信號與系統(tǒng)-課件

第一章信號與系統(tǒng)1.1緒言

一、信號的概念二、系統(tǒng)的概念1.2信號的描述與分類

一、信號的描述二、信號的分類1.3信號的基本運算

一、加法和乘法二、時間變換1.4階躍函數和沖激函數

一、階躍函數二、沖激函數

三、沖激函數的性質四、序列δ(k)和ε(k)1.5系統(tǒng)的性質及分類

一、系統(tǒng)的定義二、系統(tǒng)的分類及性質

1.6系統(tǒng)的描述

一、連續(xù)系統(tǒng)二、離散系統(tǒng)

1.7LTI系統(tǒng)分析方法概述點擊目錄，進入相關章節(jié)1ppt課件

什么是信號？什么是系統(tǒng)？為什么把這兩個概念連在一起？一、信號的概念1.消息(message):人們常常把來自外界的各種報道統(tǒng)稱為消息。2.信息(information):

通常把消息中有意義的內容稱為信息。本課程中對“信息”和“消息”兩詞不加嚴格區(qū)分。1.1緒論第一章信號與系統(tǒng)它是信息論中的一個術語。2ppt課件1.1緒論3.信號(signal):信號是信息的載體。通過信號傳遞信息。

信號我們并不陌生，如剛才鈴聲—聲信號，表示該上課了；十字路口的紅綠燈—光信號，指揮交通；電視機天線接受的電視信息—電信號；廣告牌上的文字、圖象信號等等。

為了有效地傳播和利用信息，常常需要將信息轉換成便于傳輸和處理的信號。3ppt課件二、系統(tǒng)的概念

一般而言，系統(tǒng)(system)是指若干相互關聯(lián)的事物組合而成具有特定功能的整體。

如手機、電視機、通信網、計算機網等都可以看成系統(tǒng)。它們所傳送的語音、音樂、圖象、文字等都可以看成信號。信號的概念與系統(tǒng)的概念常常緊密地聯(lián)系在一起。

信號的產生、傳輸和處理需要一定的物理裝置，這樣的物理裝置常稱為系統(tǒng)。

系統(tǒng)的基本作用是對輸入信號進行加工和處理，將其轉換為所需要的輸出信號。系統(tǒng)輸入信號激勵輸出信號響應1.1緒論4ppt課件1.2信號的描述和分類第一章信號與系統(tǒng)一、信號的描述

信號是信息的一種物理體現(xiàn)。它一般是隨時間或位置變化的物理量。

信號按物理屬性分：電信號和非電信號。它們可以相互轉換。電信號容易產生，便于控制，易于處理。本課程討論電信號---簡稱“信號”。電信號的基本形式：隨時間變化的電壓或電流。描述信號的常用方法（1）表示為時間的函數（2）信號的圖形表示--波形“信號”與“函數”兩詞常相互通用。5ppt課件1.2信號的描述和分類二、信號的分類1.確定信號和隨機信號

可以用確定時間函數表示的信號，稱為確定信號或規(guī)則信號。如正弦信號。若信號不能用確切的函數描述，它在任意時刻的取值都具有不確定性，只可能知道它的統(tǒng)計特性，如在某時刻取某一數值的概率，這類信號稱為隨機信號或不確定信號。電子系統(tǒng)中的起伏熱噪聲、雷電干擾信號就是兩種典型的隨機信號。

研究確定信號是研究隨機信號的基礎。本課程只討論確定信號。6ppt課件1.2信號的描述和分類2.連續(xù)信號和離散信號

根據信號定義域的特點可分為連續(xù)時間信號和離散時間信號。

在連續(xù)的時間范圍內(-∞<t<∞）有定義的信號稱為連續(xù)時間信號，簡稱連續(xù)信號。實際中也常稱為模擬信號。這里的“連續(xù)”指函數的定義域—時間是連續(xù)的，但可含間斷點，至于值域可連續(xù)也可不連續(xù)。值域連續(xù)值域不連續(xù)（1）連續(xù)時間信號：7ppt課件1.2信號的描述和分類

僅在一些離散的瞬間才有定義的信號稱為離散時間信號，簡稱離散信號。實際中也常稱為數字信號。這里的“離散”指信號的定義域—時間是離散的，它只在某些規(guī)定的離散瞬間給出函數值，其余時間無定義。

如右圖的f(t)僅在一些離散時刻tk(k=0,±1,±2,…)才有定義，其余時間無定義。相鄰離散點的間隔Tk=tk+1-tk可以相等也可不等。通常取等間隔T，離散信號可表示為f(kT)，簡寫為f(k)，這種等間隔的離散信號也常稱為序列。其中k稱為序號。離散時間信號：8ppt課件1.2信號的描述和分類上述離散信號可簡畫為用表達式可寫為或寫為f(k)={…，0，1，2，-1.5，2，0，1，0，…}↑k=0通常將對應某序號m的序列值稱為第m個樣點的“樣值”。9ppt課件1.2信號的描述和分類3.周期信號和非周期信號

周期信號(periodsignal)是定義在(-∞，∞)區(qū)間，每隔一定時間T(或整數N），按相同規(guī)律重復變化的信號。連續(xù)周期信號f(t)滿足

f(t)=f(t+mT)，m=0,±1,±2,…離散周期信號f(k)滿足

f(k)=f(k+mN)，m=0,±1,±2,…滿足上述關系的最小T(或整數N)稱為該信號的周期。不具有周期性的信號稱為非周期信號。10ppt課件1.2信號的描述和分類例1

判斷下列信號是否為周期信號，若是，確定其周期。（1）f1(t)=sin2t+cos3t（2）f2(t)=cos2t+sinπt解：兩個周期信號x(t)，y(t)的周期分別為T1和T2，若其周期之比T1/T2為有理數，則其和信號x(t)+y(t)仍然是周期信號，其周期為T1和T2的最小公倍數。（1）sin2t是周期信號，其角頻率和周期分別為

