2024高考數(shù)學二輪復習重難點專題《函數(shù)中的雙變量問題》題型突破及解析

重難點專題04函數(shù)中的雙變量問題

題型1二次函數(shù)中的雙變量問題.........................................1

題型2構造函數(shù)法.....................................................2

題型3同構法.........................................................3

題型4換元法（整體法）...............................................4

題型5選取主元法.....................................................4

題型6變換主元法.....................................................5

題型7參變分離.......................................................6

題型1二次函數(shù)中的雙變量問題

一元二次函數(shù)中的雙變量問題，注意對稱軸的使用

【例題1】（2023?安徽黃山?屯溪一中?？寄M預測）二次函數(shù)＞'=必-2與

2b.4

y=_Y+小＞0）在它們的一個交點處切線互相垂直，則丁[的最

小值為_______

【變式1-1]1.（2022秋?江蘇宿遷?高三?？奸_學考試）已知二次函數(shù)

f（x）="+bx（a=0[滿足""I）為偶函數(shù)，且方程有兩個相等的

實數(shù)根，若存在區(qū)間皿叫史得，（切的值域為13^3%則E+H=.

【變式1-112.（2023?河北?高三考試）已知二次函數(shù)f（x）=a/+bx（。力《網,

滿足/■（l-x）=f（1+x）,且在區(qū)間1一1'0上的最大值為之若函數(shù)

。（幻=|f（x）|一mx有唯一零點，則實數(shù)小的取值范圍是（）

[-2,0][-2,0）U12,+oo）

A.D.

r[-2，0：（-8,0）u[218）

?Lx?

【變式（2023?全國?高三專題練習）已知人幻是二次函數(shù)，2）=0,

fi2z</（x）<—則f（io）=

【變式1-114.（2023.全國?高三專題練習）設二次函數(shù)

-2x+ngnWR）,若函數(shù)「（幻的值域為【°'+8）,且f⑴三2,則

"討的取值范圍為

【變式皿】5.（2023?全國?高三專題練習）已知二次函數(shù)+b'+c（。，石,

°均為正數(shù)）過點值域為1°'+8）,貝產的最大值為；實數(shù)為滿足

1-b=入n,則入取值范圍為r

題型2構造函數(shù)法

一些雙變量問題具有相同的形式，我們可以通過構造函數(shù)，進行變量統(tǒng)一，找到

共同的函數(shù)，分析所構造函數(shù)的單調性解決比較大小，最值取值范圍等問題.

【例題2】（2021?海淀區(qū)校級月考）若"一"V3-*-3-［則（）

Aln（y-x+1）>0pln（y-x+1）<0「ln\xy\>0

Dln\xy\<0

【變式2-1】1.（2（）23?遼寧錦州?統(tǒng)考二模）己知實數(shù)｛N滿足61nx='"且

3

e^ln”-ze,若y>iI則（）

Ax>y>zB.x>z>y

cy>z>x口y>x>z

【變式2-112.（2021.山東泰安?統(tǒng)考模擬預測）己知。C<"且滿足

則下列說法正確的是（：）

號Va-b+1

A.B.Ina+2Q=Inb+26

c.a>2D.不存在叫甫足a+?=l

【變式2-1]3.(2022秋?遼寧丹東?高三鳳城市第一中學?？茧A段練習)已知

((z-2)3+2019(x-2)=ld+v

*PE&滿足l(y-2)3+2019(y-2)=-l,若對任意的’>°,，一尸恒成

立，則實數(shù)k的最小值為

【變式2-1】4.(2()21.黑龍江大慶.大慶實驗中學?？寄M預測)已知實數(shù)滿

足3x_y<ln(x+2y-3)+ln(2x-3y+5)貝產+y=

【變式2-115.(2022?江西九江?統(tǒng)考二模)若存在正實數(shù)欠，，使得

^+/(lny-lnx)-axy=0(aG/?)成立，則。的取值范圍

是.

題型3同構法

當指對函數(shù)同時出現(xiàn)時，可以考慮進行同構化簡，構造函數(shù).

【例題3】(2021?龍鳳區(qū)校級月考)已知不等式+欠之°對于

任意+8)恒成立，則。的取值范圍()

A.B.1…)

C(-co,-l)口.(-8,一村

-=，-Inxj=

【變式3-1】1.(2023?廣東梅州?統(tǒng)考三模)己知實數(shù)必,人滿足？力,

A.1B.2C.4D.8

【變式3-112.(2023秋?湖北黃岡?高三淹水縣第一中學?？茧A段練習)若函數(shù)

/-(x)=ax-x(lnx-l)(。>0且a*1)存在極大值點，則。的取值范圍

是.

