專(zhuān)題08 圓的對(duì)稱性壓軸題六種模型全攻略（解析版）

專(zhuān)題08圓的對(duì)稱性壓軸題六種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一利用垂徑定理求值】 1【考點(diǎn)二利用垂徑定理求平行弦問(wèn)題】 4【考點(diǎn)三利用垂徑定理求同心圓問(wèn)題】 7【考點(diǎn)四利用垂徑定理求解其他問(wèn)題】 10【考點(diǎn)五垂徑定理的推論】 13【考點(diǎn)六垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用】 15【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 18【典型例題】【考點(diǎn)一利用垂徑定理求值】例題：（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，弦，垂足為，連接，若，，則弦的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】由題意易得，根據(jù)勾股定理可求的長(zhǎng)，然后問(wèn)題可求解．【詳解】解：連接，

∵是的直徑，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴,故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·廣東惠州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知的半徑為，弦的長(zhǎng)為，則圓心到的距離為．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)H，由垂徑定理得到，在中，利用勾股定理即可得到圓心到的距離．【詳解】解：如圖，的半徑為，弦的長(zhǎng)為，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)H，

則，，∴，即圓心到的距離為，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握垂徑定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）“圓材埋壁”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)：徑幾何？”轉(zhuǎn)化為現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語(yǔ)言就是：如圖，是的直徑，弦，垂足為E，寸，寸．則直徑的長(zhǎng)為寸．

【答案】26【分析】連接構(gòu)成直角三角形，先根據(jù)垂徑定理，由得到點(diǎn)為的中點(diǎn)，由可求出的長(zhǎng)，再設(shè)出圓的半徑為，表示出，根據(jù)勾股定理建立關(guān)于的方程，求解方程可得的值，即為圓的直徑．【詳解】解：連接，

，且寸，寸，設(shè)圓的半徑的長(zhǎng)為，則，，，在中，根據(jù)勾股定理得：，化簡(jiǎn)得：，即，（寸）．故答案為：26．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形．【考點(diǎn)二利用垂徑定理求平行弦問(wèn)題】例題：（2023秋·天津和平·九年級(jí)?？计谀┌霃綖?，弦，，，則與間的距離為（

）A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)作，為垂足，交與，連，，由，得到，根據(jù)垂徑定理得，，再在中和在中分別利用勾股定理求出，，然后討論：當(dāng)圓點(diǎn)在、之間，與之間的距離；當(dāng)圓點(diǎn)不在、之間，與之間的距離．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，為垂足，交與，連，，如圖，，，，，而，，，，在中，，；在中，，；當(dāng)圓點(diǎn)在、之間，與之間的距離；當(dāng)圓點(diǎn)不在、之間，與之間的距離；所以與之間的距離為7或1．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，即垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的弧．也考查了勾股定理以及分類(lèi)討論的思想的運(yùn)用．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在半徑為10的中，弦，弦，且，則與之間的距離是．【答案】2或14【分析】由于弦與的具體位置不能確定，故應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論：①弦與在圓心同側(cè)；②弦與在圓心異側(cè)；作出半徑和弦心距，利用勾股定理和垂徑定理求解即可．【詳解】解：①當(dāng)弦與在圓心同側(cè)時(shí)，如圖①，

過(guò)點(diǎn)O作，垂足為F，交于點(diǎn)E，連接，∵，∴，∵，∴，∵，∴由勾股定理得：，，∴；②當(dāng)弦與在圓心異側(cè)時(shí)，如圖，

