2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 專題07 因式分解壓軸四大類型（原卷版）

專題07因式分解壓軸四大類型題型一：運(yùn)用提公因式法合公式法綜合因式分解題型二：十字相乘法因式分解題型三：分組分解法題型四：因式分解的應(yīng)用題型一：運(yùn)用提公因式法合公式法綜合因式分解【典例1】（2023秋?西城區(qū)期末）分解因式：（1）xy3﹣xy；（2）2x2﹣20x+50．【變式1-1】（2023春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）因式分解：（1）2mx2﹣4mx+2m；（2）25（m+n）2﹣9（m﹣n）2．【變式1-2】（2023春?皇姑區(qū)校級(jí)期中）因式分解：（1）x2（a﹣b）+4（b﹣a）；（2）2x2﹣12xy+18y2．【變式1-3】（2022秋?澠池縣期末）因式分解：（1）18a2b﹣12ab2+2b3；（2）x2（x﹣3）+y2（3﹣x）．題型二：十字相乘法因式分解【典例2】（2023秋?普陀區(qū)校級(jí)期末）因式分解：a2﹣13a+36＝．【變式2-1】（2023秋?璧山區(qū)期末）因式分解a2+a﹣6的結(jié)果是．【變式2-2】（2023秋?浦東新區(qū)期末）因式分解：x2﹣8x+12＝．【變式2-3】（2023秋?河北區(qū)校級(jí)期末）把多項(xiàng)式x2﹣2x﹣35因式分解為．題型三：分組分解法【典例3】（2023秋?臨潼區(qū)期末）閱讀下列材料：數(shù)學(xué)研究發(fā)現(xiàn)常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項(xiàng)式只用上述方法無(wú)法分解，如：“m2﹣mn+2m﹣2n”，細(xì)心觀察這個(gè)式子就會(huì)發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)可以提取公因式，后兩項(xiàng)也可提取公因式，前后兩部分分別因式分解后產(chǎn)生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整個(gè)式子的因式分解了，過(guò)程為m2﹣mn+2m﹣2n＝（m2﹣mn）+（2m﹣2n）＝m（m﹣n）+2（m﹣n）＝（m﹣n）（m+2）．此種因式分解的方法叫做“分組分解法”．請(qǐng)?jiān)谶@種方法的啟發(fā)下，解決以下問(wèn)題：（1）因式分解：a3﹣3a2+6a﹣18；（2）因式分解：ax+a2﹣2ab﹣bx+b2．【變式3-1】（2023秋?青浦區(qū)校級(jí)期中）因式分解：4x3﹣2x2﹣9xy2﹣3xy．【變式3-2】（2023秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）把下列各式因式分解：（1）﹣3ab3+6a2b2﹣3a3b；（2）x2﹣y2﹣ax+ay．【變式3-3】（2023秋?武都區(qū)期末）常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多項(xiàng)式用上述方法無(wú)法分解，例如x2﹣4y2﹣2x+4y，我們細(xì)心觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)可以分解，后兩項(xiàng)也可以分解，分別分解后會(huì)產(chǎn)生公因式，就可以完整分解了，具體分解過(guò)程如下：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x2﹣4y2）﹣（2x﹣4y）＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）這種方法叫分組分解法，請(qǐng)利用這種方法對(duì)下列多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解：（1）mn2﹣2mn+2n﹣4；（2）x2﹣2xy+y2﹣16；（3）4x2﹣4x﹣y2+4y﹣3．題型四：因式分解的應(yīng)用【典例4】（2023秋?鋼城區(qū)期末）閱讀材料：教科書(shū)中提到a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2這樣的式子叫做完全平方式．”有些多項(xiàng)式不是完全平方式，我們可以通過(guò)添加項(xiàng)，湊成完全平方式，再減去這個(gè)添加項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這樣也可以將多項(xiàng)式進(jìn)行分解，并解決一些最值問(wèn)題．例如：（1）分解因式：x2﹣2x﹣3．x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣1﹣3＝（x﹣1）2﹣4＝（x﹣1）2﹣22＝（x﹣1+2）（x﹣1﹣2）＝（x+1）（x﹣3）．（2）求代數(shù)式x2﹣2x﹣3的最小值．x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣4＝（x﹣1）2﹣4∵（x﹣1）2≥0，∴當(dāng)x＝1時(shí)，代數(shù)式x2﹣2x﹣3有最小值﹣4．結(jié)合以上材料解決下面的問(wèn)題：（1）若二次三項(xiàng)式x2﹣kx+9恰好是完全平方式，k的值是；（2）分解因式：x2﹣8x+15；（3）當(dāng)x為何值時(shí)，x2﹣8x+15有最小值？最小值是多少？【變式4-1】（2022春?金東區(qū)期末）通常情況下，a+b不一定等于ab，觀察下列幾個(gè)式子：第1個(gè)：2+2＝2×2；第2個(gè)：3+＝3×；第3個(gè)：4+＝4×…我們把符合a+b＝ab的兩個(gè)數(shù)叫做“和積數(shù)對(duì)”．（1）寫(xiě)出第4個(gè)式子．（2）寫(xiě)出第n個(gè)式子，并檢驗(yàn)．（3）若m，n是一對(duì)“和積數(shù)對(duì)”，求代數(shù)式的值．【變式4-2】（2023秋?