也在線段上，由三點(diǎn)共線的條件可得，解得，所以.故選：B1．（廣東·高考真題）在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F，若，，則A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面幾何知識(shí)求解【詳解】如圖，可知=，選B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的運(yùn)算及其幾何意義，同時(shí)要注意利用平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，2．（2024·山西呂梁·三模）已知等邊的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，若，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】取為基底，利用平面向量基本定理結(jié)合已知條件求解即可.【詳解】在中，取為基底，則，因?yàn)辄c(diǎn)分別為的中點(diǎn)，,所以，所以.故選：B.3．（22-23高一下·河南洛陽(yáng)·階段練習(xí)）在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)分的比為與相交于，設(shè)，則向量（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三點(diǎn)共線性質(zhì)以及平面向量基本定理解方程組即可得解.【詳解】

由題意三點(diǎn)共線，所以存在，使得，同理三點(diǎn)共線，所以存在，使得，由平面向量基本定理可得，解得，所以.故選：C.考點(diǎn)三、“爪子定理”的綜合應(yīng)用1．（全國(guó)·高考真題）設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則（）A.B.C.D.答案：A解析：由圖可想到“爪字形圖得：，解得：如圖，在中，，是上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A.B.C.D.解：觀察到三點(diǎn)共線，利用“爪”字型圖，可得，且，由可得，所以，由已知可得：，所以答案：C如圖，在中，，是上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A.B.C.D.解：觀察到三點(diǎn)共線，利用“爪”字型圖，可得，且，由可得，所以，由已知可得：，所以答案：C1．（2024·云南昆明·一模）在中，點(diǎn)滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用平面向量的加減法則，根據(jù)向量定比分點(diǎn)代入化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果.【詳解】如下圖所示：易知；即可得.故選：C2．（2024·廣東廣州·一模）已知在中，點(diǎn)在邊上，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可.【詳解】在中，，又點(diǎn)在邊上，且，則，故選：A.

3．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在中，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，如果，那么（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】用向量的線性運(yùn)算把向量分解成形式即可得答案.【詳解】∵，∴，故選：B．4．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）（多選）在中，記，，點(diǎn)在直線上，且.若，則的值可能為（

）A． B． C． D．2【答案】BC【分析】分點(diǎn)內(nèi)分與外分線段討論，再由向量的線性運(yùn)算求解即可.【詳解】當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖，，所以，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，，則，故選：BC.1．（2024·上海浦東新·三模）給定平面上的一組向量、，則以下四組向量中不能構(gòu)成平面向量的基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】根據(jù)平面向量共線定理，結(jié)合選項(xiàng)，進(jìn)行逐一分析即可.【詳解】對(duì)A：不存在實(shí)數(shù)，使得，故和不共線，可作基底；對(duì)B：不存在實(shí)數(shù)，使得，故和不共線，可作基底；對(duì)C：對(duì)和，因?yàn)槭遣还簿€的兩個(gè)非零向量，且存在實(shí)數(shù)，使得，故和共線，不可作基底；對(duì)D：不存在實(shí)數(shù)，使得，故和不共線，可作基底.故選：C.2．（2024·浙江紹興·二模）已知四邊形是平行四邊形，，，記，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用平面向量的線性運(yùn)算求解即得.【詳解】在中，，，，，所以.

故選：A3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形中，，記，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由向量的線性運(yùn)算，用表示【詳解】因?yàn)椋瑒t有，所以.故選：B．4．（2024·山東濟(jì)南·二模）在中，為邊的中點(diǎn)，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】借助平面向量的線性運(yùn)算及平面向量基本定理計(jì)算即可得解.【詳解】因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，，所以.故選：D.5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為2，為的中心，，垂足為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，根據(jù)為的中心，易得為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，利用平面向量的線性運(yùn)算求解.【詳解】解：如圖所示：

連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹行模詾榈闹悬c(diǎn)．又為的中點(diǎn)，，，故選：B．6．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）在梯形中，為線段的中點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先用向量和三角形減法法則得，再對(duì)它們進(jìn)行線性運(yùn)算轉(zhuǎn)化為，此時(shí)繼續(xù)找到，從而可得結(jié)果.【詳解】由圖可得：，由為線段的中點(diǎn)可得，，再由可得，，又因?yàn)?，代入得：，故選：A.7．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知平行四邊形中，為中點(diǎn).為線段上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，設(shè)，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用向量的線性運(yùn)算可得答案.【詳解】如圖所示，由題意可得，而，故選：C.8．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）已知在梯形中，且滿足，E為中點(diǎn)，F(xiàn)為線段上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，設(shè)，，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】如圖所示，由題意可得，而.故選：C．9．（2024·廣東汕頭·三模）已知四邊形是平行四邊形，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的加法，結(jié)合共線向量求解即得.【詳解】在中，由，，得.故選：A10．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）在中，，若，線段與交于點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)中線性質(zhì)得出，再由平面向量線性運(yùn)算即可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示：

