專題07 正多邊形與圓的相關(guān)運(yùn)算的4種壓軸題型全攻略（解析版）

專題07正多邊形與圓的相關(guān)運(yùn)算的4種壓軸題型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一求正多邊形的中心角】 1【考點(diǎn)二求正多邊形中的圓周角】 2【考點(diǎn)三求正多邊形的邊數(shù)】 2【考點(diǎn)四求正多邊形點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題】 3【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 4【典型例題】【考點(diǎn)一求正多邊形的中心角】【例題1】正十邊形的中心角的度數(shù)為（）A．30 B． C．45 D．60【答案】B【分析】本題考查正多邊形和圓，一個(gè)正多邊形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的個(gè)數(shù)（多邊形的邊數(shù)），就得到中心角的度數(shù)．【詳解】正十邊形中心角的度數(shù)為，故選：B．【變式1】如圖，點(diǎn)O為正五邊形的中心，連接，則的度數(shù)為（

）A．72° B．54° C．60° D．36°【答案】A【分析】根據(jù)正邊形的中心角的度數(shù)為，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意，得：的度數(shù)為；故選A．【變式2】如圖，已知正五邊形內(nèi)接于，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正邊形的中心角的計(jì)算公式（為正整數(shù)，）解答即可．【詳解】解：∵正五邊形內(nèi)接于，∴正五邊形的中心角．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓，掌握正邊形的中心角的計(jì)算公式（為正整數(shù)，）是解題的關(guān)鍵．【變式3】如圖點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，∠BIC=130°，則∠BAC=（）A．65°B．50°C．80°D．100°【答案】C【分析】根據(jù)三角形的外接圓得到∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠IBC+∠ICB，求出∠ACB+∠ABC的度數(shù)即可．【詳解】解：∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，∴∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB，∵∠BIC=130°，∴∠IBC+∠ICB=180°-∠CIB=50°，∴∠ABC+∠ACB=2×50°=100°，∴∠BAC=180°-（∠ACB+∠ABC）=80°．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能求出∠ACB+∠ABC的度數(shù)數(shù)解此題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二求正多邊形中的圓周角】【例題2】如圖，正五邊形內(nèi)接于，P為上一點(diǎn)，連接，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是正多邊形和圓，掌握正多邊形的中心角的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接、，∵是圓內(nèi)接五邊形，∴，∴，故選B．【變式1】如圖，正八邊形內(nèi)接于，M是弧上的一點(diǎn)，連接，，求的度數(shù)．【答案】【分析】本題主要考查正多邊形和圓的有關(guān)計(jì)算，先求出所對(duì)圓心角的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理求解即可【詳解】解：如圖，連接OA，OB．∵正八邊形是的內(nèi)接正八邊形，∴，∴．【變式2】如圖，正五邊形內(nèi)接于，點(diǎn)F在弧上，，則的大小為．【答案】【分析】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，圓周角定理，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得出與的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．連接，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得出的度數(shù)，從而得出的度數(shù)即的度數(shù)，再根據(jù)正五邊形內(nèi)接于，得出的度數(shù)即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵五邊形是正五邊形，∴，∵正五邊形內(nèi)接于，∴，∴，∴，故答案為：．【變式3】如圖，正五邊形內(nèi)接于，與相切于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查正多邊形與圓，切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得，再利用圓內(nèi)接正五邊形的性質(zhì)可得，再利用三角形的內(nèi)角和等于即可求解．熟練掌握正多邊形的性質(zhì)與切線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接，

與相切，，正五邊形內(nèi)接于，，，，故選B．【考點(diǎn)三求正多邊形的邊數(shù)】【例題3】如圖，是內(nèi)接正六邊形的一邊，點(diǎn)在弧上，且是內(nèi)接正八邊形的一邊．此時(shí)是內(nèi)接正邊形的一邊，則的值是（

