專題13 二次函數(shù)性質壓軸（測試）

專題13二次函數(shù)性質壓軸目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u真題演練題型01待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式題型02二次函數(shù)的圖象與性質題型03二次函數(shù)圖象與各項系數(shù)的關系題型04根據二次函數(shù)的對稱性求解題型05利用二次函數(shù)的性質求最值題型06二次函數(shù)與坐標軸交點問題題型07二次函數(shù)與不等式題型08二次函數(shù)中的平移、翻折、旋轉問題題型09函數(shù)圖象判斷綜合題型10二次函數(shù)與實際問題模擬集訓

真題演練題型01待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式1．（2024·廣東佛山·一模）二次函數(shù)y=x(1)若A，B兩點坐標分別是(?1,0)，(6,0)，求該二次函數(shù)的表達式及其圖象的對稱軸；(2)若該二次函數(shù)的最小值為?4，求b?c的最大值．2．（2023·浙江寧波·模擬預測）如圖所示，已知拋物線，y=x2+bx+c經過原點O，且與x(1)求拋物線的解析式和頂點坐標；(2)若拋物線向上平移m（m>0）個單位長度后，平移后的頂點到x軸距離小于3，請根據圖象直接寫出m的取值范圍．3．（2024·河南周口·一模）如圖，拋物線y=?12x2+bx+c經過A(?1,0)、B(3,0)兩點，與y(1)求拋物線的解析式及點G的坐標；(2)連接AC，將線段AC向右水平移動m個單位長度，若它與拋物線只有一個交點，求出m的取值范圍．題型02二次函數(shù)的圖象與性質4．（2024·江蘇淮安·一模）在平面直角坐標系xOy中，點Ax1,y1(1)求該拋物線的對稱軸（用含t的式子表示）；(2)①當x=?1，x2=2時，②若對于?1<x1<0，1<x2<25．（2023·云南保山·模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，直線y=2x+2與x軸，y軸分別交于點A，B，拋物線y=ax2+bx?5a經過點A，將點B(1)求拋物線的對稱軸；(2)若拋物線與線段BC恰有一個公共點，結合函數(shù)圖象，求出a的取值范圍．6．（2024·浙江·一模）在二次函數(shù)y=?x2+ax+1(1)當a=2時，①求該二次函數(shù)圖象的頂點坐標；②當0≤x≤3時，求y的取值范圍；(2)若Aa?2,b，Ba,c兩點都在這個二次函數(shù)的圖象上，且b<c，求7．（2024·浙江杭州·模擬預測）頂點為D的二次函數(shù)y=ax①其與y軸的交點為0，1；②其與x軸的交點為?1，0和3，0；③該函數(shù)其最大值為12(1)從以上條件任選兩個，求出函數(shù)的表達式；(2)若存在直線y=?1，二次函數(shù)上的存在一個點A，使得AD等于A到直線的距離，求出A點的坐標．題型03二次函數(shù)圖象與各項系數(shù)的關系8．（2023·山東青島·二模）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A?1，0，頂點坐標1，n，與y軸的交點在0，2，0，3之間（包含端點），則下列結論：①3a+b>0；②?1≤a≤?23；③對于任意實數(shù)m其中正確結論為（只填序號）9．（2023·山東青島·三模）二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的圖象如圖，給出下列四個結論：①3a+2b+c<0；②3a+c<b2?4ac10．（23-24九年級上·四川瀘州·階段練習）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，有下列5個結論：①abc>0；②a+c<b；③b2?4ac<0；④2c<3b；⑤Mx1,11．（2023·山東青島·二模）如圖是拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0)圖象的一部分，拋物線的頂點坐標A(1,3)，與x軸的一個交點B(4,0)，直線y2=mx+n(m≠0)與拋物線交于A、B兩點，下列結論：①2a+b=0；②abc>0；③拋物線與x軸的另一個交點是(?1,0)；④方程（填序號）題型04根據二次函數(shù)的對稱性求解12．（2024·河南周口·一模）在平面直角坐標系xOy中，Ax1,y1，B(1)若對于x1=?1，x2=?2，有(2)若對于?1≤x1<0，x2=013．（2024·浙江寧波·模擬預測）已知二次函數(shù)y=?14x2+bx+c的圖象經過原點O(1)當t=0時．①求y關于x的函數(shù)解析式；求出當x為何值時，y有最大值？最大值為多少？②當x=a和x=b時a≠b，函數(shù)值相等，求a的值．(2)當t>0時，在0≤x≤8范圍內，y有最大值18，求相應的t和x的值．14．（2023·浙江杭州·三模）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)圖象的表達式為y=ax2+(1)若此函數(shù)圖象過點1,3，求這個二次函數(shù)的表達式．(2)若x1,y1、x2(3)若點?1,t在此二次函數(shù)圖象上，且當x≥?1時y隨x的增大而增大，求t的范圍．15．（2023·陜西西安·模擬預測）已知拋物線，L:y=ax2+bx?3與x軸交于A?1,0、B兩點，與y軸交于點C，且拋物線(1)拋物線的表達式；(2)若拋物線L'與拋物線L關于直線x=m對稱，拋物線L'與x軸交于點E，F(xiàn)兩點（點E在點F左側），要使S△ABC題型05利用二次函數(shù)的性質求最值16．（2024·安徽蕪湖·一模）已知拋物線y=x2+bx+c經過點A(1)求該拋物線的解析式；(2)若該拋物線與y軸交于點C，求△ABC的面積；(3)當自變量x滿足m≤x≤m+1m≥1217．（2024·江蘇南京·一模）已知函數(shù)y=mx(1)求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有公共點．(2)不論m為何值，該函數(shù)的圖象經過的定點坐標是．(3)在?2≤x≤2的范圍中，y的最大值是2，直接寫出m的值．18．（2023·貴州遵義·一模）已知二次函數(shù)y=x(1)若二次函數(shù)的圖象經過點1,?5，求a的值；(2)在（1）的條件下，當?1≤x≤4時，請求出二次函數(shù)的最大值和最小值；(3)當0≤x≤1時，二次函數(shù)y=x2+2ax?4圖象上的點到x軸距離的最大值為519．（2024·河南漯河·一模）在平面直角坐標系中，點2,y1在拋物線(1)當b<?1時，試說明y1(2)若點1,m和?2,n在該拋物線上，且mn>0，求b的取值范圍．(3)當?1≤x≤4時該拋物線的最小值是?2，求b值．20．（2023·河南駐馬店·二模）已知函數(shù)y=?x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經過點0,?3(1)求b，c的值；(2)當0≤x≤4時，求y1(3)當0≤x≤m時，若y的最大值與最小值之和為1，請直接寫出m的值．題型06二次函數(shù)與坐標軸交點問題21．（2023·江蘇南京·模擬預測）已知二次函數(shù)y=ax2?2ax+3(1)若a<0，求證：該函數(shù)的圖像與x軸有兩個公共點．(2)若a=?1，求證：當?1<x<0時，y>0．(3)若該函數(shù)的圖像與x軸有兩個公共點x1,0，x2,0，且?1<22．（2023·河南鄭州·三模）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+3a≠0經過(1)求拋物線的解析式；(2)求證：直線y=?3x+5與該拋物線沒有交點，(3)若Cm,y1，Dn,y2為拋物線y=ax2+bx+3a≠0上兩點m<n，M為拋物線上點C和點D之間的動點（含點23．（2024·湖北武漢·一模）已知，拋物線C1:y=14x2?32x?4與x軸交于A，(1)直接寫出點A，B，C的坐標；(2)如圖1，M為拋物線C1上一點，過點M作MN∥AC，交直線BC于點N，若MN=12(3)如圖2，平移拋物線C1得到拋物線C2，使其頂點Q落在y軸的負半軸上，P為OQ的中點，直線y=k1x+t經過點P，交拋物線C2于E，F(xiàn)兩點，延長FO，EO分別交拋物線C2于C，D兩點，設直線CD題型07二次函數(shù)與不等式24．（2023·浙江杭州·模擬預測）已知二次函數(shù)y=x(1)若二次函數(shù)經過點(2,?1)，求m的值；(2)若二次函數(shù)經過點(1,y1)和點(2m,(3)將拋物線y=x25．（2024·河南商丘·一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=?x2+2x+c(1)求拋物線的表達式及點A的坐標．