過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)E，反向延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，同理，，，所以與之間的距離是2或14．故答案為：2或14．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和垂徑定理，解答此題時(shí)要注意進(jìn)行分類(lèi)討論，不要漏解．2．（2023春·甘肅武威·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）的半徑為13cm，AB、CD是的兩條弦，，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之間的距離．【答案】7cm或17cm．【分析】分兩種情況進(jìn)行討論：①弦AB和CD在圓心同側(cè)；②弦AB和CD在圓心異側(cè)；作出半徑和弦心距，利用勾股定理和垂徑定理求解即可．【詳解】解：①當(dāng)弦AB和CD在圓心同側(cè)時(shí)，如圖1∵AB＝24cm，CD＝10cm，∴AE＝12cm，CF＝5cm，∵OA＝OC＝13cm，∴EO＝5cm，OF＝12cm，∴EF＝12?5＝7cm；②當(dāng)弦AB和CD在圓心異側(cè)時(shí)，如圖2，∵AB＝24cm，CD＝10cm，∴AE＝12cm，CF＝5cm，∵OA＝OC＝13cm，∴EO＝5cm，OF＝12cm，∴EF＝OF＋OE＝17cm．∴AB與CD之間的距離為7cm或17cm．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和垂徑定理的應(yīng)用，正確作出輔助線、靈活運(yùn)用定理是解題的關(guān)鍵，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類(lèi)討論思想的應(yīng)用．【考點(diǎn)三利用垂徑定理求同心圓問(wèn)題】例題：如圖，已知的兩條弦、分別與的同心圓交于點(diǎn)E、F、X、Y，，，，則的長(zhǎng)度為．

【答案】5【分析】先設(shè)大圓半徑為R，小圓半徑為r，的長(zhǎng)度為．連結(jié)、、、，然后過(guò)點(diǎn)分別作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理和勾股定理，得，，即，則，同理得，則，即可作答．【詳解】解：設(shè)大圓半徑為R，小圓半徑為r，的長(zhǎng)度為．連結(jié)、、、，然后過(guò)點(diǎn)分別作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，如圖所示：

由垂徑定理可得，，在和，由勾股定理得，，即，則，那么，在和，由勾股定理得，，即，則，那么，因?yàn)?，所以，解得，所以．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理以及勾股定理，解出和是本題解題的關(guān)鍵，難度適中．【變式訓(xùn)練】1．如圖，一人口的弧形臺(tái)階，從上往下看是一組同心圓被一條直線所截得的一組圓弧．已知每個(gè)臺(tái)階寬度為32cm（即相鄰兩弧半徑相差32cm），測(cè)得AB=200cm，AC=BD=40cm，則弧AB所在的圓的半徑為cm【答案】134【分析】由于所有的環(huán)形是同心圓，畫(huà)出同心圓圓心，設(shè)弧AB所在的圓的半徑為r，利用勾股定理列出方程即可解答．【詳解】解：設(shè)弧AB所在的圓的半徑為r，如圖．作OE⊥AB于E，連接OA，OC，則OA=r，OC=r+32，∵OE⊥AB，∴AE=EB=100cm，在RT△OAE中，在RT△OCE中，，則解得：r=134．故答案為：134．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．2．如圖，在兩個(gè)同心圓中，大圓的弦與小圓相交于C，D兩點(diǎn)．(1)求證：．(2)若，大圓的半徑，求小圓的半徑r．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)小圓的半徑r為【分析】（1）過(guò)O作于點(diǎn)E，由垂徑定理可知E為和的中點(diǎn)，則可證得結(jié)論；（2）連接，由條件可求得的長(zhǎng)，則可求得和的長(zhǎng)，在中，利用勾股定理可求得的長(zhǎng)，在中可求得的長(zhǎng)；【詳解】（1）證明：過(guò)O作于點(diǎn)E，如圖1，由垂徑定理可得∴∴（2）解：連接，如圖2，∵，∴，∴，∴，在中，由勾股定理可得，在中，由勾股定理可得∴，即小圓的半徑r為．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理與勾股定理的知識(shí)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．【考點(diǎn)四利用垂徑定理求解其他問(wèn)題】例題：如圖所示，一圓弧過(guò)方格的格點(diǎn)，試在方格中建立平面直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)的坐標(biāo)為，則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，作線段、的垂直平分線，其交點(diǎn)即為圓心，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求得答案．【詳解】如圖所示，連接，作線段、的垂直平分線，其交點(diǎn)即為圓心．