）A．12 B．16 C．20 D．24【答案】D【分析】本題考查正多邊形和圓的計(jì)算．根據(jù)中心角的度數(shù)邊數(shù)，列式計(jì)算分別求出的度數(shù)，則，則邊數(shù)中心角，據(jù)此求解即可．【詳解】解：連接，∵是內(nèi)接正六邊形的一邊，∴∵是內(nèi)接正八邊形的一邊，∴∴∴故選：D．【變式1】如圖，點(diǎn)A、B、C、D為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，點(diǎn)O為正多邊形的中心，若，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（

）A．10 B．12 C．15 D．20【答案】A【分析】作正多邊形的外接圓，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)中心角的定義即可求解．【詳解】解：如圖，作正多邊形的外接圓，∵，∴，∴這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查正多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知圓周角定理．【變式2】如圖，和分別為內(nèi)接正方形，正六邊形和正n邊形的一邊，則n是（

）．A．六 B．八 C．十 D．十二【答案】D【分析】分別求出∠AOB和∠COB，從而得到∠AOC，由此即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，連接OA，OC，OB，∵AB和BC分別是正方形和正六邊形的一邊，∴,，∴，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形與圓，熟練掌握正多邊形邊數(shù)與中心角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式3】如圖，邊AB是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊，點(diǎn)C在上，且BC是⊙O內(nèi)接正八邊形的一邊，若AC是⊙O內(nèi)接正n邊形的一邊，則n的值是（）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】C【分析】根據(jù)中心角的度數(shù)=360°÷邊數(shù)，列式計(jì)算分別求出∠AOB，∠BOC的度數(shù)，可得∠AOC=15°，然后根據(jù)邊數(shù)n=360°÷中心角即可求得答案．【詳解】解：連接OC，∵AB是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊，∴∠AOB＝360°÷6＝60°，∵BC是⊙O內(nèi)接正八邊形的一邊，∴∠BOC＝360°÷8＝45°，∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－45°＝15°∴n＝360°÷15°＝24．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)、正八邊形、正二十四邊形的性質(zhì)；根據(jù)題意求出中心角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四求正多邊形點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題】【例題4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為2的正六邊形的中心與原點(diǎn)O重臺(tái)，軸，交y軸于點(diǎn)P．將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)推出，進(jìn)而得出，，則，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，依次得出前幾次旋轉(zhuǎn)的點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，總結(jié)出一般變化規(guī)律，即可解答．【詳解】解：∵該六邊形為正六邊形，∴，，∵軸，正六邊形中心與原點(diǎn)0重合，∴，∴，，∴，∴，∴第1次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為；第2次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為；第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為；第4次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∵4次一個(gè)循環(huán)，∴第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握求正多邊形中心角的方法，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【變式1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為2的正六邊形的中心與原點(diǎn)重合，軸，將六邊形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第2024次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了正多邊形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形變化—旋轉(zhuǎn)、勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)，連接、，設(shè)交軸于點(diǎn)，由正多邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理求出，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而得到次為一個(gè)循環(huán)，由此即可得出答案，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接、，設(shè)交軸于點(diǎn)，，邊長(zhǎng)為2的正六邊形的中心與原點(diǎn)重合，軸，，軸，，，是等邊三角形，，，，，，將六邊形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，…，為次一個(gè)循環(huán)，，第2024次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：D．【變式2】如圖，在正方形網(wǎng)格圖中建立一直角坐標(biāo)系，一條圓弧經(jīng)過(guò)網(wǎng)格點(diǎn)A、B、C，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中進(jìn)行下列操作：（1）在圖中確定該圓弧所在圓的圓心D點(diǎn)的位置，并寫出點(diǎn)D點(diǎn)坐標(biāo)為________．（2）連接AD、CD，求⊙D的半徑及的長(zhǎng)；（3）有一點(diǎn)E（6，0），判斷點(diǎn)E與⊙D的位置關(guān)系．【答案】（1）（2，0）；（2）π；（3）點(diǎn)E在⊙D內(nèi)部．【分析】（1）找到AB，BC的垂直平分線的交點(diǎn)即為圓心坐標(biāo)；（2）利用勾股定理可求得圓的半徑；易得△AOD≌△DEC，那么∠OAD＝∠CDE，即可得到圓心角的度數(shù)為90°，根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得；（3）求出DE的長(zhǎng)與半徑比較可得．【詳解】（1）如圖，D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），故答案為（2，0）；（2）AD＝；作CE⊥x軸，垂足為E．∵△AOD≌△DEC，∴∠OAD＝∠CDE，又∵∠OAD＋∠ADO＝90°，∴∠CDE＋∠ADO＝90°，∴扇形DAC的圓心角為90度，∴的長(zhǎng)為＝π；（3）點(diǎn)E到圓心D的距離為，∴點(diǎn)E在⊙D內(nèi)部．【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、垂徑定理、弧長(zhǎng)公式等，用到的知識(shí)點(diǎn)為：非直徑的弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一．選擇題1．邊心距為3的正六邊形的周長(zhǎng)為（

