專(zhuān)題13 二次函數(shù)性質(zhì)壓軸（測(cè)試）

專(zhuān)題13二次函數(shù)性質(zhì)壓軸目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u真題演練題型01待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式題型02二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)題型03二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系題型04根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求解題型05利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值題型06二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問(wèn)題題型07二次函數(shù)與不等式題型08二次函數(shù)中的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)問(wèn)題題型09函數(shù)圖象判斷綜合題型10二次函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題模擬集訓(xùn)

真題演練題型01待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式1．（2024·廣東佛山·一模）二次函數(shù)y=x(1)若A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別是(?1,0)，(6,0)，求該二次函數(shù)的表達(dá)式及其圖象的對(duì)稱(chēng)軸；(2)若該二次函數(shù)的最小值為?4，求b?c的最大值．2．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，已知拋物線，y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，且與x(1)求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若拋物線向上平移m（m>0）個(gè)單位長(zhǎng)度后，平移后的頂點(diǎn)到x軸距離小于3，請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫(xiě)出m的取值范圍．3．（2024·河南周口·一模）如圖，拋物線y=?12x2+bx+c經(jīng)過(guò)A(?1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)，與y(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)G的坐標(biāo)；(2)連接AC，將線段AC向右水平移動(dòng)m個(gè)單位長(zhǎng)度，若它與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，求出m的取值范圍．題型02二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)4．（2024·江蘇淮安·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)Ax1,y1(1)求該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸（用含t的式子表示）；(2)①當(dāng)x=?1，x2=2時(shí)，②若對(duì)于?1<x1<0，1<x2<25．（2023·云南保山·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=2x+2與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，拋物線y=ax2+bx?5a經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，將點(diǎn)B(1)求拋物線的對(duì)稱(chēng)軸；(2)若拋物線與線段BC恰有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求出a的取值范圍．6．（2024·浙江·一模）在二次函數(shù)y=?x2+ax+1(1)當(dāng)a=2時(shí)，①求該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；②當(dāng)0≤x≤3時(shí)，求y的取值范圍；(2)若Aa?2,b，Ba,c兩點(diǎn)都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，且b<c，求7．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）頂點(diǎn)為D的二次函數(shù)y=ax①其與y軸的交點(diǎn)為0，1；②其與x軸的交點(diǎn)為?1，0和3，0；③該函數(shù)其最大值為12(1)從以上條件任選兩個(gè)，求出函數(shù)的表達(dá)式；(2)若存在直線y=?1，二次函數(shù)上的存在一個(gè)點(diǎn)A，使得AD等于A到直線的距離，求出A點(diǎn)的坐標(biāo)．題型03二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系8．（2023·山東青島·二模）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A?1，0，頂點(diǎn)坐標(biāo)1，n，與y軸的交點(diǎn)在0，2，0，3之間（包含端點(diǎn)），則下列結(jié)論：①3a+b>0；②?1≤a≤?23；③對(duì)于任意實(shí)數(shù)m其中正確結(jié)論為（只填序號(hào)）9．（2023·山東青島·三模）二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的圖象如圖，給出下列四個(gè)結(jié)論：①3a+2b+c<0；②3a+c<b2?4ac10．（23-24九年級(jí)上·四川瀘州·階段練習(xí)）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，有下列5個(gè)結(jié)論：①abc>0；②a+c<b；③b2?4ac<0；④2c<3b；⑤Mx1,11．（2023·山東青島·二模）如圖是拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0)圖象的一部分，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)A(1,3)，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)B(4,0)，直線y2=mx+n(m≠0)與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，下列結(jié)論：①2a+b=0；②abc>0；③拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是(?1,0)；④方程（填序號(hào)）題型04根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求解12．（2024·河南周口·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Ax1,y1，B(1)若對(duì)于x1=?1，x2=?2，有(2)若對(duì)于?1≤x1<0，x2=013．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)y=?14x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O(1)當(dāng)t=0時(shí)．①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；求出當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值？最大值為多少？②當(dāng)x=a和x=b時(shí)a≠b，函數(shù)值相等，求a的值．(2)當(dāng)t>0時(shí)，在0≤x≤8范圍內(nèi)，y有最大值18，求相應(yīng)的t和x的值．14．（2023·浙江杭州·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)圖象的表達(dá)式為y=ax2+(1)若此函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)1,3，求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．(2)若x1,y1、x2(3)若點(diǎn)?1,t在此二次函數(shù)圖象上，且當(dāng)x≥?1時(shí)y隨x的增大而增大，求t的范圍．15．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線，L:y=ax2+bx?3與x軸交于A?1,0、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且拋物線(1)拋物線的表達(dá)式；(2)若拋物線L'與拋物線L關(guān)于直線x=m對(duì)稱(chēng)，拋物線L'與x軸交于點(diǎn)E，F(xiàn)兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F左側(cè)），要使S△ABC題型05利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值16．（2024·安徽蕪湖·一模）已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1)求該拋物線的解析式；(2)若該拋物線與y軸交于點(diǎn)C，求△ABC的面積；(3)當(dāng)自變量x滿足m≤x≤m+1m≥1217．（2024·江蘇南京·一模）已知函數(shù)y=mx(1)求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有公共點(diǎn)．(2)不論m為何值，該函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)是．(3)在?2≤x≤2的范圍中，y的最大值是2，直接寫(xiě)出m的值．18．（2023·貴州遵義·一模）已知二次函數(shù)y=x(1)若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,?5，求a的值；(2)在（1）的條件下，當(dāng)?1≤x≤4時(shí)，請(qǐng)求出二次函數(shù)的最大值和最小值；(3)當(dāng)0≤x≤1時(shí)，二次函數(shù)y=x2+2ax?4圖象上的點(diǎn)到x軸距離的最大值為519．（2024·河南漯河·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)2,y1在拋物線(1)當(dāng)b<?1時(shí)，試說(shuō)明y1(2)若點(diǎn)1,m和?2,n在該拋物線上，且mn>0，求b的取值范圍．(3)當(dāng)?1≤x≤4時(shí)該拋物線的最小值是?2，求b值．20．（2023·河南駐馬店·二模）已知函數(shù)y=?x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,?3(1)求b，c的值；(2)當(dāng)0≤x≤4時(shí)，求y1(3)當(dāng)0≤x≤m時(shí)，若y的最大值與最小值之和為1，請(qǐng)直接寫(xiě)出m的值．題型06二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問(wèn)題21．（2023·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)y=ax2?2ax+3(1)若a<0，求證：該函數(shù)的圖像與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)．(2)若a=?1，求證：當(dāng)?1<x<0時(shí)，y>0．(3)若該函數(shù)的圖像與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)x1,0，x2,0，且?1<22．（2023·河南鄭州·三模）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+3a≠0經(jīng)過(guò)(1)求拋物線的解析式；(2)求證：直線y=?3x+5與該拋物線沒(méi)有交點(diǎn)，(3)若Cm,y1，Dn,y2為拋物線y=ax2+bx+3a≠0上兩點(diǎn)m<n，M為拋物線上點(diǎn)C和點(diǎn)D之間的動(dòng)點(diǎn)（含點(diǎn)23．（2024·湖北武漢·一模）已知，拋物線C1:y=14x2?32x?4與x軸交于A，(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；(2)如圖1，M為拋物線C1上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥AC，交直線BC于點(diǎn)N，若MN=12(3)如圖2，平移拋物線C1得到拋物線C2，使其頂點(diǎn)Q落在y軸的負(fù)半軸上，P為OQ的中點(diǎn)，直線y=k1x+t經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，交拋物線C2于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，延長(zhǎng)FO，EO分別交拋物線C2于C，D兩點(diǎn)，設(shè)直線CD題型07二次函數(shù)與不等式24．