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系、垂徑定理的推論，牢記垂徑定理的推論（平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧）是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．如圖是一破損了的圓形零件的設(shè)計(jì)圖，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的有關(guān)知識(shí)將設(shè)計(jì)圖恢復(fù)完整．

【答案】見(jiàn)解析【分析】在弧上任取三點(diǎn)，，，連接，，分別做，的中垂線交于點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓即可．【詳解】解：如圖即為所作的圓．

【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)雜作圖及垂徑定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握：弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心．2．已知：如圖，是的直徑，點(diǎn)C在上，請(qǐng)用無(wú)刻度直尺畫(huà)圖（保留作圖痕跡，不寫(xiě)畫(huà)法）．

(1)如圖①，若M是半圓的中點(diǎn)，且與C點(diǎn)在同側(cè)，畫(huà)出的平分線．并說(shuō)明理由；(2)如圖②，若，畫(huà)出的平分線．【答案】(1)畫(huà)圖，理由見(jiàn)解析(2)畫(huà)圖見(jiàn)解析【分析】（1）作直徑，作射線即可，理由見(jiàn)解析；（2）連接，交于點(diǎn)，作直線交于點(diǎn)，作射線即可，由可得，從而得出，從而得出，再由等腰三角形性質(zhì)得出，推出，最后得出結(jié)論．【詳解】（1）如圖①，即為所求的平分線；

證明：∵M(jìn)是半圓的中點(diǎn)，∴，∴直徑直徑，∴，∴，即平分．（2）如圖2中，射線即為所求．

【點(diǎn)睛】本題考查作圖復(fù)雜作圖，角平分線的概念，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．【考點(diǎn)五垂徑定理的推論】例題：（2023·新疆喀什·統(tǒng)考二模）某公路隧道的截面為圓弧形，設(shè)圓弧所在圓的圓心為O，測(cè)得其同一水平線上A、B兩點(diǎn)之間的距離為12米，拱高為4米，則的半徑為米．【答案】【分析】連接，設(shè)的半徑為R，利用垂徑定理以及勾股定理求解即可．【詳解】解：連接，設(shè)的半徑為R，則，由題意得，，∴，在中，由勾股定理得，解得，則的半徑為米．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖是一位同學(xué)從照片上前切下來(lái)的海上日出時(shí)的畫(huà)面，“圖上”太陽(yáng)與海平線交于A，B兩點(diǎn)，他測(cè)得“圖上”圓的半徑為10厘米，厘米．則“圖上”太陽(yáng)從目前所處位置到完全跳出海平面，升起厘米．【答案】16【分析】連接，作于點(diǎn)D，交優(yōu)弧于點(diǎn)C，利用垂徑定理求得厘米．在中，利用勾股定理求得的長(zhǎng)，據(jù)此求解即可．【詳解】解：連接，作于點(diǎn)D，交優(yōu)弧于點(diǎn)C，則厘米．由題意得厘米，在中，厘米，∴厘米，則“圖上”太陽(yáng)從目前所處位置到完全跳出海平面，升起16厘米．故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)校聯(lián)考期末）《九章算術(shù)》中卷九勾股篇記載：今有圓材埋于壁中，不知大?。凿忎徶钜淮?，鋸道長(zhǎng)一尺．問(wèn)徑幾何？轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言：如圖，為的半徑，弦，垂足為，寸，尺尺寸，則此圓材的直徑長(zhǎng)是寸．【答案】【分析】連接，依題意，得出，設(shè)半徑為，則，在中，，解方程即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，∵，，，為的半徑，∴，設(shè)半徑為，則，在中，，∴，解得：，∴直徑為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)六垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用】例題：（2023春·安徽亳州·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，的直徑與弦交于點(diǎn)E，，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)垂徑定理及其推論判斷即可．【詳解】解：∵是的直徑與弦交于點(diǎn)，，根據(jù)垂徑定理及其推論可得，點(diǎn)B為劣弧的中點(diǎn)，點(diǎn)為優(yōu)弧的中點(diǎn)，∴，，但不能證明，故選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理及其推論，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理及其推論：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧，平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條?。咀兪接?xùn)練】1．（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）下列說(shuō)法正確的是（）①平分弧的直徑垂直平分弧所對(duì)的弦②平分弦的直徑平分弦所對(duì)的弧③垂直于弦的直線必過(guò)圓心④垂直于弦的直徑平分弦所對(duì)的弧A．②③ B．①③ C．②④ D．①④【答案】D【詳解】根據(jù)垂徑定理及其推論進(jìn)行判斷．【解答】解：根據(jù)垂徑定理，①正確；②錯(cuò)誤．平分弦（不是直徑）的直徑平分弦所對(duì)的?。虎坼e(cuò)誤．垂直于弦且平分弦的直線必過(guò)圓心；④正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】注意概念性質(zhì)的語(yǔ)言敘述，有時(shí)是專(zhuān)門(mén)來(lái)混淆是非的，只是一字之差，所以學(xué)生一定要養(yǎng)成認(rèn)真仔細(xì)的習(xí)慣．2．已知一座圓弧形拱橋，圓心為點(diǎn)O，橋下水面寬度為，過(guò)O作于點(diǎn)D，．