(2)設直線AC的函數(shù)表達式為y=kx+b，請結合圖象直接寫出不等式kx+b>?x(3)平行于x軸的直線l交拋物線于點Px1,y1，Qx2,y26．（2022·湖北荊州·三模）探究函數(shù)性質時，我們經歷了列表、描點、連線畫出函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質的過程．結合已有的學習經驗，探究函數(shù)y=?12x…?4?3?2?101234…y…???2?4a?4?2??…(1)列表，寫出表中a的值：a=______．描點、連線，在所給的平面直角坐標系中補全該函數(shù)的圖象．(2)觀察函數(shù)圖象，回答下列問題：①函數(shù)有最______值，是______；②當自變量x的取值范圍是______時，函數(shù)y的值隨自變量x的增大而增大．(3)已知函數(shù)y=?23x?題型08二次函數(shù)中的平移、翻折、旋轉問題27．（2024·重慶南岸·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=14x2+bx+c交x軸于點A?2,0，(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)如圖，若點M是第四象限內拋物線上一點，MN∥y軸交BC于點N,MQ∥BC交x軸于點Q，求MN+3(3)如圖，在y軸上取一點G0,7，拋物線沿BG方向平移22個單位得新拋物線，新拋物線與x軸交于點E,F，交y軸于點D，點P在線段FD上運動，線段OF關于線段OP的對稱線段OF'所在直線交新拋物線于點H，直線F'P與直線28．（2023·重慶沙坪壩·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點A?1,0，點B3,0(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，連接AC，BC，過點C作射線CM交x軸的正半軸于點M，點M與點A關于原點對稱，點P是第四象限拋物線上一動點，過點P作BC的垂線交CM于點G，求線段PG長度的最大值及此時點(3)如圖2，把點C向上平移1個單位得到點Q，連接AQ，把△AOQ繞點O順時針旋轉一定的角度α(0°<α<360°)，得到△A'OQ'，其中邊A'Q'交坐標軸于點29．（2024·浙江·一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+4交y軸于點A，交x軸于點B?6,0和點C2,0，連接AB、AQ、BQ，BQ(1)求拋物線表達式；(2)點Q1，73，點M在x軸上，點E①求點E的坐標；②設射線AM與BN相交于點P，交BE于點H，將△BPH繞點B旋轉一周，旋轉后的三角形記為△BP1H30．（2024·江西南昌·一模）如圖、在平面直角坐標系xOy中，拋物線C1:y=?x2+2x+3與x軸交于點A，點B（點A在點B的左側），與y軸交于點C，P為拋物線C1的頂點，連接PB，將拋物線C1(1)求拋物線C2(2)連接AC，BC，求sin∠ACB的值．(3)連接CP，Q是拋物線C2上的點，若滿足∠QCO=∠PBC，求點Q31．（2024·山東濟南·模擬預測）如圖1，二次函數(shù)y=ax2+bx?3(a≠0)的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，連接AC、BC，點A的坐標為?3,0(1)求該二次函數(shù)的表達式；(2)若點M，N同時從點B出發(fā)，均以每秒一個單位長度的速度分別沿線段BA、BC運動，其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動，當運動時間為t秒時，連接MN，將△BMN沿MN翻折，點B恰好落在AC邊上的點P處，求t的值及點P的坐標；(3)如圖2，在（2）的條件下，二次函數(shù)圖象的對稱軸上是否存在點Q，使得以B，N，Q為頂點的三角形與△ABC相似？如果存在，請直接寫出點Q的坐標：如果不存在，請說明理由．題型09函數(shù)圖象判斷綜合32．（2024·安徽蕪湖·一模）已知反比例函數(shù)y=kxk≠0在第二象限內的圖像與一次函數(shù)y=ax+b的圖像如圖所示，則函數(shù)y=aA B． C． D．33．（2024·安徽·一模）已知反比例函數(shù)y=kxk≠0在第二象限內的圖象與一次函數(shù)y=x+b的圖象如圖所示，則函數(shù)y=A． B． C． D．34．（2024·河南安陽·模擬預測）二次函數(shù)y=ax2?aa≠0與反比例函數(shù)A． B． C．

D．

35．（2024·安徽·一模）如圖是拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)且a≠0）的圖象，則雙曲線y=4a?2b+cxA． B． C． D．題型10二次函數(shù)與實際問題36．（2024·陜西渭南·一模）王老師在一次數(shù)學實踐課上請同學們設計公園裝飾景觀燈，提供了兩個素材．素材1：某公園計劃修建一個如圖所示的景觀燈，燈柱OA高為4m，拋物線形燈桿的最高點距離地面4.5m，且到燈柱OA的水平距離為1m，燈泡到地面的距離為2.5m．（燈泡大小忽略不計）素材2：為使景觀燈更加美觀牢固，燈柱兩邊對稱安裝此拋物線形燈桿，燈泡C、D關于OA對稱（C、D分別在這兩個拋物線上），并在兩個燈泡之間修建一個支架CD．小張同學建立了如圖所示的平面直角坐標系，請你幫他完成以下兩個任務：(1)求該拋物線在第一象限的函數(shù)表達式：（不要求寫自變量x的取值范圍）(2)小張同學設計的支架CD長為6m，請你結合已學知識，判斷他設計的景觀燈支架CD的長度是否符合要求，并說明理由．37．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）如圖所示，一場籃球比賽中，某籃球隊員甲的一次投籃命中，籃球運行軌跡為拋物線的一部分．已知籃球出手位置點A與籃筐的水平距離為5m，籃筐距地面的高度為3m，當籃球行進的水平距離為3m時，籃球距地面的高度達到最大為3.6m．(1)求籃球出手位置點A的高度．(2)此時，若對方隊員乙在甲前面1m處跳起攔截，已知乙的攔截高度為3.12m，那么他能否獲得成功？并說明理由．(3)若甲在乙攔截時，突然向后后退0.2m，再投籃命中（此時乙沒有反應過來，置沒有移動），籃球運行軌跡的形狀沒有變化，且籃球越過乙時，超過其攔截高度0.08m，求籃球出手位置的高度變化．38．（2024·山東濟南·模擬預測）某商場購進了A，B兩種商品，若銷售10件A商品和20件B商品，則可獲利280元；若銷售20件A商品和30件B商品，則可獲利480元．(1)求A，B兩種商品每件的利潤；(2)已知A商品的進價為24元/件，目前每星期可賣出200件A商品，市場調查反映：如調整A商品價格，每降價1元，每星期可多賣出20件，如何定價才能使A商品的利潤最大？最大利潤是多少？39．（2024·浙江寧波·模擬預測）為了給學校的柯爾鴨過冬提供舒適的環(huán)境，飼養(yǎng)小組決定用長為k米的籬笆，和一面長為6米的墻圍成如圖所示的長方形的鴨圈．整個鴨圈的正中間被籬笆隔斷成活動區(qū)和生活區(qū)，活動區(qū)和兩區(qū)中間的籬笆上分別開了一個門，兩個門的尺寸均為0.5米，鴨圈垂直于墻的一邊的長為a米．（其中籬笆全部用完，不考慮高度，籬笆占地面積忽略，門的材料另備）設計方案小成小韓小林a（米)1.52.53.5CD的長（米）（

）（

）（

）(1)用含k，a的代數(shù)式表示鴨圈另一邊長CD=米．(2)若k=10固定不變．①若要求鴨圈面積為10平方米，求a的值．②小成、小韓和小林根據a的長度分別給出了3種不同的設計方案見上表，請驗算并分析誰的方案比較靠譜．③請通過上述探究，直接寫出a的取值范圍，并計算鴨圈面積的最大值．(3)若籬笆最多有16米，問：鴨圈面積能否達到24平方米？40．（2024·廣西·一模）某科技公司用160萬元作為新產品研發(fā)費用，成功研制出成本價為4元/件的新產品，在銷售中發(fā)現(xiàn)銷售單價x（單位：元），年銷售量y（單位：萬件）之間的關系如下圖所示，其中AB為反比例函數(shù)圖像的一部分，BC為一次函數(shù)圖像的一部分．(1)直接寫出y與x之間的函數(shù)關系式．(2)設銷售產品年利潤為w（萬元），求出第一年年利潤w與x之間的函數(shù)關系式，并求出第一年年利潤最大值；(3)在（2）的條件下，假設第一年恰好按年利潤w取得最大值進行銷售，現(xiàn)根據第一年的盈虧情況（若上一年盈利，則盈利不計入下一年的年利潤；若上一年虧損，則虧損計作下一年的成本），決定第二年將這種新產品每件的銷售價格x定在8元以上（x>8），當?shù)诙昴昀麧櫜坏陀?03萬元時，請你根據題意，簡單畫出w與x之間函數(shù)關系的草圖，直接寫出x的取值范圍．模擬集訓（時間：60分鐘）一、單選題1．（2024·內蒙古呼和浩特·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，經過A(0,6)的一次函數(shù)y1的圖象與經過B(0,2)的一次函數(shù)y2的圖象相交于點C．若點C的縱坐標為3，則函數(shù)y=yA． B． C． D．

