專題12 圓壓軸（測(cè)試）

專題12圓壓軸目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u真題演練題型01與圓有關(guān)的多結(jié)論問(wèn)題（選/填）題型02與圓有關(guān)的平移問(wèn)題題型03與圓有關(guān)的翻折問(wèn)題題型04與圓有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題題型05與圓有關(guān)的最值問(wèn)題題型06與圓有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題題型07與圓有關(guān)的新定義問(wèn)題題型08阿氏圓題型09圓、幾何圖形、銳角三角函數(shù)綜合題型10與圓有關(guān)的閱讀理解問(wèn)題題型11與圓有關(guān)的存在性問(wèn)題題型12與圓有關(guān)的定值問(wèn)題.模擬集訓(xùn)

真題演練題型01與圓有關(guān)的多結(jié)論問(wèn)題（選/填）1．（2023·河北保定·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，BC=10，點(diǎn)O為AB上一點(diǎn)，以5為半徑作⊙O分別與BC，AC相切于D，E兩點(diǎn)，OB與⊙O交于點(diǎn)M，連接OC交⊙O于點(diǎn)F，連接ME，F(xiàn)E，若點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，給出下列結(jié)論：①CO平分∠ACB；②點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)；③∠AME=22.5°；④MF的長(zhǎng)度為52A．1 B．2 C．3 D．42．（2024·山東濟(jì)寧·一模）如圖，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半徑OA=2．將扇形OAB沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，點(diǎn)O恰好落在AB上點(diǎn)D處，折痕交OA于點(diǎn)C，點(diǎn)E為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段CB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OP，PE，DP，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，下列說(shuō)法：①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形COPD為菱形，②S△CDFS△OCB=13，③OP+PE的最小值為3，3．（2023·廣東廣州·二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為⊙O的直徑，∠ACD+∠BCD=180°，連接OD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為點(diǎn)E、點(diǎn)F，則下列結(jié)論正確的是．①∠AOD=2∠BAD；②∠DAC=∠BAC；③DF與⊙O相切；④若AE=4，EC=1，則BC=3．題型02與圓有關(guān)的平移問(wèn)題4．（2023·廣東深圳·一模）如圖1，平行四邊形ABCD中，AD=23，DC=43，∠D=60°，點(diǎn)M在BC延長(zhǎng)線上且CM=CD，EF為半圓O的直徑且FE⊥BM，F(xiàn)E=6，如圖2，點(diǎn)E從點(diǎn)M處沿MB方向運(yùn)動(dòng)，帶動(dòng)半圓O向左平移，每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)停止平移，如圖3，停止平移后半圓O立即繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒轉(zhuǎn)動(dòng)5°，點(diǎn)F落在直線(1)如圖1，BF=；(2)如圖2，當(dāng)半圓O與DC邊相切于點(diǎn)P，求EM的長(zhǎng)；(3)如圖3，當(dāng)半圓O過(guò)點(diǎn)C，EF與DC邊交于點(diǎn)Q，①求EF平移和旋轉(zhuǎn)過(guò)程中掃過(guò)的面積；②求CQ的長(zhǎng)；(4)直接寫(xiě)出半圓O與平行四邊形ABCD的邊相切時(shí)t的值．（參考數(shù)據(jù)：sin35°=335．（2023·江蘇南京·二模）在平面內(nèi)，將小棒AB經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)，使它調(diào)轉(zhuǎn)方向(調(diào)轉(zhuǎn)前后的小棒不一定在同一條直線上)，那么小棒掃過(guò)區(qū)域的面積如何盡可能地小呢？已知小棒長(zhǎng)度為4，寬度不計(jì)．方案1：將小棒繞AB中點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°到B'A'方案2：將小棒先繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到AC，再繞C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到CB，最后繞B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到B'A'(1)①S1=______，S2②比較S1與S2的大?。?參考數(shù)據(jù)：π≈3.14，(2)方案2可優(yōu)化為方案3：首次旋轉(zhuǎn)后，將小棒先沿著小棒所在的直線平移再分別進(jìn)行第2、3次旋轉(zhuǎn)，三次旋轉(zhuǎn)掃過(guò)的面積會(huì)重疊更多，最終小棒掃過(guò)的區(qū)域是一個(gè)等邊三角形．①補(bǔ)全方案3的示意圖；②設(shè)方案3中小棒掃過(guò)區(qū)域的面積為S3，求S(3)設(shè)計(jì)方案4，使小棒掃過(guò)區(qū)域的面積S4小于S6．（2023·福建廈門(mén)·一模）點(diǎn)O是直線MN上的定點(diǎn)，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3，頂點(diǎn)A在直線MN上，△ABC從O點(diǎn)出發(fā)沿著射線OM方向平移，BC的延長(zhǎng)線與射線ON交于點(diǎn)D，且在平移過(guò)程中始終有∠BDO=30°，連接OB，OC，OB交AC于點(diǎn)P，如圖所示．(1)以O(shè)為圓心，OD為半徑作圓，交射線OM于點(diǎn)E．①當(dāng)點(diǎn)B在⊙O上時(shí)，求BE的長(zhǎng)；②⊙O的半徑為r，當(dāng)△ABC平移距離為2r時(shí)，判斷點(diǎn)C與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)在平移過(guò)程中，是否存在OC=OP的情形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)O到直線BC的距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．題型03與圓有關(guān)的翻折問(wèn)題7．（2023·安徽淮南·一模）如圖，已知，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)．(1)如圖①，將AC沿弦AC翻折，交AB于D，若點(diǎn)D與圓心O重合，AC=23，則⊙O的半徑為(2)如圖②，將BC沿弦BC翻折，交AB于D，把BD沿直徑AB翻折，交BC于點(diǎn)E．（Ⅰ）若點(diǎn)E恰好是翻折后的BD的中點(diǎn)，則∠B的度數(shù)為；（Ⅱ）如圖③，連接DE，若AB=10，OD=1，求線段DE的長(zhǎng)．8．（2022·河北保定·一模）Rt△ABC，∠C=90°，BC=6，tanB=43，E，F(xiàn)分別在AC，BC邊上，且EF=5，將△EFC沿EF翻折至△EF(1)CF=3時(shí)，CC'=(2)若以F，C，E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求CF的長(zhǎng)；(3)在（2）的條件下，求點(diǎn)O到AB的距離；(4)△EFC的面積最大是_______．(5)直接寫(xiě)出半圓O過(guò)△ABC的外心時(shí)，CF的值．9．（2021·貴州黔西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知AB為⊙O的直徑，CD為弦．CD=43，AB與CD交于點(diǎn)E，將CD沿CD翻折后，點(diǎn)A與圓心O重合，延長(zhǎng)BA至P，使AP=OA，連接PC(1)求⊙O的半徑；(2)求證：PC是⊙O的切線；(3)點(diǎn)N為ADB的中點(diǎn)，在PC延長(zhǎng)線上有一動(dòng)點(diǎn)M，連接MN交AB于點(diǎn)G．交BC于點(diǎn)F（F與B、C不重合）．求NG?NF的值．題型04與圓有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題10．（2023·江蘇常州·一模）如圖1，將一個(gè)三角形紙板△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ到達(dá)△AB'C'的位置，那么可以得到：AB=AB'，(1)上述問(wèn)題情境中“（________）”處應(yīng)填理由：______________________________________；(2)如圖2，將一個(gè)半徑為4cm，圓心角為60°的扇形紙板ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到達(dá)扇形紙板A'①請(qǐng)?jiān)趫D中作出點(diǎn)O；②如果BB'=6cm，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)B(3)如果將與（2）中完全相同的兩個(gè)扇形紙板重疊，一個(gè)固定在墻上，使得一邊位于水平位置．另一個(gè)在弧的中點(diǎn)處固定，然后放開(kāi)紙板，使其擺動(dòng)到豎直位置時(shí)靜止．此時(shí)，兩個(gè)紙板重疊部分的面積是多少(如圖3)？11．（2023·廣東云浮·二模）如圖，A，B，C是⊙O上的三點(diǎn)，且AB=AC，BC=8，點(diǎn)D為優(yōu)弧BDC上的動(dòng)點(diǎn)，且cos∠ABC=4(1)如圖1，若∠BCD=∠ACB，延長(zhǎng)DC到F，使得CF=CA，連接AF，求證：AF是⊙O的切線；(2)如圖2，若∠BCD的角平分線與AD相交于E，求⊙O的半徑與AE的長(zhǎng)；(3)如圖3，將△ABC的BC邊所在的直線l1繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到l2，直線l2與⊙O相交于M，N，連接AM，AN12．如圖1，已知∠ABC=60°，點(diǎn)O在射線BC上，且OB=4．以點(diǎn)O為圓心，rr>0為半徑作⊙O，交直線BC(1)當(dāng)⊙O與∠ABC只有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，r的取值范圍是________．(2)當(dāng)r=22時(shí)，將射線BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α①若BA與⊙O相切，求α的度數(shù)為多少；②如圖2，射線BA與⊙O交于M，N兩點(diǎn)，若MN=OB，求陰影部分的面積．題型05與圓有關(guān)的最值問(wèn)題13．（23-24九年級(jí)上·浙江寧波·期中）如圖1，E點(diǎn)為x軸正半軸上一點(diǎn)，⊙E交x軸于A、B兩點(diǎn)，P點(diǎn)為劣弧BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且A(?1,0)、E(1,0)．(1)BC的度數(shù)為°；(2)如圖2，連結(jié)PC，取PC中點(diǎn)G，則OG的最大值為；(3)如圖3，連接AC、AP、CP、CB．若CQ平分∠PCD交PA于Q點(diǎn)，求AQ的長(zhǎng)；(4)如圖4，連接PA、PD，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與B、C兩點(diǎn)重合），求證：PC+PDPA14．（2024·湖南懷化·一模）已知正方形ABCD和正方形EFGH按圖1所示疊放在一起，其中AB=4，EF=2，點(diǎn)O為AB和EF的中點(diǎn)．(1)圖2中正方形EFUV為圖1中正方形EFGH關(guān)于直線AB的軸對(duì)稱圖形，求點(diǎn)D和點(diǎn)U的連結(jié)線段DU的長(zhǎng)度；(2)將圖1中的正方形EFGH繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，如圖3所示，求運(yùn)動(dòng)過(guò)程中點(diǎn)D和點(diǎn)G之間距離的最大值和最小值．15．（2023·云南昭通·二模）如圖1，在四邊形ABCD中，AD=CD=63，∠B=60°，以AB為直徑所作的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且與AD相切于A點(diǎn)，連接(1)求證：CD是⊙O的切線．(2)⊙E是△ACD的外接圓，不與A、D重合的點(diǎn)F在⊙E的劣弧AD上運(yùn)動(dòng)（如圖2所示）．若點(diǎn)P、Q分別為線段AC、CD上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到每一個(gè)確定的位置時(shí)，△FPQ的周長(zhǎng)有最小值m，隨著點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)，m的值也隨之變化，求m的最大值．16．（2024·陜西西安·二模）（1）如圖1，在△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，AB=12，若⊙O的半徑為2，點(diǎn)P在⊙O上，M是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接PM，求線段PM的最小值，并說(shuō)明理由．