第一章 整式的乘除（7個類型75題）-【?？級狠S題】七年級數(shù)學(xué)下冊壓軸題攻略（北師大版）（原卷版）

試卷第=page44頁，共=sectionpages112112頁第一章整式的乘除內(nèi)容導(dǎo)航一、與冪有關(guān)的運(yùn)算類型一、同底數(shù)冪的乘法類型二、冪的乘方與積的乘方類型三、同底數(shù)冪的除法二、整式的乘法類型一、多項(xiàng)式乘法的及其應(yīng)用類型二、平方差公式及其應(yīng)用類型三、完全公式及其應(yīng)用類型四、配方法的應(yīng)用一、與冪有關(guān)的運(yùn)算類型一、同底數(shù)冪的乘法1．已知，，，現(xiàn)給出3個數(shù)a，b，c之間的四個關(guān)系式：①；②；③；④．其中，正確的關(guān)系式是（填序號）．2．已知一列數(shù)：-2，4，-8，16，-32，64，-128，……，將這列數(shù)按如右圖所示的規(guī)律排成一個數(shù)陣，其中，4在第一個拐彎處，-8在第二個拐彎處，-32在第三個拐彎處，-128在第四個拐彎處，……，則第六個拐彎處的數(shù)是，第一百個拐彎處的數(shù)是．3．如圖，正方形的邊長為，將此正方形按照下面的方法進(jìn)行剪貼：第一次操作，先沿正方形的對邊中點(diǎn)連線剪開，然后粘貼為一個長方形，其中疊合部分長為1，則此長方形的周長為，第二次操作，再沿所得長方形的對邊（長方形的寬）中點(diǎn)連線剪開，然后粘貼為一個新的長方形，其中疊合部分長為l，……如此繼續(xù)下去，第n次操作后得到的長方形的周長為．4．為了求1+2+22+23+…+22014的值，可令S=1+2+22+23+…+22014，則2S=2+22+23+24+…+22015，因此2S﹣S=22015﹣1，所以1+2+22+23+…+22014=22015﹣1，仿照以上推理，計(jì)算1+5+52+53+…+52018=．5．現(xiàn)有若干張卡片，分別寫有1，，4，，16，，……，小明從中取出三張卡片，要滿足三張卡片上的數(shù)字乘積為，其中三數(shù)之和的最大值記為A，最小值記為B，則的值等于．6．（1）已知：則的值是_____（2）如果記那么_____（3）若則x=_____（4）若則_____7．閱讀下面的文字,回答后面的問題：求的值.解：令將等式兩邊同時乘以5得到:②-①得:∴即問題:(1)求的值；(2)求的值.8．閱讀下列材料：小明為了計(jì)算的值，采用以下方法：設(shè)①則②②①得，．請仿照小明的方法解決以下問題：（1）______；（2）求______；（3）求的和；（請寫出計(jì)算過程）（4）求的和（其中且）．（請寫出計(jì)算過程）9．在某多媒體電子雜志的一期上刊登了“正方形雪花圖案的形成”的演示案例：作一個正方形，設(shè)每邊長為a，將每邊四等分，作一凸一凹的兩個邊長為的小正方形，如此連續(xù)作幾次，便可構(gòu)成一朵絢麗多彩的雪花圖案（如圖（3））．下列步驟：（1）作一個正方形，設(shè)邊長為a（如圖（1）），此正方形的面積為；（2）對正方形進(jìn)行第1次分形：將每邊四等分，作一凸一凹的兩個邊長為的小正方形，得到圖（2），此圖形的周長為；（3）重復(fù)上述的作法，圖（1）經(jīng)過第次分形后得到圖（3）的圖形；（4）觀察探究：上述分形過程中，經(jīng)過n次分形得到的圖形周長是，面積是．類型二、冪的乘方與積的乘方10．已知整數(shù)滿足且，則的值為．11．已知6x=192，32y=192，則（-2019）（x-1）（y-1）-1=.12．如果10b=n，那么b為n的“勞格數(shù)”，記為b=d（n）．由定義可知：10b=n與b=d（n）表示b、n兩個量之間的同一關(guān)系．(1)根據(jù)“勞格數(shù)”的定義，填空：d（10）=____，d（10-2）=______；(2)“勞格數(shù)”有如下運(yùn)算性質(zhì)：若m、n為正數(shù)，則d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）-d（n）；根據(jù)運(yùn)算性質(zhì)，填空：=________．（a為正數(shù)）(3)若d（2）=0.3010，分別計(jì)算d（4）；d（5）．13．如果，那么我們規(guī)定．例如：因?yàn)?，所以?1)______；若，則______；(2)已知，，，若，求的值；(3)若，，令．①求的值；②求的值．14．閱讀下列材料,并解決下面的問題:我們知道,加減運(yùn)算是互逆運(yùn)算,乘除運(yùn)算也是互逆運(yùn)算,其實(shí)乘方運(yùn)算也有逆運(yùn)算,如我們規(guī)定式子可以變形為也可以變形為.在式子中,3叫做以2為底8的對數(shù),記為一般地,若則叫做以為底的對數(shù),記為且具有性質(zhì):其中且根據(jù)上面的規(guī)定,請解決下面問題:(1)計(jì)算:_______(請直接寫出結(jié)果)；(2)已知請你用含的代數(shù)式來表示其中(請寫出必要的過程).15．找規(guī)律：觀察算式13＝113+23＝913+23+33＝3613+23+33+43＝100…（1）按規(guī)律填空）13+23+33+43+…+103＝；13+23+33+43+…+n3＝．（2）由上面的規(guī)律計(jì)算：113+123+133+143+…+503（要求：寫出計(jì)算過程）（3）思維拓展：計(jì)算：23+43+63+…+983+1003（要求：寫出計(jì)算過程）類型三、同底數(shù)冪的除法16．設(shè)m，n是正整數(shù)，且，若與的末兩位數(shù)字相同，則的最小值為（

