2023年南京市初中學(xué)業(yè)水平考試·數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)試卷第頁（共頁）2023年南京市初中學(xué)業(yè)水平考試·數(shù)學(xué)一、選擇題(本大題共6小題，每小題2分，共12分.在每小題所給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將正確選項(xiàng)前的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上)1.全國深入踐行習(xí)近平生態(tài)文明思想，科學(xué)開展大規(guī)模國土綠化行動，厚植美麗中國亮麗底色，去年完成造林約3

830

000公頃.用科學(xué)記數(shù)法表示3

830

000是()A.3.83×106 B.0.383×106 C.3.83×107 D.0.383×1071.A【解析】3830000＝3.83×106.2.整數(shù)a滿足19＜a＜29，則a的值為()A.3 B.4 C.5 D.62.C【解析】∵19<25<29，即19<5<29，∴整數(shù)a＝5，3.若一個等腰三角形的腰長為3，則它的周長可能是()A.5 B.10 C.15 D.203.B【解析】∵等腰三角形的腰長為3，∴3－3＜等腰三角形的底長＜3＋3，即0＜等腰三角形的底長＜6，∴6＜等腰三角形的周長＜12，∴B選項(xiàng)符合題意．4.甲、乙兩地相距100km，汽車從甲地勻速行駛到乙地，則汽車行駛的時間t(單位：h)與行駛速度v(單位：km/h)之間的函數(shù)圖象是()ABCD4.D【解析】根據(jù)題意，得100＝v·t，∴t＝100v(v>0)，∴汽車行駛時間t與行駛速度v之間是反比例函數(shù)，其圖5.我國南宋數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》中有一道問題：“問沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步，欲知為田幾何？”問題大意：如圖，在△ABC中，AB＝13里，BC＝14里，AC＝15里，則△ABC的面積是()A.80平方里 B.82平方里 C.84平方里 D.86平方里5.C【解析】如解圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，設(shè)BD＝x里，則CD＝(14－x)里，在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理，得AD2＝AB2－BD2，即AD2＝132－x2，在Rt△ADC中，根據(jù)勾股定理，得AD2＝AC2－CD2，即AD2＝152－(14－x)2，∴132－x2＝152－(14－x)2，整理，得28x＝140，解得x＝5，∴，AD＝AB2－BD2＝132－52＝12(里)，∴S△ABC＝12解圖6.如圖，不等臂蹺蹺板AB的一端A碰到地面時，另一端B到地面的高度為60cm；當(dāng)AB的一端B碰到地面時，另一端A到地面的高度為90cm，則蹺蹺板AB的支撐點(diǎn)O到地面的高度OH是()A.36cm B.40cm C.42cm D.45cm6.A【解析】如解圖①，過點(diǎn)B作BC⊥AH，垂足為C，∵OH⊥AC，BC⊥AC，∴∠AHO＝∠ACB＝90°，∵∠BAC＝∠OAH，∴△AOH∽△ABC，∴OHBC＝AOAB，∴OH60＝AOAB，如解圖②，過點(diǎn)A作AD⊥BH，垂足為D，∵OH⊥BD，AD⊥BD，∴∠OHB＝∠ADB＝90°，∵∠ABD＝∠OBH，∴△ABD∽△OBH，∴OHAD＝OBAB，∴OH90＝OBAB，∴OH60＋OH90＝AOAB＋OBAB，∴解圖二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上)7.計(jì)算：|－2|＝；（?2）7.2，28.若式子1x－2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍8.x≠2【解析】∵式子1x－2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴x－2≠0.9.計(jì)算12×6－18的結(jié)果是.9.32【解析】原式＝23×6－32＝62－32＝32.10.分解因式3a2－6a＋3的結(jié)果是.10.3(a－1)2【解析】3a2－6a＋3＝3(a2－2a＋1)＝3(a－1)2.11.計(jì)算23×44×（18）5的11.116【解析】原式＝23×(22)4×(2－3)5＝23×28×2－15＝23＋8－15＝2－4＝11612.某校九年級有8個班級，人數(shù)分別為37，a，32，36，37，32，38，34.若這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為32，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為.12.35【解析】∵這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為32，∴a＝32，把這組數(shù)據(jù)從小到大排列為32，32，32，34，36，37，37，38，排在中間的兩個數(shù)分別為34，36，∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為34＋3613.甲車從A地出發(fā)勻速行駛，它行駛的路程y(單位：km)與行駛的時間x(單位：min)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.甲車出發(fā)20min后，乙車從A地出發(fā)沿同一路線勻速行駛.若乙車經(jīng)過20min～30min追上甲車，則乙車的速度v(單位：km/min)的取值范圍是.13.32≤v≤9【解析】由題圖得甲車的速度為18÷20＝910(km/min)，設(shè)甲車出發(fā)t