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)y=x(1)若二次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,?1)，求m的值；(2)若二次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,y1)和點(diǎn)(2m,(3)將拋物線y=x25．（2024·河南商丘·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?x2+2x+c(1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)A的坐標(biāo)．(2)設(shè)直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，請(qǐng)結(jié)合圖象直接寫(xiě)出不等式kx+b>?x(3)平行于x軸的直線l交拋物線于點(diǎn)Px1,y1，Qx2,y26．（2022·湖北荊州·三模）探究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫(huà)出函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過(guò)程．結(jié)合已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，探究函數(shù)y=?12x…?4?3?2?101234…y…???2?4a?4?2??…(1)列表，寫(xiě)出表中a的值：a=______．描點(diǎn)、連線，在所給的平面直角坐標(biāo)系中補(bǔ)全該函數(shù)的圖象．(2)觀察函數(shù)圖象，回答下列問(wèn)題：①函數(shù)有最______值，是______；②當(dāng)自變量x的取值范圍是______時(shí)，函數(shù)y的值隨自變量x的增大而增大．(3)已知函數(shù)y=?23x?題型08二次函數(shù)中的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)問(wèn)題27．（2024·重慶南岸·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=14x2+bx+c交x軸于點(diǎn)A?2,0，(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖，若點(diǎn)M是第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，MN∥y軸交BC于點(diǎn)N,MQ∥BC交x軸于點(diǎn)Q，求MN+3(3)如圖，在y軸上取一點(diǎn)G0,7，拋物線沿BG方向平移22個(gè)單位得新拋物線，新拋物線與x軸交于點(diǎn)E,F，交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)P在線段FD上運(yùn)動(dòng)，線段OF關(guān)于線段OP的對(duì)稱(chēng)線段OF'所在直線交新拋物線于點(diǎn)H，直線F'P與直線28．（2023·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A?1,0，點(diǎn)B3,0(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，連接AC，BC，過(guò)點(diǎn)C作射線CM交x軸的正半軸于點(diǎn)M，點(diǎn)M與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P是第四象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作BC的垂線交CM于點(diǎn)G，求線段PG長(zhǎng)度的最大值及此時(shí)點(diǎn)(3)如圖2，把點(diǎn)C向上平移1個(gè)單位得到點(diǎn)Q，連接AQ，把△AOQ繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度α(0°<α<360°)，得到△A'OQ'，其中邊A'Q'交坐標(biāo)軸于點(diǎn)29．（2024·浙江·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+4交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B?6,0和點(diǎn)C2,0，連接AB、AQ、BQ，BQ(1)求拋物線表達(dá)式；(2)點(diǎn)Q1，73，點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)E①求點(diǎn)E的坐標(biāo)；②設(shè)射線AM與BN相交于點(diǎn)P，交BE于點(diǎn)H，將△BPH繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)后的三角形記為△BP1H30．（2024·江西南昌·一模）如圖、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C1:y=?x2+2x+3與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，P為拋物線C1的頂點(diǎn)，連接PB，將拋物線C1(1)求拋物線C2(2)連接AC，BC，求sin∠ACB的值．(3)連接CP，Q是拋物線C2上的點(diǎn)，若滿足∠QCO=∠PBC，求點(diǎn)Q31．（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，二次函數(shù)y=ax2+bx?3(a≠0)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC、BC，點(diǎn)A的坐標(biāo)為?3,0(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)M，N同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，均以每秒一個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿線段BA、BC運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，連接MN，將△BMN沿MN翻折，點(diǎn)B恰好落在AC邊上的點(diǎn)P處，求t的值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，在（2）的條件下，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以B，N，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)：如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．題型09函數(shù)圖象判斷綜合32．（2024·安徽蕪湖·一模）已知反比例函數(shù)y=kxk≠0在第二象限內(nèi)的圖像與一次函數(shù)y=ax+b的圖像如圖所示，則函數(shù)y=aA B． C． D．33．（2024·安徽·一模）已知反比例函數(shù)y=kxk≠0在第二象限內(nèi)的圖象與一次函數(shù)y=x+b的圖象如圖所示，則函數(shù)y=A． B． C． D．34．（2024·河南安陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）二次函數(shù)y=ax2?aa≠0與反比例函數(shù)A． B． C．

D．

35．（2024·安徽·一模）如圖是拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)且a≠0）的圖象，則雙曲線y=4a?2b+cxA． B． C． D．題型10二次函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題36．（2024·陜西渭南·一模）王老師在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐課上請(qǐng)同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)公園裝飾景觀燈，提供了兩個(gè)素材．素材1：某公園計(jì)劃修建一個(gè)如圖所示的景觀燈，燈柱OA高為4m，拋物線形燈桿的最高點(diǎn)距離地面4.5m，且到燈柱OA的水平距離為1m，燈泡到地面的距離為2.5m．（燈泡大小忽略不計(jì)）素材2：為使景觀燈更加美觀牢固，燈柱兩邊對(duì)稱(chēng)安裝此拋物線形燈桿，燈泡C、D關(guān)于OA對(duì)稱(chēng)（C、D分別在這兩個(gè)拋物線上），并在兩個(gè)燈泡之間修建一個(gè)支架CD．小張同學(xué)建立了如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，請(qǐng)你幫他完成以下兩個(gè)任務(wù)：(1)求該拋物線在第一象限的函數(shù)表達(dá)式：（不要求寫(xiě)自變量x的取值范圍）(2)小張同學(xué)設(shè)計(jì)的支架CD長(zhǎng)為6m，請(qǐng)你結(jié)合已學(xué)知識(shí)，判斷他設(shè)計(jì)的景觀燈支架CD的長(zhǎng)度是否符合要求，并說(shuō)明理由．37．（2024·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，一場(chǎng)籃球比賽中，某籃球隊(duì)員甲的一次投籃命中，籃球運(yùn)行軌跡為拋物線的一部分．已知籃球出手位置點(diǎn)A與籃筐的水平距離為5m，籃筐距地面的高度為3m，當(dāng)籃球行進(jìn)的水平距離為3m時(shí)，籃球距地面的高度達(dá)到最大為3.6m．(1)求籃球出手位置點(diǎn)A的高度．(2)此時(shí)，若對(duì)方隊(duì)員乙在甲前面1m處跳起攔截，已知乙的攔截高度為3.12m，那么他能否獲得成功？并說(shuō)明理由．(3)若甲在乙攔截時(shí)，突然向后后退0.2m，再投籃命中（此時(shí)乙沒(méi)有反應(yīng)過(guò)來(lái)，置沒(méi)有移動(dòng)），籃球運(yùn)行軌跡的形狀沒(méi)有變化，且籃球越過(guò)乙時(shí)，超過(guò)其攔截高度0.08m，求籃球出手位置的高度變化．38．（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)了A，B兩種商品，若銷(xiāo)售10件A商品和20件B商品，則可獲利280元；若銷(xiāo)售20件A商品和30件B商品，則可獲利480元．(1)求A，B兩種商品每件的利潤(rùn)；(2)已知A商品的進(jìn)價(jià)為24元/件，目前每星期可賣(mài)出200件A商品，市場(chǎng)調(diào)查反映：如調(diào)整A商品價(jià)格，每降價(jià)1元，每星期可多賣(mài)出20件，如何定價(jià)才能使A商品的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？39．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）為了給學(xué)校的柯?tīng)桒嗊^(guò)冬提供舒適的環(huán)境，飼養(yǎng)小組決定用長(zhǎng)為k米的籬笆，和一面長(zhǎng)為6米的墻圍成如圖所示的長(zhǎng)方形的鴨圈．整個(gè)鴨圈的正中間被籬笆隔斷成活動(dòng)區(qū)和生活區(qū)，活動(dòng)區(qū)和兩區(qū)中間的籬笆上分別開(kāi)了一個(gè)門(mén)，兩個(gè)門(mén)的尺寸均為0.5米，鴨圈垂直于墻的一邊的長(zhǎng)為a米．（其中籬笆全部用完，不考慮高度，籬笆占地面積忽略，門(mén)的材料另備）設(shè)計(jì)方案小成小韓小林a（米)1.52.53.5CD的長(zhǎng)（米）（

）（

）（

）(1)用含k，a的代數(shù)式表示鴨圈另一邊長(zhǎng)CD=米．(2)若k=10固定不變．①若要求鴨圈面積為10平方米，求a的值．②小成、小韓和小林根據(jù)a的長(zhǎng)度分別給出了3種不同的設(shè)計(jì)方案見(jiàn)上表，請(qǐng)驗(yàn)算并分析誰(shuí)的方案比較靠譜．③請(qǐng)通過(guò)上述探究，直接寫(xiě)出a的取值范圍，并計(jì)算鴨圈面積的最大值．(3)若籬笆最多有16米，問(wèn)：鴨圈面積能否達(dá)到24平方米？40．（2024·廣西·一模）某科技公司用160萬(wàn)元作為新產(chǎn)品研發(fā)費(fèi)用，成功研制出成本價(jià)為4元/件的新產(chǎn)品，在銷(xiāo)售中發(fā)現(xiàn)銷(xiāo)售單價(jià)x（單位：元），年銷(xiāo)售量y（單位：萬(wàn)件）之間的關(guān)系如下圖所示，其中AB為反比例函數(shù)圖像的一部分，BC為一次函數(shù)圖像的一部分．(1)直接寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．(2)設(shè)銷(xiāo)售產(chǎn)品年利潤(rùn)為w（萬(wàn)元），求出第一年年利潤(rùn)w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出第一年年利潤(rùn)最大值；(3)在（2）的條件下，假設(shè)第一年恰好按年利潤(rùn)w取得最大值進(jìn)行銷(xiāo)售，現(xiàn)根據(jù)第一年的盈虧情況（若上一年盈利，則盈利不計(jì)入下一年的年利潤(rùn)；若上一年虧損，則虧損計(jì)作下一年的成本），決定第二年將這種新產(chǎn)品每件的銷(xiāo)售價(jià)格x定在8元以上（x>8），當(dāng)?shù)诙昴昀麧?rùn)不低于103萬(wàn)元時(shí)，請(qǐng)你根據(jù)題意，簡(jiǎn)單畫(huà)出w與x之間函數(shù)關(guān)系的草圖，直接寫(xiě)出x的取值范圍．模擬集訓(xùn)（時(shí)間：60分鐘）一、單選題1．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)A(0,6)的一次函數(shù)y1的圖象與經(jīng)過(guò)B(0,2)的一次函數(shù)y2的圖象相交于點(diǎn)C．若點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為3，則函數(shù)y=yA． B． C． D．