【變式3-1】3.(2022秋?南關區(qū)校級月考)設實數(shù)°,若對仟意的

*W（0,+8）,不等式￡丁一丁'°成立，則實數(shù)僧的取值范圍是（）

…)D.[…)

【變式3-114.（2022?全國?高三專題練習）設若存在正實數(shù)x,使得不等

式log/*2匕20成立，則卜的最大值為

【變式3-1]5.（2023秋?湖北黃岡?高三流水縣第一中學?？茧A段練習）已知

lnX-c2X-2tX-ln（2-2"恒成立，則t的取值范圍是.

題型4換元法（整體法）

多變量同時出現(xiàn)時，可以把相同形式變量放在一起，通過整體換元，或者看做一

個整體，進行整體分析.

【例題4]（2023?全國?高三專題練習）實數(shù)以）滿足且

2

（log^y+C10gtty）2=10go（"2）+10go（ay）,當口＞1時.，則匕氏（文田的范圍

是.

【變式4-111.（2020-上海?高三專題練習）若實數(shù)X'J滿足

（雪乜）2.（尸ip-2”

Zcos^x+y-1)=

一則D的最小值為

yER

【變式4-1】2.（2021?杭州二模）若欠,f設"=/-20+3y一%+匕

則”的最小值為

【變式4-113.（2023春?臺州期末）若“€【一1」]，關于又的不等式

爐一1*a%2+2a”-W恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是

題型5選取主元法

多個變元一起出現(xiàn)時兀以選擇其中一個作為主元，另一個看做常量，分析函數(shù)的

性質

aE[-1,2]

【例題5】（2021?浙江模擬）己知任意L」，若存在實數(shù)使不等式

一問<"對任意的'6⑼2]恒成立，則（）

A.力的最小值為4B.〃的最小值為6

C.〃的最小值為8D.〃的最小值為10

【變式5-111.（2022春?金華期末）若存在正實數(shù)々使得a〃a+b）=b-a,

則_______

A.實數(shù)。的最大值為"2+1B.實數(shù)。的最小值為《+1

C.實數(shù)。的最大值為?一1D.實數(shù)0的最小值為75一1

【變式5-112.（2021?浦江縣模擬）已知實數(shù).也‘滿足〃+"+。2=1,則ab+c

的最小值為

A.，B.巧C."D.巧

【變式51】3.（2021春?金東區(qū)校級期中）若正數(shù)°,”,滿足

/+/+c2_ab—bc=l,則°的最大值是.

【變式5-114.（2022秋?上海月考）設函數(shù)八W"/。"+'*'"若當Fl）

時，f（msin6）+f（l_m）>0恒成立，則小的取值范圍是一

題型6變換主元法

我們通常把x看做主元，但是變量比較多時，可以選擇函數(shù)簡單的變量作為分析

的主元，一次分析不同主元的性質.

【例題6】（2021?沙坪壩區(qū)校級模擬）已知函數(shù)f（%）=/+a"b（a力WR）在區(qū)間

1兀有零點，則05的取值范圍是（）

A（-如4]（-8,5_]卜，引除+8）

【變式6-1】1.已知a￡[T/]時不等式“2+（aT）%+4-2a>°恒成立，求實

數(shù)x的取值范圍

f（x）=

【變式6-1]2.（2023?遼寧大連??？寄M預測）己知函數(shù)"二若

8—,心TsM（"a+3卜-儲（。,+8）時恒成立則。的取

值范圍是

【變式6-1]3.（2020春?江蘇?高三專題練習）若對任意正實數(shù)

a"+（[就-5?2+0吐皿匕恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是

【變式6-114.（2023?湖南長沙?長沙市明德中學?？既＃┤?/p>

Vx€（0,+00）,—<a--x（aj）6P）b--a

XX，則2的取值范圍

是.

題型7參變分離

多個變量的不等式，可以通過參變分離把變元分開，進行求解.

【例題7]（2023?吉林長春?東北師大附中?？寄M預測）設函數(shù)

rI

/■（x）=axe-Q%+a-e（a>0；>若不等式作）<°有且只有兩個整數(shù)解，則

實數(shù)。的取值范圍是.

[變式7-1】1.已知函數(shù)〃乃=僧111（%+1）_3%-3,若不等式〃乃>皿_3￡

在“e（。，+8）上恒成立，則實數(shù)小的取值范圍是

A0<m<3m>3m<3m<0

xE（i+8）Inx+-<—

【變式7-l】2.（2021秋?江西月考）對任意'3，，不等式xx恒

成立，則實數(shù)小的取值范圍為（）.