）A．9 B．10 C．11 D．1217．對于整數(shù)a、b定義運(yùn)算：（其中m、n為常數(shù)），如．(1)填空：當(dāng)，時，__________；(2)若，，求的值．18．觀察下面三行單項(xiàng)式：x，，，，，，；①，，，，，，；②，，，，，，；③根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解答下列問題：（1）第①行的第8個單項(xiàng)式為_______；（2）第②行的第9個單項(xiàng)式為_______；第③行的第10個單項(xiàng)式為_______；（3）取每行的第9個單項(xiàng)式，令這三個單項(xiàng)式的和為當(dāng)時，求的值．19．閱讀理解：我們通常學(xué)習(xí)的數(shù)都是十進(jìn)制數(shù)，使用的數(shù)碼共有10個：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，表示具體數(shù)時采用“逢十進(jìn)一”的原則，比如：，（這里我們規(guī)定：a≠0時，），又如：．而現(xiàn)代的計(jì)算機(jī)和依賴計(jì)算機(jī)的設(shè)備都使用二進(jìn)制數(shù)，用到的數(shù)碼只有兩個：0和1，表示具體數(shù)時“逢二進(jìn)一”．二進(jìn)制數(shù)和十進(jìn)制數(shù)可以互相轉(zhuǎn)化，二進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算也和十進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算類似．①我們可以把十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)化成二進(jìn)制整數(shù)．比如：，所以103用二進(jìn)制數(shù)碼表示是1100111，記為；②也可以把十進(jìn)制分?jǐn)?shù)或者小數(shù)轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制小數(shù)，比如：，所以可以表示成二進(jìn)制小數(shù)，記為．這里還可以把分子1和分母8都轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)，在二進(jìn)制下用分了除以分母得到的二進(jìn)制小數(shù)表示：由于，，所以，而可以類比十進(jìn)制數(shù)一樣做除法，只是商和余數(shù)都只能是0或1：，所以=；③與十進(jìn)制數(shù)類似，二進(jìn)制也有循環(huán)小數(shù)，比如：，由，可知．問題解決：(1)將十進(jìn)制數(shù)35化成二進(jìn)制數(shù)為：（______）．二進(jìn)制小數(shù)化為十進(jìn)制分?jǐn)?shù)是______．(2)將十進(jìn)制分?jǐn)?shù)化成二進(jìn)制小數(shù)：；．(3)在十進(jìn)制中，循環(huán)小數(shù)都可以化為分?jǐn)?shù)，比如：將化為分?jǐn)?shù)形式．設(shè)（A）則（B）．得：即，于是得到．同樣，二進(jìn)中的循環(huán)小數(shù)也可以用類似的方法化為十進(jìn)制分?jǐn)?shù)．請二進(jìn)制循環(huán)小數(shù)化成十進(jìn)制分?jǐn)?shù)，保留計(jì)算過程．20．閱讀下列材料：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，排在第一位的數(shù)稱為第1項(xiàng)，記為，依此類推，排在第位的數(shù)稱為第項(xiàng)，記為．一般地，如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示．如：數(shù)列1，3，9，27，為等比數(shù)列，其中，公比為．然后解決下列問題．(1)等比數(shù)列3，6，12，的公比為，第4項(xiàng)是．(2)如果已知一個等比數(shù)列的第一項(xiàng)（設(shè)為和公比（設(shè)為，則根據(jù)定義我們可依次寫出這個數(shù)列的每一項(xiàng)：，，，，．由此可得第項(xiàng)（用和的代數(shù)式表示）．(3)若一等比數(shù)列的公比，第2項(xiàng)是10，求它的第1項(xiàng)與第4項(xiàng)．(4)已知一等比數(shù)列的第3項(xiàng)為12，第6項(xiàng)為96，求這個等比數(shù)列的第10項(xiàng)．二、整式的乘法類型一、多項(xiàng)式乘法的及其應(yīng)用21．若實(shí)數(shù)x，y，z滿足，求（

）A．5 B．10 C．15 D．2022．關(guān)于的多項(xiàng)式：，其中為正整數(shù)，若各項(xiàng)系數(shù)各不相同且均不為0，我們稱這樣的多項(xiàng)式為“親緣多項(xiàng)式”．①是“親緣多項(xiàng)式”．②若多項(xiàng)式和均為“親緣多項(xiàng)式”，則也是“親緣多項(xiàng)式”．③多項(xiàng)式是“親緣多項(xiàng)式”且．④關(guān)于的多項(xiàng)式，若，，為正整數(shù)，則為“親緣多項(xiàng)式”．以上說法中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．423．在矩形內(nèi)將兩張邊長分別為和的正方形紙片按圖1和圖2兩種方式放置（圖1和圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），矩形中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設(shè)圖1中陰影部分的面積為，圖2中陰影部分的面積為．當(dāng)時，的值為（