新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)M為定點(diǎn)，對(duì)點(diǎn)A給出如下定義，在射線AM上，若MN=k?MA（k>0，且k為整數(shù)），則稱N是點(diǎn)A是關(guān)于點(diǎn)M的“k倍點(diǎn)”．（2）如圖2，點(diǎn)A是半徑為1的⊙O上一點(diǎn)，且M3,1，N是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)M的“二倍點(diǎn)”，P為直線y=3x上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使得線段PN題型06與圓有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題17．（2024·遼寧大連·一模）如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)D為BC邊中點(diǎn)，點(diǎn)E為線段DC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，D，E作⊙O分別交AB，AC于點(diǎn)F，G，連接FG，DG(1)求證：∠B=∠DGF；(2)已知：BC=24，∠B=30°，當(dāng)四邊形BDGF為平行四邊形時(shí)，請(qǐng)補(bǔ)全圖2，并求出DE的長(zhǎng)．18．（2024·云南昭通·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)M是直徑AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的弦CD⊥AB，交⊙O于點(diǎn)C、D，連接BC，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，連接DF并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)G．(1)如圖1，連接CG，過(guò)點(diǎn)G的直線交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．當(dāng)點(diǎn)M與圓心O重合時(shí)，若∠PGC=∠MDE，求證：PG是⊙O的切線；(2)在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，DE=kDF（k為常數(shù)），求k的值；(3)如圖2，連接BG、OF、MF，當(dāng)△MOF是等腰三角形時(shí)，求∠BGD的正切值．19．（2023·山東煙臺(tái)·模擬預(yù)測(cè)）直角三角板ABC的斜邊AB的兩個(gè)端點(diǎn)在⊙O上，已知∠BAC=30°，直角邊AC與⊙O相交于點(diǎn)D，且點(diǎn)D是劣弧AB的中點(diǎn)．(1)如圖1，判斷直角邊BC所在直線與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，點(diǎn)P是斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與A、B不重合），DP的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)Q，連接QA、QB．①AD=3,PD=1，則AB=______；PQ=______；②當(dāng)點(diǎn)P在斜邊AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：QA+QB=3題型07與圓有關(guān)的新定義問(wèn)題20．（2024·上海楊浦·一模）定義：我們把平面內(nèi)經(jīng)過(guò)已知直線外一點(diǎn)并且與這條直線相切的圓叫做這個(gè)點(diǎn)與已知直線的點(diǎn)切圓．如圖1，已知直線l外有一點(diǎn)H，圓Q經(jīng)過(guò)點(diǎn)H且與直線l相切，則稱圓Q是點(diǎn)H與直線l的點(diǎn)切圓．閱讀以上材料，解決問(wèn)題：已知直線OA外有一點(diǎn)P，PA⊥OA，OA=4，AP=2，圓M是點(diǎn)P與直線OA的點(diǎn)切圓．(1)如果圓心M在線段OP上，那么圓M的半徑長(zhǎng)是__________（直接寫(xiě)出答案）．(2)如圖2，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)、OA為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy，點(diǎn)P在第一象限，設(shè)圓心M的坐標(biāo)是x,y．①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；②點(diǎn)B是①中所求函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，連接BP并延長(zhǎng)交此函數(shù)圖象于另一點(diǎn)C．如果CP:BP=1:4，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．21．（2024·湖南長(zhǎng)沙·一模）定義：對(duì)角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形叫做圓的“奇妙四邊形”．(1)若?ABCD是圓的“奇妙四邊形”，則?ABCD是_________（填序號(hào)）：①矩形；②菱形；③正方形(2)如圖1，已知⊙O的半徑為R，四邊形ABCD是⊙O的“奇妙四邊形”．求證：AB(3)如圖2，四邊形ABCD是“奇妙四邊形”，P為圓內(nèi)一點(diǎn)，∠APD=∠BPC=90°，∠ADP=∠PBC，BD=4，且AB=3DC．當(dāng)DC的長(zhǎng)度最小時(shí)，求22．（2024·江蘇淮安·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1．對(duì)于⊙O的弦AB和點(diǎn)C給出如下定義：若直線CA，CB都是⊙O的切線，則稱點(diǎn)C是弦AB的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．(1)如圖，點(diǎn)A?1,0，B1、B2分別為過(guò)A①在點(diǎn)C1?1，1，C2?1，2②若點(diǎn)C是弦AB2的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，則AC的長(zhǎng)為(2)已知點(diǎn)M在y正半軸上，N在x正半軸上，若對(duì)于線段MN上任一點(diǎn)S，都存在⊙O的弦PQ，使得點(diǎn)S是弦PQ的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．記PQ的長(zhǎng)為t，當(dāng)點(diǎn)S在線段MN上運(yùn)動(dòng)時(shí)，t的取值范圍為3≤t≤4223．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，對(duì)于直線l和線段AB，給出如下定義：若將線段AB關(guān)于直線l對(duì)稱，可以得到⊙O的弦A'B'（A'，B'分別為A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），則稱線段AB是⊙O(1)如圖2，點(diǎn)A1，B1，A2，B2，①在線段A1B1，A2B2，②若線段A1B1，A2B2，A3(2)已知y=?3x+bb>0交x軸于點(diǎn)C，在△ABC中，AC=3，AB=2．若線段AB是⊙O的關(guān)于直線題型08阿氏圓24．（2023·山東濟(jì)南·一模）拋物線y=?12x2+a?1x+2a與x軸交于Ab,0，(1)求a，b，c的值；(2)如圖1，連接BC、AP，交點(diǎn)為M，連接PB，若S△PMBS△AMB(3)如圖2，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)E，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE'，旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<90°)，連接E'B，E'C，求25．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=14x2?(1)求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；(2)如圖2，若點(diǎn)P在以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作的圓上，連接BP、CP，請(qǐng)你直接寫(xiě)出26．（2024·廣東珠?！ひ荒＃┤鐖D，拋物線y=54x2?52x?25分別交x軸于點(diǎn)A(1)求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)以B為圓心，3為半徑作圓．①如圖1，連接AC，P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙B的一條切線PM（點(diǎn)M為切點(diǎn)），求線段②如圖2，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)Q在圓B上，連接CQ，DQ，求27．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?14x2+bx+3的對(duì)稱軸是直線x=2，與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)M為第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，交BC于點(diǎn)D，連接CM，當(dāng)線段CM=CD時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)以原點(diǎn)O為圓心，AO長(zhǎng)為半徑作⊙O，點(diǎn)P為⊙O上的一點(diǎn)，連接BP，CP，求2PC+3PB的最小值．題型09圓、幾何圖形、銳角三角函數(shù)綜合28．（2024·湖南長(zhǎng)沙·一模）如圖1，點(diǎn)A,B,C在圓O上運(yùn)動(dòng)，滿足AB2=BC2+AC(1)求證：∠DAC=∠CBA；(2)記△ABC,△ACD,△ABD的面積為S1,S2,S(3)如圖2，點(diǎn)Q是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（Q不與B,C重合），QP⊥AD于P，交AC于點(diǎn)M．若tanD=2，設(shè)CQBC=x，且y=PD?1DQ?DC+29．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=9，點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，且AE=3，點(diǎn)F在邊AB上，過(guò)點(diǎn)B、F、E作圓O，交邊BC或其延長(zhǎng)線于G，連接BE，GE，(1)求tan∠FGE的值；(2)若BG=EG，求x的值；(3)若x=2，求弧EF的長(zhǎng)；(4)若圓O經(jīng)過(guò)矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出x的值．（注：sin19°=13，cos30．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）（1）如圖1，已知點(diǎn)A（2，4），B是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥AC交x軸于點(diǎn)C,M是BC中點(diǎn)，求證AM=OM （2）在（1）的條件下，可知M在線段AB的垂直平分線上，若點(diǎn)P（1,0），則PM（3）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=6,BC=8,D為AB中點(diǎn)，圓O過(guò)C、D，兩點(diǎn)且分別交AC,BC于點(diǎn)E,F，連接CO,EF，當(dāng)圓O從過(guò)點(diǎn)A變化到過(guò)B時(shí)，O題型10與圓有關(guān)的閱讀理解問(wèn)題31．（2023·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．我們學(xué)習(xí)過(guò)利用尺規(guī)作圖平分一個(gè)任意角，而“利用尺規(guī)作圖三等分任意一個(gè)角”曾是數(shù)學(xué)史上一大難題，之后被數(shù)學(xué)家證明是不可能完成的，在“三等分角”整個(gè)充滿艱辛的探索道路上，許多人獲得了意外的發(fā)現(xiàn)，如：用其他輔助工具三等分角和尺規(guī)作圖三等分90°和45°角．任務(wù)：(1)如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，在圖中作出∠ACB的三等分線CD，（要求：尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫(xiě)作法）(2)由（1）知，我們可以用尺規(guī)作出直角的三等分線，但是僅僅使用尺規(guī)卻不能把任意一個(gè)角分成三等分，為此，人們發(fā)明了許多等分角的機(jī)械器具，如圖②是用三張硬紙片自制的一個(gè)最簡(jiǎn)單的三分角器，與半圓O相接的AB帶的長(zhǎng)度與半圓的半徑相等；BD帶的長(zhǎng)度任意，它的一邊與直線AC形成一個(gè)直角，且與半圓相切于點(diǎn)B；假設(shè)需要將∠KSM三等分，如圖③，首先將角的頂點(diǎn)S置于BD上，角的一邊SK經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，另一邊SM與半圓相切，連接SO，則SB，SO為∠KSM的三等分線，請(qǐng)你證明．32．