min后乙車追上甲車，∵乙車經(jīng)過20

min～30

min追上甲車，∴t的取值范圍為40≤t≤50.則910t＝v(t－20)∴v＝9t10（t－20）＝910－200t，∴v隨t的增大而減?。?dāng)t＝50時，v取最小值，最小值為910－20050＝32，當(dāng)t＝40時，v取最大值，最大值為91014.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，且OA＝3.若反比例函數(shù)y＝kx的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，則k的取值范圍是14.0＜k≤92【解析】當(dāng)點(diǎn)A為反比例函數(shù)y＝kx的圖象與直線y＝x的交點(diǎn)時，k的值最大．∵OA＝3，∴點(diǎn)A在直線y＝x上時，A(322，322)，∴此時k＝322×322＝92，∵點(diǎn)A在第一象限，∴k＞0，∴k的取值15.如圖，⊙O與正六邊形ABCDEF的邊CD，EF分別相切于點(diǎn)C，F(xiàn).若AB＝2，則⊙O的半徑長為

.15.43【解析】如解圖，連接OC，OF，CF，過D作DG⊥CF于點(diǎn)G，過E作EH⊥CF于點(diǎn)H，∴EH∥DG，∵EF，CD是⊙O的切線，∴∠OFE＝∠OCD＝90°，∵多邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠FED＝∠CDE＝120°，∴∠COF＝120°，∵OC＝OF，∴∠OCF＝∠OFC＝30°，∴∠EFH＝∠DCG＝60°，∵∠EHF＝∠DGC＝90°，CD＝EF，∴△CDG≌△FEH(AAS)，∴FH＝CG，EH＝DG，∴四邊形EHGD是矩形，∴GH＝DE＝2，∵EF＝CD＝2，∠DCG＝∠EFH＝60°，∴FH＝CG＝12EF＝1，∴CF＝CG＋GH＋FH＝4，過O作OM⊥CF于點(diǎn)M，∴CM＝12CF＝2，∴OC＝CMcos30°＝433解圖16.如圖，在菱形紙片ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，將紙片沿CE折疊，點(diǎn)B落在B′處，CB′⊥AD，垂足為F.若CF＝4cm，F(xiàn)B′＝1cm，則BE＝cm.16.25【解析】如解圖，過點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，則∠BHE＝∠CHE＝90°，∵CF＝4

cm，F(xiàn)B′＝1

cm，∴B′C＝CF＋FB′＝4＋1＝5(cm)，∵四邊形ABCD是菱形，∴BC∥AD，DC＝BC＝5

cm，∠B＝∠D，∵CB′⊥AD，∴∠BCB′＝∠CFD＝90°，∴DF＝CD2－CF2＝3(cm)，由折疊的性質(zhì)，得BC＝B′C＝5

cm，∠BCE＝∠B′CE＝12∠BCB′＝45°，∴∠HEC＝∠BCE＝45°，∴CH＝EH，設(shè)CH＝EH＝x，則BH＝5－x，∵∠B＝∠D，∴tan

B＝tan

D，∴EHBH＝CFDF，即x5－x＝43，解得x＝207，∴EH解圖三、解答題(本大題共11小題，共88分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.計(jì)算(1－9x2)÷17.解：原式