）A． B． C． D．24．建黨100周年主題活動中，702班潯潯設(shè)計(jì)了如圖1的“紅色徽章”其設(shè)計(jì)原理是：如圖2，在邊長為的正方形四周分別放置四個邊長為的小正方形，構(gòu)造了一個大正方形，并畫出陰影部分圖形，形成了“紅色徽章”的圖標(biāo)．現(xiàn)將陰影部分圖形面積記作，每一個邊長為的小正方形面積記作，若，則的值是．25．閱讀以下材料：已知兩個兩位數(shù)，將它們各自的十位數(shù)字和個位數(shù)字交換位置后，得到兩個與原兩個兩位數(shù)均不同的新數(shù)，若這兩個兩位數(shù)的乘積與交換位置后兩個新兩位數(shù)的乘積相等，則稱這樣的兩個兩位數(shù)為“幸福數(shù)對”，例如，所以和與和都是“幸福數(shù)對”.解決如下問題：(1)請判斷與是否是“幸福數(shù)對”？并說明理由：(2)為探究“幸福數(shù)對”的本質(zhì)，可設(shè)“幸福數(shù)對”中一個數(shù)的十位數(shù)字為，個位數(shù)字為，且；另一個數(shù)的十位數(shù)字為，個位數(shù)字為，且，試說明，，，之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；(3)若有一個兩位數(shù)，十位數(shù)字為，個位數(shù)字為；另一個兩位數(shù)，十位數(shù)字為，個位數(shù)字為．若這兩個數(shù)為“幸福數(shù)對”，求出這兩個兩位數(shù)．26．對于代數(shù)式，不同的表達(dá)形式能表現(xiàn)出它不同的性質(zhì)，若代數(shù)式，代數(shù)式，改變x的值，代數(shù)式A，B有不同的取值，如下表：x012340381524350381524觀察表格發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時，，當(dāng)時，，我們把這種現(xiàn)象稱為代數(shù)式B參照代數(shù)式A取值延后，相應(yīng)的延后值為1．(1)若代數(shù)式D參照代數(shù)式A取值延后，相應(yīng)的延后值為2，求代數(shù)式D；(2)若代數(shù)式參照代數(shù)式A的取值延后，求相應(yīng)的延后值；(3)若代數(shù)式參照代數(shù)式取值延后，求的值．27．若整式A只含有字母x，且A的次數(shù)不超過3次，令A(yù)＝ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d為整數(shù)，在平面直角坐標(biāo)系中，我們定義：M（b+d，a+b+c+d）為整式A的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，我們規(guī)定次數(shù)超過3次的整式?jīng)]有關(guān)聯(lián)點(diǎn)．例如，若整式A＝2x2﹣5x+4，則a＝0，b＝2，c＝﹣5，d＝4，故A的關(guān)聯(lián)點(diǎn)為（6，1）．（1）若A＝x3+x2﹣2x+4，則A的關(guān)聯(lián)點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）若整式B是只含有字母x的整式，整式C是B與（x﹣2）（x+2）的乘積，若整式C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)為（6，﹣3），求整式B的表達(dá)式．（3）若整式D＝x﹣3，整式E是只含有字母x的一次多項(xiàng)式，整式F是整式D與整式E的平方的乘積，若整式F的關(guān)聯(lián)點(diǎn)為（﹣200，0），請直接寫出整式E的表達(dá)式．28．如圖，，點(diǎn)D是線段上的一個動點(diǎn)，在右側(cè)以為邊作正方形；若，，連接．