（-8盧；+軸2）(―8曲4-lln2

.B.12

(-8,e?+1ln3(-8,2]

c.D.

【變式7-113.（2021秋?江西月考）不等式尸4二一°加”之”+1對任意

”6（1,+8）恒成立，則實數(shù)。的取值范圍（）

（-oo,l-e]（-co,2-e2]

r\?D?

（-00,-4]（-8,-3]

Kvz?Lz?

【變式7-1]4.（2023?浙江金華?統(tǒng)考模擬預測）對任意的不等式

1-/+3無如￡-0一之0恒成立，則實數(shù)。的取值范圍為L

1.（多選）（2023?全國?高三專題練習）已知二次函數(shù)y=aY+bx+c（a=

為常數(shù)）的對稱軸為x=L其圖像如圖所示，則下列選項正確的有（）

C.關于工的不等式+b必_2尸+b（/_2）的解為無＞6或無＜_般

D.若關于五的函數(shù)'=與關于％函數(shù)y=有相同的最小

值，則HI2百

2.（2023?山西運城?山西省運城中學校?？级＃┮阎げ弧籢,若關于大的方

程】+'=”《=0）無解，則實數(shù)0的取值范圍是

3.（2023?全國?高三專題練習）若關于五的不等式ZM'-Yl+ax+l?0有解，

則0的取值范圍是.（其中°=2?7】里8…）

f（x）--kx2-xliu

4.（2023?西藏昌都??？寄M預測）函數(shù)在2在區(qū)間（“勾上單調

遞增，則k得取值范圍是（）

[0.+oo）[1,loo?

A.LB.

C弓十8）（oo

V/?LJ?\-91J

5.（2021.陜西榆林?陜西省神木中學校考二模）已知函數(shù)

f（x）=xlnx-i（m+l）x2-x皿

2有兩個極值點，則實數(shù)小的取值范圍為.

6.（2023?海南海口??？寄M預測）己知定義在R上的奇函數(shù)”幻與偶函數(shù)自（訂滿

足""=2g（x）+3,若，（高+，（皿28）（;）,則9的取值范圍

是.

7.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）設06（°4）,若函數(shù)外幻=d+C+a/在（0,+8）

上單調遞增，則a的取值范圍是.

“、（x2+2x+a-2/x40,

fM=|

8.（2018?天津?高考真題）已知a'*,函數(shù)+2x-2a,x>0,若

對任意x￡[-3,+8）,f（x）J*l恒成立，則@的取值范圍是.

參考答案與試題解析

重難點專題04函數(shù)中的雙變量問題

題型1二次函數(shù)中的雙變量問題........................................1

題型2構造函數(shù)法.....................................................2

題型3同構法.........................................................3

題型4換元法（整體法）...............................................4

題型5選取主元法.....................................................4

題型6變換主元法.....................................................5

題型7參變分離.......................................................6

題型1二次函數(shù)中的雙變量問題

一元二次函數(shù)中的雙變量問題，注意對稱軸的使用

【例題1]（2023.安徽黃山?屯溪一中?？寄M預測）二次函數(shù)丫=必-2”+2與

2b.4

?=一爐+0"+“。＞0力＞0）在它們的一個交點處切線互相垂直，則7I的最

小值為.

8+8嘉

【答案尸

a+b=§

【分析】根據(jù)交點處切線垂直得到“一？，再利用基本不等式中的乘1法即可

得到最值.

【詳解】解：設該交點為

因為八幻=2、一2,則人必）=2孫一2,

因為9（幻=-2二+。，則g.（必）=-2必+%

因為兩函數(shù)在交點處切線互相垂直，

所以（2必—2）?（-2X1+a）=-1,%=彳-24+2=一宕+axx+b

分別化簡得一242，*，廣嶗2彳-24-口》2,

a+b=?勁+：=三+卜。卜2

上述兩式相加得2,又8,0,

其中:+：彳.（0+力《+；）=?（5+4+f+書2弓+￥

25-l*g；

a=2————

3.H1X3-一，旦?即1b=5、%一1°時取等號.

8.8^

故所求最小值為三

8,8J

故答案為：『—.

【點睛】切線問題是導數(shù)中常遇到的問題，本題設交點坐標，根據(jù)交點處切線垂

直得到等式，再轉化為基本不等式中的最值問題.

【變式1-111.(2022秋?江蘇宿遷?高三校考開學考試)已知二次函數(shù)

f(x)="+bx(a*0；滿足f(x+】)為偶函數(shù)，且方程f(')=x有兩個相等的

實數(shù)根，若存在區(qū)間皿可使得外封的值域為則巾+〃=.