ω1=2rad/s，T1=2π/ω1=πscos3t是周期信號，其角頻率和周期分別為

ω2=3rad/s，T2=2π/ω2=(2π/3)s由于T1/T2=3/2為有理數，故f1(t)為周期信號，其周期為T1和T2的最小公倍數2π。（2）

cos2t和sinπt的周期分別為T1=πs，T2=2s，由于T1/T2為無理數，故f2(t)為非周期信號。11ppt課件1.2信號的描述和分類例2

判斷正弦序列f(k)=sin(βk)是否為周期信號，若是，確定其周期。解

f

(k)=sin(βk)=sin(βk+2mπ)，m=0,±1,±2,…式中β稱為正弦序列的數字角頻率，單位：rad。由上式可見：僅當2π/β為整數時，正弦序列才具有周期N=2π/β。當2π/β為有理數時，正弦序列仍為具有周期性，但其周期為N=M(2π/β)，M取使N為整數的最小整數。當2π/β為無理數時，正弦序列為非周期序列。12ppt課件1.2信號的描述和分類例3

判斷下列序列是否為周期信號，若是，確定其周期。（1）f1(k)=sin(3πk/4)+cos(0.5πk)

（2）f2(k)=sin(2k)解（1）sin(3πk/4)和cos(0.5πk)的數字角頻率分別為β1=3π/4rad，β2=0.5πrad由于2π/β1=8/3，2π/β2=4為有理數，故它們的周期分別為N1=8，N1=4，故f1(k)為周期序列，其周期為N1和N2的最小公倍數8。（2）sin(2k)的數字角頻率為β1=2rad；由于2π/β1=π為無理數，故f2(k)=sin(2k)為非周期序列。由上面幾例可看出：①連續(xù)正弦信號一定是周期信號，而正弦序列不一定是周期序列。②兩連續(xù)周期信號之和不一定是周期信號，而兩周期序列之和一定是周期序列。13ppt課件1.2信號的描述和分類4．能量信號與功率信號

將信號f(t)施加于1Ω電阻上，它所消耗的瞬時功率為|f(t)|2，在區(qū)間(–∞,∞)的能量和平均功率定義為（1）信號的能量E（2）信號的功率P

若信號f(t)的能量有界，即E<∞,則稱其為能量有限信號，簡稱能量信號。此時P=0

若信號f(t)的功率有界，即P<∞,則稱其為功率有限信號，簡稱功率信號。此時E=∞14ppt課件1.2信號的描述和分類

相應地，對于離散信號，也有能量信號、功率信號之分。

若滿足的離散信號，稱為能量信號。若滿足的離散信號，稱為功率信號。

時限信號(僅在有限時間區(qū)間不為零的信號)為能量信號;周期信號屬于功率信號，而非周期信號可能是能量信號，也可能是功率信號。

有些信號既不是屬于能量信號也不屬于功率信號，如f(t)=et。15ppt課件1.2信號的描述和分類5．一維信號與多維信號

從數學表達式來看，信號可以表示為一個或多個變量的函數，稱為一維或多維函數。

語音信號可表示為聲壓隨時間變化的函數，這是一維信號。而一張黑白圖像每個點(像素)具有不同的光強度，任一點又是二維平面坐標中兩個變量的函數，這是二維信號。還有更多維變量的函數的信號。本課程只研究一維信號，且自變量多為時間。6．因果信號與反因果信號

常將t=0時接入系統(tǒng)的信號f(t)[即在t<0，f(t)=0]稱為因果信號或有始信號。階躍信號是典型的一個。而將t≥0，f(t)=0的信號稱為反因果信號。16ppt課件1.3信號的基本運算

還有其他分類，如實信號與復信號；左邊信號與右邊信號等等。1.3信號的基本運算一、信號的＋、－、×運算

兩信號f1(·)和f2

(·)的相+、－、×指同一時刻兩信號之值對應相加減乘。如17ppt課件1.3信號的基本運算二、信號的時間變換運算

1.反轉

將f

(t)→f

(–t)，f

(k)→f

(–k)稱為對信號f(·)的反轉或反折。從圖形上看是將f(·)以縱坐標為軸反轉180o。如18ppt課件1.3信號的基本運算

2.平移

將f

(t)→f

(t–t0)，f

(k)→f

(t–k0)稱為對信號f(·)的平移或移位。若t0(或k0)>0，則將f(·)右移；否則左移。如右移t→t–1左移t→t+119ppt課件1.3信號的基本運算平移與反轉相結合法一：①先平移f

(t)→f

(t+2)②再反轉f

(t+2)→f

(–t+2)法二：①先反轉f

(t)→f

(–t)畫出f

(2–t)。②再平移f

(–t)→f

(–t+2)左移右移=f

[–(t–2)]注意：是對t的變換！20ppt課件1.3信號的基本運算

3.尺度變換（橫坐標展縮）

將f

(t)→f

(at)，稱為對信號f(t)的尺度變換。若a>1，則波形沿橫坐標壓縮；若0<a<1，則展開。如t→2t

壓縮t→0.5t

展開對于離散信號，由于f

(ak)僅在為ak

為整數時才有意義，進行尺度變換時可能會使部分信號丟失。因此一般不作波形的尺度變換。21ppt課件1.3信號的基本運算平移、反轉、尺度變換相結合已知f

(t)，畫出f

(–4–2t)。三種運算的次序可任意。但一定要注意始終對時間t進行。壓縮，得f

(2t–4)反轉，得f

(–2t–4)右移4，得f

(t–4)22ppt課件1.3信號的基本運算壓縮，得f

(2t)右移2，得f

(2t–4)反轉，得f

(–2t–4)也可以先壓縮、再平移、最后反轉。23ppt課件1.3信號的基本運算若已知f

(–4–2t)，畫出f

(t)。反轉，得f

(2t–4)展開，得f

(t–4)左移4，得f

(t)24ppt課件1.4階躍函數和沖激函數

階躍函數和沖激函數不同于普通函數，稱為奇異函數。研究奇異函數的性質要用到廣義函數（或分配函數）的理論。這里將直觀地引出階躍函數和沖激函數。1.4階躍函數和沖激函數一、階躍函數