(1)請用含k，m的代數(shù)式表示；(2)若，梯形的面積是三角形面積的4倍，求k的值；(3)下列三個條件：①；②；③，依次為易、中、難，對應(yīng)的滿分值為1分、2分、3分，選擇其中一個條件，求三角形的面積（用含k的代數(shù)式表示）．29．如圖，長為，寬為的大長方形被分割為小塊，除陰影A，B兩塊外，其余塊是形狀、大小完全相同的小長方形，其較短一邊長為．(1)分別用含，的代數(shù)式表示陰影A，B兩塊的周長，并計(jì)算陰影A，兩塊的周長和．(2)分別用含，的代數(shù)式表示陰影A，B兩塊的面積，并計(jì)算陰影A，的面積差．(3)當(dāng)取何值時，陰影A與陰影的面積差不會隨著的變化而變化，并求出這個值．30．［知識回顧]有這樣一類題：代數(shù)式的值與x的取值無關(guān)，求a的值；通常的解題方法；把x，y看作字母，a看作系數(shù)合并同類項(xiàng)，因?yàn)榇鷶?shù)式的值與x的取值無關(guān)，所以含x項(xiàng)的系數(shù)為0，即原式，所以，即．［理解應(yīng)用](1)若關(guān)于x的多項(xiàng)式的值與x的取值無關(guān)，求m的值；(2)已知的值與x無關(guān)，求y的值；(3)（能力提升）如圖1，小長方形紙片的長為a、寬為b，有7張圖1中的紙片按照圖2方式不重疊地放在大長方形ABCD內(nèi)，大長方形中有兩個部分（圖中陰影部分）未被覆蓋，設(shè)右上角的面積為，左下角的面積為，當(dāng)AB的長變化時，的值始終保持不變，求a與b的等量關(guān)系．31．如圖，有一個邊長為的大正方形和兩個邊長為的小正方形，分別將它們按照圖1和圖2的形式擺放．（1）用含有的代數(shù)式分別表示陰影面積：________，________，________；（不需要化簡）（2）如圖3，四邊形和均為正方形，且點(diǎn)在一條直線上，若長為，長為5，則：①求陰影部分的面積（用含的代數(shù)式表示）；②當(dāng)時，陰影部分面積為多少？32．對于一個圖形，通過兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個數(shù)學(xué)等式．例如圖1可以得到，請解答下列問題：（1）寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式______；（2）利用（1）中得到的結(jié)論，解決下面的問題：若，則_____；（3）小明同學(xué)用圖3中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張邊長分別為的長方形紙片拼出一個面積為長方形圖形，則_______．（4）如圖4所示，將兩個邊長分別為a和b的正方形拼在一起，三點(diǎn)在同一直線上，連接和，若兩正方形的邊長滿足，你能求出陰影部分的面積嗎？33．如圖1，O為數(shù)軸原點(diǎn)，在數(shù)軸上擺放一個長方形ABCD，使得AB、CD的中點(diǎn)E、G恰好落在數(shù)軸上，AB＝16，BC＝EG＝6，點(diǎn)H為數(shù)軸上的點(diǎn)，HE＝2GO，HO＝3EG．（1）點(diǎn)H所表示的數(shù)為；（2）若動點(diǎn)M以每秒3個單位的速度從H出發(fā)沿折線H→E→B→C運(yùn)動，動點(diǎn)N同時以每秒2個單位的速度從點(diǎn)O出發(fā)沿折線O→G→D運(yùn)動，當(dāng)一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個點(diǎn)隨之停止運(yùn)動，設(shè)兩個點(diǎn)運(yùn)動時間為t秒，記M、N、A三點(diǎn)所形成的三角形的面積為S，試用時間t表示S；（3）如圖2，點(diǎn)F對應(yīng)的數(shù)為﹣13，螞蟻甲以每秒5個單位的速度從點(diǎn)F開始沿折線F→E→B→C運(yùn)動，同時螞蟻乙從點(diǎn)O出發(fā)沿折線O→G→D→A運(yùn)動，乙在線段OG、DA上的速度是每秒4個單位，在線段GD上的速度則是每秒7個單位．當(dāng)一只螞蟻到達(dá)終點(diǎn)時，另一只螞蟻也隨之停止運(yùn)動，記運(yùn)動時間為t，是否存在某一時刻t使得兩只螞蟻在長方形ABCD上走過的路程恰好相等？若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．類型二、平方差公式及其應(yīng)用34．對于一個三位數(shù)，其十位數(shù)字等于個位數(shù)字與百位數(shù)字的差的兩倍，則我們稱這樣的數(shù)為“倍差數(shù)”，則最小的“倍差數(shù)”為若一個數(shù)能夠?qū)懗桑ǎ鶠檎麛?shù)，且），則我們稱這樣的數(shù)為“不完全平方差數(shù)”，記．例如，所以或．若一個小于的三位數(shù)（其中，，且，，均為整數(shù)）既是一個“不完全平方差數(shù)”，也是一個“倍差數(shù)”，則滿足條件的的最大值為．35．計(jì)算：．36．若正整數(shù)滿足，這樣的三個整數(shù)（如：或）我們稱它們?yōu)橐唤M“完美勾股數(shù)”．當(dāng)時，共有組這樣的“完美勾股數(shù)”．37．一個個位不為零的四位自然數(shù)n，如果千位與十位上的數(shù)字之和等于百位與個位上的數(shù)字之和，則稱n為“隱等數(shù)”，將這個“隱等數(shù)”反序排列（即千位與個位對調(diào)，百位與十位對調(diào)）得到一個新數(shù)m，記．(1)請任意寫出一個“隱等數(shù)”n，并計(jì)算的值．(2)若某個“隱等數(shù)”n的千位與十位上的數(shù)字之和為6，為正數(shù)，且能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，求滿足條件的所有“隱等數(shù)”n．38．閱讀：在計(jì)算的過程中，我們可以先從簡單的、特殊的情形入手，再到復(fù)雜的、一般的問題，通過觀察、歸納、總結(jié)，形成解決一類問題的一般方法，數(shù)學(xué)中把這樣的過程叫做特殊到一般．如下所示：【觀察】①；②；③；……(1)【歸納】由此可得：________；(2)【應(yīng)用】請運(yùn)用上面的結(jié)論，解決下列問題：計(jì)算：_______；(3)計(jì)算：______；(4)若，求的值．39．