2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何初步章末復(fù)習(xí)提升課學(xué)案新人教B版必修2

PAGEPAGE1章末復(fù)習(xí)提升課1．直線的傾斜角與斜率(1)直線的傾斜角α的范圍是[0°，180°)．(2)k＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(tanα，α≠90°，,不存在，α＝90°.))(3)斜率的求法：①依據(jù)直線方程；②依據(jù)傾斜角；③依據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)．2．兩條直線的位置關(guān)系設(shè)l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則(1)平行?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A2C1－A1C2≠0．(2)相交?A1B2－A2B1≠0．(3)重合?A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)或eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)＝eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)．3．距離公式(1)兩點(diǎn)間的距離公式已知點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則|P1P2|＝eq\r((x2－x1)2＋(y2－y1)2)．(2)點(diǎn)到直線的距離公式①點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))；②兩平行直線l1：Ax＋By＋C＝0與l2：Ax＋By＋D＝0的距離d＝eq\f(|C－D|,\r(A2＋B2))．4．點(diǎn)和圓的位置關(guān)系設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)及圓的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2．(1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?點(diǎn)P在圓外．(2)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2?點(diǎn)P在圓內(nèi)．(3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?點(diǎn)P在圓上．5．直線與圓的位置關(guān)系設(shè)直線l與圓C的圓心之間的距離為d，圓的半徑為r，則d>r→相離；d＝r→相切；d<r→相交．6．圓與圓的位置關(guān)系設(shè)C1與C2的圓心距為d，半徑分別為r1與r2，則位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d與r1、r2的關(guān)系d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d<|r1－r2|7．計算直線被圓截得的弦長的常用方法(1)幾何方法運(yùn)用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長的一半及半徑構(gòu)成直角三角形計算．(2)代數(shù)方法運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式|AB|＝eq\r(1＋k2)|xA－xB|＝eq\r((1＋k2)[(xA＋xB)2－4xAxB])．注：圓的弦長、弦心距的計算常用幾何方法．1．明確直線的傾斜角與斜率的關(guān)系(1)傾斜角是角度，是傾斜度的干脆體現(xiàn)；斜率是實(shí)數(shù)，是直線傾斜度的間接反映，用斜率比用傾斜角更便利．(2)傾斜角可正可零不行為負(fù)，而斜率k不僅可正，可零，而且可以為負(fù)．2．探討斜率的狀況：在利用直線的斜率處理平行與垂直的關(guān)系時，特殊要留意直線的斜率不存在的狀況．3．直線在y軸上的截距和直線與y軸交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的區(qū)分：(1)直線在y軸上的截距是它與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，截距是一個數(shù)值，可正、可負(fù)、可為零，而距離是一個非負(fù)數(shù)．(2)當(dāng)截距非負(fù)時，它等于直線與y軸交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；當(dāng)截距為負(fù)時，它等于直線與y軸交點(diǎn)到原點(diǎn)距離的相反數(shù)．4．點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用在應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式時，肯定要把直線化為一般式，明確系數(shù)A，B，C．5．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓應(yīng)滿意的條件：(1)A＝C≠0，(2)B＝0，(3)D2＋E2－4AF>0．6．畫空間直角坐標(biāo)系的三大留意事項(xiàng)(1)x軸與y軸成135°(或45°)，x軸與z軸成135°(或45°)．(2)y軸垂直于z軸，y軸和z軸的單位長度相等，x軸的單位長度等于y軸單位長度的一半．(3)每兩條坐標(biāo)軸確定的平面兩兩垂直．直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系(1)直線與圓的位置關(guān)系是高考考查的重點(diǎn)，切線問題更是重中之重，推斷直線與圓的位置關(guān)系以幾何法為主，解題時應(yīng)充分利用圓的幾何性質(zhì)以簡化解題過程．(2)解決圓與圓的位置關(guān)系的關(guān)鍵是抓住它們的幾何特征，利用兩圓圓心距與兩圓半徑的和、差的肯定值的大小來確定兩圓的位置關(guān)系，以及充分利用它們的幾何圖形的形象直觀性來分析問題．圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1，則a＝()A．－eq\f(4,3) B．－eq\f(3,4)C．eq\r(3) D．2【解析】由已知可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－4)2＝4，故該圓的圓心為(1，4)，由點(diǎn)到直線的距離公式得d＝eq\f(|a＋4－1|,\r(a2＋1))＝1，解得a＝－eq\f(4,3)，故選A．【答案】A已知直線l：mx＋y＋3m－eq\r(3)＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)．若|AB|＝2eq\r(3)，則|CD|＝________．【解析】設(shè)圓心到直線l：mx＋y＋3m－eq\r(3)＝0的距離為d，則弦長|AB|＝2eq\r(12－d2)＝2eq\r(3)，得d＝3，即eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3m－\r(3))),\r(m2＋1))＝3，解得m＝－eq\f(\r(3),3)，則直線l：x－eq\r(3)y＋6＝0，數(shù)形結(jié)合可得|CD|＝eq\f(|AB|,cos30°)＝4．