下面采用求函數序列極限的方法定義階躍函數。選定一個函數序列γn(t)如圖所示。n→∞25ppt課件1.4階躍函數和沖激函數階躍函數性質：（1）可以方便地表示某些信號f(t)=2ε(t)-3ε(t-1)+ε(t-2)（2）用階躍函數表示信號的作用區(qū)間（3）積分26ppt課件1.4階躍函數和沖激函數二、沖激函數

單位沖激函數是個奇異函數，它是對強度極大，作用時間極短一種物理量的理想化模型。它由如下特殊的方式定義（由狄拉克最早提出）也可采用下列直觀定義：對γn(t)求導得到如圖所示的矩形脈沖pn(t)。

高度無窮大，寬度無窮小，面積為1的對稱窄脈沖。

27ppt課件1.4階躍函數和沖激函數沖激函數與階躍函數關系：可見，引入沖激函數之后，間斷點的導數也存在。如f(t)=2ε(t+1)-2ε(t-1)f′(t)=2δ(t+1)-2δ(t-1)求導n→∞n→∞28ppt課件1.4階躍函數和沖激函數三、沖激函數的性質

1.與普通函數f(t)的乘積——取樣性質若f(t)在t=0、t=a處存在，則

f(t)δ(t)=f(0)δ(t)，f(t)δ(t–a)=f(a)δ(t–a)0ε(t)29ppt課件1.4階躍函數和沖激函數

2.沖激函數的導數δ’(t)（也稱沖激偶）

f(t)δ’(t)=f(0)δ’(t)–f’(0)δ(t)證明：[f(t)δ(t)]’=f(t)δ’(t)+f’(t)δ(t)f(t)δ’(t)=[f(t)δ(t)]’–f’(t)δ(t)=f(0)δ’(t)–f’(0)δ(t)δ’(t)的定義：δ(n)(t)的定義：30ppt課件1.4階躍函數和沖激函數

3.δ(t)的尺度變換證明見教材P20推論:(1)δ(2t)=0.5δ(t)(2)當a=–1時所以，δ(–t)=δ(t)為偶函數，

δ’(–t)=–δ’(t)為奇函數31ppt課件1.4階躍函數和沖激函數已知f(t)，畫出g(t)=f’(t)和g(2t)求導，得g(t)壓縮，得g(2t)32ppt課件1.4階躍函數和沖激函數4.復合函數形式的沖激函數

實際中有時會遇到形如δ[f(t)]的沖激函數，其中f(t)是普通函數。并且f(t)=0有n個互不相等的實根ti

(i=1，2，…，n)ε[f(t)]圖示說明：例f(t)=t2–4ε(t2–4)=1–ε(t+2)+ε(t–2)33ppt課件1.4階躍函數和沖激函數ε(t2–4)=1–ε(t+2)+ε(t–2)一般地，這表明，δ[f(t)]是位于各ti處，強度為的n個沖激函數構成的沖激函數序列。注意：如果f(t)=0有重根，δ[f(t)]無意義。34ppt課件1.4階躍函數和沖激函數這兩個序列是普通序列。（1）單位(樣值)序列δ(k)的定義取樣性質：f(k)δ(k)=f(0)δ(k)f(k)δ(k–k0)=f(k0)δ(k–k0)例三、序列δ(k)和ε(k)35ppt課件1.4階躍函數和沖激函數（2）單位階躍序列ε(k)的定義（3）ε(k)與δ(k)的關系δ(k)=ε(k)–ε(k–1)或ε(k)=δ(k)+δ(k–1)+…36ppt課件1.5系統(tǒng)的性質及分類1.5系統(tǒng)的性質及分類一、系統(tǒng)的定義

若干相互作用、相互聯(lián)系的事物按一定規(guī)律組成具有特定功能的整體稱為系統(tǒng)。電系統(tǒng)是電子元器件的集合體。電路側重于局部，系統(tǒng)側重于全部。電路、系統(tǒng)兩詞通用。二、系統(tǒng)的分類及性質

可以從多種角度來觀察、分析研究系統(tǒng)的特征，提出對系統(tǒng)進行分類的方法。下面討論幾種常用的分類法。37ppt課件1.5系統(tǒng)的性質及分類1.連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)

若系統(tǒng)的輸入信號是連續(xù)信號，系統(tǒng)的輸出信號也是連續(xù)信號，則稱該系統(tǒng)為連續(xù)時間系統(tǒng)，簡稱為連續(xù)系統(tǒng)。

若系統(tǒng)的輸入信號和輸出信號均是離散信號，則稱該系統(tǒng)為離散時間系統(tǒng)，簡稱為離散系統(tǒng)。2.動態(tài)系統(tǒng)與即時系統(tǒng)

若系統(tǒng)在任一時刻的響應不僅與該時刻的激勵有關，而且與它過去的歷史狀況有關，則稱為動態(tài)系統(tǒng)或記憶系統(tǒng)。含有記憶元件(電容、電感等)的系統(tǒng)是動態(tài)系統(tǒng)。否則稱即時系統(tǒng)或無記憶系統(tǒng)。3.單輸入單輸出系統(tǒng)與多輸入多輸出系統(tǒng)38ppt課件1.5系統(tǒng)的性質及分類4.線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)滿足線性性質的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。（1）線性性質系統(tǒng)的激勵f(·)所引起的響應y(·)可簡記為

y(·)=T[f(·)]線性性質包括兩方面：齊次性和可加性。

若系統(tǒng)的激勵f(·)增大a倍時，其響應y(·)也增大a倍，即

T

[af(·)]=aT

[f(·)]則稱該系統(tǒng)是齊次的。

若系統(tǒng)對于激勵f1(·)與f2(·)之和的響應等于各個激勵所引起的響應之和，即

T

[f1(·)+f2(·)]=T[f1(·)]+T[f2(·)]則稱該系統(tǒng)是可加的。39ppt課件1.5系統(tǒng)的性質及分類若系統(tǒng)既是齊次的又是可加的，則稱該系統(tǒng)是線性的，即T[af1(·)+bf2(·)]=aT[f1(·)]+bT[f2(·)]（2）動態(tài)系統(tǒng)是線性系統(tǒng)的條件