材料一：如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差，那我們稱這個正整數(shù)為連續(xù)平方差數(shù)，若，則96是連續(xù)平方差數(shù)；材料二：對于一個三位自然數(shù)M，去掉個位數(shù)字后成為一個兩位數(shù)，去掉百位數(shù)字后成為一個兩位數(shù)，若為整數(shù)，則稱M是一個關(guān)于9的對稱數(shù)，若，則稱545是關(guān)于9的對稱數(shù)．(1)請判斷56是否是連續(xù)平方差數(shù)，如果是請找出差為56的連續(xù)的兩個奇數(shù)；(2)證明任何一個連續(xù)平方差數(shù)一定是8的倍數(shù)；(3)已知一個三位數(shù)既是連續(xù)平方差數(shù)，又是關(guān)于9的對稱數(shù)，求滿足條件的所有三位數(shù)．40．根據(jù)以下10個乘積，回答問題：；；；；；；；；；；（1）試將以上各乘積分別寫成一個平方差的形式，并寫出其中一個的思考過程（2）將以上10個乘積按照從小到大排列起來（3）若用，，，，表示n個乘積，其中為正數(shù)，試由（1）（2）猜測一個一般性的結(jié)論．（不要求寫證明）41．?dāng)?shù)學(xué)中的許多規(guī)律不僅可以通過數(shù)的運(yùn)算發(fā)現(xiàn)，也可以通過圖形的面積發(fā)現(xiàn)．(1)填表：【數(shù)的角度】aba＋ba－ba2－b2213133－215(2)【形的角度】如圖①，在邊長為a的正方形紙片上剪去一個邊長為b（b＜a）的小正方形，怎樣計(jì)算圖中陰影部分的面積？小明和小紅分別用不同的方法計(jì)算圖中陰影部分的面積．小明的方法：若陰影部分看成大正方形與小正方形的面積差，則陰影部分的面積用代數(shù)式表示為；小紅的方法：若沿圖①中的虛線將陰影部分剪開拼成新的長方形（圖②），則陰影部分的面積用代數(shù)式表示為．(3)【發(fā)現(xiàn)規(guī)律】猜想：a＋b、a－b、a2－b2這三個代數(shù)式之間的等量關(guān)系是．(4)【運(yùn)用規(guī)律】運(yùn)用上述規(guī)律計(jì)算：502－492＋482－472＋462－452…＋22－1．42．我們知道對于一個圖形，通過不同的方法計(jì)算圖形的面積時，可以得到一個數(shù)學(xué)等式．例如由圖1可以得到．請回答下列問題：（1）寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式是；（2）如圖3，用四塊完全相同的長方形拼成正方形，用不同的方法，計(jì)算圖中陰影部分的面積，你能發(fā)現(xiàn)什么?(用含有，的式子表示)；（3）通過上述的等量關(guān)系，我們可知:當(dāng)兩個正數(shù)的和一定時，它們的差的絕對值越小，則積越（填“大”“或“小”）；當(dāng)兩個正數(shù)的積一定時，它們的差的絕對值越小，則和越（填“大”或“小”）．43．已知，如圖1，我們在2018年某月的日歷中標(biāo)出一個十字星，并計(jì)算它的“十字差”（將十字星左右兩數(shù)，上下兩數(shù)分別相乘再將所得的積作差，稱為該十字星的“十字差”)該十字星的十字差為，再選擇其它位置的十字星，可以發(fā)現(xiàn)“十字差”仍為48．（1）如圖2，將正整數(shù)依次填入5列的長方形數(shù)表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的“十字差”也是一個定值，則這個定值為．（2）若將正整數(shù)依次填入6列的長方形數(shù)表中，不同位置十字星的“十字差”是一個定值嗎?如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．（3）若將正整數(shù)依次填入k列的長方形數(shù)表中(k≥3)，繼續(xù)前面的探究，可以發(fā)現(xiàn)相應(yīng)“十字差”為與列數(shù)有關(guān)的定值，請用表示出這個定值，并證明你的結(jié)論．類型三、完全公式及其應(yīng)用44．已知多項(xiàng)式，多項(xiàng)式．①若多項(xiàng)式是完全平方式，則或②③若，，則④若，則⑤代數(shù)式的最小值為2022以上結(jié)論正確的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個45．配方法是數(shù)學(xué)中非常重要的一種思想方法，它是指將一個式子或?qū)⒁粋€式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來解決問題．定義：若一個整數(shù)能表示成（a，b為整數(shù)）的形式，則稱這個數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”，理由：因?yàn)?，所?是“完美數(shù)”．解決問題：(1)已知29是“完美數(shù)”，請將它寫成（a，b為整數(shù)）的形式：______；(2)若可配方成（m，n為常數(shù)），則______；(3)探究問題：已知，求的值．(4)已知（x，y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出k的值．46．對于一個圖形，通過不同的方法計(jì)算圖形的面積可以得到一個數(shù)學(xué)等式．例如，由圖1可以得到：(1)由圖2可以得到：_____(2)利用圖2所得的等式解答下列問題：①若實(shí)數(shù)a，b，c滿足，，求的值；②若實(shí)數(shù)x，y，z滿足，，求的值．47．現(xiàn)有如圖1的8張大小形狀相同的直角三角形紙片，三邊長分別是、、．用其中4張紙片拼成如圖2的大正方形（空白部分是邊長分別為和的正方形）；用另外4張紙片拼成如圖3的大正方形（中間的空白部分是邊長為的正方形）．(1)觀察：從整體看，整個圖形的面積等于各部分面積的和．所以圖2和圖3的大正方形的面積都可以表示為，結(jié)論①；圖2中的大正方形的面積又可以用含字母、的代數(shù)式表示為：______，結(jié)論②圖3中的大正方形的面積又可以用含字母、、的代數(shù)式表示為：______，結(jié)論③．(2)思考：結(jié)合結(jié)論①和結(jié)論②，可以得到個等式______結(jié)合結(jié)論②和結(jié)論③，可以得到個等式______(3)應(yīng)用：若分別以直角三角形三邊為直徑，向外作半圓（如圖4），三個半圓的面積分別記作、、，且．，求的值．(4)延伸：若分別以直角三角形三邊為直徑，向上作三個半圓（如圖5），直角邊，斜邊，求圖中陰影部分面積和．48．結(jié)合圖形我們可以通過兩種不同的方法計(jì)算面積，從而可以得到一個數(shù)學(xué)等式．