【答案】4最值問題解析幾何中的最值問題是人們工作和生活追求的目標(biāo)，可用于解決生活中的一些實(shí)際問題，本章主要探討直線與圓中的最值及動點(diǎn)軌跡等．已知實(shí)數(shù)x，y滿意方程x2＋y2－4x＋1＝0，(1)求eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．【解】原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以點(diǎn)(2，0)為圓心，eq\r(3)為半徑的圓．(1)設(shè)eq\f(y,x)＝k，即y＝kx，當(dāng)直線y＝kx與圓相切時，斜率k取得最大值和最小值，此時有eq\f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3)，故eq\f(y,x)的最大值是eq\r(3)，最小值是－eq\r(3)．(2)設(shè)y－x＝b，即y＝x＋b，當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切時b取得最大值和最小值，此時eq\f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq\r(3)，解得b＝－2±eq\r(6)，故y－x的最大值為－2＋eq\r(6)，最小值為－2－eq\r(6)．(3)x2＋y2表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何的學(xué)問知，其在原點(diǎn)和圓心的連線與圓的兩個交點(diǎn)處分別取得最大值和最小值，又知圓心到原點(diǎn)的距離為2，故x2＋y2的最大值為(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，最小值為(2－eq\r(3))2＝7－4eq\r(3)．圓的切線方程問題求圓的切線的問題常常出現(xiàn)，主要有以下三類．(1)求過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程已知圓x2＋y2＝r2，M(x0，y0)是圓上一點(diǎn)，則過點(diǎn)M的圓的切線方程為xx0＋yy0＝r2．一般地，若圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則過切點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．(2)求過圓外一點(diǎn)的圓的切線過程求過圓外一點(diǎn)的圓的切線方程，一般設(shè)為點(diǎn)斜式，運(yùn)用待定系數(shù)法或判別式法求出斜率k，但用點(diǎn)斜式表示直線方程的前提是斜率必需存在．過圓外一點(diǎn)可以作圓的兩條切線，假如只有一解，那么肯定有一條切線斜率不存在，這時可用數(shù)形結(jié)合的方法把“丟掉”的切線方程找回來．(3)已知斜率求圓的切線斜率為k且與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2相切的切線方程的求法：①先設(shè)切線方程為y＝kx＋m，然后化成一般式kx－y＋m＝0，利用圓心到切線的距離等于半徑列出方程求m；②設(shè)切線方程為y＝kx＋m，與圓的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用判別式為0求出m．過點(diǎn)P(－2，0)向圓x2＋y2＝1引切線，求切線的方程．【解】設(shè)所求切線的斜率為k，則切線方程為y＝k(x＋2)．由題意聯(lián)立方程組得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k(x＋2)，,x2＋y2＝1，))即(k2＋1)x2＋4k2x＋4k2－1＝0．由題意知上述一元二次方程有兩相等實(shí)根，所以Δ＝16k4－4(k2＋1)(4k2－1)＝－12k2＋4＝0，即k＝±eq\f(\r(3),3)，所以所求切線的方程為y＝±eq\f(\r(3),3)(x＋2)．1．若點(diǎn)(2，k)到直線3x－4y＋6＝0的距離是4，則k的值是()A．1 B．－2C．1或4 D．－2或8解析：選D．由點(diǎn)到直線的距離公式，知4＝eq\f(|6－4k＋6|,\r(32＋42))＝eq\f(|12－4k|,5)，解得k＝－2或k＝8．2．已知直線l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對稱軸．過點(diǎn)A(－4，a)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則|AB|＝()A．2 B．4eq\r(2)C．6 D．2eq\r(10)解析：選C．由題意得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4，所以圓C的圓心為(2，1)，半徑為2．因?yàn)橹本€l為圓C的對稱軸，所以圓心在直線l上，則2＋a－1＝0，解得a＝－1，所以|AB|2＝|AC|2－|BC|2＝(－4－2)2＋(－1－1)2－4＝36，所以|AB|＝6，故選C．3．過點(diǎn)A(4，1)的圓C與直線x－y－1＝0相切于點(diǎn)B(2，1)，則圓C的方程為________．解析：設(shè)圓C的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圓心(a，b)到直線x－y－1＝0的距離d＝eq\f(|a－b－1|,\r(2))＝r， ①又圓C過A(4，1)，B(2，1)，所以(4－a)2＋(1－b)2＝r2， ②(2－a)2＋(1－b)2＝r2．③由①②③，得a＝3，b＝0，r＝eq\r(2)，所以圓的方程為(x－3)2＋y2＝2．答案：(x－3)2＋y2＝24．已知圓O：x2＋y2＝5和點(diǎn)A(1，2)，則過A且與圓O相切的直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于________．解析：由題意可干脆求出切線方程為y－2＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－5＝0，從而求出在兩坐標(biāo)軸上的截距分別是5和eq\f(5,2)，所以所求面積為eq\f(1,2)×eq\f(5,2)×5＝eq\f(25,4)．答案：eq\f(25,4)5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓P在x軸上截得線段長為2eq\r(2)，在y軸上截得線段長為2eq\r(3)．(1)求圓心P的軌跡方程；(2)若點(diǎn)P到直線y＝x的距離為eq\f(\r(2),2)，求圓P的方程．解：(1)設(shè)P(x，y)，圓P的半徑為r．由題意，知y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，從而y2＋2＝x2＋3．故點(diǎn)P的軌跡方程為y2－x2＝1．(2)設(shè)P(x0，y0)．由已知，得eq\f(|x0－y0|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，即|x0－y0|＝1． ①由第一問知yeq\o\al(2,0)－xeq\o\al(2,0)＝1， ②聯(lián)立①②，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0－y0＝1,yeq