動態(tài)系統(tǒng)不僅與激勵{f

(·)}有關，而且與系統(tǒng)的初始狀態(tài){x(0)}有關。初始狀態(tài)也稱“內部激勵”。完全響應可寫為

y

(·)=T[{f

(·)},{x(0)}]零狀態(tài)響應為

yf(·)=T[{f

(·)},{0}]零輸入響應為

yx(·)=T[{0}，{x(0)}]40ppt課件1.5系統(tǒng)的性質及分類當動態(tài)系統(tǒng)滿足下列三個條件時該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)：②零狀態(tài)線性：

T[{af

(·)},{0}]=aT[{f

(·)},{0}]T[{f1(t)+f2(t)},{0}]=T[{f1

(·)},{0}]+T[{f2

(·)},{0}]或

T[{af1(t)+bf2(t)},{0}]=aT[{f1

(·)},{0}]+bT[{f2

(·)},{0}]③零輸入線性：

T[{0},{ax(0)}]=aT[{0},{x(0)}]T[{0},{x1(0)+x2(0)}]=T[{0},{x1(0)}]+T[{0},{x2(0)}]或T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}]①可分解性：

y

(·)=yf(·)+yx(·)=T[{f

(·)},{0}]+T[{0}，{x(0)}]41ppt課件1.5系統(tǒng)的性質及分類例1：判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？（1）y

(t)=3x(0)+2f

(t)+x(0)f

(t)+1

（2）y

(t)=2x(0)+|f

(t)|

（3）y

(t)=x2(0)+2f

(t)解：（1）

yf(t)=2f

(t)+1，yx(t)=3x(0)+1顯然，y

(t)≠yf(t)＋yx(t)不滿足可分解性，故為非線性（2）

yf(t)=|f

(t)|，yx(t)=2x(0)

y

(t)=yf(t)+yx(t)滿足可分解性；由于T[{af

(t)},{0}]=|af

(t)|≠ayf(t)不滿足零狀態(tài)線性。故為非線性系統(tǒng)。（3）

yf(t)=2f

(t),yx(t)=x2(0)，顯然滿足可分解性；由于T[{0},{ax(0)}]=[ax(0)]2≠ayx(t)不滿足零輸入線性。故為非線性系統(tǒng)。42ppt課件1.5系統(tǒng)的性質及分類例2：判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？解：y

(t)=yf(t)+yx(t)，滿足可分解性；T[{af1(t)+bf2(t)},{0}]=aT[{f1(t)},{0}]+bT[{f2(t)},{0}]，滿足零狀態(tài)線性；T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=e-t[ax1(0)+bx2(0)]=ae-tx1(0)+be-tx2(0)=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}],滿足零輸入線性；所以，該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。43ppt課件1.5系統(tǒng)的性質及分類5.時不變系統(tǒng)與時變系統(tǒng)滿足時不變性質的系統(tǒng)稱為時不變系統(tǒng)。（1）時不變性質

若系統(tǒng)滿足輸入延遲多少時間，其零狀態(tài)響應也延遲多少時間，即若

T[{0}，f(t)]=yf(t)則有

T[{0}，f(t-

td)]=yf(t-

td)系統(tǒng)的這種性質稱為時不變性（或移位不變性）。44ppt課件1.5系統(tǒng)的性質及分類例：判斷下列系統(tǒng)是否為時不變系統(tǒng)？（1）yf(k)=f

(k)f

(k–1)

（2）yf(t)=tf

(t)

（3）yf(t)=f

(–t)解(1)令g

(k)=f(k–kd)T[{0}，g

(k)]=g(k)g

(k–1)=f

(k–kd)f

(k–kd–1)而yf(k–kd)=f

(k–kd)f

(k–kd–1)顯然T[{0}，f(k–kd)]=yf(k–kd)故該系統(tǒng)是時不變的。(2)令g

(t)=f(t–td)T[{0}，g

(t)]=tg

(t)=tf

(t–td)而yf(t–td)=(t–td)f

(t–td)顯然T[{0}，f(t–td)]≠yf(t–td)故該系統(tǒng)為時變系統(tǒng)。45ppt課件(3)令g

(t)=f(t–td),T[{0}，g

(t)]=g

(–t)=f(–t–td)而yf(t–td)=f

[–(t–td)]，顯然

T[{0}，f(t–td)]≠yf(t–td)故該系統(tǒng)為時變系統(tǒng)。直觀判斷方法：

若f

(·)前出現(xiàn)變系數，或有反轉、展縮變換，則系統(tǒng)為時變系統(tǒng)。

1.5系統(tǒng)的性質及分類46ppt課件1.5系統(tǒng)的性質及分類（2）LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分特性和積分特性

本課程重點討論線性時不變系統(tǒng)(LinearTime-Invariant)，簡稱LTI系統(tǒng)。①微分特性：若f(t)→yf(t)，則f’(t)→y’

f(t)②積分特性：若f(t)→yf(t)，則47ppt課件1.5系統(tǒng)的性質及分類6.因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)零狀態(tài)響應不會出現(xiàn)在激勵之前的系統(tǒng)，稱為因果系統(tǒng)。即對因果系統(tǒng)，當t<t0

，f(t)=0時，有t<t0

，yf(t)=0。如下列系統(tǒng)均為因果系統(tǒng)：yf(t)=3f(t–1)而下列系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)：(1)yf(t)=2f(t+1)(2)yf(t)=f(2t)因為，令t=1時，有yf(1)=2f(2)因為，若f(t)=0，t<t0

