2023-2024學年七年級數(shù)學下冊 專題02 角度計算的經典八大模型（原卷版）

專題02角度計算的經典八大模型【題型1雙垂直模型】雙垂直模型【條件】∠B=∠D=∠ACE=90°.【結論】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.【典例1】AD、BE為△ABC的高，AD、BE相交于H點，∠C＝50°，求∠BHD．【變式1-1】如圖所示，在△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，并且CD、BE交于點P，若∠A＝60°，則∠BPC等于（）A．90° B．120° C．150° D．160°【變式1-2】在△ABC中，已知∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交點．求∠ABE和∠BHC的度數(shù)．【題型2A字模型】A字模型圖1【條件】圖1中三種情況【結論】∠1=∠2圖2【結論】∠1+∠2=∠3+∠4【證明】根據(jù)內角和定理，∠1+∠2+∠A=∠3+∠4+∠A=180°∴∠1+∠2=∠3+∠4圖3【結論】∠1+∠2=180°+∠A【證明】∠1+∠2=（∠AED+∠A）+（∠ADE+∠A）=180°+∠A【典例2】探索歸納：（1）如圖1，已知△ABC為直角三角形，∠A＝90°，若沿圖中虛線剪去∠A，則∠1+∠2＝．（2）如圖2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四邊形，則∠1+∠2＝．（3）如圖2，根據(jù)（1）與（2）的求解過程，你歸納猜想∠1+∠2與∠A的關系是．（4）如圖3，若沒有剪掉∠A，而是把它折成如圖3形狀，試探究∠1+∠2與∠A的關系，并說明理由．【變式2-1】如圖，已知△ABC為直角三角形，∠C＝90°，若沿圖中虛線剪去∠C，則∠1+∠2等于（）A．90° B．135° C．270° D．315°【變式2-2】如圖，在△ABC中，E、F分別是AB、AC上的兩點，∠1+∠2＝235°，則∠A＝度．【變式2-3】在如圖所示的四邊形中，若去掉一個50°的角得到一個五邊形，則∠1+∠2＝度．【變式2-4】如圖，四邊形ABOC中，∠BAC與∠BOC的角平分線相交于點P，若∠B＝16°，∠C＝42°，則∠P＝°．：8字模型【條件】AE、BD相交于點C【結論】∠A+∠B=∠D+∠E.【典例3】圖1，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關系：；（2）仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)：個；（3）圖2中，當∠D＝50度，∠B＝40度時，求∠P的度數(shù)．（4）圖2中∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關系．（直接寫出結果，不必證明）．【變式3-1】（2023秋?石嘴山校級期中）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”．（1）如圖1，求證：∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）如圖2，AP，CP分別平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度數(shù)；（3）如圖3，直線AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，請直接寫出∠P與∠B、∠D的數(shù)量關系是．【變式3-2】（2023春?汝陽縣期末）如圖，∠CAD與∠CBD的角平分線交于點P．（1）若∠C＝35°，∠D＝29°，求∠P的度數(shù)；（2）直接寫出∠D，∠C，∠P的數(shù)量關系；（3）若∠CAD與∠CBD的大小發(fā)生變化，（2）的結論是否仍然成立？若成立，說明理由，若不成立，寫出成立的式子．【變式3-3】（2023秋?太平區(qū)期末）我們把有一組對頂角的兩個三角形組成的圖形叫做“8”字圖形，如圖1，AD，BC相交于點O，連接AB，CD得到“8”字圖形ABDC．（1）如圖1，試說明∠A+∠B＝∠C+∠D的理由；（2）如圖2，∠ABC和∠ADC的平分線相交于點E，利用（1）中的結論探索∠E與∠A、∠C間的關系；（3）如圖3，點E為CD延長線上一點，BQ、DP分別是∠ABC、∠ADE的四等分線，且∠CBQ＝∠ABC，∠EDP＝∠ADE，QB的延長線與DP交于點P，請?zhí)剿鳌螾與∠A、∠C的關系．：飛鏢模型圖1圖2圖3【條件】四邊形ABPC如圖1所示【結論】∠BPC=∠A+∠B+∠C.【典例4】探究與發(fā)現(xiàn)：如圖（1）所示的圖形，像我們常見的學習用品一圓規(guī)，我們，不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖（1）觀察“規(guī)形圖（1）”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的數(shù)量關系，并說明理由；（2）請你直接利用以上結論，解決以下問題：①如圖（2），把一塊三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經過點B、C，若∠A＝40°，則∠ABX+∠ACX＝°．②如圖（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度數(shù)．【變式4-1】一個零件的形狀如圖，按要求∠A＝90°，∠B＝32°，∠C＝21°，檢驗工人量得∠CDB＝148°，就斷定這個零件不合格，運用三角形的有關知識說明零件不合格的理由．【變式4-2】附加題：如圖，試說明：①∠BDC＞∠A；②∠BDC＝∠B+∠C+∠A．如果點D在線段BC的另一側，結論會怎樣？【變式4-3】如圖，△ABC中，∠A＝30°，D為CB延長線上的一點，DE⊥AB于點E，∠D＝40°，則∠C為（）A．20° B．15° C．30° D．25°模型5風箏模型【典例5】（2023秋?蘭山區(qū)校級月考）現(xiàn)有一張△ABC紙片，點D、E分別是△ABC邊上兩點，若沿直線DE折疊，折成如圖的形狀．（1）若∠1＝25°、∠2＝35°，求∠A的度數(shù)；（2）猜想∠1、∠2和∠A的數(shù)量關系，并說明理由．【變式5-1】（2022秋?萍鄉(xiāng)期末）如圖，將一張三角形紙片ABC的三角折疊，使點A落在△ABC的A′處折痕為DE，若∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么下列式子中正確的是（）A．