2023-2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊 實數(shù) 壓軸題（十大題型）（解析版）

專題01實數(shù)壓軸題（十大題型）目錄：題型1：立方根的性質(zhì)題型2：分數(shù)指數(shù)冪題型3：算術(shù)平方根的性質(zhì)題型4：數(shù)的開方小數(shù)點移動規(guī)律性問題題型5：算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律題題型6：無理數(shù)的估算題型7：算術(shù)平方根的應(yīng)用題型8：實數(shù)與數(shù)軸題型9：新定義題題型10：實數(shù)的運算題型1：立方根的性質(zhì)1．已知﹣2x﹣1＝0，則x＝．【答案】0或﹣1或﹣【分析】將原方程變形得到＝2x+1，根據(jù)一個數(shù)的立方根等于它本身得到這個數(shù)是0或1或-1，由此化成一元一次方程，解方程即可得到答案.【解析】∵﹣2x﹣1＝0，∴＝2x+1，∴2x+1＝1或2x+1＝﹣1或2x+1＝0，解得x＝0或x＝﹣1或x＝﹣．故答案為：0或﹣1或﹣．【點睛】此題考查立方根的性質(zhì)，解一元一次方程，由立方根的性質(zhì)得到方程是解題的關(guān)鍵.2．已知，且與互為相反數(shù)，求x，y的值．【答案】，，或者，，或者，【分析】將等式變型為，再兩邊同時立方，得到，再采用因式分解法求出x的值，再根據(jù)相反數(shù)的定義求出y的值，問題隨之解得．【解析】，，，，，，（如有超綱嫌疑，參考第1題解法）∴，或者，或者，∴，或者，或者，∵與，∴，∴，∴，∴，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即，，或者，，或者，．【點睛】本題主要考查了采用因式分解法解方程，相反數(shù)的定義，立方根的性質(zhì)等知識，求出，或者，或者，是解答本題的關(guān)鍵．題型2：分數(shù)指數(shù)冪3．已知，求下列各式的值:，【答案】（1）7，（2）47，（3）18.【分析】（1）直接利用完全平方公式將原式變形進而計算得出答案；（2）對（1）的結(jié)果利用完全平方公式將原式變形進而計算得出答案；（3）利用立方和公式變形結(jié)合（1）的結(jié)果代入即可.【解析】解：（1）∵，∴，即+2=9，∴；（2）∵，∴,即.∴；（3）=，∵，，∴原式==18.【點睛】此題主要考查了分數(shù)指數(shù)冪的意義以及完全平方公式立方和公式，正確將原式變形是解題關(guān)鍵．4．已知求的值.【答案】.【分析】分別利用完全平方公式和立方和公式求出、的值，再整體代入即可解答.【解析】解：∵，∴∴，=∴=【點睛】本題考查了分數(shù)指數(shù)和負指數(shù)冪運算、乘法公式的應(yīng)用，掌握乘法公式對代數(shù)式進行變形、靈活運用性質(zhì)進行計算是解題的關(guān)鍵．5．已知：（n是自然數(shù)）．那么的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先計算再求解再化簡再計算即可得到答案.【解析】解：由題意得：，∴，則∴．故選D．【點睛】本題考查的是完全平方公式的應(yīng)用，算術(shù)平方根的含義，負整數(shù)指數(shù)冪的含義，冪的運算，熟知以上運算的運算法則是解題的關(guān)鍵.題型3：算術(shù)平方根的性質(zhì)6．若滿足關(guān)系式，則．【答案】201【分析】根據(jù)能開平方的數(shù)一定是非負數(shù)，得199-x-y≥0，x-199+y≥0，所以199-x-y=x-199+y=0，即x+y=199①，從而有=0，再根據(jù)算術(shù)平方根的非負性可得出3x+5y-2-m=0②，2x+3y-m=0③，聯(lián)立①②③解方程組可得出m的值．【解析】解：由題意可得，199-x-y≥0，x-199+y≥0，∴199-x-y=x-199+y=0，∴x+y=199①．