2．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax+1x?a?1的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為n,0．若1<n<2，則a的取值范圍為（A．0<a<1或?1<a<?12 B．0<a<1C．1<a<2或?1<a<?12 D．1<a<23．（2024·陜西榆林·二模）已知二次函數(shù)y=ax2?2ax+3a<0，當(dāng)A．拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)在y軸同側(cè) B．當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而減小C．拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是0,4 D．該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是1,54．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于二次函數(shù)y=a(x?1)(x?3)+2(a<0)的下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．無(wú)論a取范圍內(nèi)的何值，該二次函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)(1,0)和(3,0)這兩個(gè)定點(diǎn)B．當(dāng)x=2時(shí)，該二次函數(shù)取到最小值C．將該二次函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位，則當(dāng)x<0或x>2時(shí)，y<2D．設(shè)該二次函數(shù)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m,n(m<n)，則1<m<n<35．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·模擬預(yù)測(cè)）已知代數(shù)式x2?x+1，下列說(shuō)法正確的有（①無(wú)論x取何值，x2?x+1的值總是正數(shù)；②x2?x+1的值可正可負(fù)也可以是0；③當(dāng)x=12時(shí)，x2?x+1取得最大值，最大值為A．② B．①③ C．②④ D．①④6．（2024·陜西·二模）拋物線L：y=ax2＋bx＋c經(jīng)過(guò)A4,3，BA．2,1 B．?2,?1 C．?2,3 D．?1,17．（2024·陜西西安·二模）把拋物線y=ax2?2ax+3a>0沿直線y=12x+1A．2 B．15 C．14 二、填空題8．（2024·山東濟(jì)南·二模）如圖，拋物線C1的解析式為y=?x2+4，將拋物線繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到圖形G，圖形G分別與y軸、x軸正半軸交于點(diǎn)A、B，連接AB，則9．（2023·福建福州·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c過(guò)點(diǎn)m+1,m，3?m,m，直線y=x+3與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，取AB中點(diǎn)C，則C10．（2023·湖北武漢·二模）函數(shù)y=x2+2x+b（b為常數(shù)）有下列結(jié)論：①圖像具有對(duì)稱(chēng)性，對(duì)稱(chēng)軸是直線x=?1；②當(dāng)x=?1時(shí)，函數(shù)有最小值b?1；③若b=?3，點(diǎn)P1x1,y1，P三、解答題11．（2024·貴州·一模）如圖，籃圈中心到地面的距離為3.05米，一位運(yùn)動(dòng)員在距籃下4米處跳起投籃，籃球運(yùn)行的路線是拋物線，當(dāng)運(yùn)行的水平距離為2.5米時(shí)，籃球達(dá)到最大高度3.5米，沿此拋物線可準(zhǔn)確落入籃圈．(1)在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，求拋物線的表達(dá)式；(2)該運(yùn)動(dòng)員身高1.8米，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25米處出手，問(wèn)：球出手時(shí)，他跳離地面的高度是多少？(3)籃球準(zhǔn)備投出時(shí)，小強(qiáng)發(fā)現(xiàn)前方距離他1米處對(duì)方的防守運(yùn)動(dòng)員準(zhǔn)備跳起攔截，為了躲避攔截，小強(qiáng)臨時(shí)調(diào)整拋球路線，其表達(dá)式為y=?0.2x2+0.4bx?2bb<0，當(dāng)對(duì)方的防守運(yùn)動(dòng)員在一個(gè)跨步（約0.5米）的范圍內(nèi)起跳，即12．（2024·遼寧遼陽(yáng)·一模）【問(wèn)題提出】如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，且BE=4，動(dòng)點(diǎn)F以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)B出發(fā)，在折線段BA?AD上運(yùn)動(dòng)，連接EF，當(dāng)EF⊥BC時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥EF，交矩形ABCD的邊于點(diǎn)G，連接FG．設(shè)動(dòng)點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路程為x，線段FG與矩形ABCD的邊圍成的三角形的面積為S．【初步感知】如圖2，動(dòng)點(diǎn)F由點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S是關(guān)于x的二次函數(shù)，如圖2所示，拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,t)，與y軸的交點(diǎn)N的坐標(biāo)為(0,16)，與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)M．（1）求矩形ABCD的邊AB和AD的長(zhǎng)；【深入探究】（2）點(diǎn)F由點(diǎn)A向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，求S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；【拓展延伸】（3）是否存在3個(gè)路程x1，x2，x3x113．（2024·浙江溫州·一模）已知二次函數(shù)y=?x(1)若它的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,3，求該函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸．(2)若0≤x≤4時(shí)，y的最小值為1，求出t的值．(3)如果Am?2,n，Cm,n兩點(diǎn)都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，直線y=2mx+a與該二次函數(shù)交于Mx1,14．（2024·江蘇淮安·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+6a≠0與x軸交A?23(1)求二次函數(shù)解析式；(2)如圖，拋物線對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)K，與線段BC交于點(diǎn)M，點(diǎn)R在對(duì)稱(chēng)軸上，其縱坐標(biāo)為12，連接BR，已知點(diǎn)N為線段BR上一動(dòng)點(diǎn)，連接MN，將△BMN沿MN翻折到△B①當(dāng)MB②當(dāng)△B'MN與△BMR重疊部分（如圖中的△MNQ

專(zhuān)題13二次函數(shù)性質(zhì)壓軸（解析版）目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u真題演練題型01待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式題型02二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)題型03二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系題型04根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求解題型05利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值題型06二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問(wèn)題題型07二次函數(shù)與不等式題型08二次函數(shù)中的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)問(wèn)題題型09函數(shù)圖象判斷綜合題型10二次函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題模擬集訓(xùn)

真題演練題型01待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式1．（2024·廣東佛山·一模）二次函數(shù)y=x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象與x軸交于A(1)若A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別是(?1,0)，(6,0)，求該二次函數(shù)的表達(dá)式及其圖象的對(duì)稱(chēng)軸；(2)若該二次函數(shù)的最小值為?4，求b?c的最大值．【答案】(1)y=x2?5x?6(2)b?c的最大值是5．【分析】本題考查了利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練的構(gòu)建二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．（1）根據(jù)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可設(shè)函數(shù)y1的表達(dá)式為y=(x?x1)(x?x2)（2）由二次函數(shù)的性質(zhì)可得c=14b2?4【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)y=x2+bx+c過(guò)點(diǎn)(?1,0)∴y=(x+1)(x?6)=x2?5x?6∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=?b（2）∵y=x當(dāng)x=?b2時(shí)，函數(shù)取最小值．最小值為∴c=1∴b?c=b?1當(dāng)b=?12×?最大值為?1∴b?c的最大值是5．2．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，已知拋物線，y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，且與x(1)求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若拋物線向上平移m（m>0）個(gè)單位長(zhǎng)度后，平移后的頂點(diǎn)到x軸距離小于3，請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫(xiě)出m的取值范圍．【答案】(1)y=x2(2)1<m<7【分析】考查了二次函數(shù)綜合題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)比較多：待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)等．（1）該拋物線的解析式中只有兩個(gè)待定系數(shù)，只需將A、O兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可得解．（2）首先根據(jù)平移條件表示出移動(dòng)后的函數(shù)解析式，進(jìn)而用m表示出該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再列出不等式求出m的取值范圍．