（2024·山西晉中·一模）閱讀與思考在學(xué)習(xí)《直線與圓的位置關(guān)系》時(shí)，老師布置了一道課后探究題：已知⊙O外一點(diǎn)P（圖1），你能用尺規(guī)過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線嗎？你有幾種方法？小聰同學(xué)積極探索作圖方法，并且進(jìn)行了原理說(shuō)明和總結(jié)反思，以下是他的探索過(guò)程，請(qǐng)你仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)：【題目分析】先畫(huà)草圖，發(fā)現(xiàn)若PE是⊙O的切線，則∠PEO=90°，所以解決此問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)造一個(gè)直角，即在⊙O上找一點(diǎn)E使∠PEO=90°．【作法展示】①連接PO并延長(zhǎng)，交⊙O于A，B兩點(diǎn)，（如圖2）②以點(diǎn)P為圓心，PO長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，再以點(diǎn)O為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)C．③連接OC，交⊙O于點(diǎn)E．④作直線PE．直線PE就是所求作的⊙O的切線．【原理說(shuō)明】證明：如圖2，連接PC，由作法可得，PO=PC，CO=AB，∴△OPC為等腰三角形，又∵OE=OA=1∴OE=1∴PE⊥CO（）（填寫(xiě)依據(jù)）又∵點(diǎn)E在⊙O上，．直線PE是⊙O的切線．【總結(jié)反思】對(duì)于較復(fù)雜的尺規(guī)作圖可以按照如下步驟解決：①先畫(huà)草圖；②借助草圖，從結(jié)論出發(fā)，逆向探究，聯(lián)想相關(guān)知識(shí)，思考作法；③利用尺規(guī)，按照作法，畫(huà)出正確圖形；④寫(xiě)出結(jié)論．我們不僅要會(huì)作圖還要知道為什么要這樣作圖，即實(shí)施這些步驟的理由是什么．并且從不同的知識(shí)出發(fā)可以得到不同的作法，例如本題還可以利用“直徑所對(duì)的圓周角是直角”得到另一種作法．任務(wù)：(1)上述材料【原理說(shuō)明】中的依據(jù)是________；(2)如圖3，在圖2的基礎(chǔ)上，在⊙O上取一點(diǎn)M（不與點(diǎn)A，E重合），連接AM，EM，若∠CPE=35°，求∠AME的度數(shù)；(3)請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)小聰?shù)摹究偨Y(jié)反思】嘗試在圖1中用尺規(guī)過(guò)點(diǎn)P作出⊙O的一條切線．（要求：不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）33．（2023·山西呂梁·模擬預(yù)測(cè)）請(qǐng)閱讀下面材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．阿基米德（Arehimedes，公元前287-公元前212年，古希臘）是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC>AB．M是ABC的中點(diǎn)，則從點(diǎn)M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD=AB+BD．這個(gè)定理有很多證明方法，下面是運(yùn)用“垂線法”證明CD=AB+BD的部分證明過(guò)程．證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥射線AB，垂足為點(diǎn)H，連接MA，∵M(jìn)是ABC的中點(diǎn)，∴MA=MC．任務(wù)：(1)請(qǐng)按照上面的證明思路，寫(xiě)出該證明的剩余部分；(2)如圖3，已知等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，D為AC上一點(diǎn)，∠ABD=15°．CE⊥BD于點(diǎn)E，CE=3，連接AD，求△DAB的周長(zhǎng)．34．（2023·河南新鄉(xiāng)·三模）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)學(xué)習(xí)任務(wù)：我們知道，圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么過(guò)對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓嗎？學(xué)習(xí)小組經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：過(guò)對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓．下面是學(xué)習(xí)小組的證明過(guò)程：已知：在四邊形ABCD中，∠A+∠C=180°求證：過(guò)點(diǎn)A、B、C、D可作一個(gè)圓．證明：假設(shè)過(guò)點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)不能作一個(gè)圓，設(shè)過(guò)點(diǎn)A、B、D三點(diǎn)作出的圓為⊙O．分兩種情況討論．①如圖（1），若點(diǎn)C在⊙O內(nèi)．延長(zhǎng)DC交⊙O于點(diǎn)E，連接BE．∵∠BCD是△BCE的外角，∴∠BCD>∠E．∵∠A+∠E=180°，∠A+∠BCD=180°，∴∠E=∠BCD，與∠BCD>∠E矛盾，②如圖（2），若點(diǎn)C在⊙O外．設(shè)CD交⊙O于點(diǎn)E，連接BE．∵∠BED是△BCE的外角，∴∠BED>∠C．∵∠A+∠C=180°，∠A+∠BED=180°，∴∠BED=∠C，與∠BED>∠C矛盾．綜上可知，假設(shè)不成立，故過(guò)點(diǎn)A、B、C、D可作一個(gè)圓．學(xué)習(xí)任務(wù)：(1)在以上應(yīng)用反證法的證明過(guò)程中主要體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是______．(2)應(yīng)用上述結(jié)論，解決以下問(wèn)題：如圖（3），在四邊形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)E．①若∠ACB=25°，求∠ADB的度數(shù)；②若BE=5，AD=CD=6，求DE的長(zhǎng)．題型11與圓有關(guān)的存在性問(wèn)題35．（2024·山東淄博·一模）如圖1，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)O在邊BC上，以O(shè)為圓心BO為半徑作⊙O，⊙O與射線BD的另一個(gè)交點(diǎn)為E，直線CE與射線AD交于點(diǎn)F．(1)設(shè)BO=x，BE=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出x的取值范圍；(2)如圖2，連接AO，當(dāng)AO∥CE時(shí)，請(qǐng)求出(3)如果射線EC與⊙O的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，連接OQ，問(wèn)是否存在△COQ為直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出Rt△COQ36．（2023·四川達(dá)州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線y=x+1x?a（其中a>1）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)(1)直接寫(xiě)出線段AB的長(zhǎng)（用a表示）；(2)若⊙D為△ABC的外接圓，且△BCD與△ACO的面積之比為5:8，求此拋物線的解析式，并求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)在（2）的前提下，試探究拋物線y=x+1x?a上是否存在一點(diǎn)P，使得∠CAP=∠DBA？若存在，求出點(diǎn)37．（2023·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）已知平面上有兩個(gè)定點(diǎn)A、B，則平面上滿足PAPB=k（k是不為1的常數(shù)）的動(dòng)點(diǎn)P形成一個(gè)圓，我們把這樣的圓叫做定比圓，如圖點(diǎn)A?2,0、B(1)求圓M的圓心坐標(biāo)和半徑；(2)圓M上是否存在P，使△PAB為直角三角形，若存在求出點(diǎn)P坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為2,3，求3PQ+PB的最小值．38．（2024·陜西西安·二模）（1）如圖1，在△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，AB=12，若⊙O的半徑為2，點(diǎn)P在⊙O上，M是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接PM，求線段PM的最小值，并說(shuō)明理由．新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)M為定點(diǎn)，對(duì)點(diǎn)A給出如下定義，在射線AM上，若MN=k?MA（k>0，且k為整數(shù)），則稱N是點(diǎn)A的“k倍點(diǎn)”．（2）如圖2，點(diǎn)A是半徑為1的⊙O上一點(diǎn)，且M3,1，N是點(diǎn)A的“二倍點(diǎn)”，點(diǎn)P為直線y=3x上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使得線段PN最??；若存在，請(qǐng)求出PN題型12與圓有關(guān)的定值問(wèn)題.39．（2023·浙江杭州·二模）如圖，AB，CD是⊙O的兩條直徑，AB⊥CD，點(diǎn)E是BD上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與B，D重合），CE，分別交OD，G，連接AC．設(shè)⊙O的半徑為r，∠OAF=α．?(1)∠OCG=（用含α的代數(shù)式表示）；(2)當(dāng)α=30°時(shí)，求證：AF=2FE；(3)判斷AG?CF是否為定值．若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．40．（2023·四川達(dá)州·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系，拋物線y=ax2+bx+c與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)（A在B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C(1)求拋物線的解析式并求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；(2)如圖1，P，Q是拋物線對(duì)稱軸上兩點(diǎn)（點(diǎn)P在點(diǎn)Q上方），且PQ=1，當(dāng)AQ+QP+PC取最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)D是第四象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于F，△ABD的外接圓與DF相交于點(diǎn)E．問(wèn)：線段EF的長(zhǎng)是否為定值？如果是，求出這個(gè)定值；如果不是，說(shuō)明理由．41．（2023·江蘇鹽城·三模）已知⊙C的圓心C(0,3)，半徑為2，一次函數(shù)y=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(?1,0)且與⊙C交于P、Q兩點(diǎn)，M是PQ的中點(diǎn)，且直線PQ與直線m:y=?13x?2(1)當(dāng)直線PQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；(2)當(dāng)PQ=23(3)AM?AN是定值嗎，若為定值，求出該值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．模擬集訓(xùn)（時(shí)間：60分鐘）一、單選題1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，⊙O的半徑為1，AB是⊙O的直徑，CD是弦，E是劣弧CD上一點(diǎn)，將⊙O沿CD折疊，使得點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E'，且弧CE'D與AB相切于點(diǎn)E'，設(shè)線段BE'的長(zhǎng)度為xA．(x?1)2+yC．x?12+y?2．（2023·廣東深圳·二模）如圖，直線l：y=?12x+4分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B．點(diǎn)P為直線l在第一象限的點(diǎn)．作△POB的外接圓⊙C，延長(zhǎng)OC交⊙C于點(diǎn)D，當(dāng)△POD的面積最小時(shí)，則⊙CA．5 B．2 C．3 D．33．（2023·河北保定·二模）嘉嘉與淇淇在討論下面的問(wèn)題：如圖，Rt△ABC中，AB=60，AC=45，∠BAC=90°．D，E分別是AC，AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，DE=52，以DE為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)P，Q兩點(diǎn)，求線段PQ嘉嘉：當(dāng)點(diǎn)D，E分別在AC，AB上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)О到點(diǎn)A的距離為定值；淇淇：當(dāng)PQ為圓О的直徑時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)最大．關(guān)于上述問(wèn)題及兩人的討論，下列說(shuō)法正確的是（