由可得分別為的中點(diǎn)，由中線性質(zhì)可得，又，所以，因此.故選：B一、單選題1．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）在中，是邊上一點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，記，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】，故選：D．

2．（2024·遼寧·二模）已知平行四邊形ABCD，點(diǎn)P在的內(nèi)部（不含邊界），則下列選項(xiàng)中，可能的關(guān)系式為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，設(shè)，結(jié)合平面向量的基本定理，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】設(shè)，由平面向量的基本定理，可得：當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在直線BD上；當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在點(diǎn)A和直線BD之間；當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在點(diǎn)C和直線BD之間；當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在過(guò)點(diǎn)C且與直線BD平行的直線上，對(duì)于A中，由向量，滿足，所以點(diǎn)在內(nèi)部，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由，滿足，所以點(diǎn)在上，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由，滿足，所以點(diǎn)可能在內(nèi)部，所以C正確；對(duì)于D中，由，滿足，此時(shí)點(diǎn)P在過(guò)點(diǎn)C且與直線BD平行的直線上，所以D錯(cuò)誤.故選：C.3．（2023·湖南·一模）在中，點(diǎn)滿足為重心，設(shè)，則可表示為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算、三角形的重心等知識(shí)求得正確答案.【詳解】..故選：C4．（22-23高三上·全國(guó)·階段練習(xí)）在平行四邊形中，，，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】D【分析】根據(jù)向量的加減運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算可得，從而得解.【詳解】，，，，，，，．故選：D．5．（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）如圖，在菱形中，，，分別為上的點(diǎn)，，．若線段上存在一點(diǎn)，使得，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】以為基底可表示出，由三點(diǎn)共線可構(gòu)造方程求得，將所求數(shù)量積化為，根據(jù)數(shù)量積的定義和運(yùn)算律可求得結(jié)果.【詳解】，，，，，，三點(diǎn)共線，，解得：，，.故選：A.6．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）在中，是的中點(diǎn)，直線分別與交于點(diǎn)，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量運(yùn)算法則，利用表示，結(jié)合向量三點(diǎn)共線的定理列式運(yùn)算求解.【詳解】由，得.因?yàn)楣簿€，所以，解得.故選：B.7．（2024·寧夏銀川·模擬預(yù)測(cè)）在中，，過(guò)點(diǎn)的直線分別交直線、于點(diǎn)、，且，其中，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意以為基底表示出，再根據(jù)三點(diǎn)共線，利用共線定理可得，再由基本不等式即可求得的最小值為.【詳解】如下圖所示：因?yàn)?，易知，又，所以，易知三點(diǎn)共線，利用共線定理可得，又，，所以；當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：C二、多選題8．（2024·河北廊坊·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，是的中點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用向量加法法則運(yùn)算判斷AB，先用加法法則求得，再利用數(shù)量積的定義及運(yùn)算律求解判斷CD.【詳解】，故A正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：AD.三、填空題9．（23-24高三上·天津和平·階段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，交于點(diǎn)，設(shè)，則；點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為．

【答案】/【分析】利用平面向量的基本定理計(jì)算即可得空一，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可得空二.【詳解】

設(shè)，由題意可知，，則，因?yàn)椴还簿€，所以有，此時(shí)；可設(shè)，則，當(dāng)重合時(shí)取得等號(hào).故答案為：；.10．（2024·天津·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，，D是邊上一點(diǎn)，且.若，記，則；若點(diǎn)P滿足與共線，，則的值為.【答案】/或【分析】把兩邊用表示即可得解；利用共線向量建立，之間的數(shù)乘關(guān)系，進(jìn)而結(jié)合第一空把用表示，利用垂直向量點(diǎn)積為零可得解．【詳解】，∴，∴，則，又，∴，所以；∵與共線，∴可設(shè)，，∵，∴，∴=，=，∴=，①∵，∴，，，②把②代入①并整理得：∴，∵，∴，∴，解得：，∴或，故的值為或．故答案為：；或．1．（2020·山東·高考真題）已知平行四邊形，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)（如圖所示），設(shè)，