第三章：一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（模塊綜合調(diào)研卷）（A4版-教師版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第三章：一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（模塊綜合調(diào)研卷）（19題新高考新結(jié)構(gòu)）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng):1.答題前,先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交。一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．若曲線在處的切線也是曲線的切線，則（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】求出的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率為1，可得切線方程，再設(shè)與曲線相切的切點(diǎn)為，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，解方程可得的值，進(jìn)而得到的值.【詳解】由曲線，得，在處的切線斜率為，當(dāng)時(shí)，，曲線在處的，即，曲線，導(dǎo)數(shù)為，設(shè)切點(diǎn)為，則，解得，切點(diǎn)在切線上，即有，得.故選：A.2．已知函數(shù)則在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)分段函數(shù)結(jié)合導(dǎo)函數(shù)求出，再根據(jù)點(diǎn)斜式得出直線方程.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，所以，．則所求的切線方程為，即．故選：B.3．某學(xué)校組織學(xué)生到一個(gè)木工工廠參加勞動(dòng)，在木工師傅指導(dǎo)下要把一個(gè)體積為的圓錐切割成一個(gè)圓柱，切割過程中磨損忽略不計(jì)，則圓柱體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】寫出圓柱的體積解析式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出圓柱體的最大體積【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，圓柱的底面半徑為，高為，則，所以，所以.設(shè)，則.令，得或（舍去），當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以的最大值為，所以的最大值為.故選：C.4．已知?jiǎng)t（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】比較大小，構(gòu)造，結(jié)合單調(diào)性即可比較大??；比較大小，構(gòu)造，結(jié)合單調(diào)性即可比較大小.【詳解】令，則，所以單調(diào)遞增，又，所以，即，所以，所以，即，所以，設(shè)，則，所以單調(diào)遞減，，即，故，，即，所以，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是結(jié)合的特點(diǎn)，，構(gòu)造；結(jié)合的特點(diǎn)，，構(gòu)造；從而得解.5．若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)問題；由此設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，作出其圖象，數(shù)形結(jié)合，即可求得答案.【詳解】由題意知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，即函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)；設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出的圖象如圖：當(dāng)直線與圖象相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，此時(shí)，則，故此時(shí)，結(jié)合圖象可知，要使函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，需滿足，故，故選：D6．已知定義在上且無零點(diǎn)的函數(shù)滿足，且，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為，從而得到，進(jìn)而得到，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可得出答案.【詳解】由變形得，從而有，，所以，因?yàn)?，所以，則，則，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，，又，而，所以，綜上，.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用，由到得，是解決本題的關(guān)鍵.7．已知函數(shù)與是定義在上的函數(shù)，它們的導(dǎo)函數(shù)分別為和，且滿足，且，則（

）A．1012 B．2024 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)得到，故，求導(dǎo)得到，兩邊求導(dǎo)得到，從而得到，故，故是的一個(gè)周期，其中，根據(jù)周期性求出答案.【詳解】由于，則，兩式相加得，故，所以，故，即，其中兩邊求導(dǎo)得，，故，故，將替換為得，又，故，將替換為得，則，故是的一個(gè)周期，其中，故，故.故選：D【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：設(shè)函數(shù)，，，．（1）若，則函數(shù)的周期為2a；（2）若，則函數(shù)的周期為2a；（3）若，則函數(shù)的周期為2a；（4）若，則函數(shù)的周期為2a；（5）若，則函數(shù)的周期為；（6）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線與對(duì)稱，則函數(shù)的周期為；（7）若函數(shù)的圖象既關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)的周期為；（8）若函數(shù)的圖象既關(guān)于直線對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)的周期為；（9）若函數(shù)是偶函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的周期為2a；（10）若函數(shù)是奇函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的周期為4a．8．設(shè)函數(shù)，點(diǎn)，其中，且，則直線斜率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】，令，所以，利用不等式可得答案.【詳解】不等式，證明如下，即證，令，設(shè)，，可得在上單調(diào)遞減，所以恒成立，所以成立，即.因?yàn)?，令，因?yàn)?，所以，所以，由，得，即，則有，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分）9．已知函數(shù)，則（