(1)如圖1，用兩種不同的方法計(jì)算陰影部分的面積，可以得到的數(shù)學(xué)等式是______；(2)我們可以利用（1）中的關(guān)系進(jìn)行求值，例如，若x滿足，可設(shè)，，則，．則______．(3)若x滿足，則的值為______；(4)小玲想利用圖2中x張A紙片，y張B紙片，z張C紙片拼出一個面積為的大長方形，則______；(5)如圖3，已知正方形的邊長為x，E，F(xiàn)分別是、上的點(diǎn)，且，，長方形的面積是24，分別以、為邊作正方形，求陰影部分的面積．49．?dāng)?shù)學(xué)活動課上，老師準(zhǔn)備了圖1中三種不同大小的正方形與長方形，拼成了一個如圖2所示的正方形．

(1)請用兩種不同的方法表示圖2中陰影部分的面積和．方法1：___________；方法2：___________．(2)請你直接寫出三個代數(shù)式：，，之間的等量關(guān)系．根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：(3)已知，，求___________．(4)已知，求的值．50．用幾個小的長方形、正方形拼成一個大的正方形，然后利用兩種不同的方法計(jì)算這個大的正方形的面積，可以得到一個等式，利用這些等式也可以求一些不規(guī)則圖形的面積．

(1)如圖1所示的大正方形，是由兩個正方形和兩個形狀大小完全相同的長方形拼成的．用兩種不同的方法計(jì)算圖中陰影部分的面積，可以得到的數(shù)學(xué)等式是______；(2)如圖2，由幾個面積不等的小正方形和幾個小長方形拼成一個邊長為的大正方形，試用不同形式表示這個大正方形的面積，從中你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？該結(jié)論用等式表示為______；(3)利用（2）中的結(jié)論解決以下問題：已知，，求的值；(4)如圖3，由兩個邊長分別為m，n的正方形拼在一起，點(diǎn)B，C，E在同一直線上，連接BD、BF，若，，請利用（1）中的結(jié)論，求圖3中陰影部分的面積．51．【知識生成】【知識生成】我們已經(jīng)知道，通過計(jì)算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式．例如圖1可以得到，基于此，請解答下列問題：【直接應(yīng)用】（1）若，，求的值；【類比應(yīng)用】（2）填空：①若，則；②若，則；【知識遷移】（3）兩塊全等的特制直角三角板如圖2所示放置，其中，，在一直線上，連接，．若，，求一塊直角三角板的面積．

52．對于任意四個有理數(shù)，可以組成兩個有理數(shù)對與，我們規(guī)定：．例如：．

(1)若是一個完全平方式，求常數(shù)的值；(2)若，且，求的值；(3)在（2）的條件下，將長方形及長方形按照如圖方式放置，其中點(diǎn)分別在邊上，連接，若，，，，求圖中陰影部分的面積．53．【閱讀材料】“數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法．比如：北師大版七年級下冊教材在學(xué)習(xí)“完全平方公式”時，通過構(gòu)造幾何圖形，用幾何直觀的方法解釋了完全平方公式：（如圖1）．利用“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，可以從代數(shù)角度解決圖形問題，也可以用圖形關(guān)系解決代數(shù)問題．

【方法應(yīng)用】根據(jù)以上材料提供的方法，完成下列問題：(1)由圖2可得等式：；由圖3可得等式：；(2)利用圖3得到的結(jié)論，解決問題：若，，則；(3)如圖4，若用其中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張邊長分別為a，b的長方形紙片拼出一個面積為長方形（無空隙、無重疊地拼接）．①請畫出拼出后的長方形；②；(4)如圖4，若有3張邊長為a的正方形紙片，4張邊長分別為a，b的長方形紙片，5張邊長為b的正方形紙片．從中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張．把取出的這些紙片拼成一個正方形（無空隙、無重疊地拼接），則拼成的正方形的邊長最長可以為．54．在整式乘法的學(xué)習(xí)中，我們采用了構(gòu)造幾何圖形的方法研究代數(shù)式的變形問題．借助直觀、形象的幾何圖形，加深對照式乘法的認(rèn)識和理解，感悟代數(shù)與幾何的內(nèi)在聯(lián)系．如圖1，現(xiàn)有邊長分別為a，b的正方形Ⅰ號和Ⅱ號，以及長為a．寬為b的長方形Ⅲ號卡片足夠多，我們可以選取適量的卡片拼接成幾何圖形（卡片間不重疊、無縫隙）．解答下列問題：

(1)圖2的長方形是由圖1中的卡片拼接而成，則這個幾何圖形表示的等式是______；(2)若想用幾何圖形表示等式，圖3給出了所拼接的幾何圖形的一部分，請你補(bǔ)全圖形；(3)若用圖1中的卡片拼得一個面積為的長方形，求共用了多少張卡片？(4)設(shè)，，Ⅰ號、Ⅱ號和Ⅲ號每種卡片各有9張．從其中取若干張卡片（每種卡片至少取1張），若把取出的這些卡片拼成一個正方形，當(dāng)所拼正方形的邊長最大時，請直接寫出所用卡片的最少數(shù)量．55．閱讀理解：若滿足，求的值．解：設(shè)，，則，．∴；類比探究：（1）若滿足，求的值．（2）若滿足，求的值．友情提示（2）中的可通過逆用積的乘方公式變成．（3）若滿足，求的值．解決問題：（4）如圖，正方形和長方形重疊，重疊部分是長方形其面積是，分別延長、交和于、兩點(diǎn)，構(gòu)成的四邊形和都是正方形，四邊形是長方形設(shè)，，，，延長至，使，延長至，使，過點(diǎn)、作、垂線，兩垂線交于點(diǎn)，求正方形的面積（結(jié)果是一個具體的數(shù)值）