【答案】-4

【分析】由為偶函數(shù)可以得到函數(shù)〃')=°/+6》(0*0]的對稱軸為

ff(m)=3m

x=1,可以結合題意得到在〔gH上單調遞增，利用If5)=3〃構造二次方

程，利用根與系數(shù)關系即可.

【詳解】?."("】)為偶函數(shù)的對稱軸是"=15三=1

又小尸飛兩個相等的實數(shù)根，即"+得》|"二?

??f(X)=_*2+x

9

???/(X。=5

"3n'"'ZV"”在EH上單調遞增，

[f(m)=3m

,l/(n)=3n,

二門’為方程,8）=3工的兩根

—~x2-2x=0

■-2,

Am+n=——j-=-4

F故答案為：-4

【變式1-112.（2023?河北?高三考試）已知二次函數(shù)"幻=0犬+以8力‘初,

滿足"1一幻=八1+幻，且在區(qū)間1T'°】上的最大值為3,若函數(shù)

以幻=-mx有唯一零點，則實數(shù)小的取值范圍是（）

A[-2,0][-2,0u[2,+oo）

A.D.

r[-2,0：（—8,0）u[2,+8）

【答案】C

【分析】利用"1一、）=f（l+x）求出二次函數(shù)對稱軸，得到4,的關系，再利用

最大值來確定°」的值，從而確定外幻的解析式，然后畫出|〃幻|的圖象，

g（x）=1八幻1—mx的零點等價于函數(shù)丫=If（喇和y=爪》的交點問題，通過圖象

來進行求解.

【詳解】解：已知二次函數(shù)"幻=0"2+加（QAWR）,滿足f（ir）=f（】+幻,

即*是函數(shù)'（幻的對稱軸,

--=1

即物,

即b=-2c,

???/（x）^ax2-2ai

又.??"外在區(qū)間L，q上的最大值為3,

若則外幻在區(qū)間Ll，°l上遞減，

J?f(x)m?=f(-l)=a+2a=3a=3

9

解得d

此時，〃幻=小一25

若°〈°,則八幻在區(qū)間L1，。上遞增,

f(x)n?=〃0)=0不成立，舍去，

綜上所述J(x)=/-2x,

若函數(shù)g(x)=lf(x)|一mx有唯一零點，

即方程修儀”二皿有唯一實根，

畫出丫="(")1和丫=作文的圖象，如下所示：

當m=0時，y=l/(x)lflly=°有兩個交點,

當m>0時，由皿=2“―/,

即f+(m-2)“=0

令A=(m—2產=0

解得："2,

由圖象可知：小?2時，y=[f⑴|和y=mx有兩個交點,

當0VmV2時y=|f(x)|和y=EX

有三個交點,

當°時，且>'=小"為曲線y=lf(x)l的切線時，只有一個交點，即為原點,

y=|/(x)|=x2-2x(x<0)

可得：皿=必一25

即Y—(2+m)x=°只有相等的兩實根，

可得判別式A=[-(2+m)F=。，

解得：--2,

由圖象可知：一？”(0時，

y=1徇1和y=小又只有一個交點，即為原點，

綜上所述「的取值范圍52,0)

故選：C.

【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵是求出“X)的解析式，并利用數(shù)形結合的

思想對小進行分類討論.

【變式1-113.(2023?全國?高三專題練習)己知人口是二次函數(shù)，"-2)=0,

且2x"(x)4中，則f(】o)=

【答案】36

【分析】法一：由"-2)=0,可設

f(x)=(x+2)(ax+b)=M+(2a+b)x+2b則由f(x)>2]整理后即為

2

4Q2+b44ab+8。+4b—4由fM<得

(2a-l)x2+(4a+2b)x+4b-4<0討論2a一1=0,2a-】KC可得出

=匕由此可解出4可求出外幻的解析式，即可得出答案.

法二：由2x</(x)<^^0</(x)-2x<l(x-2y,設

p(x)=a(x-2)(x-m)(a*0)討論m#2和巾=2結合題目條件可解得°一"

可求出“幻的解析式，即可得出答案.