2．（2023·浙江杭州·模擬預測）已知關于x的二次函數(shù)y=ax+1x?a?1的圖象與x軸的一個交點坐標為n,0．若1<n<2，則a的取值范圍為（A．0<a<1或?1<a<?12 B．0<a<1C．1<a<2或?1<a<?12 D．1<a<23．（2024·陜西榆林·二模）已知二次函數(shù)y=ax2?2ax+3a<0，當A．拋物線與x軸的兩個交點在y軸同側 B．當x>0時，y隨x的增大而減小C．拋物線與y軸交點的坐標是0,4 D．該拋物線的頂點坐標是1,54．（2024·浙江·模擬預測）關于二次函數(shù)y=a(x?1)(x?3)+2(a<0)的下列說法中，正確的是（

）A．無論a取范圍內的何值，該二次函數(shù)的圖象都經過(1,0)和(3,0)這兩個定點B．當x=2時，該二次函數(shù)取到最小值C．將該二次函數(shù)的圖象向左平移1個單位，則當x<0或x>2時，y<2D．設該二次函數(shù)與x軸的兩個交點的橫坐標分別為m,n(m<n)，則1<m<n<35．（2024·內蒙古呼和浩特·模擬預測）已知代數(shù)式x2?x+1，下列說法正確的有（①無論x取何值，x2?x+1的值總是正數(shù)；②x2?x+1的值可正可負也可以是0；③當x=12時，x2?x+1取得最大值，最大值為A．② B．①③ C．②④ D．①④6．（2024·陜西·二模）拋物線L：y=ax2＋bx＋c經過A4,3，BA．2,1 B．?2,?1 C．?2,3 D．?1,17．（2024·陜西西安·二模）把拋物線y=ax2?2ax+3a>0沿直線y=12x+1A．2 B．15 C．14 二、填空題8．（2024·山東濟南·二模）如圖，拋物線C1的解析式為y=?x2+4，將拋物線繞點O順時針旋轉45°得到圖形G，圖形G分別與y軸、x軸正半軸交于點A、B，連接AB，則9．（2023·福建福州·三模）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c過點m+1,m，3?m,m，直線y=x+3與拋物線交于A，B兩點，取AB中點C，則C10．（2023·湖北武漢·二模）函數(shù)y=x2+2x+b（b為常數(shù)）有下列結論：①圖像具有對稱性，對稱軸是直線x=?1；②當x=?1時，函數(shù)有最小值b?1；③若b=?3，點P1x1,y1，P三、解答題11．（2024·貴州·一模）如圖，籃圈中心到地面的距離為3.05米，一位運動員在距籃下4米處跳起投籃，籃球運行的路線是拋物線，當運行的水平距離為2.5米時，籃球達到最大高度3.5米，沿此拋物線可準確落入籃圈．(1)在如圖所示的直角坐標系中，求拋物線的表達式；(2)該運動員身高1.8米，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25米處出手，問：球出手時，他跳離地面的高度是多少？(3)籃球準備投出時，小強發(fā)現(xiàn)前方距離他1米處對方的防守運動員準備跳起攔截，為了躲避攔截，小強臨時調整拋球路線，其表達式為y=?0.2x2+0.4bx?2bb<0，當對方的防守運動員在一個跨步（約0.5米）的范圍內起跳，即12．（2024·遼寧遼陽·一模）【問題提出】如圖1，在矩形ABCD中，點E在BC上，且BE=4，動點F以每秒1個單位的速度從點B出發(fā)，在折線段BA?AD上運動，連接EF，當EF⊥BC時停止運動，過點E作EG⊥EF，交矩形ABCD的邊于點G，連接FG．設動點F的運動路程為x，線段FG與矩形ABCD的邊圍成的三角形的面積為S．【初步感知】如圖2，動點F由點B向點A運動的過程中，經探究發(fā)現(xiàn)S是關于x的二次函數(shù)，如圖2所示，拋物線頂點P的坐標為(3,t)，與y軸的交點N的坐標為(0,16)，與x軸的交點為點M．（1）求矩形ABCD的邊AB和AD的長；【深入探究】（2）點F由點A向終點運動的過程中，求S關于x的函數(shù)表達式；【拓展延伸】（3）是否存在3個路程x1，x2，x3x113．（2024·浙江溫州·一模）已知二次函數(shù)y=?x(1)若它的圖像經過點1,3，求該函數(shù)的對稱軸．(2)若0≤x≤4時，y的最小值為1，求出t的值．(3)如果Am?2,n，Cm,n兩點都在這個二次函數(shù)的圖象上，直線y=2mx+a與該二次函數(shù)交于Mx1,14．（2024·江蘇淮安·模擬預測）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+6a≠0與x軸交A?23(1)求二次函數(shù)解析式；(2)如圖，拋物線對稱軸與x軸交于點K，與線段BC交于點M，點R在對稱軸上，其縱坐標為12，連接BR，已知點N為線段BR上一動點，連接MN，將△BMN沿MN翻折到△B①當MB②當△B'MN與△BMR重疊部分（如圖中的△MNQ

專題13二次函數(shù)性質壓軸（解析版）目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u真題演練題型01待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式題型02二次函數(shù)的圖象與性質題型03二次函數(shù)圖象與各項系數(shù)的關系題型04根據二次函數(shù)的對稱性求解題型05利用二次函數(shù)的性質求最值題型06二次函數(shù)與坐標軸交點問題題型07二次函數(shù)與不等式題型08二次函數(shù)中的平移、翻折、旋轉問題題型09函數(shù)圖象判斷綜合題型10二次函數(shù)與實際問題模擬集訓

真題演練題型01待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式1．（2024·廣東佛山·一模）二次函數(shù)y=x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象與x軸交于A(1)若A，B兩點坐標分別是(?1,0)，(6,0)，求該二次函數(shù)的表達式及其圖象的對稱軸；(2)若該二次函數(shù)的最小值為?4，求b?c的最大值．【答案】(1)y=x2?5x?6(2)b?c的最大值是5．【分析】本題考查了利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質，熟練的構建二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質解決問題即可．（1）根據A、B兩點的坐標特征，可設函數(shù)y1的表達式為y=(x?x1)(x?x2)（2）由二次函數(shù)的性質可得c=14b2?4【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)y=x2+bx+c過點(?1,0)∴y=(x+1)(x?6)=x2?5x?6∴拋物線的對稱軸為直線x=?b（2）∵y=x當x=?b2時，函數(shù)取最小值．最小值為∴c=1∴b?c=b?1當b=?12×?最大值為?1∴b?c的最大值是5．2．（2023·浙江寧波·模擬預測）如圖所示，已知拋物線，y=x2+bx+c經過原點O，且與x(1)求拋物線的解析式和頂點坐標；(2)若拋物線向上平移m（m>0）個單位長度后，平移后的頂點到x軸距離小于3，請根據圖象直接寫出m的取值范圍．【答案】(1)y=x2(2)1<m<7【分析】考查了二次函數(shù)綜合題，涉及到的知識點比較多：待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質等．（1）該拋物線的解析式中只有兩個待定系數(shù)，只需將A、O兩點坐標代入即可得解．（2）首先根據平移條件表示出移動后的函數(shù)解析式，進而用m表示出該函數(shù)的頂點坐標，再列出不等式求出m的取值范圍．【詳解】（1）∵拋物線y=x2+bx+c經過原點O，且與x∴將A4,0、O(0,0)代入拋物線y=c=016+4b+c=0解得：b=?4c=0故拋物線的解析式：y=x∴頂點坐標為2,?4；（2）拋物線向上平移m（m>0）個單位長度后，拋物線的解析式為y=x?2可得新拋物線的頂點坐標為2,?4+m，∴新拋物線的頂點到x軸距離為?4+m，∵平移后的頂點到x軸距離小于3，∴?4+m<3解得：1<m<73．（2024·河南周口·一模）如圖，拋物線y=?12x2+bx+c經過A(?1,0)、B(3,0)兩點，與y(1)求拋物線的解析式及點G的坐標；(2)連接AC，將線段AC向右水平移動m個單位長度，若它與拋物線只有一個交點，求出m的取值范圍．【答案】(1)拋物線的解析式為y=?12x2+x+(2)2≤m≤4．【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質，圖象的交點問題，關鍵是讓線段AC運動起來，找到臨界值．