，有yf(t)=f(2t)=0,t<0.5t0

。48ppt課件1.5系統(tǒng)的性質及分類例某LTI因果連續(xù)系統(tǒng)，起始狀態(tài)為x(0–)。已知，當x(0–)=1，輸入因果信號f1(t)時，全響應

y1(t)=e–t+cos(πt)，t>0；當x(0-)=2，輸入信號f2(t)=3f1(t)時，全響應

y2(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0；求輸入f3(t)=+2f1(t-1)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應y3f(t)。解設當x(0–)=1，輸入因果信號f1(t)時，系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應分別為y1x(t)、y1f(t)。當x(0-)=2，輸入信號f2(t)=3f1(t)時，系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應分別為y2x(t)、y2f(t)。

49ppt課件1.5系統(tǒng)的性質及分類由題中條件，有y1(t)=y1x(t)+y1f(t)=e–t+cos(πt)，t>0（1）y2(t)=y2x(t)+y2f(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0（2）根據線性系統(tǒng)的齊次性，y2x(t)=2y1x(t)，y2f(t)=3y1f(t)，代入式（2）得

y2(t)=2y1x(t)+3y1f(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0（3）式(3)–2×式(1)，得

y1f(t)=–4e-t+cos(πt)，t>0由于y1f(t)是因果系統(tǒng)對因果輸入信號f1(t)的零狀態(tài)響應，故當t<0，y1f(t)=0；因此y1f(t)可改寫成

y1f(t)=[–4e-t+cos(πt)]ε(t)(4)50ppt課件1.5系統(tǒng)的性質及分類f1(t)→y1f(t)=[–4e-t+cos(πt)]ε(t)根據LTI系統(tǒng)的微分特性=–3δ(t)+[4–πsin(πt)]ε(t)根據LTI系統(tǒng)的時不變特性f1(t–1)→y1f(t–1)={–4+cos[π(t–1)]}ε(t–1)由線性性質，得：當輸入f3(t)=+2f1(t–1)時，y3f(t)=+2y1(t–1)=–3δ(t)+[4–πsin(πt)]ε(t)+2{–4+cos[π(t–1)]}ε(t–1)51ppt課件1.5系統(tǒng)的性質及分類7.穩(wěn)定系統(tǒng)與不穩(wěn)定系統(tǒng)

一個系統(tǒng)，若對有界的激勵f(.)所產生的零狀態(tài)響應yf(.)也是有界時，則稱該系統(tǒng)為有界輸入有界輸出穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定。即若│f(.)│<∞，其│yf(.)│<∞則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如yf(k)=f(k)+f(k-1)是穩(wěn)定系統(tǒng)；而是不穩(wěn)定系統(tǒng)。因為，當f(t)=ε(t)有界，當t→∞時，它也→∞，無界。52ppt課件1.6系統(tǒng)的描述1.5系統(tǒng)的描述

描述連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)的數學模型是微分方程，描述離散動態(tài)系統(tǒng)的數學模型是差分方程。一、連續(xù)系統(tǒng)1.解析描述——建立數學模型

圖示RLC電路，以uS(t)作激勵，以uC(t)作為響應，由KVL和VAR列方程，并整理得二階常系數線性微分方程。53ppt課件1.6系統(tǒng)的描述抽去具有的物理含義，微分方程寫成這個方程也可以描述下面的一個二階機械減振系統(tǒng)。其中，k為彈簧常數，M為物體質量，C為減振液體的阻尼系數，x為物體偏離其平衡位置的位移，f(t)為初始外力。其運動方程為

能用相同方程描述的系統(tǒng)稱相似系統(tǒng)。54ppt課件1.6系統(tǒng)的描述2.系統(tǒng)的框圖描述上述方程從數學角度來說代表了某些運算關系：相乘、微分、相加運算。將這些基本運算用一些理想部件符號表示出來并相互聯(lián)接表征上述方程的運算關系，這樣畫出的圖稱為模擬框圖，簡稱框圖?；静考卧校悍e分器：加法器：數乘器：積分器的抗干擾性比微分器好。55ppt課件1.6系統(tǒng)的描述系統(tǒng)模擬：實際系統(tǒng)→方程→模擬框圖→實驗室實現(xiàn)（模擬系統(tǒng)）→指導實際系統(tǒng)設計例1：已知y”(t)+ay’(t)+by(t)=f(t)，畫框圖。解：將方程寫為y”(t)=f(t)–ay’(t)–by(t)56ppt課件1.6系統(tǒng)的描述例2：已知y”(t)+3y’(t)+2y(t)=4f’(t)+f(t)，畫框圖。解：該方程含f(t)的導數，可引入輔助函數畫出框圖。設輔助函數x(t)滿足x”(t)+3x’(t)+2x(t)=f(t)可推導出y(t)=4x’(t)+x(t)，它滿足原方程。57ppt課件例3：已知框圖，寫出系統(tǒng)的微分方程。1.6系統(tǒng)的描述設輔助變量x(t)如圖x(t)x’(t)x”(t)x”(t)=f(t)–2x’(t)–3x(t),即x”(t)+2x’(t)+3x(t)=f(t)y(t)=4x’(t)+3x(t)根據前面，逆過程，得y”(t)+2y’(t)+3y(t)=4f’(t)+3f(t)58ppt課件1.6系統(tǒng)的描述二、離散系統(tǒng)1.解析描述——建立差分方程例：某人每月初在銀行存入一定數量的款，月息為β元/元，求第k個月初存折上的款數。設第k個月初的款數為y(k),這個月初的存款為f(k),上個月初的款數為y(k-1)，利息為βy(k-1),則