【詳解】法一：

由八一2)=。可設小)=(x+2)(ax+b)=ax2+(2a+b)x+2b

則由f(x)>2］得ax2+(2a+b-2)x+2b<0

所以a之0且(2a+b-2)2￡比2,整理后即為4Q?+fa244ab+8。+4b-4

/+4

由/'(x)4—^(2a-l)x2+(4a+2b)x-l-4b-4<0

若2"1=。則必有4a+2g0此時與(2a+b-2y<矛盾,

所以2a-1<0^(4a+2bf<4(2a-1)(4i-4)

整理后為4M+b?"4帥一8Q-4b+4,

與4a2+b244ab+8a+4b-4相加即得儲十萬44叫

即(2a-b)”0,所以2a=b,

所以f(幻=(x+2)(az+2a)=a(x+2)2

又由于在原不等式中令”=2可得44f⑵44,所以/"(2)=4,由此解得°='

「"(幻=總+2)%10)=36

所以4

法二：

2xgf(x)￡?=0”(幻-2xq(x-2>

令ga)=f(%)-2*則g(-2)=4,&2)=0設g(x)=Q(%-2)(x-m)(aW0)

若m*則

|j(x-2)2-g(x)”=-g(2)=a(m-2)*0

于是如一2)＞0時,存在刈V2使得-2"-g(Xo)VO,矛盾;

皿一2)＜。時，存碼＞2使得如。一2人取)＜。矛盾；

故"，令x=-2,則儂丁(-2)=4=a.

于是f(x)=9(x)+2x=沁-2＞+2x=沁+2)：進而,(1°)=3￡

故答案為：36.

【變式1-114.(2023-全國?高三專題練習)設二次函數(shù)

向二m^-2x+ngn€R)若函數(shù)，(幻的值域為1°，+叫且f⑴42則

m2

"環(huán)的取值范圍為

【答案】[1,13]

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質和已知條件得到m與n的關系，化簡而而后

利用不等式即可求出其范圍.

1

X=—

【詳解】二次函數(shù)f(x)對稱軸為，

???心)值域為1°,+81,

??。?且fG)=°=巾,(i)"_；+rt=0n產：nmn=I0＞。

f⑴42=m—2+nW2=m+n＜4

9

?.41n.](mi?l)(ni41)

2222

(EOW-ZE?——2?-im*4-n)4-(m*n)-2(*n***2)(m-+?--1]

22m

=m-+n+2=m-+n+2=牙=。=*+叱一1

.m2+n2-l>2mn-1=1m2+n2-1=（m+n）2-3<42-3=13

??，，

m2R2

...而討￡[],[3]

故答案為：[1,13].

【變式（2023?全國?高三專題練習）已知二次函數(shù)》'=°必+b'+c（。，石,

。均為正數(shù)）過點（1'1值域為【°'+8）,則*的最大值為；實數(shù)為滿足

1-b=入、?則入取值范圍為r

【答案】n[3-2,+8）

[分析]由題意a+b+c=l（a>0,b>0,c>0）,^^b^4ac^Q所以

a+b+c=a+2v辰+c=l,進而得到、0+五=1,利用基本不等式求出的

可求”取值范圍.

【詳解】因為二次函數(shù)y=al+bx+c（°,幺°均為正數(shù)）過點（】」）,

???a+b+c=1（a>0,b>0,c>0：

開口向上且值域為【°'+8）,

AA=b2-4ac=0

???b=2\'a(

???(Q+何2=1

G+8=1

???1=口+代＞2年耳，即卮當且僅當

4時等號成立.

^Jac<i,ac<—i

$即叫當且僅當,時等號成立,

,”的最大值為逗（當且僅當.

4時最大）,

v入=1—b=a+c=a+(l—、G>=2a—2va4-1

1即2a—2>/CLV0

a-v*a<0

???a-va=而(\0-1)<Or.'.0<va<1

z.0<a<1

==

???入)2I2^Q,—2=2^2-2~~pQ-

42,當且僅當”時，即2時，等號成立.

又.aTO時，vc

??A€[2^2-2,+8）

9

乂核.生4,T2[2＞歷-2,+8）

故答案為：M；I

【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件:

（1）“一正二定三相等““一正''就是各項必須為正數(shù)；

（2）"二定''就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求

積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能

取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.

題型2構造函數(shù)法

一些雙變量問題具有相同的形式，我們可以通過構造函數(shù)，進行變量統(tǒng)一，找到

共同的函數(shù)，分析所構造函數(shù)的單調性解決比較大小，最值取值范圍等問題.

【例題2】（2021?海淀區(qū)校級月考）若/一夕"°-，則（）

Aln（y—x+1）>0ln（y—x+1）<0廠ln\xy\>0

ln\xy\<0

\J?

【答案】A

f（x）=2X-4

【分析】觀察函數(shù)結構，通過移項，可構造函數(shù)3,通過判斷函數(shù)的

單調性，即可得到欠和y的關系，然后根據(jù)選項驗證即可.