【詳解】（1）∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，且與x∴將A4,0、O(0,0)代入拋物線y=c=016+4b+c=0解得：b=?4c=0故拋物線的解析式：y=x∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為2,?4；（2）拋物線向上平移m（m>0）個(gè)單位長(zhǎng)度后，拋物線的解析式為y=x?2可得新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為2,?4+m，∴新拋物線的頂點(diǎn)到x軸距離為?4+m，∵平移后的頂點(diǎn)到x軸距離小于3，∴?4+m<3解得：1<m<73．（2024·河南周口·一模）如圖，拋物線y=?12x2+bx+c經(jīng)過(guò)A(?1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)，與y(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)G的坐標(biāo)；(2)連接AC，將線段AC向右水平移動(dòng)m個(gè)單位長(zhǎng)度，若它與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，求出m的取值范圍．【答案】(1)拋物線的解析式為y=?12x2+x+(2)2≤m≤4．【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，關(guān)鍵是讓線段AC運(yùn)動(dòng)起來(lái)，找到臨界值．（1）由A、B點(diǎn)坐標(biāo)?1，0和（2）找到與拋物線有交點(diǎn)時(shí)的臨界值，一個(gè)是平移后C的縱坐標(biāo)為32，一個(gè)是A與B【詳解】（1）解：∵拋物線y=?12x∴?∴∴拋物線的解析式為y=?∴y=?∴拋物線頂點(diǎn)G的坐標(biāo)為(1,2).（2）解：把y=32整理得x2?2x=0,解得x1∴點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為2如圖所示,過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC交AB于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)B作BF∥AC交當(dāng)線段AC向右平移到DE與FB之間時(shí)，AC與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)CD=2,CF=AB=3??1∴當(dāng)線段AC向右水平移動(dòng)m個(gè)單位長(zhǎng)度，與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍是2≤m≤4題型02二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)4．（2024·江蘇淮安·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)Ax1,y1(1)求該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸（用含t的式子表示）；(2)①當(dāng)x=?1，x2=2時(shí)，y1②若對(duì)于?1<x1<0，1<x2<2，都有【答案】(1)t(2)①t≥12【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系.（1）直接利用對(duì)稱(chēng)軸x=?b（2）①先分別求出y1，y2，然后根據(jù)y1②先分別求出y1，y2，然后作差得出關(guān)于x1和x2的關(guān)系式，再根據(jù)已知條件得出，x1【詳解】（1）解：對(duì)稱(chēng)軸為：直線x=?b（2）①當(dāng)x1=?1時(shí)，當(dāng)x2=2時(shí)，∵y1∴2+2t≥5?4t，解得：t≥1②∵點(diǎn)Ax1,y1∴y1=xy=x==∵?1<x1<0∴x1?x∴0<x∵y1∴y1即x1∴x1即x1∵0<x∴2t≤0，∴t≤0，故答案為：t≤0．5．（2023·云南保山·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=2x+2與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，拋物線y=ax2+bx?5a經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，將點(diǎn)B(1)求拋物線的對(duì)稱(chēng)軸；(2)若拋物線與線段BC恰有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求出a的取值范圍．【答案】(1)x=2(2)a≥27或a<?【分析】（1）求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，將A代入拋物線解析式，求解即可；（2）根據(jù)點(diǎn)A以及對(duì)稱(chēng)軸，可以求得拋物線與x軸的另一交點(diǎn)，分兩種情況，a>0或a<0畫(huà)出函數(shù)圖象，結(jié)合位置關(guān)系，列式求解即可．【詳解】（1）解：將y=0代入y=2x+2可得2x+2=0，解得x=?將A?1,0代入y=ax2+bx?5a即拋物線解析式為：y=ax此時(shí)對(duì)稱(chēng)軸為：x=2；（2）解：由（2）可得拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A?1,0，且對(duì)稱(chēng)軸為則拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為：5,0，將x=0代入y=2x+2可得，y=2，即B0,2將點(diǎn)B向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)C，則C點(diǎn)坐標(biāo)為6,2，∵拋物線與線段BC恰有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)a>0時(shí)，如下，圖象開(kāi)口向上，x=0時(shí)，y=?5a，x=6時(shí)，y=36a?24a?5a=7a，∴?5a<2解得：a≥2∴a≥27時(shí)，拋物線與線段當(dāng)a<0時(shí)，如下圖，圖象開(kāi)口向下，x=0時(shí)，y=?5a，x=6時(shí)，y=36a?24a?5a=7a，∴?5a>2∴a<?2∴a<?25時(shí)，拋物線與線段當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在線段BC上時(shí)，如圖，則拋物線頂點(diǎn)為2,2，將點(diǎn)2,2代入y=ax2?4ax?5a解得：a=?2綜上，當(dāng)a≥27或a<?25或【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，點(diǎn)的平移，二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)，學(xué)會(huì)利用分類(lèi)討論的思想求解問(wèn)題．6．（2024·浙江·一模）在二次函數(shù)y=?x2+ax+1(1)當(dāng)a=2時(shí)，①求該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；②當(dāng)0≤x≤3時(shí)，求y的取值范圍；(2)若Aa?2,b，Ba,c兩點(diǎn)都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，且b<c，求【答案】(1)①1,2；②?2≤y≤2(2)0<a<2【分析】本題考查了二次函數(shù)圖像的知識(shí)點(diǎn)．（1）將a代入即可求出頂點(diǎn)，再根據(jù)二次函數(shù)的特點(diǎn)即可求解；（2）求出二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，再分情況討論即可．【詳解】（1）解：①把a(bǔ)=2代入得y=?x∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為1,2；②∵當(dāng)0≤x≤1時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)1≤x≤3時(shí)，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x=1時(shí)，y有最大值2，∵當(dāng)x=0時(shí)，y=1；當(dāng)x=3時(shí)，y=?2∴當(dāng)0≤x≤3時(shí)，?2≤y≤2；（2）拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1①當(dāng)a?2≤12a≤a，即0≤a≤4時(shí)，點(diǎn)B∴a?12a<∴0≤a<2，②當(dāng)12a>a，即a<0時(shí)，點(diǎn)B到對(duì)稱(chēng)軸的距離小于點(diǎn)∴1∴a<0③對(duì)稱(chēng)軸在點(diǎn)A左側(cè)不合題意，舍去綜上所述，0<a<2．7．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）頂點(diǎn)為D的二次函數(shù)y=ax①其與y軸的交點(diǎn)為0，②其與x軸的交點(diǎn)為?1，0和③該函數(shù)其最大值為12(1)從以上條件任選兩個(gè)，求出函數(shù)的表達(dá)式；(2)若存在直線y=?1，二次函數(shù)上的存在一個(gè)點(diǎn)A，使得AD等于A到直線的距離，求出A點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)y=?(2)1+72323【分析】本題考查的重點(diǎn)是利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，熟練掌握點(diǎn)和直線，兩點(diǎn)間距離公式．（1）選擇任意兩個(gè)條件用待定系數(shù)法，就可以求出函數(shù)的表達(dá)式；（2）根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式，計(jì)算出點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用點(diǎn)和直線，兩點(diǎn)間距離公式就可以計(jì)算出點(diǎn)A的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：選擇條件①和②，∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c與∴c=1，∵二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)為?1，0和∴將點(diǎn)?1，0和a?b+1=0∴a=?1∴函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=?答：函數(shù)的表達(dá)式為：y=?1（2）解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為t，∵點(diǎn)D為函數(shù)y=?1則對(duì)稱(chēng)軸x=?2把x=1代入y=?13x∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為1，∵直線y=?1，∴點(diǎn)A到直線的距離=?∴AD設(shè)t?1∵A到直線的距離等于AD，∴m+∴m=49∴t=1+72323把t=1±72323代入∴點(diǎn)A1+7答：點(diǎn)A的坐標(biāo)為：1+72323題型03二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系8．（2023·山東青島·二模）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A?1，0，頂點(diǎn)坐標(biāo)1，n，與y軸的交點(diǎn)在0，2，0，3之間（包含端點(diǎn)），則下列結(jié)論：①3a+b>0；②其中正確結(jié)論為（只填序號(hào)）【答案】②③④【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，利用拋物線開(kāi)口方向得到a<0，再由拋物線的對(duì)稱(chēng)軸方程得到b=?2a，則3a+b=a，于是可對(duì)①進(jìn)行判斷；利用2≤c≤3和c=?3a可對(duì)②進(jìn)行判斷；利用二次函數(shù)的性質(zhì)可對(duì)③進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線y=ax2+bx+c與直線【詳解】∵拋物線開(kāi)口向下，∴a<而拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=?b2a=1∴3a+b=3a?2a=a<0，所以①錯(cuò)誤；把點(diǎn)A?1，∴c=?3a，∵2≤c≤3，∴2≤?3a≤3，∴?1≤a≤?23，所以∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)1，∴x=1時(shí)，二次函數(shù)值有最大值n=a+b+c，∴a+b+c≥am即a+b≥am2+bm∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)1，∴拋物線y=ax2+bx+c∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c=n?1故答案為②③④．9．