）A．兩人的說(shuō)法都正確，線段PQ的最大值為52B．嘉嘉的說(shuō)法正確，淇淇的說(shuō)法有問(wèn)題，線段PQ長(zhǎng)度的最大值為48C．淇淇的說(shuō)法有問(wèn)題，當(dāng)DE∥BC時(shí)，線段D．這道題目有問(wèn)題，PQ的長(zhǎng)度只有最小值，沒(méi)有最大值4．（2023·河北衡水·二模）如圖1，某校學(xué)生禮堂的平面示意圖為矩形ABCD，其寬AB=20米，長(zhǎng)BC=24米，為了能夠監(jiān)控到禮堂內(nèi)部情況，現(xiàn)需要在禮堂最尾端墻面CD上安裝一臺(tái)攝像頭M進(jìn)行觀測(cè)，并且要求能觀測(cè)到禮堂前端墻面AB區(qū)域，同時(shí)為了觀測(cè)效果達(dá)到最佳，還需要從點(diǎn)M出發(fā)的觀測(cè)角∠AMB=45°．甲、乙二人給出了找點(diǎn)M的思路，以及MC的值，下面判斷正確的是(

)甲：如圖2，在矩形ABCD中取一點(diǎn)O，使得OA=OB=OM，M即為所求，此時(shí)CM=10米；乙：如圖3，在矩形ABCD中取一點(diǎn)O，使得OA=OB，且∠AOB=90°，以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交CD于點(diǎn)M1，M2，則M1，M2均滿足題意，此時(shí)A．甲的思路不對(duì)，但是MC的值對(duì) B．乙的思路對(duì)，MC的值都對(duì)且完整C．甲、乙求出的MC的值合在一起才完整 D．甲的思路對(duì)，但是MC的值不對(duì)二、填空題5．（2023·浙江溫州·三模）杭州奧體網(wǎng)球中心以極度對(duì)稱的“蓮花”造型驚艷眾人．該建筑底部是由24片全等“花瓣”組成的“固定花環(huán)”，上方穹頂由8片全等“旋轉(zhuǎn)花瓣”均勻連接，可根據(jù)天氣變化合攏或旋轉(zhuǎn)展開(kāi)．小明借助圓的內(nèi)接正多邊形的知識(shí)，模擬“小蓮花”變化狀態(tài)．穹頂合攏時(shí)，如圖①，正二十四邊形頂點(diǎn)A1，正八邊形頂點(diǎn)B1與圓心O共線，正二十四邊形頂點(diǎn)A1，A10與正八邊形頂點(diǎn)M1，M3共線，則A1A10M1M3的值為；穹頂開(kāi)啟時(shí)，如圖②，所有“旋轉(zhuǎn)花瓣”同時(shí)繞著固定點(diǎn)M1，M2，…，M8逆時(shí)針同速旋轉(zhuǎn)．圓心O繞6．（2023·河北保定·二模）定義：P,Q分別為兩個(gè)圖形G1,G2上任意一點(diǎn)，當(dāng)線段PQ的長(zhǎng)度存在最小值時(shí)，就稱該最小值為圖形G1和G2的“近距離”；當(dāng)線段如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A?2,3（1）線段AB與線段CD的“近距離”為．（2）⊙M的圓心在x軸正半軸上，半徑為1，若⊙M與CD相切于點(diǎn)E，則⊙M與線段AB的“近距離”為，此時(shí)⊙M與四邊形ABCD的“遠(yuǎn)距離”為．7．（2023·福建廈門(mén)·模擬預(yù)測(cè)）早在10世紀(jì)，阿拉伯著名數(shù)學(xué)家阿爾·庫(kù)希（al－Kuhi）設(shè)計(jì)出一種方案，通過(guò)兩個(gè)觀測(cè)者異地同時(shí)觀測(cè)同一顆流星來(lái)測(cè)定其發(fā)射點(diǎn)的高度．如圖，假設(shè)有兩名觀測(cè)者在A，B兩地觀察同一顆流星S（流星與地球中心O，A，B在同一個(gè)平面內(nèi)），AC，BC均為當(dāng)?shù)氐仄骄€（與圓O相切），兩人觀測(cè)的仰角分別為15°，30°．若地球半徑為R，lAB=π3R，則8．（2023·江蘇無(wú)錫·三模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，A?4,0，D是OA上一點(diǎn)，B是y正半軸上一點(diǎn)，且OB=AD，DE⊥AB（1）當(dāng)D是OA的中點(diǎn)時(shí)，DE=；（2）求OE的最小值；9．（2023·福建三明·二模）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)M為⊙O內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，∠MAB=30°，OM=12OA，經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的弦PQ交AB①△AOM為直角三角形；②△MOC與△BPC相似；③若AM平分∠PAB，則四邊形APBQ為矩形；④若∠BPQ=2∠APQ，則AQ=2OM．其中正確的是（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)）．三、解答題10．（2023·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）【問(wèn)題引入】如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，過(guò)點(diǎn)B作直線MN，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥MN于點(diǎn)E，判斷：點(diǎn)E一定________Rt△ABC外接圓【問(wèn)題探索】如圖2，以線段AB上一點(diǎn)O為圓心，OB為半徑畫(huà)圓，交AB于點(diǎn)C，點(diǎn)D是異于點(diǎn)B，C的⊙O上一點(diǎn)，E為BD的延長(zhǎng)線上一點(diǎn).當(dāng)AE有最小值f時(shí)，此時(shí)DE=f2，且（1）求證：AD是⊙O的切線；（2）若f=8；以A為圓心，AD為半徑畫(huà)弧交射線BD于點(diǎn)F（與D不重合），G為BD的中點(diǎn)，判斷點(diǎn)A，O，G，F(xiàn)是否在一個(gè)圓上？如果在，請(qǐng)求出這個(gè)圓的面積；如果不在，請(qǐng)說(shuō)明理由．11．（2023·江蘇淮安·二模）某數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，點(diǎn)A是一只探照燈，距離地面高度AB=m，照射角度∠MAN=α，在地平線l上的照射范圍是線段MN，此燈的光照區(qū)域△AMN的面積最小值是多少？(1)小明同學(xué)利用特殊化方法進(jìn)行分析，請(qǐng)你完成填空：如圖2，設(shè)α=90°，m=4，構(gòu)造△AMN的外接圓⊙O，可得OA≥AB，即OA的最小值為4，又MN=2OA，故得MN的最小值為_(kāi)_________，通過(guò)計(jì)算可得△AMN的面積最小值為_(kāi)_________．(2)當(dāng)α=45°，解：作△AMN的外接圓⊙O，作OH⊥MN于H，設(shè)MN=2x(3)請(qǐng)你寫(xiě)出原題中的結(jié)論：光照區(qū)域△AMN的面積最小值是___________________．（用含m，(4)如圖3，探照燈A到地平線1距離AB=4米，到垂直于地面的墻壁n的距離AD=6米，探照燈的照射角度∠MAN，且sin∠MAN=45，光照區(qū)域?yàn)樗倪呅蜛MCN，點(diǎn)M、N分別在射線CD、CB上，設(shè)△ACM的面積為S1，△ACN的面積為S12．（2023·河南平頂山·二模）提出問(wèn)題：古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（約公元前325——公元前265），被稱為“幾何學(xué)之父”．在其所著的《幾何原本》中，包含了5條公理、5條公設(shè)、23個(gè)定義和467個(gè)命題，即先提出公理、公設(shè)和定義，再由簡(jiǎn)到繁予以證明，并在此基礎(chǔ)上形成了歐式幾何學(xué)體系．《幾何原本》第3卷給出其中一個(gè)命題：如果圓外的一點(diǎn)向圓引兩條直線，一條與圓相切，一條穿過(guò)圓，那么被圓截得的線段與該點(diǎn)到凸圓之間的線段為邊構(gòu)成的矩形的面積等于以該點(diǎn)向圓引的切線所構(gòu)成的正方形的面積．如圖1，上述結(jié)論可表示為AB探索問(wèn)題：小明在探究的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，線段AD的位置有兩種情況，即AD過(guò)圓心O和AD不過(guò)圓心O．如圖2，當(dāng)AD經(jīng)過(guò)圓心O時(shí)，小明同學(xué)進(jìn)行了如下推理：連接OB，易得∠ABC=∠ADB，又∠A=∠A，所以△ABC∽△ADB，可得對(duì)應(yīng)邊成比例，進(jìn)而可知，當(dāng)AD經(jīng)過(guò)圓心O時(shí)，得AB2=AC?AD(1)已知：如圖3，AB為⊙O的切線，B為切點(diǎn)，AD與⊙O相交于C，D兩點(diǎn)，連接BC，BD．求證：AB證明：．(2)解決問(wèn)題：如圖4，已知AB為⊙O的直徑，C為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)D，連接AD，若CD=32，CA=3，請(qǐng)直接寫(xiě)出AD13．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）【模型由來(lái)】“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，已知平面上兩點(diǎn)A、B，則所有滿足PAPB=k（k>0且【模型建立】如圖1所示，圓O的半徑為r，點(diǎn)A、B都在圓O外，P為圓O上一動(dòng)點(diǎn)，已知r=kOB，連接PA、PB，則當(dāng)“PA+kPB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？第1步：一般將含有k的線段PB兩端點(diǎn)分別與圓心O相連，即連接OB、OP；第2步：在OB上取點(diǎn)C，使得OP2=OC?OB，即OCOP=第3步：連接AC，與圓O的交點(diǎn)即為點(diǎn)P（圖3）．【問(wèn)題解決】如圖，⊙O與y軸、x軸的正半軸分別相交于點(diǎn)M、點(diǎn)N，⊙O半徑為3，點(diǎn)A0,2，點(diǎn)B(1)PA+2PB的最小值是多少？(2)請(qǐng)求出（1）條件下，點(diǎn)P的坐標(biāo)．