（1）由A、B點坐標?1，0和（2）找到與拋物線有交點時的臨界值，一個是平移后C的縱坐標為32，一個是A與B【詳解】（1）解：∵拋物線y=?12x∴?∴∴拋物線的解析式為y=?∴y=?∴拋物線頂點G的坐標為(1,2).（2）解：把y=32整理得x2?2x=0,解得x1∴點C關于拋物線對稱軸的對應點D的坐標為2如圖所示,過點D作DE∥AC交AB于點E,過點B作BF∥AC交當線段AC向右平移到DE與FB之間時，AC與拋物線只有一個交點，此時CD=2,CF=AB=3??1∴當線段AC向右水平移動m個單位長度，與拋物線只有一個交點時，m的取值范圍是2≤m≤4題型02二次函數(shù)的圖象與性質4．（2024·江蘇淮安·一模）在平面直角坐標系xOy中，點Ax1,y1(1)求該拋物線的對稱軸（用含t的式子表示）；(2)①當x=?1，x2=2時，y1②若對于?1<x1<0，1<x2<2，都有【答案】(1)t(2)①t≥12【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質以及二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關系.（1）直接利用對稱軸x=?b（2）①先分別求出y1，y2，然后根據y1②先分別求出y1，y2，然后作差得出關于x1和x2的關系式，再根據已知條件得出，x1【詳解】（1）解：對稱軸為：直線x=?b（2）①當x1=?1時，當x2=2時，∵y1∴2+2t≥5?4t，解得：t≥1②∵點Ax1,y1∴y1=xy=x==∵?1<x1<0∴x1?x∴0<x∵y1∴y1即x1∴x1即x1∵0<x∴2t≤0，∴t≤0，故答案為：t≤0．5．（2023·云南保山·模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，直線y=2x+2與x軸，y軸分別交于點A，B，拋物線y=ax2+bx?5a經過點A，將點B(1)求拋物線的對稱軸；(2)若拋物線與線段BC恰有一個公共點，結合函數(shù)圖象，求出a的取值范圍．【答案】(1)x=2(2)a≥27或a<?【分析】（1）求得點A的坐標，將A代入拋物線解析式，求解即可；（2）根據點A以及對稱軸，可以求得拋物線與x軸的另一交點，分兩種情況，a>0或a<0畫出函數(shù)圖象，結合位置關系，列式求解即可．【詳解】（1）解：將y=0代入y=2x+2可得2x+2=0，解得x=?將A?1,0代入y=ax2+bx?5a即拋物線解析式為：y=ax此時對稱軸為：x=2；（2）解：由（2）可得拋物線經過點A?1,0，且對稱軸為則拋物線與x軸的另一交點為：5,0，將x=0代入y=2x+2可得，y=2，即B0,2將點B向右平移6個單位長度，得到點C，則C點坐標為6,2，∵拋物線與線段BC恰有一個公共點，當a>0時，如下，圖象開口向上，x=0時，y=?5a，x=6時，y=36a?24a?5a=7a，∴?5a<2解得：a≥2∴a≥27時，拋物線與線段當a<0時，如下圖，圖象開口向下，x=0時，y=?5a，x=6時，y=36a?24a?5a=7a，∴?5a>2∴a<?2∴a<?25時，拋物線與線段當拋物線的頂點在線段BC上時，如圖，則拋物線頂點為2,2，將點2,2代入y=ax2?4ax?5a解得：a=?2綜上，當a≥27或a<?25或【點睛】此題考查了二次函數(shù)的綜合應用，涉及了一次函數(shù)與坐標軸交點，點的平移，二次函數(shù)的性質，解題的關鍵是熟練掌握相關基礎性質，學會利用分類討論的思想求解問題．6．（2024·浙江·一模）在二次函數(shù)y=?x2+ax+1(1)當a=2時，①求該二次函數(shù)圖象的頂點坐標；②當0≤x≤3時，求y的取值范圍；(2)若Aa?2,b，Ba,c兩點都在這個二次函數(shù)的圖象上，且b<c，求【答案】(1)①1,2；②?2≤y≤2(2)0<a<2【分析】本題考查了二次函數(shù)圖像的知識點．（1）將a代入即可求出頂點，再根據二次函數(shù)的特點即可求解；（2）求出二次函數(shù)的對稱軸，再分情況討論即可．【詳解】（1）解：①把a=2代入得y=?x∴拋物線的頂點坐標為1,2；②∵當0≤x≤1時，y隨x的增大而增大，當1≤x≤3時，y隨x的增大而減小，∴當x=1時，y有最大值2，∵當x=0時，y=1；當x=3時，y=?2∴當0≤x≤3時，?2≤y≤2；（2）拋物線的對稱軸為直線x=1①當a?2≤12a≤a，即0≤a≤4時，點B∴a?12a<∴0≤a<2，②當12a>a，即a<0時，點B到對稱軸的距離小于點∴1∴a<0③對稱軸在點A左側不合題意，舍去綜上所述，0<a<2．7．（2024·浙江杭州·模擬預測）頂點為D的二次函數(shù)y=ax①其與y軸的交點為0，②其與x軸的交點為?1，0和③該函數(shù)其最大值為12(1)從以上條件任選兩個，求出函數(shù)的表達式；(2)若存在直線y=?1，二次函數(shù)上的存在一個點A，使得AD等于A到直線的距離，求出A點的坐標．【答案】(1)y=?(2)1+72323【分析】本題考查的重點是利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，熟練掌握點和直線，兩點間距離公式．（1）選擇任意兩個條件用待定系數(shù)法，就可以求出函數(shù)的表達式；（2）根據函數(shù)的表達式，計算出點D的坐標，利用點和直線，兩點間距離公式就可以計算出點A的坐標．【詳解】（1）解：選擇條件①和②，∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c與∴c=1，∵二次函數(shù)與x軸的交點為?1，0和∴將點?1，0和a?b+1=0∴a=?1∴函數(shù)的表達式y(tǒng)=?答：函數(shù)的表達式為：y=?1（2）解：設點A的坐標為t，∵點D為函數(shù)y=?1則對稱軸x=?2把x=1代入y=?13x∴點D的坐標為1，∵直線y=?1，∴點A到直線的距離=?∴AD設t?1∵A到直線的距離等于AD，∴m+∴m=49∴t=1+72323把t=1±72323代入∴點A1+7答：點A的坐標為：1+72323題型03二次函數(shù)圖象與各項系數(shù)的關系8．（2023·山東青島·二模）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A?1，0，頂點坐標1，n，與y軸的交點在0，2，0，3之間（包含端點），則下列結論：①3a+b>0；②其中正確結論為（只填序號）【答案】②③④【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系等知識點，利用拋物線開口方向得到a<0，再由拋物線的對稱軸方程得到b=?2a，則3a+b=a，于是可對①進行判斷；利用2≤c≤3和c=?3a可對②進行判斷；利用二次函數(shù)的性質可對③進行判斷；根據拋物線y=ax2+bx+c與直線【詳解】∵拋物線開口向下，∴a<而拋物線的對稱軸為直線x=?b2a=1∴3a+b=3a?2a=a<0，所以①錯誤；把點A?1，∴c=?3a，∵2≤c≤3，∴2≤?3a≤3，∴?1≤a≤?23，所以∵拋物線的頂點坐標1，∴x=1時，二次函數(shù)值有最大值n=a+b+c，∴a+b+c≥am即a+b≥am2+bm∵拋物線的頂點坐標1，∴拋物線y=ax2+bx+c∴關于x的方程ax2+bx+c=n?1故答案為②③④．9．（2023·山東青島·三模）二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的圖象如圖，給出下列四個結論：①3a+2b+c<0；②3a+c<b2?4ac【答案】①②④【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，根據二次函數(shù)的圖象獲得有關信息，對要求的式子進行判斷，以及二次函數(shù)與方程之間的轉換．解題的關鍵是要明確：①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。寒攁>0時，拋物線向上開口；當a<0時，拋物線向下開口；②一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab>0)，對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab<0)，對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）③常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點．拋物線與y軸交于0,c．由二次函數(shù)的開口方向，對稱軸x=2，以及二次函數(shù)與y的交點在x軸的上方，與x軸有兩個交點等條件來判斷各結論的正誤即可．