∴=0，∴3x+5y-2-m=0②，2x+3y-m=0③，聯(lián)立①②③得，，②×2-③×3得，y=4-m，將y=4-m代入③，解得x=2m-6，將x=2m-6，y=4-m代入①得，2m-6+4-m=199，解得m=201．故答案為：201．【點睛】本題考查了算術(shù)平方根的非負性以及方程組的解法，掌握幾個非負數(shù)的和為0時，這幾個非負數(shù)都為0是解題的關(guān)鍵．7．設(shè)x、y、z是兩兩不等的實數(shù)，且滿足下列等式：，則的值為．【答案】0【分析】利用二次根式被開方數(shù)非負性得到x、y、z大小關(guān)系，最后由符號之間的關(guān)系推導(dǎo)得到及y、z等量關(guān)系，最后直接計算整式的值即可．【解析】及且x、y、z是兩兩不等的實數(shù)，且，，，，與、均同號，或，又，，故、不同號，，，，故答案為0．【點睛】本題考查二次根式的運算，由二次根式被開方數(shù)的非負性推導(dǎo)求值，通常這類由一個含有二次根式的式子進行求值的題，都能得到特殊大小或關(guān)系，從而求解目標式子，正確的利用二次根式被開方數(shù)的非負性推導(dǎo)字母符號和關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型4：數(shù)的開方小數(shù)點移動規(guī)律性問題8．閱讀下列材料：，則．請根據(jù)上面的材料回答下列問題：．【答案】54【分析】利用類比的思想，對比確定個位數(shù)是4的立方根，應(yīng)該是個位數(shù)是4的數(shù)，再根據(jù)被開方數(shù)的前兩位數(shù)或前三位數(shù)的范圍，確定最終結(jié)果.【解析】，則，故答案為54.【點睛】本題考查的知識遷移能力，能夠看懂題干是解題的關(guān)鍵.9．觀察下列各式，并用所得出的規(guī)律解決問題：（1），，，……，，，……由此可見，被開方數(shù)的小數(shù)點每向右移動______位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點向______移動______位．（2）已知，，則_____；______．（3），，，……小數(shù)點的變化規(guī)律是_______________________．（4）已知，，則______．【答案】（1）兩；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被開方數(shù)的小數(shù)點向右（左）移三位，其立方根的小數(shù)點向右（左）移動一位；（4）-0.01【分析】（1）觀察已知等式，得到一般性規(guī)律，寫出即可；（2）利用得出的規(guī)律計算即可得到結(jié)果；（3）歸納總結(jié)得到規(guī)律，寫出即可；（4）利用得出的規(guī)律計算即可得到結(jié)果．【解析】解：（1），，，……，，，……由此可見，被開方數(shù)的小數(shù)點每向右移動兩位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點向右移動一位．故答案為：兩；右；一；（2）已知，，則；；故答案為：12.25；0.3873；（3），，，……小數(shù)點的變化規(guī)律是：被開方數(shù)的小數(shù)點向右（左）移三位，其立方根的小數(shù)點向右（左）移動一位；（4）∵，，∴，∴，∴y=-0.01．【點睛】此題考查了立方根，以及算術(shù)平方根，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．題型5：算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律題10．觀察下列各式：＝＝＝2，即＝2＝＝＝3，即＝3，那么＝．【答案】n．【分析】根據(jù)已知等式，可以得出規(guī)律，猜想出第n個等式，寫出推導(dǎo)過程即可．【解析】解：＝n．故答案為：n．【點睛】此題主要考查了平方根的性質(zhì)，利用已知得出數(shù)字之間的規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．