專題12圓壓軸（解析版）目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u真題演練題型01與圓有關(guān)的多結(jié)論問(wèn)題（選/填）題型02與圓有關(guān)的平移問(wèn)題題型03與圓有關(guān)的翻折問(wèn)題題型04與圓有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題題型05與圓有關(guān)的最值問(wèn)題題型06與圓有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題題型07與圓有關(guān)的新定義問(wèn)題題型08阿氏圓題型09圓、幾何圖形、銳角三角函數(shù)綜合題型10與圓有關(guān)的閱讀理解問(wèn)題題型11與圓有關(guān)的存在性問(wèn)題題型12與圓有關(guān)的定值問(wèn)題.模擬集訓(xùn)

真題演練題型01與圓有關(guān)的多結(jié)論問(wèn)題（選/填）1．（2023·河北保定·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，BC=10，點(diǎn)O為AB上一點(diǎn)，以5為半徑作⊙O分別與BC，AC相切于D，E兩點(diǎn)，OB與⊙O交于點(diǎn)M，連接OC交⊙O于點(diǎn)F，連接ME，F(xiàn)E，若點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，給出下列結(jié)論：①CO平分∠ACB；②點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)；③∠AME=22.5°；④MF的長(zhǎng)度為52A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】連接OD，OE，⊙O分別與AC和BC相切，證明CO平分∠ACB，根據(jù)平行線分線段成比例定理證明E為AC的中點(diǎn)，再利用弧長(zhǎng)公式求出弧長(zhǎng)．【詳解】如圖，連接OD，OE．

∵⊙O分別與AC和BC相切，∴OE=OD=5，且OE⊥AC，OD⊥BC，∴CO平分∠ACB，故①正確；∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，BC=10，∴DC=OD=5，∵∠ODC=90°，∴∠OCD=45°，∴∠ACB=90°，∴OD∥∴點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，

∵OE⊥AC，∴OE∥故點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，故②正確；

由①知，∠OCE=∠COE=45°，∴∠AOE=45°，∴∠AME=1故③正確；由③可知：OD垂直平分BC，∴OC=OB，∴∠OBC=∠OCB=45°∴∠BOC=90°，∴MF的長(zhǎng)度為90×π故④正確，故選D．【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理、切線的基本性質(zhì)，平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是熟悉圓的性質(zhì)并構(gòu)造輔助線．2．（2024·山東濟(jì)寧·一模）如圖，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半徑OA=2．將扇形OAB沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，點(diǎn)O恰好落在AB上點(diǎn)D處，折痕交OA于點(diǎn)C，點(diǎn)E為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段CB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OP，PE，DP，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，下列說(shuō)法：①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形COPD為菱形，②S△CDFS△OCB=13，③OP+PE的最小值為3，【答案】①③④【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，30°角所對(duì)直角邊是斜邊的一半，三角形中線性質(zhì)，扇形面積和勾股定理，連接OD，由折疊性質(zhì)可知，OB=BD，OC=CD，由30°角所對(duì)直角邊是斜邊的一半，三角形中線性質(zhì)可判斷①②，當(dāng)D、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，OP+PE有最小值，即DE的值，可判斷③，再用求面積的方法可判斷④，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接OD，由折疊性質(zhì)可知，OB=BD，OC=CD，∴OB=BD=OD，∴△OBD是等邊三角形，∴∠OBD=60°，∴∠OBC=∠DBC=30°，∴OC=CD=1∵當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CB的中點(diǎn)時(shí)，∴OC=CD=DP=OP=1∴四邊形COPD為菱形，故①正確；∵DF⊥BC，∴∠CFD=90°，由∠OBC=∠DBC=30°，∠AOB=∠CDB=90°，∴∠CDF=30°，∴CF=1∴CF=1∴S△CDFS△OCB∵O與D是關(guān)于BC對(duì)稱，∴當(dāng)D、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，OP+PE有最小值，即DE的值，∴DE⊥OB，∴∠DEB=90°，∵∠OBD=60°，∴∠BDE=30°，∴BE=1在RtDEB中，由勾股定理得DE=BD同理：OC=2∴陰影部分面積為90×π×22360故答案為：①③④．3．（2023·廣東廣州·二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為⊙O的直徑，∠ACD+∠BCD=180°，連接OD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為點(diǎn)E、點(diǎn)F，則下列結(jié)論正確的是．①∠AOD=2∠BAD；②∠DAC=∠BAC；③DF與⊙O相切；④若AE=4，EC=1，則BC=3．【答案】①③④【分析】本題考查了圓周角定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，切線的判定，根據(jù)已知條件得出∠ACD=∠FCD，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形得出∠FCD=∠DAB，進(jìn)而得出∠ACD=∠DAB，根據(jù)圓周角定理即可判斷①，不能確定DC=BC，即可判斷②，證明△AOB≌△BOD得出∠ADO=∠BDO，根據(jù)三線合一得出DO⊥AB，進(jìn)而根據(jù)AC是直徑，得出AB⊥BC，結(jié)合已知條件即可判斷③，證明△DEC≌△DFC，Rt△ADE≌Rt△BDF【詳解】如圖，連接DB，∵∠ACD+∠BCD=180°，∠ACD+∠ACB+∠DCF=180°，∴∠BCD=∠ACB+∠DCF，∵∠BCD=∠ACB+∠ACD，∴∠ACD=∠FCD，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠FCD=∠DAB，∴∠ACD=∠DAB，∴AD=∴∠ABD=∠BAD，∠AOD=2∠ABD，∴∠AOD=2∠BAD，故①正確，∵不能確定DC=∴∠DAC=∠BAC不一定成立，故②錯(cuò)誤，如圖，連接BO，∵AD=∴AD=DB，在△AOD和△BOD中，AO=BODO=DO∴△AOD≌△BOD(SSS∴∠ADO=∠BDO，∴DO⊥AB，∵AC是直徑，∴∠ABC=90°，即AB⊥BC，∵DF⊥BC，∴DF∥∴DF⊥OD，∴DF與⊙O相切，故③正確，∵∠DCE=∠DCF，∠DEC=∠DFC，DC=DC，∴△DEC≌△DFC(SAS∴DE=DF，CF=CE，∵AD=DB，DE=DF，∴Rt△ADE≌∴BF=AE，∵AE=4，EC=1，∴BC=BF?CF=4?1=3，故④正確．故答案為：①③④．題型02與圓有關(guān)的平移問(wèn)題4．（2023·廣東深圳·一模）如圖1，平行四邊形ABCD中，AD=23，DC=43，∠D=60°，點(diǎn)M在BC延長(zhǎng)線上且CM=CD，EF為半圓O的直徑且FE⊥BM，F(xiàn)E=6，如圖2，點(diǎn)E從點(diǎn)M處沿MB方向運(yùn)動(dòng)，帶動(dòng)半圓O向左平移，每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)停止平移，如圖3，停止平移后半圓O立即繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒轉(zhuǎn)動(dòng)5°，點(diǎn)F落在直線BC上時(shí)，停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(1)如圖1，BF=；(2)如圖2，當(dāng)半圓O與DC邊相切于點(diǎn)P，求EM的長(zhǎng)；(3)如圖3，當(dāng)半圓O過(guò)點(diǎn)C，EF與DC邊交于點(diǎn)Q，①求EF平移和旋轉(zhuǎn)過(guò)程中掃過(guò)的面積；②求CQ的長(zhǎng)；(4)直接寫(xiě)出半圓O與平行四邊形ABCD的邊相切時(shí)t的值．（參考數(shù)據(jù)：sin35°=33【答案】(1)12(2)6?3(3)①EF平移過(guò)程中掃過(guò)的面積為123，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中掃過(guò)的面積為7π2(4)23【分析】（1）連接BF，在Rt△BMF中，利用勾股定理求出BF（2）連接OC，OP，由半圓O與DC邊相切于點(diǎn)P，F(xiàn)E⊥BM得到∠OPC=∠OEC=90°，OP=OE，則OC是∠DCM的角平分線，AD∥BM得到∠D=∠DCM=60°，則∠OCM=12∠DCM=30°，則OE=12（3）①在平移中：ME=MC?CE=23，S平移=ME×EF=123．連接OC，DE，過(guò)點(diǎn)O作ON⊥CE于點(diǎn)N，由題意可知，DE⊥BM，∠DCM=60°，CD=43，CE=12CD=23，在Rt△CED中，②過(guò)點(diǎn)Q作QK⊥CE于點(diǎn)K，由①可得∠DEF=35°，∠DCE=60°，則∠KQE=35°，∠CQK=30°，得到QK=KEtan35°=2（4）分三種情況討論求解即可．【詳解】（1）如圖，連接BF，