）A．有兩個(gè)極值點(diǎn)B．有一個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心D．直線是曲線的切線【答案】BC【分析】利用導(dǎo)數(shù)y與零點(diǎn)存在性定理求解三次函數(shù)的極值點(diǎn)，零點(diǎn)，對(duì)稱中心，切線問題.【詳解】選項(xiàng)A：則恒成立，故單調(diào)遞增，故不存在兩個(gè)極值點(diǎn)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.選項(xiàng)B:又單調(diào)遞增，故有一個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)C：故點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D：令，即，令，則令，則當(dāng)則當(dāng)切線斜率為切點(diǎn)為則切線方程為：與不相等，當(dāng)時(shí)同樣切線方程不為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.10．已知函數(shù)．若過原點(diǎn)可作函數(shù)的三條切線，則（

）A．恰有2個(gè)異號(hào)極值點(diǎn) B．若，則C．恰有2個(gè)異號(hào)零點(diǎn) D．若，則【答案】BD【分析】利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可判斷AC，設(shè)切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，代入原點(diǎn)方程有三解，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值，由數(shù)形結(jié)合求解即可判斷BD.【詳解】因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，故AC錯(cuò)誤；設(shè)過原點(diǎn)的函數(shù)的切線的切點(diǎn)為，則切線的斜率，所以切線方程為，即，因?yàn)檫^原點(diǎn)，所以，化簡得，即方程有3個(gè)不等實(shí)數(shù)根，令，則，當(dāng)時(shí)，或時(shí)，，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以極大值，極小值為，如圖，所以與相交有三個(gè)交點(diǎn)需滿足，故B正確；同理，當(dāng)時(shí)，可知極大值，極小值為，如圖，

可得時(shí)，與相交有三個(gè)交點(diǎn)，故D正確.故選：BD11．已知函數(shù)，的定義域?yàn)椋瑸榈膶?dǎo)函數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】由為偶函數(shù)，得，兩邊求導(dǎo)化簡后可得為奇函數(shù)，然后逐個(gè)賦值分析判斷即可.【詳解】對(duì)于，∵為偶函數(shù)，則兩邊求導(dǎo)得:,∴，為奇函數(shù)，,令，則，，所以不正確對(duì)于，令，可得，則,

所以正確;