11．請先在草稿紙上計算下列四個式子的值：①；②；③；④，觀察你計算的結(jié)果，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫出下面式子的值．【答案】351【分析】先計算題干中四個簡單式子，算出結(jié)果，找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律得出最后式子的的值．【解析】=1=3=6=10發(fā)現(xiàn)規(guī)律：1+2+3+∴1+2+3=351故答案為：351【點睛】本題考查找規(guī)律，解題關(guān)鍵是先計算題干中的4個簡單算式，得出規(guī)律后再進行復(fù)雜算式的求解．題型6：無理數(shù)的估算12．我們知道，是一個無理數(shù)，將這個數(shù)減去整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分，即的整數(shù)部分是1，小數(shù)部分是，請回答以下問題：(1)的小數(shù)部分是________，的小數(shù)部分是________．(2)若a是的整數(shù)部分，b是的小數(shù)部分，求的平方根．(3)若，其中x是整數(shù)，且，求的值．【答案】(1)，；(2)；(3)11．【分析】（1）確定的整數(shù)部分，即可確定它的小數(shù)部分；確定的整數(shù)部分，即可確定的整數(shù)部分，從而確定的小數(shù)部分；（2）確定的整數(shù)部分，即知a的值，同理可確定的整數(shù)部分，從而求得它的小數(shù)部分，即b的值，則可以求得代數(shù)式+1的值，從而求得其平方根；（3）由得即，從而得x=9，y=，將x、y的值代入原式即可求解．【解析】（1）解：∵，∴的整數(shù)部分為3，∴的小數(shù)部分為，∵，∴，∴即，∴的整數(shù)部分為1，∴的小數(shù)部分為，故答案為：，；（2）解：∵，a是的整數(shù)部分，∴a=9，∵，∴的整數(shù)部分為1，∵b是的小數(shù)部分，∴，∴∵9的平方根等于，∴的平方根等于；（3）解：∵，∴即，∵，其中x是整數(shù)，且，∴x=9，y=，∴．【點睛】本題考查了無理數(shù)的估算、求平方根以及求代數(shù)式的值，關(guān)鍵是掌握二次根式的大小估算方法．13．新定義：若無理數(shù)的被開方數(shù)(T為正整數(shù))滿足(其中n為正整數(shù))，則稱無理數(shù)的“青一區(qū)間”為；同理規(guī)定無理數(shù)的“青一區(qū)間”為．例如：因為，所以的“青一區(qū)間”為，的“青一區(qū)間”為，請回答下列問題：(1)的“青一區(qū)間”為；的“青一區(qū)間”為；(2)若無理數(shù)(a為正整數(shù))的“青一區(qū)間”為，的“青一區(qū)間”為，求的值．(3)實數(shù)x，y，滿足關(guān)系式：，求的“青一區(qū)間”．【答案】(1)，(2)2或(3)【分析】（1）根據(jù)“青一區(qū)間”的定義和確定方法，進行求解即可；（2）根據(jù)“青一區(qū)間”的定義求出的值，再根據(jù)立方根的定義，進行求解即可；（3）利用非負性求出的值，再進行求解即可．【解析】（1）解：∵，∴的“青一區(qū)間”為；∵，∴的“青一區(qū)間”為；故答案為：，；（2）∵無理數(shù)“青一區(qū)間”為，∴，∴，即，∵無理數(shù)的“青一區(qū)間”為，∴，∴，即，∴，∴，∵為正整數(shù)，∴或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴的值為2或．（3）∵∴，即，∴，，∴，∵，∴的“青一區(qū)間”為．【點睛】本題考查無理數(shù)的估算，非負性，求一個數(shù)的立方根．理解并掌握“青一區(qū)間”的定義和確定方法，是解題的關(guān)鍵．題型7：算術(shù)平方根的應(yīng)用14．?dāng)?shù)學(xué)活動課上，數(shù)學(xué)興趣小組的幾名同學(xué)探究用n個面積為的小正方形紙片剪拼成一個面積為的大正方形．下面是他們探究的部分結(jié)果：