X

【詳解】解：若2丫一2》<u33r—3~y,即2-"<2^'-夕，

由于函數(shù)一丞是R上的增函數(shù)，且???”<、，

???y-%+1>+故A正確、B錯誤，

由于不能得出?個嗚1的大小關系，故不能確定,、口是否正確，

故選：A.

【變式2-111.（2023?遼寧錦州?統(tǒng)考二模）已知實數(shù)“，二滿足=且

e,lni=ze,v>1

x，若5L則（）

A.X>y>2B.X>2>y

C.y>Z>XD.y>X>2

【答案】D

【分析】首先根據(jù)題中的條件得到=°從而得到z<°；再根據(jù)時

”>出得到了>；,結合函數(shù)以“）=；。>1）的單調性得到>‘>”，從而得到

y>x>z

［詳解］由01nx=y夕得歹一最，-------①

兩式相加得丁+；一。因為>‘>所以7<°,又因為小>°，所以z<°；

因為丁一三y>\所以嬴>1即顯>°,所以、>1；

令f（x）=Llnx（”>1］則/（幻=1一2三當x6（1,+8）時/"（x）〉。

所以f（x）=x_Inx在（1,+8）內單調遞增，即X>1HX

所以丁口>工即一工

又令此）4（?,貝產（、）=亭=『…），

當”>1時，。（”）>°,所以以幻=；在（1'+8）內單調遞增，所以由廠工得

到y(tǒng)”

所以y”>z

故選：D.

【變式2-112.（2021.山東泰安?統(tǒng)考模擬預測）已知°<“<b且滿足"T=《,

則下列說法正確的是（）

A.I"-"IB.味+2a=—2,

C.Q>2D.不存在“滿足0+b=l

【答案】D

【分析】令-利用導數(shù)求出單調性可判斷A；對"T

數(shù)可得1rm-20=Inb-26，判斷氏令f(x)=lnx-2x,利用導數(shù)求出單調性,

根據(jù)f(G="b)可求出。的范圍;令Onx-加(…)Tx+2利用導數(shù)

求出單調性可判斷D.

【詳解】令?)=/_又_1,XV。，則〃x)=e?_]＜。，所以Kx)在區(qū)間

(一如°)內單調遞減，所以?)＞“0)=0,又OVaVb,所以

7=。—b+1

'，A項錯誤;

ea-4=t_

對一小兩邊取自然對數(shù)得一一三I即Ma-2a=lni-2qB項錯誤;

令/■(X)=UIL2)則八外一、2-丁，故"幻在區(qū)間(°劣內單調遞增，在

區(qū)間("8)內單調遞戒，因為@)=〃％0＜。＜4所以c項錯

誤；

令g(x)=lnx-31r)Tx+2則，(幻==!^>0故以幻在

區(qū)間(°’9內單調遞增，故當時，"外＜“9=°,所以不存在。a滿

足a+b=LD項正確.

故選：D.

【點睛】關鍵點睛：本題考查根據(jù)已知條件判斷不等式，解題的關鍵是構造合適

的函數(shù)，根據(jù)導數(shù)求Hi函數(shù)的變化情況判斷.

【變式2-113.(2022秋?遼寧丹東?高三鳳城市第一中學?？茧A段練習)已知

s

|(x-2)+2019(z-2)=lt.k>r.v

x,yWA滿足l(y-2)3+2019(y—2)=—1,若對任意的：>°,'恒成

立，則實數(shù)k的最小值為

【答案】4

((X-2)3+2019(X-2)=1

【分析】觀察l(y-2)3+2019(y-2)=-l可構造函數(shù)

f(x)=(x-2)3+201%-2),分析其性質得出X,)的關系再進行不等式恒成立

的運用即可.

【詳解】設"無)=(1)3+20眸-2),則八弧g(x)=/+201%往右平移

兩個單位得來.

又g(x)=/+201%為單調遞增的奇函數(shù)，且關于(0,0)對稱

故f(x)=(“2)3+2°以”-2)為單調遞增的函數(shù)且關于(2,0：對稱

|(x-2)3+2019(x-2)=lm=2

Xl(y-2)3+2019(y-2)=-1可知(又」)?一】)關于(2，°：對稱.故^■一，

即x+y=4又對任意的t>O,t+：2x+y-4恒成立.

即'°恒成立.故判別式A=42_仙4｛得k>4故”的最小值為4

故答案為4

【點睛】本題主要考查函數(shù)的對稱性與恒成立問題.其中構造函數(shù)

f(x)=(x-2)3+2019(x-2)進行分析是關鍵，屬于難題.