γ＝180°﹣α﹣β B．γ＝α+2β C．γ＝2α+β D．γ＝α+β【變式5-2】（2023秋?合江縣期中）如圖，在△ABC中，∠1＝120°，∠2＝50°，將△ABC沿著直線l折疊，點C落在點D的位置，則∠C的度數(shù)是（）A．40° B．35° C．50° D．45°【變式5-3】（2023?青島模擬）如圖，在△ABC中，∠B+∠C＝α，按圖進行翻折，使B'D∥C'G∥BC，B'E∥FG，則∠C'FE的度數(shù)是（）A． B．90°﹣ C．α﹣90° D．2α﹣180°【變式5-4】（2022秋?邯山區(qū)校級期末）如圖，將△ABC一角折疊，若∠1+∠2＝80°，則∠B+∠C＝（）A．40° B．100° C．140° D．160°模型6：雙內角平分線模型【條件】BP、CP分別為∠ABC、∠ACB的角平分線.【結論】∠P=90°+∠A.【典例6】【問題】如圖①，在△ABC中，∠A＝74°，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB．求∠D的度數(shù)，對于上述問題，在以下解答過程的空白處填上適當?shù)膬热荩ɡ碛苫驍?shù)學式）．解：∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°（三角形內角和180°）．∴∠ABC+∠ACB＝（等式性質）．∵∠A＝74°（已知），∴∠ABC+∠ACB＝（等量代換）．∵DB平分∠ABC（已知），∴∠DBC＝∠ABC（角平分線的定義）．同理，∠DCB＝；∴（∠ABC+∠ACB）＝（等式性質）．∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝（等式性質）．【拓展】如圖②，在△ABC中，∠A＝β，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB．則∠D＝（）．【應用】如圖③，在△ABC中，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，EB平分∠DBC，EC平分∠DCB．若∠E＝146°，則∠A＝．【變式6-1】（2023秋?天津校級月考）如圖，在△ABC中，∠A＝52°，∠ABC與∠ACB的平分線交于點D1，∠ABD1與∠ACD1的平分線交于點D2，依次類推，∠ABD4與∠ACD4的平分線交于點D5，則∠BD5C的度數(shù)是（）A．60° B．56° C．94° D．68°【變式6-2】如圖1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點O，過點O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F．（1）當BE＝5，CF＝3，則EF＝；（2）當BE＞CF時，若CO是∠ACB的外角平分線，如圖2，它仍然和∠ABC的角平分線相交于點O，過點O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，試判斷EF，BE，CF之間的關系，并說明理由．【變式6-3】（1）如圖（1），在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，∠A＝40°求∠BOC的度數(shù)．（2）如圖（2），△A′B′C′外角的平分線相交于點O′，∠A′＝40°，求∠B′O′C′的度數(shù)．（3）由（1）、（2）可以發(fā)現(xiàn)∠BOC與∠B′O′C′有怎樣的數(shù)量關系？設∠A＝∠A′＝n°，∠BOC與∠B′O′C′是否還具有這樣的數(shù)量關系？這個結論你是怎樣得到的？模型7：雙外角平分線模型【條件】BP、CP分別為∠EBC、∠BCF的角平分線.【結論】∠P=90°-∠A.【典例7】（2023秋?咸安區(qū)校級期中）如圖1，點P是△ABC兩外角平分線的交點．（1）若∠A＝50°，則∠P＝°；（2）探究∠P與∠A的數(shù)量關系并說明理由；（3）如圖2，點P是四邊形ABCD相鄰兩外角平分線的交點，請直接寫出∠P與∠A，∠D的數(shù)量關系．【變式7】（2022春?淅川縣期末）[規(guī)律探索]探索三角形的內（外）角平分線形成的角的規(guī)律：在三角形中，由三角形的內角平分線外角平分線所形成的角存在一定的規(guī)律．規(guī)律1：三角形的兩個內角的平分線形成的鈍角等于90°加上第三個內角度數(shù)的一半；規(guī)律2：三角形的兩個外角的平分線形成的銳角等于90°減去與這兩個外角不相鄰的內角度數(shù)的一半．[問題呈現(xiàn)]如圖①，點P是△ABC的內角平分線BP與CP的交點，點M是△ABC的外角平分線BM與CM的交點，則∠P＝90°+∠A，∠M＝90°﹣∠A．說明∠P＝90°+∠A如下：∵BP、CP是△ABC的角平分線，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ABC．∴∠A+2（∠1+∠2）＝180°．…………①∴∠1+∠2＝90°﹣∠A．∴∠P＝180°﹣（∠1+∠2）＝90°+∠A．請你仔細閱讀理解上面的說理過程，完成下列問題：（1）上述說理過程中步驟①的依據(jù)是．（2）結合圖①，寫出說明∠M＝90°﹣∠A的說理過程．[拓展延伸]如圖②，點Q是△ABC的內角平分線BQ與△ABC的外角（∠ACD）平分線CQ的交點．若∠A＝50°，則∠Q的大小為度．模型8：內外角平分線模型【條件】BP、CP分別為∠ABC、∠ACE的角平分線【結論】∠P=∠A【典例8】（1）如圖1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求證：∠P＝90°+∠A；（2）如圖2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE，猜想∠P和∠A有何數(shù)量關系，并證明你的結論．【變式8-1】（2023秋?紅古區(qū)期末）如圖，BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是△ABC的外角的平分線，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，則∠A等于（）A．30° B．40° C．50° D．60°【變式8-2】（2023?長陽縣一模）如圖在△ABC中，BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE為外角∠ACD的平分線，BO的延長線交C