(1)如圖1，當(dāng)時，拼成的大正方形的邊長為如圖2，當(dāng)時，拼成的大正方形的邊長為如圖3，當(dāng)時，拼成的大正方形的邊長為(2)小李想沿著正方形紙片邊的方向能否裁出一塊面積為的長方形紙片，使它的長寬之比為？他能裁出嗎？請說明理由．(3)小周想沿著正方形紙片邊的方向能否裁出一塊面積為的長方形紙片，使它的長寬之比為，且要求長方形的四周至少留出的邊框？若能，請給出一種合適的裁剪方案；若不能，請說明理由．【答案】(1)；；(2)能，見解析(3)不能，見解析【分析】（1）①先得出時圖形的面積，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)，求得邊長；②先得出時圖形的面積，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)，求得邊長；③先得出時圖形的面積，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)，求得邊長；（2）假設(shè)可行，設(shè)長方形的長寬分別為和，則根據(jù)面積可求得的值，發(fā)現(xiàn)的值比正方形的邊長小，故可能；（3）假設(shè)可行，設(shè)長方形的長寬分別為和，則根據(jù)面積可求得的值，，發(fā)現(xiàn)加邊框后的長至少要，比正方形的邊長大，故不可能．【解析】（1）解：當(dāng)時，則正方形的面積為，邊長為；當(dāng)時，則正方形的面積為，邊長為；當(dāng)時，則正方形的面積為，邊長為．（2）能裁出這樣的長方形，理由如下：設(shè)長方形的長為，則寬為∴解得：∴∴能裁出這樣的長方形．（3）不能裁出這樣的長方形，理由如下：設(shè)長方形的長為，則寬為∴解得：∴又∵要求長方形的四周至少留出的邊框因此加邊框后的長至少要∵∴不能裁出這樣的長方形．【點睛】本題考查圖形的探究，利用長寬比設(shè)未知數(shù)是解題的技巧，根據(jù)題意列方程是解題的關(guān)鍵．15．單項式“a2”可表示邊長為a的正方形的面積，這就是數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)．康康由此探究的近似值，以下是他的探究過程：面積為2的正方形邊長為，可知＞1，因此設(shè)＝1＋r，畫出示意圖：圖中正方形的面積可以用兩個正方形的面積與兩個長方形面積的和表示，即S正方形＝x2＋2×r＋1，另一方面S正方形＝2，則x2＋2×r＋1＝2，由于r2較小故略去，得2r＋1≈2，則r≈0.5，即≈1.5(1)仿照康康上述的方法，探究的近似值．（精確到0.01）（畫出示意圖，標明數(shù)據(jù)，并寫出求解過程）；(2)繼續(xù)仿照上述方法，在（1）中得到的的近似值的基礎(chǔ)上，再探究一次，使求得的的近似值更加準確，精確到0.001（畫出示意圖，標明數(shù)據(jù)，并寫出求解過程）；(3)綜合上述具體探究，已知非負整數(shù)n，m，b，若n＜＜n＋1，且b＝n2＋m，試用含m和n式子表示的估算值．【答案】(1)2.65(2)2.646(3)【分析】（1）設(shè)＝2.6＋r，面積為7的正方形由一個邊長為2.6的正方形和一個邊長為r的正方形以及兩個長方形組成，根據(jù)圖形建立等式即可得到答案；（2）設(shè)＝2.64＋r，面積為7的正方形由一個邊長為2.64的正方形和一個邊長為r的正方形以及兩個長方形組成，根據(jù)圖形建立等式即可得到答案；（3）設(shè)，面積為b的正方形由一個邊長為n的正方形和一個邊長為的正方形以及兩個長方形組成，根據(jù)圖形建立等式即可得到答案．