（2023·山東青島·三模）二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的圖象如圖，給出下列四個(gè)結(jié)論：①3a+2b+c<0；②3a+c<b2?4ac【答案】①②④【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的圖象獲得有關(guān)信息，對(duì)要求的式子進(jìn)行判斷，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換．解題的關(guān)鍵是要明確：①二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大小：當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口；②一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱(chēng)軸的位置：當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab>0)，對(duì)稱(chēng)軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab<0)，對(duì)稱(chēng)軸在y軸右．（簡(jiǎn)稱(chēng)：左同右異）③常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)．拋物線與y軸交于0,c．由二次函數(shù)的開(kāi)口方向，對(duì)稱(chēng)軸x=2，以及二次函數(shù)與y的交點(diǎn)在x軸的上方，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)等條件來(lái)判斷各結(jié)論的正誤即可．【詳解】解：①由圖象可知，當(dāng)x=1時(shí)，y<0，即a+b+c<0，∵對(duì)稱(chēng)軸x=?1，a<0，∴b=2a<0，∴a+2a+c<0，即3a+c<0，∴3a+2b+c<0，故①正確，符合題意；②∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴b2∴3a+c<0<b③∵2ax∴ax結(jié)合圖象可知，拋物線y=ax2+bx+c④∵當(dāng)x=m（m≠?1）時(shí)，y=am2∴a?b+c>am∴mam+b故答案為：①②④．10．（23-24九年級(jí)上·四川瀘州·階段練習(xí)）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，有下列5個(gè)結(jié)論：①abc>0；②a+c<b；③b2?4ac<0；④2c<3b；⑤Mx【答案】②④⑤【詳解】題目主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及與一元二次方程的關(guān)系，結(jié)合圖象及性質(zhì)依次進(jìn)行判斷即可，熟練掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．解：①由圖象可知a<0，c>0，對(duì)稱(chēng)軸x=?∴b=?2a且b>0，∴abc<0，故②由圖可知當(dāng)x=?1∴a?b+c<0，∴a+c<b，故②正確；③∵拋物線與x∴b2?4ac>0④∵b=?2a，a+c<b∴b>?1∴2c<3b，故④正確．⑤∵M(jìn)x1,y∴x∵函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸是直線x=1，∴Mx1,∴y1>故答案為：②④⑤．11．（2023·山東青島·二模）如圖是拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0)圖象的一部分，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)A(1,3)，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)B(4,0)，直線y2=mx+n(m≠0)與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，下列結(jié)論：①2a+b=0；②abc>0；③拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是(?1,0)；④方程（填序號(hào)）【答案】①④⑤【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、方程與二次函數(shù)的關(guān)系、函數(shù)與不等式的關(guān)系等知識(shí)，解答關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合．根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)、方程與二次函數(shù)的關(guān)系、函數(shù)與不等式的關(guān)系一一判斷即可．【詳解】解：①∵拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線x=?b∴b=?2a，∴2a+b=0，故①正確；②∵拋物線開(kāi)口向下，與y軸相交于正半軸，∴a<0，c>0，∴b=?2a>0，∴abc<0，故②錯(cuò)誤；③∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)B(4,0)，∴另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(?2,0)，故③錯(cuò)誤；④從圖象可以知道，拋物線頂點(diǎn)為(1,3)，∴拋物線y1=ax∴方程ax⑤由圖象可知，當(dāng)1<x<4時(shí)，y1故答案為：①④⑤題型04根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求解12．（2024·河南周口·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Ax1,y1，B(1)若對(duì)于x1=?1，x2=?2，有(2)若對(duì)于?1≤x1<0，x2=0【答案】(1)m=?(2)m≤?【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的增減性和對(duì)稱(chēng)性是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得對(duì)稱(chēng)軸即可求解；（2）根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得到點(diǎn)0,y2關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為2m,y2，y1≥y【詳解】（1）解：∵x1=?1，x∴m=x（2）解：∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=m，∴點(diǎn)0,y2關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為∵y1≥∴2m≤x∴2m≤?1，∴m≤?113．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)y=?14x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O(1)當(dāng)t=0時(shí)．①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；求出當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值？最大值為多少？②當(dāng)x=a和x=b時(shí)a≠b，函數(shù)值相等，求a的值．(2)當(dāng)t>0時(shí)，在0≤x≤8范圍內(nèi)，y有最大值18，求相應(yīng)的t和x的值．【答案】(1)①y=?14x2+2x；當(dāng)x=4時(shí)，y有最大值為4(2)t=9，x=8．【分析】（1）①當(dāng)t=0時(shí)，求出點(diǎn)A坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)解析式即可求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而解答問(wèn)題；②根據(jù)x=a和x=b時(shí)a≠b，函數(shù)值相等，列得方程?1（2）求出二次函數(shù)y=?14x2+bx的對(duì)稱(chēng)軸x=2b，由二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)A8+t,0，可得本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，二次函數(shù)的最值，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：①當(dāng)t=0時(shí)，A8,0把A8,0、O0,0代入?16+8b+c=0c=0∴b=2c=0∴二次函數(shù)為y=?1∵y=?1∴當(dāng)x=4時(shí)，y有最大值，最大值為4；②∵x=a和x=b時(shí)a≠b，函數(shù)值相等，∴?1整理得，a2解得a=2（不合，舍去）或a=6，∴a的值為6；（2）解：∵二次函數(shù)y=?14x∴c=0，∴二次函數(shù)y=?1∴對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2b，∵二次函數(shù)y=?14x2+bx+c∴2b=8+t當(dāng)t≤8時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸x=2b≤8，∵0≤x≤8，∴x=2b時(shí)，y有最大值18，即?1整理得，b2∴b=?32或b=3∵4<2b≤8∴2<b≤4，∴b=?32或b=3當(dāng)t>8時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸x=2b>8，∵?1∴在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，y的值隨x的增大而增大，∵0≤x≤8，∴當(dāng)x=8時(shí)，y有最大值18，即?1解得b=17∴4+1∴t=9；綜上，t=9，x=8．14．（2023·浙江杭州·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)圖象的表達(dá)式為y=ax2+(1)若此函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)1,3，求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．(2)若x1,y1、x2,y(3)若點(diǎn)?1,t在此二次函數(shù)圖象上，且當(dāng)x≥?1時(shí)y隨x的增大而增大，求t的范圍．【答案】(1)y=2(2)a=?(3)?5<t≤?4【分析】（1）將1,3，a?b=4代入y=ax（2）由y1（3）由題意可得t=a?5，分a>0和a<0分別求解即可．【詳解】（1）解：將1,3，a?b=4代入y=ax2+解得：a=2，∴b=a?4=?2,∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=2x（2）∵y1∴這兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，∴?b∴?a+1∴a=?1（3）解：點(diǎn)?1,t在二次函數(shù)圖象上，∴t=a?a?1+a?4=a?5，∵當(dāng)x≥?1時(shí)y隨x的增大而增大，當(dāng)a>0時(shí)，有?a+1∴0<a≤1，∴?5<t≤?4，當(dāng)a<0時(shí)，不符合題意舍去，∴?5<t≤?4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達(dá)式，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的各知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．15．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線，L:y=ax2+bx?3與x軸交于A?1,0、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且拋物線(1)拋物線的表達(dá)式；(2)若拋物線L'與拋物線L關(guān)于直線x=m對(duì)稱(chēng)，拋物線L'與x軸交于點(diǎn)E，F(xiàn)兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F左側(cè)），要使S△ABC【答案】(1)y=(2)y=x?32【分析】（1）拋物線L：y=ax2+bx?3與x軸交于A?1,0、B兩點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為直線（2）S△ABC=2S△EBC，則點(diǎn)E為1,0或5,0，對(duì)應(yīng)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為：x=2或x=7，即可求解．【詳解】（1）拋物線L：y=ax2+bx?3與x軸交于A?1,0、∴點(diǎn)B∴拋物線的表達(dá)式為：y=ax+1即?3a=?3，解得：a=1故拋物線的表達(dá)式為：y=（2）S△ABC=2S△EBC，則點(diǎn)E為1,0或5,0，對(duì)應(yīng)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為：x=2或x=7故拋物線L'的表達(dá)式為：y=x?32【點(diǎn)睛】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，掌握函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、頂點(diǎn)等點(diǎn)所代表的意義、圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．