y(k)=y(k-1)+βy(k-1)+f(k)即y(k)-(1+β)y(k-1)=f(k)若設開始存款月為k=0，則有y(0)=f(0)。上述方程就稱為y(k)與f(k)之間所滿足的差分方程。所謂差分方程是指由未知輸出序列項與輸入序列項構成的方程。未知序列項變量最高序號與最低序號的差數，稱為差分方程的階數。上述為一階差分方程。59ppt課件1.6系統(tǒng)的描述由n階差分方程描述的系統(tǒng)稱為n階系統(tǒng)。描述LTI系統(tǒng)的是線性常系數差分方程。2.差分方程的模擬框圖基本部件單元有：數乘器，加法器，遲延單元（移位器）例：下列差分方程描述的系統(tǒng)，是否線性？是否時不變？并寫出方程的階數。（1）y(k)+(k–1)y(k–1)=f(k)（2）y(k)+y(k+1)y(k–1)=f2(k)（3）y(k)+2y(k–1)=f(1–k)+1解：判斷方法：方程中均為輸出、輸入序列的一次關系項，則是線性的。輸入輸出序列前的系數為常數，且無反轉、展縮變換，則為時不變的。線性、時變，一階非線性、時不變，二階非線性、時變，一階60ppt課件1.6系統(tǒng)的描述例：已知框圖，寫出系統(tǒng)的差分方程。解：設輔助變量x(k)如圖x(k)x(k-1)x(k-2)即x(k)+2x(k-1)+3x(k-2)=f(k)y(k)=4x(k-1)+5x(k-2)消去x(k)，得

y(k)+2y(k-1)+3y(k-2)=4f(k-1)+5f(k-2)x(k)=f(k)–2x(k-1)–3x(k-2)方程←→框圖用變換域方法和梅森公式簡單，后面討論。61ppt課件1.7系統(tǒng)分析概述1.7LTI系統(tǒng)分析概述

系統(tǒng)分析研究的主要問題：對給定的具體系統(tǒng)，求出它對給定激勵的響應。具體地說：系統(tǒng)分析就是建立表征系統(tǒng)的數學方程并求出解答。

系統(tǒng)的分析方法：輸入輸出法（外部法）狀態(tài)變量法（內部法）（chp.8)外部法時域分析（chp.2,chp.3)變換域法連續(xù)系統(tǒng)—頻域法(4)和復頻域法(5)離散系統(tǒng)—z域法（chp6)系統(tǒng)特性：系統(tǒng)函數（chp.7)62ppt課件（1）把零輸入響應和零狀態(tài)響應分開求。（2）把復雜信號分解為眾多基本信號之和，根據線性系統(tǒng)的可加性：多個基本信號作用于線性系統(tǒng)所引起的響應等于各個基本信號所引起的響應之和。1.7系統(tǒng)分析概述求解的基本思路：采用的數學工具：（1）卷積積分與卷積和（2）傅里葉變換（3）拉普拉斯變換（4）Z變換63ppt課件第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應

一、微分方程的經典解二、關于0-和0+初始值三、零輸入響應和零狀態(tài)響應2.2沖激響應和階躍響應

一、沖激響應二、階躍響應2.3卷積積分

一、信號時域分解與卷積二、卷積的圖解2.4卷積積分的性質

一、卷積代數二、奇異函數的卷積特性

三、卷積的微積分性質四、卷積的時移特性點擊目錄，進入相關章節(jié)64ppt課件LTI連續(xù)系統(tǒng)的時域分析，歸結為：建立并求解線性微分方程。由于在其分析過程涉及的函數變量均為時間t，故稱為時域分析法。這種方法比較直觀，物理概念清楚，是學習各種變換域分析法的基礎。

第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應一、微分方程的經典解y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y

(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f

(t)65ppt課件2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應微分方程的經典解：

y(t)(完全解)=yh(t)(齊次解)+yp(t)(特解）齊次解是齊次微分方程

y(n)+an-1y(n-1)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0

的解。yh(t)的函數形式由上述微分方程的特征根確定。例

描述某系統(tǒng)的微分方程為

y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求（1）當f(t)=2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)=-1時的全解；（2）當f(t)=e-2t，t≥0；y(0)=1，y’(0)=0時的全解。特解的函數形式與激勵函數的形式有關。P43表2-1、2-2齊次解的函數形式僅與系統(tǒng)本身的特性有關，而與激勵f(t)的函數形式無關，稱為系統(tǒng)的固有響應或自由響應；特解的函數形式由激勵確定，稱為強迫響應。66ppt課件2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應解:(1)特征方程為λ2+5λ+6=0其特征根λ1=–2，λ2=–3。齊次解為

yh(t)=C1e–2t+C2e–3t由表2-2可知，當f(t)=2e–t時，其特解可設為

yp(t)=Pe–t將其代入微分方程得

Pe–t+5(–Pe–t)+6Pe–t=2e–t

解得P=1于是特解為yp(t)=e–t全解為：y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e–2t+C2e–3t+e–t其中待定常數C1,C2由初始條件確定。

y(0)=C1+C2+1=2，y’(0)=–2C1–3C2–1=–1解得C1=3，C2=–2最后得全解y(t)=3e–2t–2e–3t+e–t,t≥067ppt課件（2）齊次解同上。當激勵f(t)=e–2t時，其指數與特征根之一相重。由表知：其特解為

yp(t)=(P1t+P0)e–2t

代入微分方程可得P1e-2t=e–2t所以P1=1但P0不能求得。全解為y(t)=C1e–2t+C2e–3t+te–2t+P0e–2t

=(C1+P0)e–2t+C2e–3t+te–2t將初始條件代入，得

y(0)=(C1+P0)+C2=1，y’(0)=–2(C1+P0)–3C2+1=0解得C1+P0=2,C2=–1最后得微分方程的全解為

y(t)=2e–2t–e–3t+te–2t,t≥0上式第一項的系數C1+P0=2，不能區(qū)分C1和P0，因而也不能區(qū)分自由響應和強迫響應。2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應68ppt課件2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應二、關于0-和0+初始值