56．知識生成：我們已經(jīng)知道，通過計(jì)算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式．例如：由圖①可以得到，基于此，請解答下列問題：(1)直接應(yīng)用：若，，直接寫出的值為___________；(2)類比應(yīng)用：填空：①若，則___________；②若，則___________；(3)知識遷移：如圖②，一農(nóng)家樂準(zhǔn)備在原有長方形用地（即長方形）上進(jìn)行裝修和擴(kuò)建，先用長為120m的裝飾性籬笆圍起該長方形用地，再以，為邊分別向外擴(kuò)建正方形、正方形的空地，并在這兩塊正方形空地上建造功能性花園，該功能性花園面積和為，求原有長方形用地的面積．

57．如圖1是一個長為、寬為的長方形，沿圖1中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成的一個“回形”正方形（如圖2）．(1)觀察圖2，請你寫出、、之間的等量關(guān)系是________；(2)利用（1）中的結(jié)論，若，，求的值；(3)如圖3，點(diǎn)C是線段上的一點(diǎn)，分別以、為邊在的同側(cè)作正方形和正方形，連接、、，當(dāng)時，的面積記為，當(dāng)時，的面積記為，以此類推，當(dāng)時，的面積記為，計(jì)算的值．58．【閱讀理解】“若x滿足，求的值”解：設(shè)，，則，，所以【解決問題】(1)若x滿足，求的值．(2)若x滿足，求的值．(3)如圖，正方形ABCD的邊長為x，，，長方形EFGD的面積是240，四邊形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是長方形，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果必須是一個具體的數(shù)值）．

59．我國著名數(shù)學(xué)家曾說：數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合思想是解決問題的有效途徑．請閱讀材料完成：(1)算法賞析：若x滿足，求的值．解：設(shè)則∴請繼續(xù)完成計(jì)算．(2)算法體驗(yàn)：若滿足，求的值；(3)算法應(yīng)用：如圖，已知數(shù)軸上A、B、C表示的數(shù)分別是m、10、13．以AB為邊作正方形ABDE，以AC為邊作正方形ACFG，延長ED交FC于P．若正方形ACFG與正方形ABDE面積的和為117，求長方形AEPC的面積60．?dāng)?shù)形結(jié)合是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，它包含兩個方面，第一種是“以數(shù)解形”，第二種是“以形助數(shù)”，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微”．請你使用數(shù)形結(jié)合這種思想解決下面問題：圖1是一個長為2a，寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分為四塊完成相同的小長方形，然后按照圖2的形狀拼成一個正方形．(1)觀察圖2，用兩種方法計(jì)算陰影部分的面積，可以得到一個等式，請使用代數(shù)式，，ab寫出這個等式_____________．(2)運(yùn)用你所得到的公式，計(jì)算：若m、n為實(shí)數(shù)，且，，試求的值．(3)如圖3，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，設(shè)，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分的面積．61．（1）如圖，整個圖形是邊長為的正方形，其中陰影部分是邊長為的正方形，請根據(jù)圖形，猜想與存在的等量關(guān)系，并證明你的猜想；（2）根據(jù)（1）中得出的結(jié)論，解決下列問題：甲、乙兩位司機(jī)在同一加油站兩次加油，兩次油價有變化，兩位司機(jī)采用不同的加油方式．其中，甲每次都加40升油，乙每次加油費(fèi)都為300元．設(shè)兩次加油時，油價分別為m元/升，n元/升（，，且）．①求甲、乙兩次所購的油的平均單價各是多少？②通過計(jì)算說明，甲、乙哪一個兩次加油的平均油價比較低？62．【知識生成】我們知道，圖形是一種重要的數(shù)學(xué)語言，我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”．在學(xué)習(xí)整式的乘法時可以發(fā)現(xiàn)：用兩種不同的方法表示同一個圖形的面積，可以得到一個等式，進(jìn)而可以利用得到的等式解決問題．(1)根據(jù)圖1，可以得到等式：，從而驗(yàn)證了完全平方公式．這體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是______（填選項(xiàng)）：A．分類討論