題型05利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值16．（2024·安徽蕪湖·一模）已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1)求該拋物線的解析式；(2)若該拋物線與y軸交于點(diǎn)C，求△ABC的面積；(3)當(dāng)自變量x滿足m≤x≤m+1m≥12時(shí)，此函數(shù)的最大值為p，最小值為q，求w=p+q【答案】(1)y=(2)6(3)m=12時(shí)，w=p+q【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，（1）根據(jù)待定系數(shù)法求拋物線的解析式；（2）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再求△ABC的面積即可；（3）分兩種情況當(dāng)12≤m<1時(shí)，當(dāng)【詳解】（1）解：已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1?b+c=09+3b+c=0解得：b=?2c=?3該拋物線的解析式為y=x（2）解：x=0時(shí)y=?3，∴C(0,?3)，∵AB=4，∴S（3）解：當(dāng)12x=m+1時(shí)，此函數(shù)的最大值為p=(m+1)x=1時(shí)，此函數(shù)的最小值為q=1?2?3=?4，∴w=p+q=mm=12時(shí)，w=p+q的最小值為當(dāng)m≥1時(shí)，x=m+1時(shí)，此函數(shù)的最大值為p=(m+1)x=m時(shí)，此函數(shù)的最小值為q=m∴w=p+q=mm=1時(shí)，w=p+q的最小值為?7，綜上所述：∵?31m=12時(shí)，w=p+q有最小值為17．（2024·江蘇南京·一模）已知函數(shù)y=mx2?(1)求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有公共點(diǎn)．(2)不論m為何值，該函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)是．(3)在?2≤x≤2的范圍中，y的最大值是2，直接寫(xiě)出m的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)0,?2和1,0(3)0或?4【分析】本題考查的是函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分類(lèi)討論．（1）當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)變形為y=2x?2，函數(shù)為一次函數(shù)，圖象與x軸總有公共點(diǎn)；當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，Δ=（2）由y=mx2?（3）當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)化簡(jiǎn)為y=2x?2，根據(jù)題意即可求解；當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，分m＞0或【詳解】（1）證明：當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)變形為y=2x?2，函數(shù)為一次函數(shù)，圖象與x軸總有公共點(diǎn)；當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，令y=0，即mx2?∴方程總有實(shí)數(shù)根，∴該函數(shù)的圖象與x軸總有公共點(diǎn)；（2）由y=mx2?m?2x?2=x2?xm+2x?2，當(dāng)x2?x=0故答案為：0,?2和1,0；（3）當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)化簡(jiǎn)為y=2x?2，k=2＞0，y隨由∵?2≤x≤2，∴當(dāng)x=2時(shí)，y=2×2?2=2，符合題意；當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，當(dāng)m＞0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸為∴當(dāng)x=2時(shí)，y的最大值是2，即4m?2m?2解得：m=0，不符合題意；當(dāng)m＜此時(shí)最高點(diǎn)為頂點(diǎn)，即4ac?b解得：m=±42當(dāng)m=42?6時(shí)，此時(shí)對(duì)稱(chēng)軸為∴m的值為0或?4218．（2023·貴州遵義·一模）已知二次函數(shù)y=x2+2ax?4(1)若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,?5，求a的值；(2)在（1）的條件下，當(dāng)?1≤x≤4時(shí)，請(qǐng)求出二次函數(shù)的最大值和最小值；(3)當(dāng)0≤x≤1時(shí)，二次函數(shù)y=x2+2ax?4圖象上的點(diǎn)到x軸距離的最大值為5【答案】(1)?1(2)最大值為4，最小值為?5(3)4或?1【分析】本題是二次函數(shù)綜合題，考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象、數(shù)形結(jié)合，分類(lèi)討論思想是解題的關(guān)鍵．（1）將點(diǎn)（1,?5）代入y=x（2）根據(jù)拋物線y=x2?2x?4=（x?1）2?5可得拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，拋物線的開(kāi)口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,?5（3）根據(jù)題意可得拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=?a，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,?4），分三種情況：①當(dāng)?a<0時(shí)，②當(dāng)0≤?a≤1時(shí)，③當(dāng)【詳解】（1）解：將點(diǎn)（1,?5）代入得?5=1+2a?4，解得a=?1；（2）解：∵a=?1，∴二次函數(shù)的解析式為y=x∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，拋物線的開(kāi)口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,?5∴當(dāng)?1≤x≤4時(shí)，二次函數(shù)的最小值為?5；當(dāng)x=4時(shí)，二次函數(shù)的最大值為y=（∴當(dāng)?1≤x≤4時(shí)，二次函數(shù)的最大值為4，最小值為?5；（3）解：∵y=x∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=?a，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,?4①當(dāng)?a<0時(shí)，a>0，∵拋物線的開(kāi)口向上，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，二次函數(shù)y=x2+2ax?4圖象上的點(diǎn)到x∴當(dāng)x=1時(shí)，1+2a?4=5，∴a=4；②當(dāng)0≤?a≤1時(shí)，?1≤a≤0，當(dāng)x=?a時(shí)，a2∴a=?1或1（舍去）③當(dāng)?a>1時(shí)，a<?1，當(dāng)x=1時(shí)，1+2a?4=?5，∴a=?1（舍去）綜上所述，a=4或?1．19．（2024·河南漯河·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)2,y1在拋物線(1)當(dāng)b<?1時(shí)，試說(shuō)明y1(2)若點(diǎn)1,m和?2,n在該拋物線上，且mn>0，求b的取值范圍．(3)當(dāng)?1≤x≤4時(shí)該拋物線的最小值是?2，求b值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)?1<x<2(3)?22或3【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．（1）由題意可得，y1=22+2b=4+2b（2）由題意得mn=?2b+1b?2，由mn>0得到?2b+1b?2>0，令w=?2（3）由y=x2+bx=x+b【詳解】（1）解：∵點(diǎn)2,y1在拋物線∴y1∵b<?1，∴4+2b<2，∴y1（2）∵點(diǎn)1,m和?2,n在拋物線y=x∴m=1+b,n=4?2b，∴mn=1+b∵mn>0，∴?2b+1令w=?2b+1b?2，即w是當(dāng)w=?2b+1b?2=0由圖象可知，當(dāng)?1<b<2時(shí)，w>0，∴b的取值范圍是?1<x<2．（3）∵y=x∴拋物線開(kāi)口向上，拋物線的頂點(diǎn)為?b2,?當(dāng)?1≤?b2≤4，x=?b2則?b解得b1當(dāng)b1=22時(shí)，?當(dāng)b2=?22時(shí)，?當(dāng)?b2>4時(shí)，x=4時(shí)，y則42解得b=?9∵?b∴b=?92不滿足當(dāng)?b2<?1時(shí)，x=?1時(shí)，y則?12解得b=3，∵?b∴b=3滿足題意，綜上可知，b的值為?22或320．（2023·河南駐馬店·二模）已知函數(shù)y=?x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,?3(1)求b，c的值；(2)當(dāng)0≤x≤4時(shí)，求y1(3)當(dāng)0≤x≤m時(shí)，若y的最大值與最小值之和為1，請(qǐng)直接寫(xiě)出m的值．【答案】(1)b=6，c=?3；(2)6；(3)3?2或3+【分析】（1）本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)系數(shù)，把點(diǎn)0,?3，6,?3代入y=?x（2）本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及二次函數(shù)的最值問(wèn)題，根據(jù)y=?x（3）本題考查了二次函數(shù)的最值問(wèn)題，以及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)題意對(duì)m分情況進(jìn)行討論，①當(dāng)0≤m<3時(shí)，②當(dāng)3≤m≤6時(shí)，③當(dāng)m>6時(shí)，用m表示出對(duì)應(yīng)的最大最小值，根據(jù)y的最大值與最小值之和為1，建立等式，即可求解．【詳解】（1）解：把點(diǎn)0,?3，6,?3代入y=?xc=?3?36+6b?3=?3，解得c=?3∴b=6，c=?3．（2）解：由（1）可知y=?x∴對(duì)稱(chēng)軸為直線x=3，∵a=?1＜∴開(kāi)口向下，∴當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)值有最大值，∴當(dāng)0≤x≤4時(shí)，y1的最大值y=?9+18?3=6．（3）解：m的取值為3?2①當(dāng)0≤m<3時(shí)，x=0時(shí)，y=?3，x=m時(shí)，y=?m根據(jù)題意得?m解得m=3?2或3+②當(dāng)3≤m≤6時(shí)，y的最大值為6，最小值為?3，?3+6=3不合題意，③當(dāng)m>6時(shí)，x=3，y=6，x=m，y=?m根據(jù)題意得?m解得m1=3?11綜上，m的取值為3?2或3+題型06二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問(wèn)題21．（2023·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)y=ax2?2ax+3（a(1)若a<0，求證：該函數(shù)的圖像與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)．(2)若a=?1，求證：當(dāng)?1<x<0時(shí)，y>0．(3)若該函數(shù)的圖像與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)x1,0，x2,0，且?1<x1【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)a>3或a<?1【分析】本題考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題、二次函數(shù)的性質(zhì)、解不等式組，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，采用分類(lèi)討論的思想是解此題的關(guān)鍵．（1）計(jì)算出Δ=?2a2?4×a×3=4a2+?12a，由（2）當(dāng)a=?1時(shí)，y=?x2+2x+3，由拋物線開(kāi)口方向和對(duì)稱(chēng)軸可得當(dāng)x<1時(shí)，y隨x增大而增大，當(dāng)x>1時(shí)，y隨x增大而減小，計(jì)算出當(dāng)x=?1時(shí)，（3）求出拋物線的頂點(diǎn)為1,3?a，再分兩種情況：當(dāng)a>0時(shí)，則有3?a<0a+2a+3>016a?8a+3>0；當(dāng)a<0時(shí)，則有【詳解】（1）證明：令y=0，則a∵a<0，∴b∴該方程有2個(gè)不等實(shí)根，即二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）證明：方法一：當(dāng)a=?1時(shí)，二次函數(shù)為：y=?