＝x2－9＝（x＋3＝x＋18.解不等式組2x－18.解：令2x解不等式①，得x＜12解不等式②，得x＞－3，∴不等式組的解集為－3＜x＜12則原不等式組的整數(shù)解是－2，－1，0.19.如圖，在?ABCD中，點(diǎn)M，N分別在邊BC，AD上，且AM∥CN，對角線BD分別交AM，CN于點(diǎn)E，F(xiàn).求證BE＝DF.19.證明：如解圖，連接AC交BD于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝OC，OB＝OD，∵AM∥CN，∴∠EAO＝∠FCO，在△AOE與△COF中，∠EAO＝∠FCOAO＝CO∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△解圖20.社會運(yùn)轉(zhuǎn)和日常生活離不開物流行業(yè)的發(fā)展，閱讀以下統(tǒng)計(jì)圖并回答問題.(1)下列結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是；①2011～2022年社會物流總費(fèi)用占GDP比重總體呈先下降后穩(wěn)定的趨勢；②2011～2016年社會物流總費(fèi)用的波動比2017～2022年社會物流總費(fèi)用的波動大；③2012～2022年社會物流總費(fèi)用逐年增加，其中增加的幅度最大的一年是2021年.(2)請結(jié)合上圖提供的信息，從不同角度寫出兩個與我國GDP相關(guān)的結(jié)論.20.解：(1)①③；【解法提示】2011～2022年社會物流總費(fèi)用占GDP比重總體呈先下降后穩(wěn)定的趨勢，故①正確；2011～2016年社會物流總費(fèi)用的波動范圍為2.7，2017～2022年社會物流總費(fèi)用的波動范圍為5.7，故2011～2016年社會物流總費(fèi)用的波動比2017～2022年社會物流總費(fèi)用的波動小，故②錯誤；2012～2022年社會物流總費(fèi)用逐年增加，其中增加的幅度最大的一年是2021年，故③正確．故正確的結(jié)論序號為①③.(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可得，從2011年到2022年我國的GDP逐年穩(wěn)步增加；GDP的循環(huán)規(guī)律是5到7年增長，2年持平或衰退(答案不唯一，合理即可).21.某旅游團(tuán)從甲、乙、丙、丁4個景點(diǎn)中隨機(jī)選取景點(diǎn)游覽.(1)選取2個景點(diǎn)，求恰好是甲、乙的概率；(2)選取3個景點(diǎn)，則甲、乙在其中的概率為.21.解：(1)畫樹狀圖如解圖①，解圖①由樹狀圖可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好是甲、乙的結(jié)果有2種，∴P(恰好是甲、乙)＝212＝1(2)12【解法提示】畫樹狀圖如解圖②，解圖②由樹狀圖可知，共有24種等可能的結(jié)果，其中甲、乙在其中的結(jié)果有12種，∴P(甲、乙在其中)＝1224＝122.如圖，某校的飲水機(jī)有溫水、開水兩個按鈕，溫水和開水共用一個出水口.溫水的溫度為30

℃，流速為20ml/s；開水的溫度為100

℃，流速為15ml/s.某學(xué)生先接了一會兒溫水，又接了一會兒開水，得到一杯280ml溫度為60

℃的水(不計(jì)熱損失)，求該學(xué)生分別接溫水和開水的時間.22.解：設(shè)該學(xué)生接溫水的時間為xs，根據(jù)題意，得20x×(60－30)＝(280－20x)×(100－60)，解得x＝8，∴20×8＝160(ml)，∵280－160＝120(ml)，∴120÷15＝8(s)，∴該學(xué)生接溫水的時間為8s，接開水的時間為8s.23.如圖，為了測量無人機(jī)的飛行高度，在水平地面上選擇觀測點(diǎn)A，B.無人機(jī)懸停在C處，此時在A處測得C的仰角為36°52′；無人機(jī)垂直上升5m懸停在D處，此時在B處測得D的仰角為63°26′.AB＝10m，點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)，A，B兩點(diǎn)在CD的同側(cè).求無人機(jī)在C處時離地面的高度.(參考數(shù)據(jù)：tan

36°52′≈0.75，tan

63°26′≈2.00)23.解：如解圖，延長DC交AB的延長線于點(diǎn)E，由題意，得DE⊥AB，CD＝5m，設(shè)BE＝xm，則AE＝AB＋BE＝(10＋x)m，在Rt△ACE中，∵∠CAE＝36°52′，∴CE＝AE·tan