B．轉(zhuǎn)化

C．由特殊到一般

D．?dāng)?shù)形結(jié)合(2)根據(jù)圖2，可以得到等式：______；(3)①圖3是由幾個小正方形和小長方形拼成的一個邊長為的大正方形，用不同的方法表示這個大正方形的面積，可以得到等式______；②已知，．利用①中所得到的等式，直接寫出代數(shù)式的值為______；(4)畫出一個幾何圖形，使它的面積能表示．【知識遷移】(5)①類似地，利用立體圖形體積的等量關(guān)系也可以得到某些數(shù)學(xué)公式．如圖4，是用2個小正方體和6個小長方體拼成的一個棱長為的大正方體．用不同的方法表示這個大正方體的體積，可以得到的等式為______；②已知，，利用①中所得的等式，直接寫出代數(shù)式的值為______．(6)圖5表示的是一個邊長為x的正方體挖去一個小長方體后重新拼成一個新長方體，請你根據(jù)圖中圖形的變化關(guān)系，寫出一個代數(shù)恒等式：______．63．【閱讀材料】“數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法．比如：在學(xué)習(xí)“整式的乘法”時，我們通過構(gòu)造幾何圖形，用“等積法”直觀地推導(dǎo)出了完全平方和公式：（如圖1）．利用“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，可以從代數(shù)角度解決圖形問題，也可以用圖形關(guān)系解決代數(shù)問題．【方法應(yīng)用】根據(jù)以上材料提供的方法，完成下列問題：(1)由圖2可得等式：__________；由圖3可得等式：__________；(2)利用圖3得到的結(jié)論，解決問題：若，，則__________；(3)如圖4，若用其中張邊長為的正方形，張邊長為的正方形，張邊長分別為、的長方形紙片拼出一個面積為長方形（無空隙、無重疊地拼接），則______；(4)如圖4，若有3張邊長為的正方形紙片，4張邊長分別為的長方形紙片，5張邊長為的正方形紙片．從中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張．把取出的這些紙片拼成一個正方形（無空隙、無重疊地拼接），則拼成的正方形的邊長最長可以為______．【方法拓展】(5)已知正數(shù)，，和，，，滿足．試通過構(gòu)造邊長為的正方形，利用圖形面積來說明．64．問題發(fā)現(xiàn)：若x滿足（9﹣x）（x﹣4）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．小明在解決該問題時，采用了以下解法：解：設(shè)（9﹣x）＝a，（x﹣4）＝b，則ab＝（9﹣x）（x﹣4）＝，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝．所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝．(1)請補(bǔ)全小明的解法；(2)已知（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10，則（30﹣x）2+（x﹣20）2的值為．類比研究(3)若x滿足（2023﹣x）2+（x﹣2021）2＝2022，求（2023﹣x）（x﹣2021）的值．拓伸延伸(4)如圖，正方形ABCD的邊長為x，AE＝1，CG＝3，長方形EFGD的面積是10，分別以DE、DG為邊長作正方形MEDQ和NGDH，PQDH是長方形，求圖中陰影部分的面積為（結(jié)果必須是一個具體數(shù)值）．65．學(xué)習(xí)整式乘法時，老師拿出三種型號的卡片，如圖1：A型卡片是邊長為a的正方形，B型卡片是邊長為b的正方形，C型卡片是長和寬分別為a，b的長方形．(1)選取1張A型卡片，2張C型卡片，1張B型卡片，在紙上按照圖2的方式拼成一個長為的大正方形，通過不同方式表示大正方形的面積，可得到乘法公式____________；(2)請用這3種卡片拼出一個面積為的長方形（數(shù)量不限），在圖3的虛線框中畫出示意圖，并在示意圖上按照圖2的方式標(biāo)注好長方形的長與寬；(3)選取1張A型卡片，4張C型卡片按圖4的方式不重疊地放在長方形DEFG框架內(nèi)，圖中兩陰影部分（長方形）為沒有放置卡片的部分．已知GF的長度固定不變，DG的長度可以變化，圖中兩陰影部分（長方形）的面積分別表示為，．若，則當(dāng)a與b滿足____時，S為定值，且定值為______．（用含b的代數(shù)式表示）66．如圖1是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖1中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成的一個“回形”正方形（如圖2）．(1)圖2中的陰影部分的面積為：____________（用a、b的代數(shù)式表示）；(2)觀察圖2，請你寫出、、之間的等量關(guān)系是____________；(3)利用（2）中的結(jié)論，若，，求的值____________；(4)實(shí)際上通過計(jì)算圖形的面積可以探求相應(yīng)的等式．如圖3，請你寫出這個等式____________．(5)如圖4，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊在AB的同側(cè)作正方形ACDE和正方形CBFG，連接EG、BG、BE，當(dāng)時，的面積記為，當(dāng)時，的面積記為，…，以此類推，當(dāng)時，的面積記為，計(jì)算的值．類型四、配方法的應(yīng)用67．利用完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2和（a－b）2＝a2－2ab+b2的特點(diǎn)可以解決很多數(shù)學(xué)問題．解決下列問題：(1)分解因式：；(2)當(dāng)x、y為何值時，多項(xiàng)式2x2+y2－8x+6y+20有最小值？并求出這個最小值；(3)已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2+b2＝8a+6b－25，求△ABC周長的最大值．68．將一個式子或一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和，這種方法稱之為配方法．這種方法常常被用到式子的恒等變形中，以挖掘題目中的隱含條件，是解題的有力手段之一．例如，求代數(shù)式的最小值．解：原式．∵，∴．∴當(dāng)x＝－1時，的最小值是2(1)請仿照上面的方法求代數(shù)式的最小值．(2)已知△ABC的三邊a，b，c滿足，，．求△ABC的周長．69．我們定義：如果兩個多項(xiàng)式與的和為常數(shù)，則稱與互為“對消多項(xiàng)式”，這個常數(shù)稱為它們的“對消值”．如與互為“對消多項(xiàng)式”，它們的“對消值”為．(1)下列各組多項(xiàng)式互為“對消多項(xiàng)式”的是（填序號）；與；與；與(2)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式（，為常數(shù)）互為“對消多項(xiàng)式”，求它們的“對消值”；(3)關(guān)于的多項(xiàng)式與互為“對消多項(xiàng)式”，“對消值”為．若，，求代數(shù)式的最小值．