【詳解】解：①由圖象可知，當x=1時，y<0，即a+b+c<0，∵對稱軸x=?1，a<0，∴b=2a<0，∴a+2a+c<0，即3a+c<0，∴3a+2b+c<0，故①正確，符合題意；②∵拋物線與x軸有兩個交點，∴b2∴3a+c<0<b③∵2ax∴ax結合圖象可知，拋物線y=ax2+bx+c④∵當x=m（m≠?1）時，y=am2∴a?b+c>am∴mam+b故答案為：①②④．10．（23-24九年級上·四川瀘州·階段練習）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，有下列5個結論：①abc>0；②a+c<b；③b2?4ac<0；④2c<3b；⑤Mx【答案】②④⑤【詳解】題目主要考查二次函數(shù)的圖象和性質及與一元二次方程的關系，結合圖象及性質依次進行判斷即可，熟練掌握二次函數(shù)的基本性質是解題關鍵．解：①由圖象可知a<0，c>0，對稱軸x=?∴b=?2a且b>0，∴abc<0，故②由圖可知當x=?1∴a?b+c<0，∴a+c<b，故②正確；③∵拋物線與x∴b2?4ac>0④∵b=?2a，a+c<b∴b>?1∴2c<3b，故④正確．⑤∵Mx1,y∴x∵函數(shù)對稱軸是直線x=1，∴Mx1,∴y1>故答案為：②④⑤．11．（2023·山東青島·二模）如圖是拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0)圖象的一部分，拋物線的頂點坐標A(1,3)，與x軸的一個交點B(4,0)，直線y2=mx+n(m≠0)與拋物線交于A、B兩點，下列結論：①2a+b=0；②abc>0；③拋物線與x軸的另一個交點是(?1,0)；④方程（填序號）【答案】①④⑤【分析】本題考查二次函數(shù)的性質、方程與二次函數(shù)的關系、函數(shù)與不等式的關系等知識，解答關鍵是數(shù)形結合．根據二次函數(shù)的性質、方程與二次函數(shù)的關系、函數(shù)與不等式的關系一一判斷即可．【詳解】解：①∵拋物線對稱軸為直線x=?b∴b=?2a，∴2a+b=0，故①正確；②∵拋物線開口向下，與y軸相交于正半軸，∴a<0，c>0，∴b=?2a>0，∴abc<0，故②錯誤；③∵拋物線的對稱軸為直線x=1，與x軸的一個交點B(4,0)，∴另一個交點坐標為(?2,0)，故③錯誤；④從圖象可以知道，拋物線頂點為(1,3)，∴拋物線y1=ax∴方程ax⑤由圖象可知，當1<x<4時，y1故答案為：①④⑤題型04根據二次函數(shù)的對稱性求解12．（2024·河南周口·一模）在平面直角坐標系xOy中，Ax1,y1，B(1)若對于x1=?1，x2=?2，有(2)若對于?1≤x1<0，x2=0【答案】(1)m=?(2)m≤?【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質，熟練掌握二次函數(shù)的增減性和對稱性是解題的關鍵．（1）根據二次函數(shù)的性質求得對稱軸即可求解；（2）根據對稱性得到點0,y2關于對稱軸對稱的點為2m,y2，y1≥y【詳解】（1）解：∵x1=?1，x∴m=x（2）解：∵拋物線的對稱軸為直線x=m，∴點0,y2關于對稱軸對稱的點為∵y1≥∴2m≤x∴2m≤?1，∴m≤?113．（2024·浙江寧波·模擬預測）已知二次函數(shù)y=?14x2+bx+c的圖象經過原點O(1)當t=0時．①求y關于x的函數(shù)解析式；求出當x為何值時，y有最大值？最大值為多少？②當x=a和x=b時a≠b，函數(shù)值相等，求a的值．(2)當t>0時，在0≤x≤8范圍內，y有最大值18，求相應的t和x的值．【答案】(1)①y=?14x2+2x；當x=4時，y有最大值為4(2)t=9，x=8．【分析】（1）①當t=0時，求出點A坐標，利用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)解析式，根據函數(shù)解析式即可求出二次函數(shù)的頂點坐標，進而解答問題；②根據x=a和x=b時a≠b，函數(shù)值相等，列得方程?1（2）求出二次函數(shù)y=?14x2+bx的對稱軸x=2b，由二次函數(shù)圖象經過原點O和點A8+t,0，可得本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的對稱性，二次函數(shù)的最值，掌握二次函數(shù)的圖象和性質是解題的關鍵．【詳解】（1）解：①當t=0時，A8,0把A8,0、O0,0代入?16+8b+c=0c=0∴b=2c=0∴二次函數(shù)為y=?1∵y=?1∴當x=4時，y有最大值，最大值為4；②∵x=a和x=b時a≠b，函數(shù)值相等，∴?1整理得，a2解得a=2（不合，舍去）或a=6，∴a的值為6；（2）解：∵二次函數(shù)y=?14x∴c=0，∴二次函數(shù)y=?1∴對稱軸為直線x=2b，∵二次函數(shù)y=?14x2+bx+c∴2b=8+t當t≤8時，對稱軸x=2b≤8，∵0≤x≤8，∴x=2b時，y有最大值18，即?1整理得，b2∴b=?32或b=3∵4<2b≤8∴2<b≤4，∴b=?32或b=3當t>8時，對稱軸x=2b>8，∵?1∴在對稱軸的左側，y的值隨x的增大而增大，∵0≤x≤8，∴當x=8時，y有最大值18，即?1解得b=17∴4+1∴t=9；綜上，t=9，x=8．14．（2023·浙江杭州·三模）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)圖象的表達式為y=ax2+(1)若此函數(shù)圖象過點1,3，求這個二次函數(shù)的表達式．(2)若x1,y1、x2,y(3)若點?1,t在此二次函數(shù)圖象上，且當x≥?1時y隨x的增大而增大，求t的范圍．【答案】(1)y=2(2)a=?(3)?5<t≤?4【分析】（1）將1,3，a?b=4代入y=ax（2）由y1（3）由題意可得t=a?5，分a>0和a<0分別求解即可．【詳解】（1）解：將1,3，a?b=4代入y=ax2+解得：a=2，∴b=a?4=?2,∴這個二次函數(shù)的表達式為：y=2x（2）∵y1∴這兩個點關于拋物線的對稱軸對稱，∴?b∴?a+1∴a=?1（3）解：點?1,t在二次函數(shù)圖象上，∴t=a?a?1+a?4=a?5，∵當x≥?1時y隨x的增大而增大，當a>0時，有?a+1∴0<a≤1，∴?5<t≤?4，當a<0時，不符合題意舍去，∴?5<t≤?4．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達式，函數(shù)圖象上點的坐標的特征，二次函數(shù)的圖象與性質，熟練掌握二次函數(shù)的各知識點是解決本題的關鍵．15．（2023·陜西西安·模擬預測）已知拋物線，L:y=ax2+bx?3與x軸交于A?1,0、B兩點，與y軸交于點C，且拋物線(1)拋物線的表達式；(2)若拋物線L'與拋物線L關于直線x=m對稱，拋物線L'與x軸交于點E，F(xiàn)兩點（點E在點F左側），要使S△ABC【答案】(1)y=(2)y=x?32【分析】（1）拋物線L：y=ax2+bx?3與x軸交于A?1,0、B兩點，對稱軸為直線（2）S△ABC=2S△EBC，則點E為1,0或5,0，對應拋物線的對稱軸為：x=2或x=7，即可求解．【詳解】（1）拋物線L：y=ax2+bx?3與x軸交于A?1,0、∴點B∴拋物線的表達式為：y=ax+1即?3a=?3，解得：a=1故拋物線的表達式為：y=（2）S△ABC=2S△EBC，則點E為1,0或5,0，對應拋物線的對稱軸為：x=2或x=7故拋物線L'的表達式為：y=x?32【點睛】本題考查的是拋物線與x軸的交點，掌握函數(shù)與坐標軸的交點、頂點等點所代表的意義、圖像上點的坐標特征是解題的關鍵．題型05利用二次函數(shù)的性質求最值16．（2024·安徽蕪湖·一模）已知拋物線y=x2+bx+c經過點A(1)求該拋物線的解析式；(2)若該拋物線與y軸交于點C，求△ABC的面積；(3)當自變量x滿足m≤x≤m+1m≥12時，此函數(shù)的最大值為p，最小值為q，求w=p+q【答案】(1)y=(2)6(3)m=12時，w=p+q【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質，（1）根據待定系數(shù)法求拋物線的解析式；（2）求出點C的坐標，再求△ABC的面積即可；（3）分兩種情況當12≤m<1時，當【詳解】（1）解：已知拋物線y=x2+bx+c經過點A1?b+c=09+3b+c=0解得：b=?2c=?3該拋物線的解析式為y=x（2）解：x=0時y=?3，∴C(0,?3)，∵AB=4，∴S（3）解：當12x=m+1時，此函數(shù)的最大值為p=(m+1)x=1時，此函數(shù)的最小值為q=1?2?3=?4，∴w=p+q=mm=12時，w=p+q的最小值為當m≥1時，x=m+1時，此函數(shù)的最大值為p=(m+1)x=m時，此函數(shù)的最小值為q=m∴w=p+q=mm=1時，w=p+q的最小值為?7，綜上所述：∵?31m=12時，w=p+q有最小值為17．（2024·江蘇南京·一模）已知函數(shù)y=mx2?