【變式2-114.(2021.黑龍江大慶.大慶實驗中學?？寄M預測)已知實數(shù)滿

足3x_y<ln(x+2y-3)+ln(2》_3y+5)貝產+y=

【答案】亍

【詳解】分析：先構造函數(shù)/⑴"m+L根據(jù)函數(shù)單調性得〃8°,結

合條件得'=1，解得X,y,即得結果.

詳解：令因為'⑴=：T=°C=',所以當°u<i時

f⑴>0當t>1時/⑴<。因此/'(。<f⑴=0即kit<r-l

所以ki(x+2y-3)4X+2y-3-1Jn(2x-3y+5)2x-3y+5-1

因此

ln(x+2y—3)4-ln(2x—3y+S)4x+2y—3-1+2x—3y+5—1=3x-y

因為3x-y<ln(x+2y-3)+ln(2x-3y+5)

所以"2"3=L2L3y+5=】「=；,y=Ax+y=?

點睛：構造函數(shù)對不等式進行放縮，進而限制參數(shù)取值范圍，是一個有效方法.

如x>lnx+1,

【變式2/】5.（2022?江西九江?統(tǒng)考二模）若存在

正實數(shù)L'使得好+尸（1”一'）一"盯=（）（。€夫）成立，則。的取值范圍

是.

【答案】>+8）

【分析】依題意可得1+51n上W=°,令則方程

1+4.Entat-0n有實根，即a=-,+tlnt有實根，令f（t）=一-+ti,nt,利用導數(shù)

研究函數(shù)的單調性、最值，從而求出參數(shù)的取值范圍.

【詳解】解：由必+月9_時）_。封=0得好+盧"/axy=。，等式兩邊

除以小得門勺*-Q”。，令X”〉。），則方程l+*n"a"。有實根,

a=i+tintf(t)=i+tintf\t)=-+1+Int

即，有實根，令八，，則,7，令

g（t）=f'⑷=-?1+hu則浜=?A0,/⑴在（。，+8）上單調遞增,

又?.?八1）=0,J?在（0,1）上單調遞減，在（1，+8）上單調遞增一?.

f（t「=〃l）=l,；,要使a=2+”"為實根，則。；

故答案為Jl'+8）

【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、最值及方程的有解問題，屬中

檔題

題型3同構法

當指對函數(shù)同時出現(xiàn)時，可以考慮進行同構化簡，構造函數(shù).

【例題3】（2021?龍鳳區(qū)校級月考）已知不等式好+:礦+山11欠對于

任意+8）恒成立，則。的取值范圍（）

A.B.[…）

C（-8,-1）口.（-8,一村

【答案】B

【分析】變換得到"N1廿.熱門設f⑺X：等價于f⑺之加田）,

—a<（―）g（x）=—

即一出1nm'令ln\根據(jù)函數(shù)的單調性得到最值得到答案.

［詳解］由丁乜‘ex+alnx>0得”—>尸,(-alnx)即4爐>\nx~a?e(lnx-°)

設fa）=—,則小尸―，（>i）,所以函數(shù)/（叫鏟w（i,+8）

上是增函數(shù)，

所以不等式好"‘￡"+Qi”方1°對于任意”E（1，+8）恒成立，等價于

/(x)>

所以”＞Inx：即“之一父對任意的”,1恒成立，

因為"1,所以12°,即一“"溫對任意的”＞1恒成立，即一““啟溫,

令鼠幻二,貝產乃=圖,由g（x）=o,得x=e,

所以當欠€(wěn)（1聲）時，g（x）＜°,函數(shù)9（幻在區(qū)間（1聲）為減函數(shù)，當"W（%+8）時,

g（幻X,函數(shù)g（*）在區(qū)間（%+8）為增函數(shù)，

所以當”=2時，9（為取得最小值g（e）=e,所以一a"e,所以0豈一，又由己

知得a＜°,所以。的取值范圍為1一°‘°）

故選：B.

【點睛】方法點睛：導數(shù)問題經常會遇見恒成立的問題：

（1）根據(jù)參變分離，轉化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題;

（2）若〃乃＞°就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調性和極值以及最值，最

終轉化為""焉若，（幻＜°恒成立，轉化為焉＜°

exi=-）nx?

【變式3-111.（2023?廣東梅州?統(tǒng)考三模）已知實數(shù)乜也滿足H

A.1B.2C.4D.8

【答案】C

【分析】由已知可得“產二產九均”構造函數(shù)八幻=短，通過導數(shù)研究

Xi=Inx?XiX?