(1)求該圓弧形拱橋的半徑；(2)現(xiàn)有一艘寬，船艙頂部高出水面的貨船要經(jīng)過(guò)這座拱橋（船艙截面為長(zhǎng)方形），請(qǐng)問(wèn)，該貨船能順利通過(guò)嗎？【答案】(1)(2)可以順利通過(guò)，見(jiàn)解析【分析】本題考查垂徑定理及勾股定理，利用半弦，半徑和弦心距構(gòu)造直角三角形，根據(jù)直角三角形中的勾股定理作為相等關(guān)系解方程求線段的長(zhǎng)度是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵，∴，連接，設(shè)，得：解得：，∴圓弧形拱橋的半徑為；（2）∵，，∴，且，

∴，.連接，則，

∴，即：，∴該貨船可以順利通過(guò)．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．如圖，的半徑為5，于點(diǎn)C，若，則弦的長(zhǎng)為（

）

A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】由垂徑定理得：，根據(jù)勾股定理，可以求出的長(zhǎng)，從而得的長(zhǎng)．【詳解】解：∵于點(diǎn)C，，∵的半徑是5，，又，在中，，所以．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，利用垂徑定理可以把半徑，弦心距，弦長(zhǎng)之間的計(jì)算轉(zhuǎn)化為解直角三角形．2．為了測(cè)量一個(gè)鐵球的直徑，將該鐵球放入工件槽（相鄰兩邊互相垂直）內(nèi)，測(cè)得的有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示（單位：），則該鐵球的直徑為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接、、，根據(jù)題意可得，，再根據(jù)垂徑定理得到，設(shè)，利用勾股定理建立方程解出x即可解決此題．【詳解】解：連接、、，交于點(diǎn)H，如圖所示：由題可得，，，，設(shè)，則，在中，，，解得，即，∴鐵球的直徑為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理，解題的關(guān)鍵是能構(gòu)造直角三角形利用勾股定理解直角三角形．3．已知的半徑，弦、的長(zhǎng)分別是、，則的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理、勾股定理逆定理及特殊角三角函數(shù)．分兩種情況考慮，根據(jù)垂徑定理及特殊角三角函數(shù)即可求解．【詳解】解：當(dāng)弦、在半徑的同側(cè)時(shí)，如圖，過(guò)O作于D，則，，∵，∴，∴；∵，∴，∴；當(dāng)弦、在半徑的異側(cè)時(shí)，如圖，同理可求得，，則，即的度數(shù)為或；故選：C．4．如圖，是的弦，半徑于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，．若，，則的面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)垂徑定理，三角形中位線定理以及勾股定理求出，再根據(jù)三角形面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】∵是的直徑，∴，∵，是的半徑，∴，∵，∴是的中位線，∴，由于，可設(shè)，則，，在中，由勾股定理得，，即，解得或（舍去），即，∴，，，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理，三角形中位線定理以及勾股定理，掌握垂徑定理，三角形中位線定理以及勾股定理是解決問(wèn)題的前提，求出的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．5．已知圓中兩條平行的弦之間距離為，其中一弦長(zhǎng)為，若半徑為，則另一弦長(zhǎng)為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)題意可知直徑是，由此分類(lèi)討論，①如圖所示，在的上方；②如圖所示，在的下方；運(yùn)用垂徑定理，勾股定理，圖形結(jié)合分析即可求解．【詳解】解：∵圓的半徑為，∴圓的直徑是，①如圖所示，在的上方，，，連接，∴，，在中，，∴，在中，，∴；②如圖所示，在的下方，，，連接，∴，，在中，，∴；綜上所述，另一弦長(zhǎng)為或，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的相關(guān)知識(shí)，掌握勾股定理，垂徑定理的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．如圖，已知的弦，半徑于，，則的半徑為．