(1)求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有公共點．(2)不論m為何值，該函數(shù)的圖象經過的定點坐標是．(3)在?2≤x≤2的范圍中，y的最大值是2，直接寫出m的值．【答案】(1)見解析(2)0,?2和1,0(3)0或?4【分析】本題考查的是函數(shù)與x軸的交點，函數(shù)的性質，解題的關鍵是分類討論．（1）當m=0時，函數(shù)變形為y=2x?2，函數(shù)為一次函數(shù)，圖象與x軸總有公共點；當m≠0時，函數(shù)為二次函數(shù)，Δ=（2）由y=mx2?（3）當m=0時，函數(shù)化簡為y=2x?2，根據題意即可求解；當m≠0時，函數(shù)為二次函數(shù)，分m＞0或【詳解】（1）證明：當m=0時，函數(shù)變形為y=2x?2，函數(shù)為一次函數(shù)，圖象與x軸總有公共點；當m≠0時，函數(shù)為二次函數(shù)，令y=0，即mx2?∴方程總有實數(shù)根，∴該函數(shù)的圖象與x軸總有公共點；（2）由y=mx2?m?2x?2=x2?xm+2x?2，當x2?x=0故答案為：0,?2和1,0；（3）當m=0時，函數(shù)化簡為y=2x?2，k=2＞0，y隨由∵?2≤x≤2，∴當x=2時，y=2×2?2=2，符合題意；當m≠0時，函數(shù)為二次函數(shù)，當m＞0時，對稱軸為∴當x=2時，y的最大值是2，即4m?2m?2解得：m=0，不符合題意；當m＜此時最高點為頂點，即4ac?b解得：m=±42當m=42?6時，此時對稱軸為∴m的值為0或?4218．（2023·貴州遵義·一模）已知二次函數(shù)y=x2+2ax?4(1)若二次函數(shù)的圖象經過點1,?5，求a的值；(2)在（1）的條件下，當?1≤x≤4時，請求出二次函數(shù)的最大值和最小值；(3)當0≤x≤1時，二次函數(shù)y=x2+2ax?4圖象上的點到x軸距離的最大值為5【答案】(1)?1(2)最大值為4，最小值為?5(3)4或?1【分析】本題是二次函數(shù)綜合題，考查二次函數(shù)的圖象與性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象、數(shù)形結合，分類討論思想是解題的關鍵．（1）將點（1,?5）代入y=x（2）根據拋物線y=x2?2x?4=（x?1）2?5可得拋物線的對稱軸為直線x=1，拋物線的開口向上，頂點坐標為（1,?5（3）根據題意可得拋物線的對稱軸為直線x=?a，拋物線經過點（0,?4），分三種情況：①當?a<0時，②當0≤?a≤1時，③當【詳解】（1）解：將點（1,?5）代入得?5=1+2a?4，解得a=?1；（2）解：∵a=?1，∴二次函數(shù)的解析式為y=x∴拋物線的對稱軸為直線x=1，拋物線的開口向上，頂點坐標為（1,?5∴當?1≤x≤4時，二次函數(shù)的最小值為?5；當x=4時，二次函數(shù)的最大值為y=（∴當?1≤x≤4時，二次函數(shù)的最大值為4，最小值為?5；（3）解：∵y=x∴拋物線的對稱軸為直線x=?a，拋物線經過點（0,?4①當?a<0時，a>0，∵拋物線的開口向上，當0≤x≤1時，二次函數(shù)y=x2+2ax?4圖象上的點到x∴當x=1時，1+2a?4=5，∴a=4；②當0≤?a≤1時，?1≤a≤0，當x=?a時，a2∴a=?1或1（舍去）③當?a>1時，a<?1，當x=1時，1+2a?4=?5，∴a=?1（舍去）綜上所述，a=4或?1．19．（2024·河南漯河·一模）在平面直角坐標系中，點2,y1在拋物線(1)當b<?1時，試說明y1(2)若點1,m和?2,n在該拋物線上，且mn>0，求b的取值范圍．(3)當?1≤x≤4時該拋物線的最小值是?2，求b值．【答案】(1)見解析(2)?1<x<2(3)?22或3【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質，數(shù)形結合和分類討論是解題的關鍵．（1）由題意可得，y1=22+2b=4+2b（2）由題意得mn=?2b+1b?2，由mn>0得到?2b+1b?2>0，令w=?2（3）由y=x2+bx=x+b【詳解】（1）解：∵點2,y1在拋物線∴y1∵b<?1，∴4+2b<2，∴y1（2）∵點1,m和?2,n在拋物線y=x∴m=1+b,n=4?2b，∴mn=1+b∵mn>0，∴?2b+1令w=?2b+1b?2，即w是當w=?2b+1b?2=0由圖象可知，當?1<b<2時，w>0，∴b的取值范圍是?1<x<2．（3）∵y=x∴拋物線開口向上，拋物線的頂點為?b2,?當?1≤?b2≤4，x=?b2則?b解得b1當b1=22時，?當b2=?22時，?當?b2>4時，x=4時，y則42解得b=?9∵?b∴b=?92不滿足當?b2<?1時，x=?1時，y則?12解得b=3，∵?b∴b=3滿足題意，綜上可知，b的值為?22或320．（2023·河南駐馬店·二模）已知函數(shù)y=?x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經過點0,?3(1)求b，c的值；(2)當0≤x≤4時，求y1(3)當0≤x≤m時，若y的最大值與最小值之和為1，請直接寫出m的值．【答案】(1)b=6，c=?3；(2)6；(3)3?2或3+【分析】（1）本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)系數(shù)，把點0,?3，6,?3代入y=?x（2）本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質，以及二次函數(shù)的最值問題，根據y=?x（3）本題考查了二次函數(shù)的最值問題，以及二次函數(shù)的圖象和性質，根據題意對m分情況進行討論，①當0≤m<3時，②當3≤m≤6時，③當m>6時，用m表示出對應的最大最小值，根據y的最大值與最小值之和為1，建立等式，即可求解．【詳解】（1）解：把點0,?3，6,?3代入y=?xc=?3?36+6b?3=?3，解得c=?3∴b=6，c=?3．（2）解：由（1）可知y=?x∴對稱軸為直線x=3，∵a=?1＜∴開口向下，∴當x=3時，函數(shù)值有最大值，∴當0≤x≤4時，y1的最大值y=?9+18?3=6．（3）解：m的取值為3?2①當0≤m<3時，x=0時，y=?3，x=m時，y=?m根據題意得?m解得m=3?2或3+②當3≤m≤6時，y的最大值為6，最小值為?3，?3+6=3不合題意，③當m>6時，x=3，y=6，x=m，y=?m根據題意得?m解得m1=3?11綜上，m的取值為3?2或3+題型06二次函數(shù)與坐標軸交點問題21．（2023·江蘇南京·模擬預測）已知二次函數(shù)y=ax2?2ax+3（a(1)若a<0，求證：該函數(shù)的圖像與x軸有兩個公共點．(2)若a=?1，求證：當?1<x<0時，y>0．(3)若該函數(shù)的圖像與x軸有兩個公共點x1,0，x2,0，且?1<x1【答案】(1)見解析(2)見解析(3)a>3或a<?1【分析】本題考查了二次函數(shù)與坐標軸的交點問題、二次函數(shù)的性質、解不等式組，熟練掌握以上知識點并靈活運用，采用分類討論的思想是解此題的關鍵．（1）計算出Δ=?2a2?4×a×3=4a2+?12a，由（2）當a=?1時，y=?x2+2x+3，由拋物線開口方向和對稱軸可得當x<1時，y隨x增大而增大，當x>1時，y隨x增大而減小，計算出當x=?1時，（3）求出拋物線的頂點為1,3?a，再分兩種情況：當a>0時，則有3?a<0a+2a+3>016a?8a+3>0；當a<0時，則有【詳解】（1）證明：令y=0，則a∵a<0，∴b∴該方程有2個不等實根，即二次函數(shù)與x軸有兩個交點；（2）證明：方法一：當a=?1時，二次函數(shù)為：y=?拋物線開口向下，與x軸交于?1,0，3,0；∴當?1<x<0時，y>0方法二：當a=?1時，二次函數(shù)為：y=?∵?1<x<0，∴?2<x?1<?1；∴0<?x?12+4<3∴y>0；（3）解：y=ax2?2ax+3=ax?12①當a>0時，拋物線開口向上，要保證二次函數(shù)與x軸兩個交點在?1,0與4,0之間（不包含這兩點），則只需保證頂點在x軸下方，x=?1時y>0，則有3?a<0a+2a+3>0解得：a>3；②當a<0時，拋物線開口向下，要保證二次函數(shù)與x軸兩個交點在?1,0與4,0之間（不包含這兩點），則只需保證頂點在x軸上方，x=?1時y<0，則有3?a>0a+2a+3<0解得：a<?1；綜上，當a>3或a<?1時，二次函數(shù)與x軸兩個交點在?1,0與4,0之間（不包含這兩點），故答案為：a>3或a<?1．22．（2023·河南鄭州·三模）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+3a≠0經過(1)求拋物線的解析式；(2)求證：直線y=?3x+5與該拋物線沒有交點，(3)若Cm,y1，Dn,y2為拋物線y=ax2+bx+3a≠0上兩點m<n，M為拋物線上點C和點D之間的動點（含點【答案】(1)y=?