在Rt△BMF中，BF=∵AD=BC=23，CM=CD=43，∴BF=2故答案為：12．（2）如圖，連接OC，

∵半圓O與DC邊相切于點(diǎn)P，F(xiàn)E⊥BM，∴∠OPC=∠OEC=90°，∴OC是∠DCM的角平分線，∵AD∥BM，∴∠D=∠DCM=60°，∴∠OCM=1∵OE=1∴CO=2OE=6，在Rt△CEO中，CE=∴EM=MC?CE=6?33∴EM的長(zhǎng)為6?33（3）①平移中：ME=MC?CE=43S平移如圖，連接OC,DE，過(guò)點(diǎn)O作ON⊥CE于點(diǎn)N，

由題意可知，DE⊥BM，∠DCM=60°，CD=43∴CE=1在Rt△CED中，DE=∵OC=OE=1∴∠OCN=∠OEN，△OCE是等腰三角形，∵ON⊥CE，∴NE=12CE=∴sin∠NOE=∴∠NOE=35°，∴∠DEF=∠NOE=35°，在旋轉(zhuǎn)中：∠DEF=35°，EFS旋轉(zhuǎn)∴EF平移過(guò)程中掃過(guò)的面積為123，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中掃過(guò)的面積為7π2．EF平移和旋轉(zhuǎn)過(guò)程中掃過(guò)的面積為②如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QK⊥CE于點(diǎn)K，

由①可得∠DEF=35°，∴∠KQE=35°，∴QK=KEtan35°∵CK+KE=CE=23即2KE=解得KE=63∴CK=62∴CQ=2CK=122答：CQ的長(zhǎng)為122（4）當(dāng)半圓O與DC邊相切于點(diǎn)P時(shí)，t=ME當(dāng)半圓O與AD邊相切時(shí)，即點(diǎn)F與點(diǎn)D重合，此時(shí)ME=MC?CE=43∴t=2當(dāng)半圓O與AB邊相切于點(diǎn)G時(shí)，如圖，

∵∠B=60°，BE=BC+CE=63∴點(diǎn)E到直線AB的距離為sin60°×BE=即此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)G重合，EF⊥AB，∴∠BEF=30°，∴∠DEF=60°，∴t=60綜上，t的值為23【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，讀懂題意，數(shù)形結(jié)合和分類討論是解題的關(guān)鍵．5．（2023·江蘇南京·二模）在平面內(nèi)，將小棒AB經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)，使它調(diào)轉(zhuǎn)方向(調(diào)轉(zhuǎn)前后的小棒不一定在同一條直線上)，那么小棒掃過(guò)區(qū)域的面積如何盡可能地小呢？已知小棒長(zhǎng)度為4，寬度不計(jì)．方案1：將小棒繞AB中點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°到B'A'方案2：將小棒先繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到AC，再繞C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到CB，最后繞B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到B'A'(1)①S1=______，S2②比較S1與S2的大?。?參考數(shù)據(jù)：π≈3.14，(2)方案2可優(yōu)化為方案3：首次旋轉(zhuǎn)后，將小棒先沿著小棒所在的直線平移再分別進(jìn)行第2、3次旋轉(zhuǎn)，三次旋轉(zhuǎn)掃過(guò)的面積會(huì)重疊更多，最終小棒掃過(guò)的區(qū)域是一個(gè)等邊三角形．①補(bǔ)全方案3的示意圖；②設(shè)方案3中小棒掃過(guò)區(qū)域的面積為S3，求S(3)設(shè)計(jì)方案4，使小棒掃過(guò)區(qū)域的面積S4小于S【答案】(1)①4π，8π?83；②(2)①見(jiàn)解析；②S(3)見(jiàn)解析【分析】（1）①利用圓的面積公式計(jì)算S1，利用方案2掃過(guò)區(qū)域?yàn)槿齻€(gè)圓心角為60°且半徑為4的扇形面積減去兩倍△ABC的面積計(jì)算S②利用參考數(shù)據(jù)計(jì)算近似值再比較即可；（2）①依題意補(bǔ)全方案3的示意圖即可；②利用等邊三角形的高是4，計(jì)算出底邊，再利用面積公式計(jì)算即可；（3）作等邊△ABC，首先讓點(diǎn)B在BC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A在CB的延長(zhǎng)線上，運(yùn)動(dòng)，使得AB的長(zhǎng)度保持不變，當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，由此AB邊調(diào)轉(zhuǎn)到ACA'B'邊，接著兩次同樣的方式旋轉(zhuǎn)到BCA【詳解】（1）解：①由依題意得：AB=2r=4，∴r=2，∴S又依題意得：方案2掃過(guò)區(qū)域?yàn)槿齻€(gè)圓心角為60°且半徑為4的扇形面積減去兩倍△ABC的面積．等邊三角形的面積公式：S=34a∴S故答案是：4π，8π?83②∵S1=4π≈4×3.14=12.56，S2∴S1（2）①依題意補(bǔ)全方案3的示意圖如下：

②連接EM，M為切點(diǎn)，則AA'

設(shè)AM=x，則AE=2x，由勾股定理得：AM2+E解得：x=4∴AA∴S3（3）設(shè)計(jì)方案4：如下圖，△ABC是等邊三角形，首先讓點(diǎn)B在BC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A在CB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，使得AB的長(zhǎng)度保持不變，當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，由此AB邊調(diào)轉(zhuǎn)到ACA'B'邊，接著兩次同樣的方式旋轉(zhuǎn)到