36°52′≈0.75(10＋x)m，在Rt△BDE中，∵∠DBE＝63°26′，∴DE＝BE·tan

63°26′≈2x(m)，∵DC＋CE＝DE，∴5＋0.75(10＋x)＝2x，解得x＝10，∴CE＝0.75(10＋x)＝15(m)，∴無人機(jī)在C處時離地面的高度約為15m.解圖24.如圖，玻璃桌面與地面平行，桌面上有一盞臺燈和一支鉛筆，點(diǎn)光源O與鉛筆AB所確定的平面垂直于桌面.在燈光照射下，AB在地面上形成的影子為CD(不計(jì)折射)，AB∥CD.(1)在桌面上沿著AB方向平移鉛筆，試說明CD的長度不變；(2)桌面上一點(diǎn)P恰在點(diǎn)O的正下方，且OP＝36cm，PA＝18cm，AB＝18cm，桌面的高度為60cm.在點(diǎn)O與AB所確定的平面內(nèi)，將AB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得CD的長度最大.①畫出此時AB所在位置的示意圖；②CD的長度的最大值為cm.24.解：(1)如解圖①，設(shè)AB平移到EF，EF在地面上形成的影子為MN.∵AB∥CD，∴△OAB∽△OCD，△OEF∽△OMN，△OEB∽△OMD，∴ABCD＝OBOD，EFMN＝OEOM，OBOD＝OEOM，∴EFMN＝AB解圖①(2)①畫出AB所在位置如解圖②；【作法提示】以A為圓心，AB長為半徑畫圓，

當(dāng)OQ與⊙A相切于點(diǎn)H時，此時CD最大為CQ.此時AB所在位置為AH.②80.【解法提示】如解圖②，由①可知OQ與⊙A相切，∴∠AHG＝90°，∴∠AHG＝∠OPG＝90°，又∵∠HGA＝∠PGO，∴△AGH∽△OGP，∴AGOG＝AHOP＝1836＝12，∴設(shè)AG＝x，則OG＝2x，PG＝18＋x，在Rt△OPG中，根據(jù)勾股定理，得OP2＋PG2＝OG2，∴362＋(18＋x)2＝(2x)2，整理，得x2－12x－540＝0，解得x1＝30，x2＝－18(舍去)，∴AG＝30，∵PG∥RQ，∴由OPOR＝AGCQ，∴36解圖②25.已知二次函數(shù)y＝ax2－2ax＋3(a為常數(shù)，a≠0).(1)若a＜0，求證：該函數(shù)的圖象與x軸有兩個公共點(diǎn)；(2)若a＝－1，求證：當(dāng)－1＜x＜0時，y＞0；(3)若該函數(shù)的圖象與x軸有兩個公共點(diǎn)(x1，0)，(x2，0)，且－1＜x1＜x2＜4，則a的取值范圍是.25.(1)證明：∵b2－4ac＝(－2a)2－4×a×3＝4a2－12a＝4a(a－3)，a＜0，∴4a＜0，a－3＜0，∴4a(a－3)＞0，∴該函數(shù)的圖象與x軸有兩個公共點(diǎn)；(2)證明：將a＝－1代入y＝ax2－2ax＋3中，得y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴拋物線的對稱軸為直線x＝1，∵－1＜0，∴當(dāng)－1＜x＜0時，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＝－1時，y取得最小值，最小值為y＝0，∴當(dāng)－1＜x＜0時，y＞0；(3)解：a＞3或a＜－1.【解法提示】由拋物線解析式可得對稱軸為直線x＝－－2a2a＝1，且過定點(diǎn)(0，3)，分兩種情況討論：①當(dāng)a＞0時，∵該函數(shù)的圖象與x軸有兩個公共點(diǎn)(x1，0)，(x2，0)，且－1＜x1＜x2＜4，∴當(dāng)x＝1時，對應(yīng)的y值在x軸下方，∴a－2a＋3＜0，解得a＞3；②當(dāng)a＜0時，∵該函數(shù)的圖象與x軸有兩個公共點(diǎn)(x1，0)，(x2，0)，且－1＜x1＜x2＜4，∴當(dāng)x＝－1時，對應(yīng)的y值在x軸下方，∴a＋2a＋3＜0，解得a＜－1；綜上所述，a的取值范圍是a＞326.如圖，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，過點(diǎn)O作AC的垂線，垂足為D，分別交直線BC，