）A．18 B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)正六邊形的中心為點(diǎn)O，邊心距為3，連接、，作于點(diǎn)G，則，可證明是等邊三角形，則，即可求得，則這個(gè)正六邊形的周長(zhǎng)為．【詳解】解：如圖，正六邊形的中心為點(diǎn)O，邊心距為3，連接、，作于點(diǎn)G，如圖，

則，，∵，，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴正六邊形的周長(zhǎng)為，故選：B．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查正多邊形的中心角、邊心距、等邊三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)與解直角三角形等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．2．一個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形中，一條邊所對(duì)的圓心角為，則該正多邊形的邊數(shù)是(

)A．14 B．18 C．16 D．20【答案】D【分析】本題主要考查正多邊形的有關(guān)知識(shí)．根據(jù)正多邊形的中心角為計(jì)算即可．【詳解】解：∵一個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形中，一條邊所對(duì)的圓心角為，∴該正多邊形的邊數(shù)為：，故D正確．故選：D．12．一個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形中，一條邊所對(duì)的圓心角為，則該正多邊形的邊數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)正多邊形的中心角=計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)正多邊形的邊數(shù)為n．由題意=72°，∴n=5，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的有關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是記住正多邊形的中心角=．4．如圖，，分別為的內(nèi)接正三角形和內(nèi)接正四邊形的一邊，若恰好是同圓的一個(gè)內(nèi)接正邊形的一邊，則的值為（

）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】連接OB，OC，OA，根據(jù)圓內(nèi)接正三角形，正方形可求出，的度數(shù)，進(jìn)而可求的度數(shù)，利用，即可求得答案．【詳解】如圖：連接OB，OC，OA，為圓內(nèi)接正三角形四邊形ACDF為圓內(nèi)接正方形若以BC為邊的圓內(nèi)接正邊形，則有故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接正多邊形中心角的求法，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接正多邊形的中心角等于（為正多邊形的邊數(shù)）是解題關(guān)鍵．5．如圖，AC是⊙O的內(nèi)接正四邊形的一邊，點(diǎn)B在弧AC上，且BC是⊙O的內(nèi)接正六邊形的一邊．若AB是⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，則n的值為（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】連接AO、BO、CO，根據(jù)中心角度數(shù)＝360°÷邊數(shù)n，分別計(jì)算出∠AOC、∠BOC的度數(shù)，根據(jù)角的和差則有∠AOB＝30°，根據(jù)邊數(shù)n＝360°÷中心角度數(shù)即可求解．【詳解】連接AO、BO、CO，∵AC是⊙O內(nèi)接正四邊形的一邊，∴∠AOC＝360°÷4＝90°，∵BC是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊，∴∠BOC＝360°÷6＝60°，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，∴n＝360°÷30°＝12；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓，解題的關(guān)鍵是根據(jù)正方形的性質(zhì)、正六邊形的性質(zhì)求出中心角的度數(shù)．二.填空題6．如圖，A、B、C、D為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，O為正多邊形的中心，若，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是________．【答案】6/六【分析】本題主要考查了正多邊形與圓，先由圓周角定理得到，再根據(jù)周角的定義即可求出答案．【詳解】解：如圖所示，連接，∵，∴，∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)是，故答案為：6．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正六邊形的邊長(zhǎng)是4，則它的內(nèi)切圓圓心M的坐標(biāo)________.【答案】【分析】作、的垂直平分線交于點(diǎn)，即為內(nèi)切圓圓心，連接，，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)得出，再由勾股定理確定，即可求解．【詳解】解：如圖所示，作、的垂直平分線交于點(diǎn)，即為內(nèi)切圓圓心，連接，，正六邊形的邊長(zhǎng)是，，為等邊三角形，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查正多邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理解三角形及坐標(biāo)與圖形，理解題意，作出圖形輔助線是解題關(guān)鍵．8．如圖，在正六邊形中，點(diǎn)P是上任意一點(diǎn)，連接，，則與正六邊形的面積之比為____________．