對(duì)于第一次旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)AB旋轉(zhuǎn)到DH時(shí)，此時(shí)DH⊥BC，又作DE平行AB依題意得：陰影部分比等邊三角形ABC多三塊全等的圖形，記每塊面積為a，則有a<S△ADF，F(xiàn)為∵S△ADF∴S△ADF∴a<S∴S46．（2023·福建廈門(mén)·一模）點(diǎn)O是直線MN上的定點(diǎn)，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3，頂點(diǎn)A在直線MN上，△ABC從O點(diǎn)出發(fā)沿著射線OM方向平移，BC的延長(zhǎng)線與射線ON交于點(diǎn)D，且在平移過(guò)程中始終有∠BDO=30°，連接OB，OC，OB交AC于點(diǎn)P，如圖所示．(1)以O(shè)為圓心，OD為半徑作圓，交射線OM于點(diǎn)E．①當(dāng)點(diǎn)B在⊙O上時(shí)，求BE的長(zhǎng)；②⊙O的半徑為r，當(dāng)△ABC平移距離為2r時(shí)，判斷點(diǎn)C與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)在平移過(guò)程中，是否存在OC=OP的情形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)O到直線BC的距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)①23π；②點(diǎn)C在⊙(2)存在，3?【分析】（1）①根據(jù)圓的基本性質(zhì)和等邊三角形性質(zhì)求出∠BAD=90°，再根據(jù)銳角三角函數(shù)求出半徑BO的長(zhǎng)，最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解即可；②過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC于H，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出AD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出半徑OD的長(zhǎng)，再根據(jù)三角函數(shù)求出HD的長(zhǎng)，最后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)與判定證出OC=OD即可得解；（2）解法一：過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC于H，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于G，交BO于點(diǎn)E，連接EC，先根據(jù)ASA證出△ABE≌△DCO，得到BE=CO，進(jìn)而得到CE=CO，設(shè)∠EBG=α，在△OPC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出α的度數(shù)，進(jìn)而得出∠1=45°=∠2，再根據(jù)三角函數(shù)得到CH和HD關(guān)于r的代數(shù)式，最后根據(jù)CH+HD=CD，列方程求解出r，即可得出OH的長(zhǎng)；解法二：過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC于H，先證出△BAO∽△CHO，得到OAAB=OHCH，根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)求出OH的代數(shù)式，進(jìn)而得出CH的代數(shù)式，根據(jù)OAAB【詳解】（1）①∵點(diǎn)B在⊙O上，∴OB=OD，∴∠OBD=∠ODB=30°，∴∠AOB=60°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，∵∠OBD=30°，∴在△ABD中，∠BAD=90°，∵在Rt△AOB中，sin∴BO=AB∴BE=②點(diǎn)C在⊙O上，理由如下：過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC于H，∠BDO=30°，∠ABC=60°，∴在Rt△BAD中，tan∴AD=ABtan∠BDO∴CD=BD?BC=3∴AD=OA+OD=3，∵OA=2r，OD=r，∴3r=3，r=1，即OD=1，∵在Rt△ODH中，∠BDO=30°，cos∴HD=OD?cos∵CD=3∴HD=CH=1∵OH⊥BC，∴OC=OD，∴點(diǎn)C在⊙O上；（2）解法一：存在OC=OP的情形，理由如下：過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC于H，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于G，交BO于點(diǎn)E，連接EC，若存在OC=OP，則∠OPC=∠OCP，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，∴∠OPC=∠APB=180°?∠BAC?∠1=120°?∠1，∴∠OCP=180°?∠ACB?∠2=120°?∠2，∴∠1=∠2，∵AG⊥BC，∴∠3=12∠BAC=30°∴BE=CE，∵∠1=∠2，AB=CD=3，∠3=∠ODC=30°∴△ABE≌△DCOASA∴BE=CO，又∵BE=CE，∴CE=CO，設(shè)∠EBG=α，則∠ECB=∠EBG=α，∴∠OEC=∠COP=2α，∵∠1=∠ABC?∠EBG=60°?α，∴∠OPC=∠OCP=120°?∠1=60°+α，∴在△OPC中，260°+α∴α=15°，∴∠1=45°=∠2，∴在Rt△OHC中，∠OCH=45°∴CH=OH，∵在Rt△ODH中，∠ODH=30°∴OH=1∴HD=3∵CH+HD=CD，∴12解得r=3?3此時(shí)AO=AD?r=3，OH=∴當(dāng)平移距離AO為3時(shí)，OC=OP，此時(shí)點(diǎn)O到直線BC的距離為3?3解法二：存在OC=OP的情形，理由如下：過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC于H，若存在OC=OP，則∠OPC=∠OCP，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，∴∠OPC=∠APB=180°?∠BAC?∠1=120°?∠1，∴∠OCP=180°?∠ACB?∠2=120°?∠2，∴∠1=∠2，∵∠BAO=∠CHO=90°，∴△BAO∽△CHO，∴OAAB∵在Rt△ODH中，∠ODH=30°∴OH=1∴HD=3∴CH=CD?HD=3又∵OA=AD?r=3?r，∴3?r3化簡(jiǎn)得3?r=r解得r1=3+3經(jīng)檢驗(yàn)，r1，r∵OA=3?r≥0，∴r≤3，∴r=3?3此時(shí)AO=AD?r=3，OH=∴當(dāng)平移距離AO為3時(shí)，OC=OP，此時(shí)點(diǎn)O到直線BC的距離為3?3【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形和圓的綜合題，運(yùn)用到了圓的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角函數(shù)，弧長(zhǎng)公式，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，含30°的直角三角形的性質(zhì)等眾多知識(shí)點(diǎn)，復(fù)雜程度高，綜合性強(qiáng)．題型03與圓有關(guān)的翻折問(wèn)題7．（2023·安徽淮南·一模）如圖，已知，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)．(1)如圖①，將AC沿弦AC翻折，交AB于D，若點(diǎn)D與圓心O重合，AC=23，則⊙O的半徑為(2)如圖②，將BC沿弦BC翻折，交AB于D，把BD沿直徑AB翻折，交BC于點(diǎn)E．（Ⅰ）若點(diǎn)E恰好是翻折后的BD的中點(diǎn)，則∠B的度數(shù)為；（Ⅱ）如圖③，連接DE，若AB=10，OD=1，求線段DE的長(zhǎng)．【答案】(1)2(2)（Ⅰ）22.5°；（Ⅱ）DE=2【分析】（1）過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AC，垂足為M，結(jié)合垂徑定理，在Rt△AOM中求得∠OAM=30°，再由OA=（2）（Ⅰ）連接CA、CD、DE，可以得到AC=CD=DE=EB，進(jìn)而得到（Ⅱ）連接連接CA、CD、OC，由（Ⅰ）知，AC=CD=DE，則∠A=∠ADC，由OA=OC，則∠A=∠ACO，進(jìn)而可證得△CAD∽△OAC，利用其性質(zhì)求得AC，即為DE．【詳解】（1）解：如圖①，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AC，垂足為M，交圓于點(diǎn)N，則AM=MC=1∵將AC沿弦AC翻折，交AB于D，點(diǎn)D與圓心O重合，∴OM=MN=1在Rt△AOM中，sin∴∠OAM=30°，∴OA=AM∴⊙O的半徑為2，故答案為：2；（2）（Ⅰ）如圖②，連接CA、CD、DE，∵點(diǎn)E恰好是翻折后的BD的中點(diǎn)，∴DE=∵∠ABC=∠DBC=∠DBE，∴AC=∴AC=CD=DE=EB，∴∠EDB=∠B，∴∠DCE=∠DEC=∠EDB+∠B=2∠B，∴∠CAD=∠CDA=∠DCE+∠B=3∠B，∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∴∠CAD+∠B=90°，∴4∠B=90°，∴∠B=22.5°，故答案為：22.5°；（Ⅱ）如圖③，連接連接CA、CD、OC，∵AB=10，OD=1，∴OA=12AB=5由（Ⅰ）知，AC=CD=DE，則∠A=∠ADC，又∵OA=OC，則∠A=∠ACO，∴∠ADC=∠ACO，∠A=∠A，∴△CAD∽△OAC，∴ADAC=AC∴AC=25∴DE=25【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，解直角三角形，三角形相似等知識(shí)點(diǎn)，（2）（Ⅰ）的關(guān)鍵是找到∠B所對(duì)的三段弧都相等，進(jìn)而得到幾個(gè)等腰三角形；（Ⅱ）的關(guān)鍵是把求DE轉(zhuǎn)化成求AC，再考慮相似．8．（2022·河北保定·一模）Rt△ABC，∠C=90°，BC=6，tanB=43，E，F(xiàn)分別在AC，BC邊上，且EF=5，將△EFC沿EF翻折至(1)CF=3時(shí)，CC'=_________，O(2)若以F，C，E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求CF的長(zhǎng)；(3)在（2）的條件下，求點(diǎn)O到AB的距離；(4)△EFC的面積最大是_______．(5)直接寫(xiě)出半圓O過(guò)△ABC的外心時(shí)，CF的值．【答案】(1)245，(2)CF=3或4(3)OD=2310(4)25(5)CF=3【分析】（1）先利用正切的定義求出AC=8，由勾股定理求出AB=10，CE=4，得到EF是△ABC的中位線，則EF∥AB，證明CC'⊥AB，點(diǎn)C'在AB上，由等積法即可得到CC'=245，由點(diǎn)O到AB（2）分△EFC∽△ABC和△FEC∽△ABC兩種情況分別進(jìn)行求解即可；（3）連接OA，OB，OC，過(guò)O分別作OD⊥AB于D，OM⊥BC于M，（4）在△EFC中，hEF≤OC=1（5）建立直角坐標(biāo)系，由點(diǎn)A8,0，B0,6得到AB的中點(diǎn)D為4,3，設(shè)F0,y，Ex,0，則【詳解】（1）解：如圖，Rt△ABC，∠C=90°，BC=6，tan∴AC=BC?tan∴AB=A∵∠C=90°，CF=3，EF=5，∴CE=E∴CE=1∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥∵CC'⊥EF，且EF∴CC'⊥AB，點(diǎn)C∵12∴hAB∴CC∵點(diǎn)O到AB的距離是點(diǎn)C到AB的距離的一半，∴點(diǎn)O到AB的距離是125故答案為：245，（2）∵∠C=90°，BC=6，∴43∴AC=8，由勾股定理，得AB=10．①當(dāng)CFBC=CE即CF6解得CF=3，CE=4；②當(dāng)CFAC=CE即CF8解得CF=4，CE=8．∴CF=3或4；（3）由（2）和（1）可知，CF=3時(shí)，O到AB的距離為125連接OA，OB，OC，過(guò)O分別作OD⊥AB于D，OM⊥BC于M，

∵O為EF中點(diǎn)，∠ACB=90°，∴OM∥EC，ON∥FC．∵OM=12CE當(dāng)CF=4時(shí)，CE=3．∴OM=32，∴S△AOC+S∴12×3同理當(dāng)CF=3時(shí)，CE=4．∴ON=32，∴12∴OD=12故OD=2310或（4）∵在△EFC中，hEF∴S△EFC故答案為：25（5）如圖，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