(2)見解析(3)32或【分析】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)解析式和性質，根的判別式．在解題時要注意二次函數(shù)的增減性，“開口向下，對稱軸左側，y隨x的增大而增大，對稱軸右側，y隨x的增大而減?。?）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）聯(lián)立直線與拋物線解析式可得x2（3）利用M點縱坐標的取值范圍，反推出x的值，進而得到m+n的值．【詳解】（1）解：由題意可知：9a?3b+3=0a+b+3=0解得：a=?1b=?2∴拋物線的解析式為：y=?x（2）證明：聯(lián)立直線與拋物線解析式可得：y=?3x+5y=?∴x∵Δ∴方程無實根，即直線y=?3x+5與該拋物線沒有交點；（3）解：∵點M縱坐標的取值范圍為?9∴當y=?94時，解得：x1=?7得點?72,?當y=3時，?x解得：x3=?2，得點?2,3，0,3，如圖1，∵m<n，∴m=0，n=3∴m+n=0+3如圖2，∵m<n，∴m=?72，∴m+n=?7綜上所述：m+n=32或23．（2024·湖北武漢·一模）已知，拋物線C1:y=14x2?32x?4與x軸交于A，(1)直接寫出點A，B，C的坐標；(2)如圖1，M為拋物線C1上一點，過點M作MN∥AC，交直線BC于點N，若MN=12(3)如圖2，平移拋物線C1得到拋物線C2，使其頂點Q落在y軸的負半軸上，P為OQ的中點，直線y=k1x+t經過點P，交拋物線C2于E，F(xiàn)兩點，延長FO，EO分別交拋物線C2于C，D兩點，設直線CD【答案】(1)A(2)點M的橫坐標為4±6，(3)k【分析】（1）分別令x,y=0，即可求解；（2）先證明∠ACB=90°得出cosACO=COAC=425=255，設點M的橫坐標為m，則Mm,14m2?32m?4，則Tm,（3）設拋物線頂點坐標為0,2t，則拋物線C2的解析式為y=14x2?2n，設E，F(xiàn)兩點的坐標分別為e,14e2?2n,f,14f2?2n，得出直線EF的解析式為【詳解】（1）解：當y=0時，14解得：x1∴A?2,0當x=0時，y=?4，∴C（2）解：∵A?2,0設直線AC的解析式為y=kx?4，代入A∴?2k?4=0解得：k=?2，∴直線AC的解析式為y=?2x?4∵B8,0設直線BC的解析式為y=k1∴8k?4=0解得：k=直線BC的解析式為y=1∵A∴AC=2∴A∴∠ACB=90°，cos∠ACO=∵MN∥∴MN⊥BC，當M在直線BC下方時，如圖所示，過點M作MT∥y軸，交BC于點∴∠MNT=∠ACO∴cos∵MN=12∴TM=5設點M的橫坐標為m，則Mm,1∴1解得：m=4±6當M在BC上方時，如圖所示，同理可得14解得：m=4±26綜上所述，點M的橫坐標為4±6，4±（3）解：∵平移拋物線C1得到拋物線C2，使其頂點Q落在y軸的負半軸上，P為OQ的中點，直線y=k設拋物線頂點坐標為0,2t，∴拋物線C2的解析式為y=設E，F(xiàn)兩點的坐標分別為e,1∵直線EF的解析式為y=∴ek∴k=1∴直線EF的解析式為y=1又∵P在EF上∴?n=?2n?1∴ef=?4n，設直線EO的解析式為y=k∴1∴k3∴y=?聯(lián)立y=∴?1∴x2∴xD∴xD∴y∴D?同理可得C?設直線CD的解析式為y2∴?8n解得：k2∵EF解析式為y=1∴k1又∵ef=?4n，∴k2∴k2【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合應用，一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合，二次函數(shù)線段周長問題，二次函數(shù)與坐標軸交點問題，一元二次方程根與系數(shù)的關系，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．題型07二次函數(shù)與不等式24．（2023·浙江杭州·模擬預測）已知二次函數(shù)y=x2?2(m?1)x?2m+(1)若二次函數(shù)經過點(2,?1)，求m的值；(2)若二次函數(shù)經過點(1,y1)和點(2m,y2(3)將拋物線y=x2?2(m?1)x?2m+m2向下平移k【答案】(1)m=3；(2)m>1(3)k=3；【分析】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)的平移：（1）將點代入求解即可得到答案；（2）將點代入解析式，結合y1（3）根據平移得到新函數(shù)，先根據一元二次方程根與系數(shù)的關系得到兩根和與積的式子，再結合與x軸的兩個交點的距離為4列式求解即可得到答案；【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)經過點(2,?1)，∴?1=2解得：m=3；（2）解：∵二次函數(shù)經過點(1,y1)∴y1=1∵y1∴m2解得：m>1（3）解：∵拋物線y=x2?2(m?1)x?2m+∴y=x當y=0時，x2∴x1+x∵新拋物線與x軸的兩個交點的距離為4，∴(x解得：k=3．25．（2024·河南商丘·一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=?x2+2x+c與x軸交于A，B兩點（點A在點B(1)求拋物線的表達式及點A的坐標．(2)設直線AC的函數(shù)表達式為y=kx+b，請結合圖象直接寫出不等式kx+b>?x(3)平行于x軸的直線l交拋物線于點Px1,y1，Qx2,y【答案】(1)y=?x2+2x+8，點(2)x<?(3)5<【分析】本題考查了求出拋物線的解析式和x軸的交點，二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．（1）把C3,5代入拋物線，求出拋物線的解析式，再求出點A（2）根據圖象求出不等式kx+b>?x（3）求出拋物線的頂點坐標為1,9，對稱軸是直線x=1，根據二次函數(shù)性質求出x1+x2=2，由x1<x2<x3，結合圖象，可知直線【詳解】（1）解：∵點C3,5∴?3解得c=8，∴拋物線的表達式為y=?x令?x解得x1=?2，∴點A的坐標為?2,0．（2）解：根據函數(shù)圖象可知，當x<?2∴不等式kx+b>?x2+2x+c的解集為x（3）解：∵直線l平行于x軸，∴y1=y∵y=?x∴拋物線的頂點坐標為1,9，對稱軸是直線x=1，∴x1+x2=2，由x設直線AC的解析式為：y=kx+b，把A?2,0，C?2k+b=03k+b=5解得：k=1b=2∴直線AC的函數(shù)表達式為y=x+2，令x+2=9，解得x=7，∴3<x∴5<x26．（2022·湖北荊州·三模）探究函數(shù)性質時，我們經歷了列表、描點、連線畫出函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質的過程．結合已有的學習經驗，探究函數(shù)y=?12x…?4?3?2?101234…y…???2?4a?4?2??…(1)列表，寫出表中a的值：a=______．描點、連線，在所給的平面直角坐標系中補全該函數(shù)的圖象．(2)觀察函數(shù)圖象，回答下列問題：①函數(shù)有最______值，是______；②當自變量x的取值范圍是______時，函數(shù)y的值隨自變量x的增大而增大．(3)已知函數(shù)y=?23x?【答案】(1)?6，補全函數(shù)圖象見解析(2)①小，?6；②x>0(3)x<?4或?2<x<1【分析】本題主要考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質，函數(shù)與不等式，會用描點法畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結合的思想得到函數(shù)的性質是解題的關鍵．（1）把對應的x的值代入即可求出a值，通過描點，用平滑的曲線連接，即可作出圖象；（2）觀察圖象即可判斷；（3）找出函數(shù)y=?12x2+2的圖象比函數(shù)【詳解】（1）解：當x=0時，a=?12∴a=?6，補全函數(shù)圖象，如圖所示．