哈密市期末）閱讀材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根據(jù)你的觀察，探究下面的問(wèn)題：（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值；（2）已知△ABC的三邊長(zhǎng)a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大邊c的值．【變式4-3】（2023春?羅湖區(qū)校級(jí)期中）閱讀材料：要把多項(xiàng)式am+an+bm+bn因式分解，可以先把它進(jìn)行分組再因式分解：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+m）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）這種因式分解的方法叫做分組分解法．（1）請(qǐng)用上述方法因式分解：x2﹣y2+2x﹣2y；（2）知a、b、c是△ABC三邊的長(zhǎng)，且滿足a2+c2﹣2b（a﹣b+c）＝0，試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；（3）若m、n、p為非零實(shí)數(shù)，且（m﹣n）2＝（p﹣n）（m﹣p），求證：2p＝m+n．一．選擇題（共8小題）1．（2022秋?內(nèi)江期末）已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，則當(dāng)x2﹣2x﹣5＝0時(shí)，d的值為（）A．25 B．20 C．15 D．102．（2022春?蘭西縣校級(jí)期末）已知長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為16cm，它兩鄰邊長(zhǎng)分別為xcm，ycm，且滿足（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，則該長(zhǎng)方形的面積為（）cm2．A． B． C．15 D．163．（2023秋?洪山區(qū)期末）已知實(shí)數(shù)a滿足a2﹣2a﹣1＝0，則代數(shù)式2a3﹣a2﹣8a+4的值為（）A．9 B．7 C．0 D．﹣94．（2023秋?商水縣期末）已知m2+n2＝25，mn＝12，則m3n﹣mn3的值為（）A．±300 B．±84 C．±48 D．±125．（2023秋?海安市期末）已知xy＝4，則x2﹣2x+y2﹣2y的最小值是（）A．﹣9 B．﹣2 C．0 D．26．（2023秋?宣化區(qū)期末）小穎利用兩種不同的方法計(jì)算下面圖形的面積，并據(jù)此寫(xiě)出了一個(gè)因式分解的等式，此等式是（）A．a(chǎn)2+2ab+b2＝（a+b）（a+b） B．a(chǎn)2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b） C．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．2a2+3ab+b2＝（2a+b）（a+b）7．（2023秋?鲅魚(yú)圈區(qū)期末）已知a﹣b＝5，ab＝﹣6，則a3b﹣2a2b2+ab3的值為（）A．57 B．120 C．﹣39 D．﹣1508．（2023秋?東興區(qū)校級(jí)期中）已知，則代數(shù)式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值是（）A．0 B． C．2 D．3二．填空題（共5小題）9．（2023秋?烏蘭察布期末）已知a、b是△ABC的兩邊，且滿足a2﹣b2＝ac﹣bc，則△ABC的形狀是．10．（2023秋?通山縣期末）已知：x2﹣x＝1，則x4﹣x3﹣2x2+x+1的值是．11．（2023秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）若將多項(xiàng)式2x3﹣x2+m進(jìn)行因式分解后，有一個(gè)因式是x+1，則m的值為．12．（2022秋?東莞市校級(jí)期末）已知a＝x+20，b＝x+19，c＝x+21，則代數(shù)式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值是．13．（2022秋?芝罘區(qū)期末）計(jì)算：20232﹣2023×2022＝．三．解答題（共3小題）14．（2023秋?梨樹(shù)縣期末）已知a﹣b＝7，ab＝﹣12．（1）求a2b﹣ab2的值；（2）求a2+b2的值；（3）求a+b的值．15．（2023秋?東遼縣期末）先閱讀下列材料：我們已經(jīng)學(xué)過(guò)將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的方法有提公因式法和運(yùn)用公式法，其實(shí)分解因式的方法還有分組分解法、拆項(xiàng)法、十字相乘法等等．（1）分組分解法：將一個(gè)多項(xiàng)式適當(dāng)分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法．如：①ax+by+bx+ay＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）②2xy+y2﹣1+x2＝x2+2xy+y2﹣1＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）（2）拆項(xiàng)法：將一個(gè)多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法．如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）請(qǐng)你仿照以上方法，探索并解決下列問(wèn)題：（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；（2）分解因式：a2+4ab﹣5b2；（3）多項(xiàng)式x2﹣6x+1有最小值嗎？如果有，當(dāng)它取最小值時(shí)x的值為多少？16．（2023春?新吳區(qū)期中）閱讀材料：利用公式法，可以將一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多項(xiàng)式變形為a（x+m）2+n的形式，我們把這樣的變形方法叫做多項(xiàng)式ax2+bx+c（a≠0）