【解析】（1）解：∵，∴＞2.6，設(shè)＝2.6＋r，如下圖所示，面積為7的正方形由一個邊長為2.6的正方形和一個邊長為r的正方形以及兩個長方形組成，∴，∵r2較小故略去，得5.2r＋6.76≈7，∴r≈0.05，即≈2.65；（2）∵，∴＞2.64，設(shè)＝2.64＋r，如下圖所示，面積為7的正方形由一個邊長為2.64的正方形和一個邊長為r的正方形以及兩個長方形組成，∴，∵r2較小故略去，得5.28r＋6.970≈7，∴r≈0.006，即≈2.646；（3）∵n＜＜n＋1，且b＝n2＋m∴設(shè)，如下圖所示，面積為b的正方形由一個邊長為n的正方形和一個邊長為的正方形以及兩個長方形組成，∴，∵r2較小故略去，得，∴，∵b＝n2＋m，∴，∴．【點睛】本題考查二次根式、正方形、矩形的面積，解題的關(guān)鍵是仿照案例畫出圖形，再根據(jù)圖形建立等式．題型8：實數(shù)與數(shù)軸16．如圖，已知正方形的邊長為．(1)有的網(wǎng)格，每個方格的邊長為1，把正方形畫在網(wǎng)格中，要求頂點在格點上．(2)如圖，把正方形放到數(shù)軸上，使得點A與數(shù)重合，邊在數(shù)軸上，那么點D數(shù)軸上表示的數(shù)為________．(3)在（2）的條件下，如果a和b分別表示點D對應(yīng)的無理數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分，求的值．【答案】(1)圖見詳解(2)；(3)【分析】（1）根據(jù)勾股定理，即可找到相應(yīng)的格點，即可得到答案；（2）根據(jù)數(shù)軸上點表示的數(shù)字及點到原點距離關(guān)系直接求解，即可得到答案；（3）根據(jù)夾逼法得到點D表示數(shù)字的范圍得到a和b，即可得到答案．【解析】（1）解：根據(jù)勾股定理可得，，∴正方形在網(wǎng)格中的圖如下圖，；（2）解：∵點A與數(shù)重合，邊在數(shù)軸上，邊長為，∴點D表示的數(shù)為：；故答案為：；（3）解：∵，∴，∴，∵a和b分別表示點D對應(yīng)的無理數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分，∴，，∴．【點睛】本題考查勾股定理，數(shù)軸上數(shù)的表示，無理數(shù)小數(shù)部分及整數(shù)部分計算，解題的關(guān)鍵是找到點D代表的數(shù)字．17．下面是小敏寫的數(shù)學(xué)日記的一部分，請你認真閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．2023年9月22日天氣：晴無理數(shù)與線段長．今天我們借助勾股定理，在數(shù)軸上找到了一些特殊的無理數(shù)對應(yīng)的點，認識了“數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)”這一事實．回顧梳理：要在數(shù)軸上找到表示的點，關(guān)鍵是在數(shù)軸上構(gòu)造線段．如圖1，正方形的邊長為1個單位長度，以原點O為圓心，對角線長為半徑畫弧與數(shù)軸上分別交于點A，，則點A對應(yīng)的數(shù)為，點對應(yīng)的數(shù)為．類似地，我們可以在數(shù)軸上找到表示，，…的點．拓展思考：如圖2，改變圖1中正方形的位置，用類似的方法作圖，可在數(shù)軸上構(gòu)造出線段與，其中O仍在原點，點B，分別在原點的右側(cè)、左側(cè)，可由線段與的長得到點B，所表示的無理數(shù)！按照這樣的思路，只要構(gòu)造出特定長度的線段，就能在數(shù)軸上找到無理數(shù)對應(yīng)的點！

任務(wù)：(1)在圖3中畫圖確定表示的點M．

(2)把5個小正方形按圖中位置擺放，并將其進行裁剪，拼成一個大正方形．請在圖中畫出裁剪線，并在圖4中畫出所拼得的大正方形的示意圖．

(3)小麗想用一塊面積為的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為的長方形紙片如圖5，使它的長是寬的2倍．小麗能用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎？請你通過計算說明理由．

(4)在圖6中的數(shù)軸上分別標出表示數(shù)以及的點，并比較它們的大小．