若輸入f(t)是在t=0時接入系統(tǒng)，則確定待定系數Ci時用t=0+時刻的初始值，即y(j)(0+)(j=0,1,2…，n-1)。而y(j)(0+)包含了輸入信號的作用，不便于描述系統(tǒng)的歷史信息。在t=0-時，激勵尚未接入，該時刻的值y(j)(0-)反映了系統(tǒng)的歷史情況而與激勵無關。稱這些值為初始狀態(tài)或起始值。通常，對于具體的系統(tǒng)，初始狀態(tài)一般容易求得。這樣為求解微分方程，就需要從已知的初始狀態(tài)y(j)(0-)設法求得y(j)(0+)。下列舉例說明。

69ppt課件例：描述某系統(tǒng)的微分方程為

y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2f’(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=ε(t)，求y(0+)和y’(0+)。解：將輸入f(t)=ε(t)代入上述微分方程得

y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2δ(t)+6ε(t)（1）利用系數匹配法分析：上式對于t=0-也成立，在0-<t<0+區(qū)間等號兩端δ(t)項的系數應相等。由于等號右端為2δ(t)，故y”(t)應包含沖激函數，從而y’(t)在t=0處將發(fā)生躍變，即y’(0+)≠y’(0-)。但y’(t)不含沖激函數，否則y”(t)將含有δ’(t)項。由于y’(t)中不含δ(t)，故y(t)在t=0處是連續(xù)的。故y(0+)=y(0-)=22.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應70ppt課件對式(1)兩端積分有由于積分在無窮小區(qū)間[0-，0+]進行的，且y(t)在t=0連續(xù)，故于是由上式得

[y’(0+)–y’(0-)]+3[y(0+)–y(0-)]=2考慮y(0+)=y(0-)=2，所以

y’(0+)–y’(0-)=2，y’(0+)=y’(0-)+2=2由上可見，當微分方程等號右端含有沖激函數（及其各階導數）時，響應y(t)及其各階導數中，有些在t=0處將發(fā)生躍變。但如果右端不含時，則不會躍變。2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應71ppt課件2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應三、零輸入響應和零狀態(tài)響應

y(t)=yx(t)+yf(t),也可以分別用經典法求解。注意：對t=0時接入激勵f(t)的系統(tǒng)，初始值

yx(j)(0+),yf(j)(0+)(j=0，1，2，…，n-1)的計算。

y(j)(0-)=yx(j)(0-)+yf(j)(0-)y(j)(0+)=yx(j)(0+)+yf(j)(0+)對于零輸入響應，由于激勵為零，故有

yx(j)(0+)=yx(j)(0-)=y(j)(0-)對于零狀態(tài)響應，在t=0-時刻激勵尚未接入，故應有

yf(j)(0-)=0yf(j)(0+)的求法下面舉例說明。72ppt課件2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應例：描述某系統(tǒng)的微分方程為

y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2f’(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=ε(t)。求該系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應。解：（1）零輸入響應yx(t)

激勵為0，故yx(t)滿足

yx”(t)+3yx’(t)+2yx(t)=0yx(0+)=yx(0-)=y(0-)=2yx’(0+)=yx’(0-)=y’(0-)=0該齊次方程的特征根為–1，–2，故

yx(t)=Cx1e–t+Cx2e–2t

代入初始值并解得系數為Cx1=4,Cx2=–2，代入得

yx(t)=4e–t–2e–2t,t>073ppt課件2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應（2）零狀態(tài)響應yf(t)

滿足

yf”(t)+3yf’(t)+2yf(t)=2δ(t)+6ε(t)并有

yf(0-)=yf’(0-)=0由于上式等號右端含有δ(t)，故yf”(t)含有δ(t)，從而yf’(t)躍變，即yf’(0+)≠yf’(0-)，而yf(t)在t=0連續(xù)，即yf(0+)=yf(0-)=0，積分得

[yf’(0+)-yf’(0-)]+3[yf(0+)-yf(0-)]+2因此，yf’(0+)=2–yf’(0-)=2

對t>0時，有yf”(t)+3yf’(t)+2yf(t)=6不難求得其齊次解為Cf1e-t+Cf2e-2t，其特解為常數3，于是有yf(t)=Cf1e-t+Cf2e-2t+3代入初始值求得yf(t)=–4e-t+e-2t+3，t≥074ppt課件2.2沖激響應和階躍響應2.2沖激響應和階躍響應一、沖激響應

由單位沖激函數δ(t)所引起的零狀態(tài)響應稱為單位沖激響應，簡稱沖激響應，記為h(t)。h(t)=T[{0},δ(t)]

例1

描述某系統(tǒng)的微分方程為y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求其沖激響應h(t)。解根據h(t)的定義有

h”(t)+5h’(t)+6h(t)=δ(t)h’(0-)=h(0-)=0

先求h’(0+)和h(0+)。75ppt課件2.2沖激響應和階躍響應因方程右端有δ(t)，故利用系數平衡法。h”(t)中含δ(t)，h’(t)含ε(t)，h’(0+)≠h’(0-)，h(t)在t=0連續(xù)，即h(0+)=h(0-)。積分得

[h’(0+)-h’(0-)]+5[h(0+)-h(0-)]+6=1考慮h(0+)=h(0-)，由上式可得

h(0+)=h(0-)=0,h’(0+)=1+h’(0-)=1對t>0時，有h”(t)+5h’(t)+6h(t)=0故系統(tǒng)的沖激響應為一齊次解。微分方程的特征根為-2，-3。故系統(tǒng)的沖激響應為

h(t)=(C1e-2t+C2e-3t)ε(t)代入初始條件求得C1=1,C2=-1,所以

h(t)=(e-2t-e-3t)ε(t)76ppt課件2.2沖激響應和階躍響應

例2

描述某系統(tǒng)的微分方程為

y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f”(t)+2f’(t)+3f(t)求其沖激響應h(t)。解根據h(t)的定義有