單調性，得2,結合對數(shù)的運算規(guī)則求,的值.

'""3,得W4,

【詳解】由

由*J有枷寸=4,可得回叫=4

令f（x），（幻=3+1度由尸（幻>0,得x>-l由尸（幻<0,得x<-l,

所以函數(shù)八口在區(qū)間J8，一】）上單調遞減，在區(qū)間（T，+8）上單調遞增

當x>0時f（x）>0當xVO時f（x）<0

由，&）=（仁）=4則有小=*，所以門=，同=葉

因為、戶=4所以”國T

故選：C

【點睛】思路點睛：

e，i=-Inx?="2Xic11==4

由已知叫，也得?2,找到共同特征，通過構造函

數(shù)八x）=xj利用導數(shù)研究函數(shù)性質，即可得到必一必“，可求的號的值.

【變式3-1］2.（2023秋?湖北黃岡?高三淹水縣第一中學校考階段練習）若函數(shù)

f（x）=ar-x（lnx-l）（。>0且0羊1）存在極大值點，則。的取值范圍

是.

【答案】（°」）u（i同

【分析】將問題轉化為‘（'）=球卜0一卜'=°有不等根，且左邊導函數(shù)為正，右

邊導函數(shù)為負數(shù)求解.

［詳解］解：令f（x）=a"na_lnx=O

得1g（xina）=（lnx尸

令0（x）=xj即g3na）=g（lmr：

有。（x）=a+x）K當XVT時，g（x）<0,g⑴單調遞減；

當X>T時，g（、）>0,g（x）單調遞增，

當0>1時產加0>°,又0但在（6+8）上單調遞增，且當xW（0,+8）必又）>0

xW(-8,0：g(x)<°Mg(xina)=g(lnx)>0=Inx>0=x>1

所以“na=S艮產有變號根,

令Mx）=?a>i）,貝產）=守（">1）

當1<x<%,*（幻?。┻f增，當X”時，MVO,M幻遞減,

1

所以當時，"（出取得最大值"

此時f（E必存在一個零點，且這個零點的左邊導函數(shù)為正，右邊導函數(shù)為負數(shù),

該零點即為極大值點，

1

所以。的取值范圍是（°'1）U（1㈤，

故答案為：西

【變式3-113.（2022秋?南關區(qū)校級月考）設實數(shù)°,若對任意的

片_叱>0

*C（O,+8）,不等式°---成立，則實數(shù)m的取值范圍是（

…)D.[…)

【答案】B

華Inx*、mx

k-——>n0'.....、，mxe2>2x\nx=2elnx-lrKt._.

【分析】把不等式m成立，轉化為怛成工,

(\=xexg(?)皂gQnx：^->Inx

設函數(shù)9a3x)Xe,進而轉化為'2，，恒成立，得出2恒成立,

h(x)=—2lnx

構造函數(shù)*，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調性與最值，即可求解.

苧—位1>Qe苧>它mx

【詳解】因為巾>°,不等式,me~^~>2\nx

m一成立，即一m成立，即

mx

7nx丁’叫亙成立,

進而轉化為e-2rlnx=2e

構造函數(shù)以外=+,可得。⑶=/+叱=(%+1)已

當x>0,g(x)>0SCO單調遞增,

mx

--In-j-T-A0g(7)皂g(lnx：^>lnx

則不等式2H出一恒成立等價于2恒成立，即2恒成立,

一

7712-2-1n--x

進而轉化為X恒成立,

h(x)=7i(x)=2(1-Inx)

設X,可得

當0<“Ve時，九⑶>0,九⑺單調遞增;

九⑺九⑺單調遞減,

當"時,V0,

所以當函數(shù)九(乃取得最大值，最大值為""二；

m>>+co)

所以即實數(shù)機的取值范圍是“7

故選：B

【變式3-114.(2022?全國?高三專題練習)設°,若存在正實數(shù)x,使得不等

式“8"一".2"之°成立，則k的最大值為

【答案】而

【分析】由題意可得四*(力(2,可令2k=°,則成立，通過取對數(shù)

和構造函數(shù)法，求得導數(shù)，單調性和最值，即可得到"的最大值.

k>g2t-k?2fcx>0<:^|logx>2kx=k)g//N2匕

【詳解】法-：(同構法)12(2)

令,不等式化為

log^x>a1=雷之(4)'=(Inaje*1?0<Inx<=>(xlna)etlna4xlnx=(lnx)4

人f(x)=xd.f(xlna)</(Inx)

々，

由〃幻=(x+1心“幻在(O'+8)上單調遞增，

...xlnaWlnx有解，

hu?l-fau