【答案】/【分析】本題考查正多邊形與圓，三角形的面積，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．設(shè)正多邊形的中心為O，如圖，連接，，，根據(jù)，得到，根據(jù)得到，而，求出比值即可．【詳解】解：設(shè)正多邊形的中心為O，如圖，連接，，，

，，，，，與正六邊形的面積之比為．故答案為：．9．如圖，邊長(zhǎng)為6的正方形的中心與半徑為2的的圓心重合，過(guò)點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)、，則圖中陰影部分的面積為___________．

【答案】【分析】本題考查的是正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，求解不規(guī)則圖形的面積．如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)．證明，，可得，，從而可得答案．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)．

點(diǎn)是正方形的中心，，，，，，即，，，即，，，，，．故答案為：．10．如圖，一個(gè)圓形紙片的圓心O與一個(gè)正方形的中心重合，已知的半徑和正方形的邊長(zhǎng)都為4，則圓上任意一點(diǎn)到正方形邊上任意一點(diǎn)的距離的最小值為__________．【答案】【分析】如圖，由三角形三邊關(guān)系分析可得當(dāng)O、A、B三點(diǎn)共線時(shí)，圓上任意一點(diǎn)到正方形邊上任意一點(diǎn)距離有最小值，最小值為，以此即可求解．【詳解】解：如圖，點(diǎn)B為上一點(diǎn)，點(diǎn)D為正方形上一點(diǎn)，連接，由三角形三邊關(guān)系可得，，∵是圓的半徑，為定值，當(dāng)點(diǎn)D在A時(shí)，取得最小值，∴當(dāng)O、A、B三點(diǎn)共線時(shí)，圓上任意一點(diǎn)到正方形邊上任意一點(diǎn)距離有最小值，最小值為，由題意可得，AC=4，OB=4，∵點(diǎn)O為正方形的中心，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴圓上任意一點(diǎn)到正方形邊上任意一點(diǎn)距離的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、利用三角形三邊關(guān)系求最值問(wèn)題，利用三角形三邊關(guān)系分析得出當(dāng)O、A、B三點(diǎn)共線時(shí)，圓上任意一點(diǎn)到正方形邊上任意一點(diǎn)距離有最小值是解題關(guān)鍵．三、解答題11．Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑作⊙O交AC邊于點(diǎn)D，E是邊BC的中點(diǎn)，連接DE，OD．（1）如圖①，求∠ODE的大??；（2）如圖②，連接OC交DE于點(diǎn)F，若OF=CF，求∠A的大?。敬鸢浮浚?）∠ODE=90°；（2）∠A=45°.【詳解】分析：（Ⅰ）連接OE，BD，利用全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可；

（Ⅱ）利用中位線的判定和定理解答即可．詳解：（Ⅰ）連接OE，BD．

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴∠CDB=90°．

∵E點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，∴DE=BC=BE．

∵OD=OB，OE=OE，∴△ODE≌△OBE，∴∠ODE=∠OBE．

∵∠ABC=90°，∴∠ODE=90°；

（Ⅱ）∵CF=OF，CE=EB，∴FE是△COB的中位線，∴FE∥OB，∴∠AOD=∠ODE，由（Ⅰ）得∠ODE=90°，∴∠AOD=90°．

∵OA=OD，∴∠A=∠ADO=．點(diǎn)睛：本題考查