拋物線開(kāi)口向下，與x軸交于?1,0，3,0；∴當(dāng)?1<x<0時(shí)，y>0方法二：當(dāng)a=?1時(shí)，二次函數(shù)為：y=?∵?1<x<0，∴?2<x?1<?1；∴0<?x?12+4<3∴y>0；（3）解：y=ax2?2ax+3=ax?12①當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，要保證二次函數(shù)與x軸兩個(gè)交點(diǎn)在?1,0與4,0之間（不包含這兩點(diǎn)），則只需保證頂點(diǎn)在x軸下方，x=?1時(shí)y>0，則有3?a<0a+2a+3>0解得：a>3；②當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，要保證二次函數(shù)與x軸兩個(gè)交點(diǎn)在?1,0與4,0之間（不包含這兩點(diǎn)），則只需保證頂點(diǎn)在x軸上方，x=?1時(shí)y<0，則有3?a>0a+2a+3<0解得：a<?1；綜上，當(dāng)a>3或a<?1時(shí)，二次函數(shù)與x軸兩個(gè)交點(diǎn)在?1,0與4,0之間（不包含這兩點(diǎn)），故答案為：a>3或a<?1．22．（2023·河南鄭州·三模）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+3a≠0經(jīng)過(guò)(1)求拋物線的解析式；(2)求證：直線y=?3x+5與該拋物線沒(méi)有交點(diǎn)，(3)若Cm,y1，Dn,y2為拋物線y=ax2+bx+3a≠0上兩點(diǎn)m<n，M為拋物線上點(diǎn)C和點(diǎn)D之間的動(dòng)點(diǎn)（含點(diǎn)【答案】(1)y=?(2)見(jiàn)解析(3)32或【分析】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)解析式和性質(zhì)，根的判別式．在解題時(shí)要注意二次函數(shù)的增減性，“開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，y隨x的增大而增大，對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，y隨x的增大而減小．（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）聯(lián)立直線與拋物線解析式可得x2（3）利用M點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍，反推出x的值，進(jìn)而得到m+n的值．【詳解】（1）解：由題意可知：9a?3b+3=0a+b+3=0解得：a=?1b=?2∴拋物線的解析式為：y=?x（2）證明：聯(lián)立直線與拋物線解析式可得：y=?3x+5y=?∴x∵Δ∴方程無(wú)實(shí)根，即直線y=?3x+5與該拋物線沒(méi)有交點(diǎn)；（3）解：∵點(diǎn)M縱坐標(biāo)的取值范圍為?9∴當(dāng)y=?94時(shí)，解得：x1=?7得點(diǎn)?72,?當(dāng)y=3時(shí)，?x解得：x3=?2，得點(diǎn)?2,3，0,3，如圖1，∵m<n，∴m=0，n=3∴m+n=0+3如圖2，∵m<n，∴m=?72，∴m+n=?7綜上所述：m+n=32或23．（2024·湖北武漢·一模）已知，拋物線C1:y=14x2?32x?4與x軸交于A，(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；(2)如圖1，M為拋物線C1上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥AC，交直線BC于點(diǎn)N，若MN=12(3)如圖2，平移拋物線C1得到拋物線C2，使其頂點(diǎn)Q落在y軸的負(fù)半軸上，P為OQ的中點(diǎn)，直線y=k1x+t經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，交拋物線C2于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，延長(zhǎng)FO，EO分別交拋物線C2于C，D兩點(diǎn)，設(shè)直線CD【答案】(1)A(2)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4±6，(3)k【分析】（1）分別令x,y=0，即可求解；（2）先證明∠ACB=90°得出cosACO=COAC=425=255，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，則Mm,14m2?32m?4，則Tm,（3）設(shè)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為0,2t，則拋物線C2的解析式為y=14x2?2n，設(shè)E，F(xiàn)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為e,14e2?2n,f,14f2?2n，得出直線EF的解析式為【詳解】（1）解：當(dāng)y=0時(shí)，14解得：x1∴A?2,0當(dāng)x=0時(shí)，y=?4，∴C（2）解：∵A?2,0設(shè)直線AC的解析式為y=kx?4，代入A∴?2k?4=0解得：k=?2，∴直線AC的解析式為y=?2x?4∵B8,0設(shè)直線BC的解析式為y=k1∴8k?4=0解得：k=直線BC的解析式為y=1∵A∴AC=2∴A∴∠ACB=90°，cos∠ACO=∵M(jìn)N∥∴MN⊥BC，當(dāng)M在直線BC下方時(shí)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)M作MT∥y軸，交BC于點(diǎn)∴∠MNT=∠ACO∴cos∵M(jìn)N=12∴TM=5設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，則Mm,1∴1解得：m=4±6當(dāng)M在BC上方時(shí)，如圖所示，同理可得14解得：m=4±26綜上所述，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4±6，4±（3）解：∵平移拋物線C1得到拋物線C2，使其頂點(diǎn)Q落在y軸的負(fù)半軸上，P為OQ的中點(diǎn)，直線y=k設(shè)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為0,2t，∴拋物線C2的解析式為y=設(shè)E，F(xiàn)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為e,1∵直線EF的解析式為y=∴ek∴k=1∴直線EF的解析式為y=1又∵P在EF上∴?n=?2n?1∴ef=?4n，設(shè)直線EO的解析式為y=k∴1∴k3∴y=?聯(lián)立y=∴?1∴x2∴xD∴xD∴y∴D?同理可得C?設(shè)直線CD的解析式為y2∴?8n解得：k2∵EF解析式為y=1∴k1又∵ef=?4n，∴k2∴k2【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用，一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合，二次函數(shù)線段周長(zhǎng)問(wèn)題，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問(wèn)題，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．題型07二次函數(shù)與不等式24．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)y=x2?2(m?1)x?2m+(1)若二次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,?1)，求m的值；(2)若二次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,y1)和點(diǎn)(2m,y2(3)將拋物線y=x2?2(m?1)x?2m+m2向下平移k【答案】(1)m=3；(2)m>1(3)k=3；【分析】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的平移：（1）將點(diǎn)代入求解即可得到答案；（2）將點(diǎn)代入解析式，結(jié)合y1（3）根據(jù)平移得到新函數(shù)，先根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到兩根和與積的式子，再結(jié)合與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為4列式求解即可得到答案；【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,?1)，∴?1=2解得：m=3；（2）解：∵二次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,y1)∴y1=1∵y1∴m2解得：m>1（3）解：∵拋物線y=x2?2(m?1)x?2m+∴y=x當(dāng)y=0時(shí)，x2∴x1+x∵新拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為4，∴(x解得：k=3．25．（2024·河南商丘·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?x2+2x+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B(1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)A的坐標(biāo)．(2)設(shè)直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，請(qǐng)結(jié)合圖象直接寫(xiě)出不等式kx+b>?x(3)平行于x軸的直線l交拋物線于點(diǎn)Px1,y1，Qx2,y【答案】(1)y=?x2+2x+8，點(diǎn)(2)x<?(3)5<【分析】本題考查了求出拋物線的解析式和x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）把C3,5代入拋物線，求出拋物線的解析式，再求出點(diǎn)A（2）根據(jù)圖象求出不等式kx+b>?x（3）求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為1,9，對(duì)稱(chēng)軸是直線x=1，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求出x1+x2=2，由x1<x2<x3，結(jié)合圖象，可知直線【詳解】（1）解：∵點(diǎn)C3,5∴?3解得c=8，∴拋物線的表達(dá)式為y=?x令?x解得x1=?2，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為?2,0．（2）解：根據(jù)函數(shù)圖象可知，當(dāng)x<?2∴不等式kx+b>?x2+2x+c的解集為x（3）解：∵直線l平行于x軸，∴y1=y∵y=?x∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為1,9，對(duì)稱(chēng)軸是直線x=1，∴x1+x2=2，由x設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，把A?2,0，C?2k+b=03k+b=5解得：k=1b=2∴直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y=x+2，令x+2=9，解得x=7，∴3<x∴5<x26．（2022·湖北荊州·三模）探究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫(huà)出函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過(guò)程．結(jié)合已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，探究函數(shù)y=?12x…?4?3?2?101234…y…???2?4a?4?2??…(1)列表，寫(xiě)出表中a的值：a=______．描點(diǎn)、連線，在所給的平面直角坐標(biāo)系中補(bǔ)全該函數(shù)的圖象．(2)觀察函數(shù)圖象，回答下列問(wèn)題：①函數(shù)有最______值，是______；②當(dāng)自變量x的取值范圍是______時(shí)，函數(shù)y的值隨自變量x的增大而增大．(3)已知函數(shù)y=?23x?【答案】(1)?6，補(bǔ)全函數(shù)圖象見(jiàn)解析(2)①小，?6；②x>0(3)x<?4或?2<x<1【分析】本題主要考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)與不等式，會(huì)用描點(diǎn)法畫(huà)出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想得到函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）把對(duì)應(yīng)的x的值代入即可求出a值，通過(guò)描點(diǎn)，用平滑的曲線連接，即可作出圖象；（2）觀察圖象即可判斷；（3）找出函數(shù)y=?12x2+2的圖象比函數(shù)【詳解】（1）解：當(dāng)x=0時(shí)，a=?12∴a=?6，補(bǔ)全函數(shù)圖象，如圖所示．