【答案】5【分析】由垂徑定理可得，設(shè)，則，由勾股定理可得，求出的值即可得到答案．【詳解】解：，，，設(shè)，則，在中，，即，解得：，的半徑為5，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解此題的關(guān)鍵．7．如圖，將半徑為4的折疊，弧恰好經(jīng)過(guò)與垂直的半徑的中點(diǎn)，則折痕的長(zhǎng)．

【答案】【分析】如圖，由折疊知，,，于是．．垂徑定理，得．中，，得．【詳解】解：如圖，由折疊知，,∵∴．∴．∴．∵，∴．中，．∴．

故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，構(gòu)建直角三角形運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．8．《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中記載了一個(gè)“圓材埋壁”的問(wèn)題：“今有圓材，埋在壁中，不知大?。凿忎徶?、深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？”用幾何語(yǔ)言表達(dá)為：如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)E，寸，寸，則直徑長(zhǎng)為寸．【答案】26【分析】證明E為的中點(diǎn)，可得，設(shè)，則，，由勾股定理得：，可得，再解方程可得答案．【詳解】解：∵弦，為的直徑，∴E為的中點(diǎn)，又∵（寸），∴（寸），設(shè)（寸），則（寸），寸，由勾股定理得：，即，解得，∴（寸），故答案為：26．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，熟練的利用垂徑定理解決問(wèn)題是關(guān)鍵．9．如圖，在中，弦，點(diǎn)C在上移動(dòng)，連接，過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)D、E，則的最大值為．【答案】【分析】連接，由可知當(dāng)最小時(shí)，最大；又，故當(dāng)最小時(shí)，最大；所以當(dāng)時(shí)滿足題意，據(jù)此即可求解．【詳解】解：連接，如圖所示：∵，為的半徑，其值一定，∴當(dāng)最小時(shí)，最大，∵∴當(dāng)最小時(shí)，最大，∵點(diǎn)C在上移動(dòng)，∴當(dāng)時(shí)，最小此時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)（或點(diǎn)）重合，點(diǎn)與點(diǎn)（或點(diǎn)）重合，∴的最大值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，得出當(dāng)時(shí)，最小，最大，也最大是解題關(guān)鍵．10．圖1是車(chē)載手機(jī)支架實(shí)物圖，圖2是其正面示意圖，其中，，為伸縮桿，其中，支架最大寬度，支架的高為，則外接圓O的半徑為，當(dāng)一部寬為的手機(jī)置于支架中，如圖3，此時(shí)手機(jī)夾臂收縮，手機(jī)托下移，手機(jī)伸縮桿的移動(dòng)距離相同（），形成的外接圓的圓心為點(diǎn)P，若，則為cm．

【答案】【分析】延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可得，，設(shè)的半徑為，根據(jù)勾股定理即可求解得到半徑；延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可得，，，，根據(jù)題意可得，推得，求得，，根據(jù)勾股定理求得，設(shè)，則，，根據(jù)勾股定理列方程，求解即可得出答案．【詳解】解：延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，如圖：