∵點(diǎn)A8,0，B∴AB的中點(diǎn)D為4,3，設(shè)F0,y，E則O'由題意得，x2解得x=4y=3∴CF=y=3．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理、三角形中位線定理、三角形的外心的性質(zhì)等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合和分類討論是解題的關(guān)鍵．9．（2021·貴州黔西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知AB為⊙O的直徑，CD為弦．CD=43，AB與CD交于點(diǎn)E，將CD沿CD翻折后，點(diǎn)A與圓心O重合，延長(zhǎng)BA至P，使AP=OA，連接PC(1)求⊙O的半徑；(2)求證：PC是⊙O的切線；(3)點(diǎn)N為ADB的中點(diǎn)，在PC延長(zhǎng)線上有一動(dòng)點(diǎn)M，連接MN交AB于點(diǎn)G．交BC于點(diǎn)F（F與B、C不重合）．求NG?NF的值．【答案】(1)4；(2)見(jiàn)解析；(3)32．【分析】（1）連接OC，根據(jù)翻折的性質(zhì)求出CD⊥OA，再利用解直角三角形求解即可；（2）利用勾股定理列式求出PC，然后利用勾股定理逆定理求出∠PCO=90°，再根據(jù)圓的切線的定義證明即可；（3）連接NA、AF、NB，根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等可得∠BAN=∠AFN，然后根據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等兩三角相似求出△ANG和△FNA相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得ONNF=NGNH，從而得到NG?NF【詳解】（1）如圖，連接OC，∵CD沿CD翻折后，點(diǎn)A與圓心O重合，∴OE=AE=12OA∵AB為⊙O的直徑，CD為弦．∴CD⊥OA，CE=1∴∠CEO=90°，∵OC=OA，OE=AE=12OA∴sin∠OCE=∴∠ECO=30°，又cos∠ECO=∴OC=CE（2）∵PA=OA=4，AE=OE=2，CE=12CD=23，∠∴PC=EC∵OC=4，PO=4+4=8，∴PC2+OC2=（43）2+42=64=PO2∴∠PCO=90°，∴PC是⊙O的切線；（3）NG?NF是定值，證明如下，連接NO并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)H，連接HF，∵點(diǎn)N為ADB的中點(diǎn)，∴∠NOG=90°，∵∠HFN=90°，且∠ONG=∠FNH，∴△ONG∽△FNH，∴ONNF∴NG?NF=ON?NH=4×8=32．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題型，主要利用了翻折變換的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，勾股定理逆定理，圓的切線的定義以及解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造出相似三角形．題型04與圓有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題10．（2023·江蘇常州·一模）如圖1，將一個(gè)三角形紙板△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ到達(dá)△AB'C'的位置，那么可以得到：AB=AB'，(1)上述問(wèn)題情境中“（________）”處應(yīng)填理由：______________________________________；(2)如圖2，將一個(gè)半徑為4cm，圓心角為60°的扇形紙板ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到達(dá)扇形紙板A①請(qǐng)?jiān)趫D中作出點(diǎn)O；②如果BB'=6cm，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)(3)如果將與（2）中完全相同的兩個(gè)扇形紙板重疊，一個(gè)固定在墻上，使得一邊位于水平位置．另一個(gè)在弧的中點(diǎn)處固定，然后放開(kāi)紙板，使其擺動(dòng)到豎直位置時(shí)靜止．此時(shí)，兩個(gè)紙板重疊部分的面積是多少(如圖3)？【答案】(1)旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等(2)①作圖見(jiàn)詳解；②3(3)8π?8【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求解；（2）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心在對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)處即可求解；②根據(jù)弧長(zhǎng)公式的計(jì)算方法即可求解；（3）如圖所示，連接PA'交AC于點(diǎn)M，連接PA交A'B'于點(diǎn)N，連接PD，AA'，PB'，PC【詳解】（1）解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，∴應(yīng)填理由為：旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，故答案為：旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等；（2）解：①根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心為對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)，作圖如下：②如圖所示，點(diǎn)B繞點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到B'∴∠BOB'=90°，OB=O∴在Rt△BOB'∴BB故答案為：32（3）解：如圖所示，連接PA'交AC于點(diǎn)M，連接PA交A'B'于點(diǎn)N∵點(diǎn)P為BC中點(diǎn)，∴∠PAC=∠PAB=1根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，∠PA'B'=∠P在Rt△PAM中，∠PAM=30°，PA=4∴sin∠PAM=sin30°=PMPA在Rt△A'DM中，∴cos∠PA'∴DM=1∴S△A'∴陰影部分S陰影根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，同理，S△ADP=S∴陰影部分S陰影∴陰影部分的面積為S陰影【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)中心的確定，弧長(zhǎng)公式的計(jì)算，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)的計(jì)算方法，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長(zhǎng)的計(jì)算方法，不規(guī)則圖形面積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．11．（2023·廣東云浮·二模）如圖，A，B，C是⊙O上的三點(diǎn)，且AB=AC，BC=8，點(diǎn)D為優(yōu)弧BDC上的動(dòng)點(diǎn)，且cos∠ABC=(1)如圖1，若∠BCD=∠ACB，延長(zhǎng)DC到F，使得CF=CA，連接AF，求證：AF是⊙O的切線；(2)如圖2，若∠BCD的角平分線與AD相交于E，求⊙O的半徑與AE的長(zhǎng)；(3)如圖3，將△ABC的BC邊所在的直線l1繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到l2，直線l2與⊙O相交于M，N，連接AM，AN【答案】(1)見(jiàn)解析(2)⊙O的半徑為256，(3)l2在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，AM?AN【分析】（1）連接AO，先證∠BCD=∠ABC，推出AB∥DF，得到四邊形ABCF是平行四邊形，AF∥BC，再得到（2）連接AO交BC于H，連接OB，由垂徑定理得BH=CH=12BC=4，根據(jù)cos∠ABC=BHAB=45，求出AB=5，設(shè)⊙O的半徑為x，則OA=OB=x，OH=x?3，在Rt△BOH中，由勾股定理求出（3）連接AO，并延長(zhǎng)AO交⊙O于Q，連接NQ，過(guò)點(diǎn)A作AP⊥l2于P，證明△AQM∽△ANP，得到AM?AN=AP?AQ，由（2）可知，點(diǎn)A到直線l1的距離為3，直線l1繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到l2，A【詳解】（1）證明：連接AO，如圖1所示：圖1∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠BCD=∠ACB，∴∠BCD=∠ABC，∴AB∥DF，∵CF=CA，∴CF=AB，∴四邊形ABCF是平行四邊形，∴AF∥∵AB=AC，∴AB=∴OA⊥BC，∴OA⊥AF，∵OA是⊙O的半徑，∴AF是⊙O的切線；（2）解：連接AO交BC于H，連接OB，如圖2所示：

圖2∵OA⊥BC，∴BH=CH=1∵cos∠ABC=∴AB=5在Rt△AHB中，由勾股定理得：AH=A設(shè)⊙O的半徑為x，則OA=OB=x，OH=x?3，在Rt△BOH中，由勾股定理得：x解得：x=25∴⊙O的半徑為256∵CE平分∠BCD，∴∠BCE=∠DCE，∵∠ABC=∠ADC，∴∠AEC=∠ADC+∠DCE=∠ABC+∠DCE=∠ACB+∠BCE=∠ACE，∴AE=AC=AB=5；（3）解：連接AO，并延長(zhǎng)AO交⊙O于Q，連接NQ，過(guò)點(diǎn)A作AP⊥l2于則AQ是⊙O的直徑，圖3∴∠AMQ=90°，∵AP⊥l2，∴∴∠AMQ=∠APN，∵∠AQM=∠ANP，∴△AQM∽△ANP，∴AMAP∴AM?AN=AP?AQ，由（2）可知，點(diǎn)A到直線l1的距離為3，直線l1繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到∴點(diǎn)A到直線l2∴AP=3，∵AQ=2OA=2×25∴AM?AN=AP?AQ=3×25∴l(xiāng)2在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，AM?AN【點(diǎn)睛】此題考查銳角三角函數(shù)，證明直線是圓的切線，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，等知識(shí)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并綜合應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．12．如圖1，已知∠ABC=60°，點(diǎn)O在射線BC上，且OB=4．以點(diǎn)O為圓心，rr>0為半徑作⊙O，交直線BC于點(diǎn)D，E(1)當(dāng)⊙O與∠ABC只有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，r的取值范圍是________．(2)當(dāng)r=22時(shí)，將射線BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α①若BA與⊙O相切，求α的度數(shù)為多少；②如圖2，射線BA與⊙O交于M，N兩點(diǎn)，若MN=OB，求陰影部分的面積．【答案】(1)0<r≤23或(2)①15°或105°；②2π?4【分析】（1）根據(jù)題意，需要分兩種情況：①在點(diǎn)D未到達(dá)點(diǎn)B前，⊙O與射線BC有兩個(gè)交點(diǎn)；②當(dāng)半徑大于OB時(shí)，，圓O分別與射線BA，BC有一個(gè)交點(diǎn)，求出臨界狀態(tài)的r即可得出結(jié)論；（2）①需要分成兩種情況：當(dāng)射線BA在射線BC的上方與⊙O相切時(shí)，當(dāng)射線BA在射線BC的下方與⊙O相切時(shí)，分別求出對(duì)應(yīng)的α即可；②連接OM，ON，過(guò)點(diǎn)O作OQ⊥MN于點(diǎn)Q，由垂徑定理可知，MQ=NQ=12MN=2【詳解】（1）解：（1）根據(jù)題意，需要分兩種情況：①在點(diǎn)D未到達(dá)點(diǎn)B前，⊙O與射線BC有兩個(gè)交點(diǎn)．如圖1，當(dāng)⊙O與AB相切于點(diǎn)G，連接OG，則OG⊥AB，比相切之前

∵∠ABC=60°，∴∠BOG=30°，∴BG=12OB=2即此時(shí)r=23只要半徑0<r<23②當(dāng)半徑大于OB時(shí)，⊙O分別與射線BA，BC有一個(gè)交點(diǎn)，如圖2，當(dāng)點(diǎn)D剛好與點(diǎn)B重合，此時(shí)r=4，

結(jié)合圖形可知，r的取值范圍為0<r<23或r（2）解：①如圖3，當(dāng)射線BA在射線BC的上方與⊙O相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為P，連接OP，∵OB=4，OP=22∴sin∠ABC=∴∠ABC=45∴α=60°?45°=15°，

如圖4，當(dāng)射線BA在射線BC的下方與⊙O相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為P，連接OP，同理∠ABC=45∴α=60°+45°=105°，

綜上所述，當(dāng)α為15°或105°時(shí)，射線BA與⊙O相切；②如圖5，連接OM，ON，過(guò)點(diǎn)O作OQ⊥MN于點(diǎn)Q，

∴MQ=NQ=1∵OM=22∴sin∠MOQ∴∠MOQ=45°，∴∠MON=2∠MOQ=90°，∴S陰影【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定、垂徑定理、解直角三角形以及扇形面積的計(jì)算方法，關(guān)鍵是求出∠MON的度數(shù)．題型05與圓有關(guān)的最值問(wèn)題13．（23-24九年級(jí)上·浙江寧波·期中）如圖1，E點(diǎn)為x軸正半軸上一點(diǎn)，⊙E交x軸于A、B兩點(diǎn)，P點(diǎn)為劣弧BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且A(?1,0)、E(1,0)．(1)BC的度數(shù)為°；(2)如圖2，連結(jié)PC，取PC中點(diǎn)G，則OG的最大值為；(3)如圖3，連接AC、AP、CP、CB．若CQ平分∠PCD交PA于Q點(diǎn)，求AQ的長(zhǎng)；(4)如圖4，連接PA、PD，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與B、C兩點(diǎn)重合），求證：PC+PDPA【答案】(1)120(2)2(3)AQ=2(4)PC+PDPA【分析】（1）由已知條件可以得到CD垂直平分AE，所以CA=CE，由于CE=AE，所以可以證得三角形ACE為等邊三角形，得到∠CEB=120°；（2）由于直徑AB⊥CD，根據(jù)垂徑定理，可以得到O是CD的中點(diǎn)，又G是CP的中點(diǎn)，連接PD，則OG∥PD，OG=12PD，要求OG最大值，只需要求PD最大值，由于P是