故答案為：?6．（2）①觀察圖象可知，當x=0時，函數(shù)y=?12x2故答案為：小，?6；②觀察圖象可知，當x<0時，y隨x的增大而減小，當x>0時，y隨x的增大而增大；故答案為：x>0；（3）不等式?12x2+2<?23x?103表現(xiàn)在圖象上面即函數(shù)故答案為：x<?4或?2<x<1．題型08二次函數(shù)中的平移、翻折、旋轉問題27．（2024·重慶南岸·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=14x2+bx+c交x軸于點A?2,0，(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)如圖，若點M是第四象限內拋物線上一點，MN∥y軸交BC于點N,MQ∥BC交x軸于點Q，求MN+3(3)如圖，在y軸上取一點G0,7，拋物線沿BG方向平移22個單位得新拋物線，新拋物線與x軸交于點E,F，交y軸于點D，點P在線段FD上運動，線段OF關于線段OP的對稱線段OF'所在直線交新拋物線于點H，直線F'P與直線【答案】(1)y=(2)49(3)?2或?13+【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；（2）過點B作BE∥MN交MQ于點E，證明四邊形MNBE為平行四邊形，得出BE=MN，根據MQ∥BC，得出tan∠BQE=tan∠OBC=12，證明BQ=2BE=2MN，求出直線BC的解析式為：y=12x?7（3）連接F'P并延長交x軸于點K，交BG于點L，求出新的拋物線解析式為y=14x2?14x?3，求出【詳解】（1）解：把A?2,0，B7,0代入1?2b+c=049解得：b=?5∴拋物線的函數(shù)表達式為y=1（2）解：過點B作BE∥MN交MQ于點E，如圖所示：∵MQ∥BC，∴四邊形MNBE為平行四邊形，∴BE=MN，∵MN∥y軸，∴BE∥y軸，∴∠EBQ=∠COB=90°，∴△EBQ為直角三角形，把x=0代入y=14x∴C0,?∴OC=7∵OB=7，∴tan∠OBC=∵MQ∥BC，∴tan∠BQE=∴BQ=2BE=2MN，設直線BC的解析式為：y=kx?7把B7,0代入得：0=7k?解得：k=1∴直線BC的解析式為：y=1設Mm,14∴MN=1∴MN+=4MN=4×=?=?m?∵?1<0，∴當m=72時，MN+3（3）解：∵B7,0，G∴OB=OG，∵∠BOG=90°，∴∠OBG=∠OGB=1∴拋物線沿BG方向平移22個單位時，沿x軸、y軸移動的距離為：2∵拋物線y=1∴拋物線沿BG方向平移22y===1把x=0代入y=14x把y=0代入y=14x解得：x1=?3，∴D0,?3，F(xiàn)∴OD=3，OF=4，∴tan∠OFD=當P'F⊥x軸時，連接F'P并延長交x軸于點K，交∴∠LKB=180°?45°?45°=90°，∴F'∴∠LKB=90°，∵∠OBG=45°，∴∠KLB=45°，∴此時直線F'P與直線BG所成夾角為根據折疊可知，∠OF∴tan∠O∴設OK=3aa>0，則F∴F'設直線OF'的解析式為：把F'3a,?4a代入y=k解得：k'∴直線OF'的解析式為：令?4解得：x1=?13+∴點H的橫坐標為?13+601當F'P⊥y軸時，連接F'P并延長交y軸于點K，交∵∠GKL=90°，∠BGO=45°，∴∠F∴此時直線F'P與直線BG所成夾角為根據折疊可知，∠OF∴tan∠O∴設OK=3aa<0，則F∴F'設直線OF'的解析式為：把F'4a,3a代入y=k解得：k″∴此時直線OF'的解析式為：令34解得：x1=?2，∴此時點H的橫坐標為?2；綜上分析可知，點H的橫坐標為?2或?13+601【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用，求二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)解析式，求一次函數(shù)解析式，折疊問題，解直角三角形，平行四邊形的判定和性質，解題的關鍵是作出輔助線，數(shù)形結合，注意分類討論，準確計算．28．（2023·重慶沙坪壩·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點A?1,0，點B3,0(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，連接AC，BC，過點C作射線CM交x軸的正半軸于點M，點M與點A關于原點對稱，點P是第四象限拋物線上一動點，過點P作BC的垂線交CM于點G，求線段PG長度的最大值及此時點(3)如圖2，把點C向上平移1個單位得到點Q，連接AQ，把△AOQ繞點O順時針旋轉一定的角度α(0°<α<360°)，得到△A'OQ'，其中邊A'Q'交坐標軸于點【答案】(1)拋物線的解析式為y=(2)GPmax=(3)?455,?25【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可；(2)延長PG交y軸于點D，過GGE⊥y軸于點E，過P作PF⊥y軸于點F，求出MC解析式為y=3x?3，證明△DEG和△DFP是等腰直角三角形，推導GP=DP?DG=2DF?DE=2EF，點P為t，t2?2t?3，則(3)由旋轉性質可知，Rt△AOQ≌△Rt△A'本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質，旋轉的性質和解直角三角形，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．【詳解】（1）把點A?1,0，點B3,0得1?b+c=09+3b+c=0解得b=?2c=?3∴拋物線的解析式為y=（2）延長PG交y軸于點D，過G作GE⊥y軸于點E，過P作PF⊥y軸于點F，∵點M與點A關于原點對稱，A∴點M1,0由y=x2?∴OB=OC=3，∴設MC解析式為y=mx+n，則m+n=0n=?3，解得：m=3∴MC解析式為y=3x?3，同理直線BC解析式為y=x?3，∴∠OBC=∠OCB=45°，∵PG⊥BC，∴△DEG和△DFP是等腰直角三角形，F(xiàn)P=DF，∴DP=2∴GP=DP?DG=2設點P為t，t2∴F0,t2則同理用待定系數(shù)法可知直線DP的解析式為：y=?x+t將直線DP的解析式與MC解析式聯(lián)立得：y=?x+解得：x=t即G∴GP=2∴當t=52時，GPmax=252（3）存在，①過點Q'作Q'T⊥y軸交y由旋轉性質可知，Rt△AOQ≌△∴sin∠A'∵AO=1，OQ=2，∴AQ=5∴1∴Q'T=2∴Q②如圖，同①理：Q'③如圖，同理：Q'④如圖，同①理：Q'綜上，滿足條件的點Q的坐標為：?455,?2529．（2024·浙江·一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+4交y軸于點A，交x軸于點B?6,0和點C2,0，連接AB、AQ、BQ，BQ(1)求拋物線表達式；(2)點Q1，73，點M在x軸上，點①求點E的坐標；②設射線AM與BN相交于點P，交BE于點H，將△BPH繞點B旋轉一周，旋轉后的三角形記為△BP1H【答案】(1)y=?(2)①E?2,?2；②【分析】（1）將點B、C的坐標代入拋物線，利用待定系數(shù)法求得解析式；（2）①由Q坐標求出BQ解析式，然后根據四邊形ANEM是平行四邊形和△BME≌△AOM得出BM=OA=4，再分類討論求得M和E的坐標；②求出AM解析式，交點為P，再求出H坐標，然后由兩點間距離公式求出BP和BH長度，因為旋轉不改變長度，所以BP1長度不變，當H旋轉到x軸上時，此時OH1最短，所以此時【詳解】（1）解：①拋物線y=ax2+bx+4交y軸于點A，交x軸于點B∴36a?6b+4=04a+2b+4=0解得：a=?∴y=?1（2）解：∵y=?∴OA=4，設直線BQ的解析式為y=kx+b1，∵B?6,0，∴k+b解得k=1∴直線BQ的解析式為y=1∵N為BQ與y軸交點，∴N0,2∴AN=2，∵四邊形ANEM是平行四邊形，∴AN∥EM且EM=AN=2，且點E在點∵點M在x軸上，點E在平面內，△BME≌△AOM，∴BM=OA=4，∵B?6,0∴M?2,0或?10,0若M為?2,0，∵∠BME=∠AOM=90°，故E?2,?2若M為?10,0，∵OM=ME=2，此時OM=10，(矛盾，舍去)，綜上，點E的坐標為?2,?2；②如圖，設AM的解析式為y=kx+b,∵拋物線y=ax2+bx+4交y∴點A的坐標為(0，4)，將點A0,4、M?2,0的坐標代入b=4?2k+b=0解得k=2b=4∴AM的解析式為y=2x+4，AM與BQ相交于點P，∴y=2x+4y=解得x=?6所以點P的坐標為?6設直線BE的解析式為y=mx+n，將點B、E的坐標代入直線BE的解析式得：?2m+n=?2?6m+n=0解得m=?1所以直線BE的解析式為y=?1BE與AM相交于點H，∴y=2x+4y=?解得x=?14∴點H的坐標為?14∴BP=BH=∴B當H旋轉到x軸上時，此時OH∴O∴B∴BP1+30．（2024·江西南昌·一模）如圖、在平面直角坐標系xOy中，拋物線C1:y=?x2+2x+3與x軸交于點A，點B（點A在點B的左側），與y軸交于點C，P為拋物線C1的頂點，連接PB，將拋物線C1(1)求拋物線C2(2)連接AC，BC，求sin∠ACB(3)連接CP，Q是拋物線C2上的點，若滿足∠QCO=∠PBC，求點Q【答案】(1)y=(2)sin(3)點Q的坐標為?2,?3或1,0【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質，中心對稱的性質以及與解直角三角形相關的計算：（1）由C1:y=?x2+2x+3求出與x軸的交點A?1,0，B3,0，頂點坐標P1,4，設C2的解析式為y=a（2）過點B作BE⊥AC于點E，由兩點間距離公式求出B