故答案為：?6．（2）①觀察圖象可知，當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)y=?12x2故答案為：小，?6；②觀察圖象可知，當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大；故答案為：x>0；（3）不等式?12x2+2<?23x?103表現(xiàn)在圖象上面即函數(shù)故答案為：x<?4或?2<x<1．題型08二次函數(shù)中的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)問(wèn)題27．（2024·重慶南岸·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=14x2+bx+c交x軸于點(diǎn)A?2,0，(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖，若點(diǎn)M是第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，MN∥y軸交BC于點(diǎn)N,MQ∥BC交x軸于點(diǎn)Q，求MN+3(3)如圖，在y軸上取一點(diǎn)G0,7，拋物線沿BG方向平移22個(gè)單位得新拋物線，新拋物線與x軸交于點(diǎn)E,F，交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)P在線段FD上運(yùn)動(dòng)，線段OF關(guān)于線段OP的對(duì)稱(chēng)線段OF'所在直線交新拋物線于點(diǎn)H，直線F'P與直線【答案】(1)y=(2)49(3)?2或?13+【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；（2）過(guò)點(diǎn)B作BE∥MN交MQ于點(diǎn)E，證明四邊形MNBE為平行四邊形，得出BE=MN，根據(jù)MQ∥BC，得出tan∠BQE=tan∠OBC=12，證明BQ=2BE=2MN，求出直線BC的解析式為：y=12x?7（3）連接F'P并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)K，交BG于點(diǎn)L，求出新的拋物線解析式為y=14x2?14x?3，求出【詳解】（1）解：把A?2,0，B7,0代入1?2b+c=049解得：b=?5∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=1（2）解：過(guò)點(diǎn)B作BE∥MN交MQ于點(diǎn)E，如圖所示：∵M(jìn)Q∥BC，∴四邊形MNBE為平行四邊形，∴BE=MN，∵M(jìn)N∥y軸，∴BE∥y軸，∴∠EBQ=∠COB=90°，∴△EBQ為直角三角形，把x=0代入y=14x∴C0,?∴OC=7∵OB=7，∴tan∠OBC=∵M(jìn)Q∥BC，∴tan∠BQE=∴BQ=2BE=2MN，設(shè)直線BC的解析式為：y=kx?7把B7,0代入得：0=7k?解得：k=1∴直線BC的解析式為：y=1設(shè)Mm,14∴MN=1∴MN+=4MN=4×=?=?m?∵?1<0，∴當(dāng)m=72時(shí)，MN+3（3）解：∵B7,0，G∴OB=OG，∵∠BOG=90°，∴∠OBG=∠OGB=1∴拋物線沿BG方向平移22個(gè)單位時(shí)，沿x軸、y軸移動(dòng)的距離為：2∵拋物線y=1∴拋物線沿BG方向平移22y===1把x=0代入y=14x把y=0代入y=14x解得：x1=?3，∴D0,?3，F(xiàn)∴OD=3，OF=4，∴tan∠OFD=當(dāng)P'F⊥x軸時(shí)，連接F'P并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)K，交∴∠LKB=180°?45°?45°=90°，∴F'∴∠LKB=90°，∵∠OBG=45°，∴∠KLB=45°，∴此時(shí)直線F'P與直線BG所成夾角為根據(jù)折疊可知，∠OF∴tan∠O∴設(shè)OK=3aa>0，則F∴F'設(shè)直線OF'的解析式為：把F'3a,?4a代入y=k解得：k'∴直線OF'的解析式為：令?4解得：x1=?13+∴點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為?13+601當(dāng)F'P⊥y軸時(shí)，連接F'P并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)K，交∵∠GKL=90°，∠BGO=45°，∴∠F∴此時(shí)直線F'P與直線BG所成夾角為根據(jù)折疊可知，∠OF∴tan∠O∴設(shè)OK=3aa<0，則F∴F'設(shè)直線OF'的解析式為：把F'4a,3a代入y=k解得：k″∴此時(shí)直線OF'的解析式為：令34解得：x1=?2，∴此時(shí)點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為?2；綜上分析可知，點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為?2或?13+601【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，求二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)解析式，求一次函數(shù)解析式，折疊問(wèn)題，解直角三角形，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，數(shù)形結(jié)合，注意分類(lèi)討論，準(zhǔn)確計(jì)算．28．（2023·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A?1,0，點(diǎn)B3,0(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，連接AC，BC，過(guò)點(diǎn)C作射線CM交x軸的正半軸于點(diǎn)M，點(diǎn)M與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P是第四象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作BC的垂線交CM于點(diǎn)G，求線段PG長(zhǎng)度的最大值及此時(shí)點(diǎn)(3)如圖2，把點(diǎn)C向上平移1個(gè)單位得到點(diǎn)Q，連接AQ，把△AOQ繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度α(0°<α<360°)，得到△A'OQ'，其中邊A'Q'交坐標(biāo)軸于點(diǎn)【答案】(1)拋物線的解析式為y=(2)GPmax=(3)?455,?25【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可；(2)延長(zhǎng)PG交y軸于點(diǎn)D，過(guò)GGE⊥y軸于點(diǎn)E，過(guò)P作PF⊥y軸于點(diǎn)F，求出MC解析式為y=3x?3，證明△DEG和△DFP是等腰直角三角形，推導(dǎo)GP=DP?DG=2DF?DE=2EF，點(diǎn)P為t，t2?2t?3，則(3)由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，Rt△AOQ≌△Rt△A'本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和解直角三角形，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）把點(diǎn)A?1,0，點(diǎn)B3,0得1?b+c=09+3b+c=0解得b=?2c=?3∴拋物線的解析式為y=（2）延長(zhǎng)PG交y軸于點(diǎn)D，過(guò)G作GE⊥y軸于點(diǎn)E，過(guò)P作PF⊥y軸于點(diǎn)F，∵點(diǎn)M與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，A∴點(diǎn)M1,0由y=x2?∴OB=OC=3，∴設(shè)MC解析式為y=mx+n，則m+n=0n=?3，解得：m=3∴MC解析式為y=3x?3，同理直線BC解析式為y=x?3，∴∠OBC=∠OCB=45°，∵PG⊥BC，∴△DEG和△DFP是等腰直角三角形，F(xiàn)P=DF，∴DP=2∴GP=DP?DG=2設(shè)點(diǎn)P為t，t2∴F0,t2則同理用待定系數(shù)法可知直線DP的解析式為：y=?x+t將直線DP的解析式與MC解析式聯(lián)立得：y=?x+解得：x=t即G∴GP=2∴當(dāng)t=52時(shí)，GPmax=252（3）存在，①過(guò)點(diǎn)Q'作Q'T⊥y軸交y由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，Rt△AOQ≌△∴sin∠A'∵AO=1，OQ=2，∴AQ=5∴1∴Q'T=2∴Q②如圖，同①理：Q'③如圖，同理：Q'④如圖，同①理：Q'綜上，滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：?455,?2529．（2024·浙江·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+4交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B?6,0和點(diǎn)C2,0，連接AB、AQ、BQ，BQ(1)求拋物線表達(dá)式；(2)點(diǎn)Q1，73，點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)①求點(diǎn)E的坐標(biāo)；②設(shè)射線AM與BN相交于點(diǎn)P，交BE于點(diǎn)H，將△BPH繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)后的三角形記為△BP1H【答案】(1)y=?(2)①E?2,?2；②【分析】（1）將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入拋物線，利用待定系數(shù)法求得解析式；（2）①由Q坐標(biāo)求出BQ解析式，然后根據(jù)四邊形ANEM是平行四邊形和△BME≌△AOM得出BM=OA=4，再分類(lèi)討論求得M和E的坐標(biāo)；②求出AM解析式，交點(diǎn)為P，再求出H坐標(biāo)，然后由兩點(diǎn)間距離公式求出BP和BH長(zhǎng)度，因?yàn)樾D(zhuǎn)不改變長(zhǎng)度，所以BP1長(zhǎng)度不變，當(dāng)H旋轉(zhuǎn)到x軸上時(shí)，此時(shí)OH1最短，所以此時(shí)【詳解】（1）解：①拋物線y=ax2+bx+4交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B∴36a?6b+4=04a+2b+4=0解得：a=?∴y=?1（2）解：∵y=?∴OA=4，設(shè)直線BQ的解析式為y=kx+b1，∵B?6,0，∴k+b解得k=1∴直線BQ的解析式為y=1∵N為BQ與y軸交點(diǎn)，∴N0,2∴AN=2，∵四邊形ANEM是平行四邊形，∴AN∥EM且EM=AN=2，且點(diǎn)E在點(diǎn)∵點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)E在平面內(nèi)，△BME≌△AOM，∴BM=OA=4，∵B?6,0∴M?2,0或?10,0若M為?2,0，∵∠BME=∠AOM=90°，故E?2,?2若M為?10,0，∵OM=ME=2，此時(shí)OM=10，(矛盾，舍去)，綜上，點(diǎn)E的坐標(biāo)為?2,?2；②如圖，設(shè)AM的解析式為y=kx+b,∵拋物線y=ax2+bx+4交y∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，4)，將點(diǎn)A0,4、M?2,0的坐標(biāo)代入b=4?2k+b=0解得k=2b=4∴AM的解析式為y=2x+4，AM與BQ相交于點(diǎn)P，∴y=2x+4y=解得x=?6所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為?6設(shè)直線BE的解析式為y=mx+n，將點(diǎn)B、E的坐標(biāo)代入直線BE的解析式得：?2m+n=?2?6m+n=0解得m=?1所以直線BE的解析式為y=?1BE與AM相交于點(diǎn)H，∴y=2x+4y=?解得x=?14∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為?14∴BP=BH=∴B當(dāng)H旋轉(zhuǎn)到x軸上時(shí)，此時(shí)OH∴O∴B∴BP1+30．（2024·江西南昌·一模）如圖、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C1:y=?x2+2x+3與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，P為拋物線C1的頂點(diǎn)，連接PB，將拋物線C1(1)求拋物線C2(2)連接AC，BC，求sin∠ACB(3)連接CP，Q是拋物線C2上的點(diǎn)，若滿足∠QCO=∠PBC，求點(diǎn)Q【答案】(1)y=(2)sin(3)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為?2,?3或1,0【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)以及與解直角三角形相關(guān)的計(jì)算：（1）由C1:y=?x2+2x+3求出與x軸的交點(diǎn)A?1,0，B3,0，頂點(diǎn)坐標(biāo)P1,4，設(shè)C2的解析式為y=a（2）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，由兩點(diǎn)間距離公式求出B