對(duì)于，，可得，，兩式相加的令，即可得，所以正確;對(duì)于，∵，則，又，可得，所以是以為周期的函數(shù)，所以，所以正確.故選：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)的奇偶性和周期性的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件判斷為奇函數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于較難題.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．若函數(shù)在上存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)題意，函數(shù)的極小值點(diǎn)在內(nèi)，再結(jié)合即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，令得，，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，有極小值，因?yàn)楹瘮?shù)在上存在最小值，又，所以，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.13．已知，對(duì)任意的，不等式恒成立，則的取值范圍為.【答案】【分析】對(duì)已知不等式進(jìn)行變形，通過構(gòu)造函數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、參變量分離法進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意，不等式即，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.則不等式等價(jià)于恒成立.因?yàn)椋?，所以?duì)任意恒成立，即恒成立.設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．所以時(shí)，有最大值，于是，解得．故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵是，將已知條件轉(zhuǎn)化為恒成立，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得到，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，計(jì)算求得結(jié)果.14．定義：設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上也存在導(dǎo)函數(shù)，則稱函數(shù)在上存在二階導(dǎo)函數(shù)，簡記為.若在區(qū)間上，則稱函數(shù)在區(qū)間上為“凸函數(shù)”.已知在區(qū)間上為“凸函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)題意對(duì)函數(shù)求二階導(dǎo)函數(shù)，令在區(qū)間恒成立，分離參數(shù)，解得實(shí)數(shù)的取值范圍即可.【詳解】在區(qū)間上為“凸函數(shù)”在上恒成立上恒成立設(shè)，，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了新定義“凸函數(shù)”，考查了分離參數(shù)法解決恒成立問題和基本不等式，屬于中檔題.四、解答題（本題共5小題，共77分，其中15題13分，16題15分，17題15分，18題17分，19題17分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．已知函數(shù)．(1)，求函數(shù)的最小值；(2)若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）運(yùn)用二次求導(dǎo)法進(jìn)行求解即可；（2）運(yùn)用常變量分離法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，令，則有，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，則有，因此當(dāng)時(shí)，則有，當(dāng)時(shí)，顯然，于是有當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以；（2）由，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上恒成立，由，設(shè)，則有，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，要想在上恒成立，只需，因此的取值范圍為.16．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若存在唯一的極值點(diǎn)，證明：．【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）求導(dǎo)，分，，三種情況討論，綜合可得；（2）由（1）得，表示出得的范圍，并代入所證不等式，消去a得關(guān)于的不等式，構(gòu)造函數(shù)判單調(diào)性得最值即可證明.【詳解】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，此時(shí)在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以在上有唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上有零點(diǎn)，當(dāng)和時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增．綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由題意可知，若存在唯一的極值點(diǎn)，由（1）可知且．因?yàn)椋C，只需證①．因?yàn)?，所以．將代入①整理可得，只需證．令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，即原不等式成立．17．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分和兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）首先根據(jù)（1）的結(jié)果可知且，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，即可證明.【詳解】（1）根據(jù)條件則當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)恒成立，因此在遞減；當(dāng)時(shí)，由，解得；，解得因此：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，無增區(qū)間；時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，增區(qū)間為；注：區(qū)間端點(diǎn)處可以是閉的（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，有（1）可知且則必有即，解得又因，即，當(dāng)時(shí)，恒成立，即在單調(diào)遞減，可得，也即得在恒成立，從而可得在，區(qū)間上各有一個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，若有兩個(gè)零點(diǎn)實(shí)數(shù)a的范圍為18．已知函數(shù)，.(1)若，求函數(shù)的極值；(2)若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值；(3)若，正實(shí)數(shù)滿足，證明：.【答案】(1)極大值為，無極小值；(2)；(3)證明見解析.【分析】(1)根據(jù)f(1)＝0求出a的值，確定f(x)并求出，根據(jù)正負(fù)判斷f(x)單調(diào)性，從而可求f(x)在定義域(0，＋)的極值；(2)參變分離不等式，構(gòu)造函數(shù)問題，問題轉(zhuǎn)化為.利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)單調(diào)性和最大值即可求出整數(shù)a的最小值；(3)化簡方程為，令，構(gòu)造函數(shù)，研究的最小值，得到關(guān)于整體的不等式，解不等式即可得結(jié)論.【詳解】（1）∵，∴，此時(shí)，，，，由得，由得，∴的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，∴有極大值為，無極小值；（2）由恒成立，得在上恒成立，問題等價(jià)于在上恒成立.令，只要.∵.令，∵，∴在上單調(diào)遞減.∵，，∴在(0，＋)上存在唯一的，使得，即，∴.∴當(dāng)時(shí)，，g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，g(x)單調(diào)遞減，∴，即，∵，∴整數(shù)的最小值為；（3）由題可知，.當(dāng)時(shí)，，.∵，∴，∴，令，則由得，，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，∴，解得成立.【點(diǎn)睛】本題第二問關(guān)鍵是討論函數(shù)的零點(diǎn)和單調(diào)性和，從而參變分離后函數(shù)的最小值，解題過程中零點(diǎn)無法求出，屬于隱零點(diǎn)，可以設(shè)而不求，利用隱零點(diǎn)將對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)換為冪式進(jìn)行計(jì)算.第三問的關(guān)鍵是將方程變形，把看成整體進(jìn)行求解.19．曲率是曲線的重要性質(zhì)，表征了曲線的“彎曲程度”，曲線曲率解釋為曲線某點(diǎn)切線方向?qū)￠L的轉(zhuǎn)動(dòng)率，設(shè)曲線具有連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)的切線，在點(diǎn)處的曲率，其中為的導(dǎo)函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，已知．(1)時(shí)，求