【答案】(1)見解析(2)見解析(3)不能，理由見解析(4)數(shù)軸見解析，【分析】（1）由，可作出單位長度以3和1為長和寬的矩形，其對角線即是，然后以原點為圓心，以為半徑畫弧，即可解答；（2）設(shè)1個小正方形的面積為1，則5個小正方形的面積為5，即所拼成的大正方形的邊長為，進而即可畫出裁剪線和所拼得的大正方形；（3）由題意可求出正方形紙片的邊長為．設(shè)長方形紙片的寬為，則長為，則可列出關(guān)于x的方程，再利用平方根解方程，即得出長方形紙片的長為，最后比較即可；（4）由，可作出單位長度以2和1為長和寬的矩形，其對角線即是，然后以表示的點為圓心，以為半徑畫弧，與數(shù)軸右側(cè)的交點即為．再畫出表示的點，根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)比較即可．【解析】（1）解：如圖，點M即為所作；

（2）解：如圖所示；

（3）解：不能．理由：由題意可知這個面積為的正方形紙片的邊長為，設(shè)面積為的長方形紙片的寬為，則長為，∴，解得：（舍去負值），∴長方形紙片的長為．∵，∴小麗不能用這塊紙片裁出符合要求的紙片；（4）解：在數(shù)軸上表示數(shù)和的點如圖，

有數(shù)軸可知：．【點睛】本題主要考查勾股定理，數(shù)軸和利用平方根解方程．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．題型9：新定義題18．閱讀理解題：定義：如果一個數(shù)的平方等于，記為，這個數(shù)叫做虛數(shù)單位，把形如（，為實數(shù)）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中叫這個復(fù)數(shù)的實部，叫做這個復(fù)數(shù)的虛部，它的加，減，乘法運算與整式的加，減，乘法運算類似．例如計算：；；根據(jù)以上信息，完成下列問題：(1)填空：______，______；(2)計算：；(3)計算：．【答案】(1)，1(2)(3)【分析】本題考查了整式的混合運算，復(fù)數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握整式的混合運算順序和運算法則，以及正確理解題目所給的復(fù)數(shù)的定義．（1）把代入即可求解；（2）根據(jù)多項式乘以多項式的運算法則，將括號展開，再根據(jù)計算即可；（3）先歸納出每4個數(shù)為一組，每組按照的順序排列，即可進行計算．【解析】（1）解：∵，∴，，故答案為：，1；（2）解：，；（3）解：根據(jù)題意可得：∵i，，，，，，，……∴每4個數(shù)為一組，每組按照的順序排列；，∴．19．規(guī)定：表示取一組數(shù)據(jù)中的最大的數(shù)，例如：．(1)___________．(2)若，求的值；(3)①若，則的最小值為___________；②已知點，當(dāng)最小時，求點的坐標．【答案】(1)(2)或；(3)①；②點【分析】（1）找出中最大數(shù)即可求解；（2）根據(jù)題意分和兩種情況討論，即可求解；（3）①根據(jù)題意分和兩種情況討論，得到，據(jù)此即可求解；②根據(jù)題意得當(dāng)時，才能取最小，據(jù)此即可求解．【解析】（1）解：∵，∴，∴，故答案為：；（2）解：當(dāng)時，∴或，當(dāng)時，，滿足條件；當(dāng)時，，不滿足條件，舍去；當(dāng)時，；∴或，當(dāng)時，，滿足條件；當(dāng)時，，不滿足條件，舍去；綜上所述，或；（3）解：①當(dāng)時，；當(dāng)時，；綜上所述，；∴的最小值為；②當(dāng)時，才能取最小，∴或；當(dāng)時，；當(dāng)時，；而，因此時，最小，則點．【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集、理解新定義列出不等式組是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．題型10：實數(shù)的運算20．已知一列數(shù)：，，，，…，滿足對