于點(diǎn)E，F(xiàn)，射線AF交直線BC于點(diǎn)G.(1)求證：AC＝CG；(2)若點(diǎn)E在CB的延長線上，且EB＝CG，求∠BAC的度數(shù)；(3)當(dāng)BC＝6時，隨著CG的長度的增大，EB的長度如何變化？請描述變化過程，并說明理由.26.(1)證明：如解圖①，連接AO并延長交BC于點(diǎn)M，∵AB＝AC，∴AM⊥BC，∴∠AME＝90°，∴∠E＋∠EOM＝90°，∵AC⊥EF，∴∠ADO＝90°∴∠OAD＋∠AOD＝90°，∵∠EOM＝∠AOD，∴∠E＝∠OAD，∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA，∵∠OAD＋∠DAF＝∠OAF，∠E＋∠G＝∠OFA，∴∠DAF＝∠G，∴AC＝CG；解圖①(2)解：如解圖②，連接AO并延長交BC于點(diǎn)M，連AE，∵AB＝AC，AM⊥BC，∴∠BAM＝∠CAM＝12∠BAC，∠ABC＝∠ACB，BM＝CM設(shè)∠BAC＝4α，則∠BAM＝∠CAM＝2α，∠ABC＝∠ACB＝12(180°－∠BAC)＝90°－2α，由(1)知AC＝CG，∴∠CAG＝∠CGA＝12∠ACB＝45°－α，∴∠BAG＝∠BAC＋∠CAG＝4α＋45°－α＝45°＋∵EF⊥AC，且EF過圓心O，∴EF垂直平分AC，∴CE＝AE，∵BM＝CM，EB＝CG，∴EM＝GM，∴AM垂直平分EG，∴AE＝AG，∴CE＝AG，∵EB＝CG，∴EB＋BC＝BC＋CG，∴CE＝BG，∴AG＝BG，∴∠BAG＝∠ABG，∴45°＋3α＝90°－2α，解得α＝9°，∴∠BAC＝4α＝36°；解圖②(3)解：當(dāng)CG＝6，BE＝0；當(dāng)CG＞6時，BE隨CG的增大而增大；當(dāng)3＜CG＜6時，BE隨CG的增大而減小．理由如下：①如解圖③，當(dāng)CG＝6時，連接AO并延長交BC于點(diǎn)M，∵AB＝AC，∴∠AME＝90°，BM＝CM＝12BC＝3由(1)知AC＝CG，∴AB＝AC＝CG＝6，∵BC＝6，∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等邊三角形，∵EF⊥AC，∴此時點(diǎn)B于點(diǎn)E重合，∴BE＝0；②如解圖④，當(dāng)CG＞6時，連接AO并延長交BC于點(diǎn)M，由(1)可得AC＝CG，∠E＝∠CAM，∠EDC＝∠AMC＝90°，∴△ACM∽△ECD，∴ACEC＝CMCD，由(1)可得CD＝12AC，∵AC＝CG，∴CGBE＋6＝3CG2，∴BE＝16CG③如解圖⑤，當(dāng)3＜CG＜6時，連接AO交BC于點(diǎn)M，同理得△ACM∽△ECD，∴ACEC＝CMCD，∴∵AC＝CG，∴CG6－BE＝3CG2，∴BE＝－16CG綜上所述，當(dāng)CG＝6，BE＝0；當(dāng)CG＞6時，BE隨CG的增大而增大；當(dāng)3＜CG＜6時，BE隨CG的增大而減小．解圖27.在平面內(nèi)，將一個多邊形先繞自身的頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一個角度θ(0°＜θ＜180°)，再將旋轉(zhuǎn)后的多邊形以點(diǎn)A為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應(yīng)線段的比為k，稱這種變換為自旋轉(zhuǎn)位似變換.若順時針旋轉(zhuǎn)，記作T(A，順θ，k)；若逆時針旋轉(zhuǎn)，記作T(A，逆θ，k).例如：如圖①，先將△ABC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)50°，得到△A1BC1，再將△A1BC1以點(diǎn)B為位似中心縮小到原來的12，得到△A2BC2，這個變換記作T(B，逆50°，1(1)如圖②，△ABC經(jīng)過T(C，順60°，2)得到△A′B′C，用尺規(guī)作出△A′B′C；(保留作圖痕跡)(2)如圖③，△ABC經(jīng)過T(B，逆α，k1