根據(jù)題意可得，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，∴，，設(shè)的半徑為，則，在中，，即，解得：；延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接，如圖：

根據(jù)題意可得，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，∴，，，，∵，，∴，又∵，∴，又∵，∴，即，∴，在中，，設(shè)，則，，在中，，即，解得：，即的值為．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．如圖，割線與交于點(diǎn)A，B，割線過(guò)圓心O，且，若弦，的半徑，求的長(zhǎng)．

【答案】的長(zhǎng)為13【分析】作于點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理可得出，在中利用勾股定理求得，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可求得，即可求得PC．【詳解】解：如圖，作于點(diǎn)，

則，在中，，在中，，∴，∴，∴的長(zhǎng)為13．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，正確地添加輔助線是解題的關(guān)鍵．12．如圖，的直徑垂直于弦，垂足為E，，．

(1)求的半徑長(zhǎng)；(2)連接，作于點(diǎn)F，求的長(zhǎng)．【答案】(1)5(2)【分析】（1）連接，如圖，設(shè)的半徑長(zhǎng)為r，先根據(jù)垂徑定理得到，再利用勾股定理得到，然后解方程即可；（2）先利用勾股定理計(jì)算出，再根據(jù)垂徑定理得到，然后利用勾股定理可計(jì)算出的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：連接，如圖，設(shè)的半徑長(zhǎng)為r，∵，∴，，在中，，，，∴，解得，即的半徑長(zhǎng)為5；

（2）解：在中，，，∴，∵，∴，，在中，，即的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．也考查了勾股定理．13．將圖中破損的輪子復(fù)原，已知點(diǎn)，，在弧上．(1)尺規(guī)作圖：作出該輪子的圓心（不寫(xiě)作法，用黑色筆將作圖痕跡加黑）；(2)連接，若點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，，點(diǎn)到的距離是，求輪子的半徑．【答案】(1)作圖見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)垂徑定理的推論，分別作弦和的垂直平分線，兩垂直平分線交點(diǎn)即為所求；（2）連接，，利用垂徑定理推論和勾股定理可求出圓片的半徑．【詳解】（1）解：如圖，分別作垂直平分、垂直平分，交于點(diǎn)，∴和都經(jīng)過(guò)弧所在圓的圓心，∴點(diǎn)為該輪子的圓心．則點(diǎn)即為所作．（2）如圖，連接交于，連接，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，，∴，，∵點(diǎn)到的距離是，輪子的半徑，∴，∵，，在中，，∴，解得：，∴輪子的半徑為．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理的推論，可以把垂徑定理的題設(shè)和結(jié)論敘述為：一條直線①過(guò)圓心，②垂直于弦，③平分弦，④平分優(yōu)弧，⑤平分劣弧，在應(yīng)用垂徑定理解題時(shí)，只要具備上述5條中任意2條，則其他3條成立．掌握垂徑定理的推論是解題的關(guān)鍵．14．某地有一座圓弧形拱橋，橋下水面寬度為，拱頂高出水面（即），，

(1)求出該圓弧形拱橋所在圓的半徑；(2)現(xiàn)有一艘寬，船艙高出水面的貨船要經(jīng)過(guò)這里，此貨船能順利通過(guò)這座橋嗎？【答案】(1)該圓弧形拱橋所在圓的半徑為13米(2)此貨船不能順利通過(guò)這座橋【分析】（1）連接，根據(jù)垂徑定理得出，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理可得，列出方程求解即可；（2）易得米，構(gòu)造如圖所示矩形，連接，推出米，根據(jù)勾股定理可得米，求出，再與米進(jìn)行比較即可．【詳解】（1）解：連接，

∵，，∴，設(shè)，∵，∴，在中，根據(jù)勾股定理可得：，即，解得：，答：該圓弧形拱橋所在圓的半徑為13米．（2）解：∵米，，∴米，構(gòu)造如圖所示矩形，連接，當(dāng)時(shí)