h”(t)+5h’(t)+6h(t)=δ”(t)+2δ’(t)+3δ(t)(1)h’(0-)=h(0-)=0

先求h’(0+)和h(0+)。由方程可知，h(t)中含δ(t)故令h(t)=aδ(t)+p1(t)[pi(t)為不含δ(t)的某函數]h’(t)=aδ’(t)+bδ(t)+p2(t)h”(t)=aδ”(t)+bδ’(t)+cδ(t)+p3(t)代入式(1)，有77ppt課件2.2沖激響應和階躍響應aδ”(t)+bδ’(t)+cδ(t)+p3(t)+5[aδ’(t)+bδ(t)+p2(t)]+6[aδ(t)+p1(t)]=δ”(t)+2δ’(t)+3δ(t)整理得aδ”(t)+(b+5a)δ’(t)+(c+5b+6a)δ(t)+p3(t)+5p2(t)+6p1(t)=δ”(t)+2δ’(t)+3δ(t)利用δ(t)系數匹配，得a=1，b=-3，c=12所以h(t)=δ(t)+p1(t)（2）

h’(t)=δ’(t)-3δ(t)+p2(t)（3）

h”(t)=δ”(t)-3δ’(t)+12δ(t)+p3(t)（4）對式(3)從0-到0+積分得h(0+)–h(0-)=–3對式(4)從0-到0+積分得h’(0+)–h’(0-)=12故h(0+)=–3，h’(0+)=1278ppt課件2.2沖激響應和階躍響應微分方程的特征根為–2，–3。故系統(tǒng)的沖激響應為

h(t)=C1e–2t+C2e–3t

，t>0代入初始條件h(0+)=–3，h’(0+)=12求得C1=3，C2=–6,所以

h(t)=3e–2t–6e–3t,t>0結合式(2)得

h(t)=δ(t)+(3e–2t–6e–3t)ε(t)對t>0時，有h”(t)+6h’(t)+5h(t)=0二、階躍響應g(t)=T[ε(t)，{0}]由于δ(t)與ε(t)為微積分關系，故79ppt課件2.3卷積積分2.3卷積積分一、信號的時域分解與卷積積分1.信號的時域分解(1)預備知識問

f1(t)=?

p(t)直觀看出80ppt課件2.3卷積積分(2)任意信號分解“0”號脈沖高度f(0),寬度為△，用p(t)表示為：f(0)△p(t)“1”號脈沖高度f(△),寬度為△，用p(t-△)表示為：

f(△)△p(t-△)“-1”號脈沖高度f(-△)、寬度為△，用p(t+△)表示為：f(-△)△p(t+△)81ppt課件2.3卷積積分2.任意信號作用下的零狀態(tài)響應yf(t)f(t)根據h(t)的定義：δ(t)

h(t)由時不變性：δ(t

-τ)h(t-τ)f(τ)δ(t

-τ)由齊次性：f(τ)h(t-τ)由疊加性：‖f(t)‖yf(t)卷積積分82ppt課件2.3卷積積分3.卷積積分的定義已知定義在區(qū)間（–∞，∞）上的兩個函數f1(t)和f2(t)，則定義積分為f1(t)與f2(t)的卷積積分，簡稱卷積；記為

f(t)=f1(t)*f2(t)注意：積分是在虛設的變量τ下進行的，τ為積分變量，t為參變量。結果仍為t的函數。83ppt課件2.3卷積積分例：f(t)=et,（-∞<t<∞)，h(t)=(6e-2t–1)ε(t)，求yf(t)。解：yf(t)=f(t)*h(t)當t<τ，即τ>t時，ε(t-τ)=084ppt課件2.3卷積積分二、卷積的圖解法卷積過程可分解為四步：（1）換元：t換為τ→得f1(τ)，f2(τ)（2）反轉平移：由f2(τ)反轉→f2(–τ)右移t→f2(t-τ)（3）乘積：f1(τ)f2(t-τ)（4）積分：τ從–∞到∞對乘積項積分。注意：t為參變量。下面舉例說明。85ppt課件2.3卷積積分例f(t),h(t)

如圖所示，求yf(t)=h(t)*f(t)

。[解]

采用圖形卷積。f(t-τ)f(τ)反折f(-τ)平移t①t<0時,f(t-τ)向左移f(t-τ)h(τ)=0，故

yf(t)=0②0≤t≤1

時,f(t-τ)向右移③1≤t≤2時⑤3≤t時f(t-τ)h(τ)=0，故

yf(t)=0h(t)函數形式復雜換元為h(τ)。

f(t)換元f(τ)④2≤t≤3

時086ppt課件2.3卷積積分圖解法一般比較繁瑣，但若只求某一時刻卷積值時還是比較方便的。確定積分的上下限是關鍵。例：f1(t)、f2(t)如圖所示，已知f(t)=f2(t)*f1(t)，求f(2)=？f1(-τ)f1(2-τ)解：（1）換元（2）f1(τ)得f1(–τ)（3）f1(–τ)右移2得f1(2–τ)（4）f1(2–τ)乘f2(τ)（5）積分，得f(2)=0（面積為0）87ppt課件2.4卷積積分的性質2.4卷積積分的性質

卷積積分是一種數學運算，它有許多重要的性質（或運算規(guī)則），靈活地運用它們能簡化卷積運算。下面討論均設卷積積分是收斂的（或存在的）。一、卷積代數滿足乘法的三律：交換律：f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)2.

分配律：f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)3.

結合律：[f1(t)*f2(t)]*f3(t)]=f1(t)*[f2(t)*f3(t)]88ppt課件2.4卷積積分的性質二、奇異函數的卷積特性1.f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t)=f(t)證：f(t)*δ(t–t0)=f(t–t0)2.f(t)*δ’(t)=f’(t)證：f(t)*δ(n)(t)=f(n)(t)3.f(t)*ε(t)ε(t)*ε(t)=tε(t)89ppt課件2.4卷積積分的性質三、卷積的微積分性質1.證：上式=δ(n)(t)*[f1(t)*f2(t)]=[δ(n)(t)*f1(t)]*f2(t)=f1(n)(t)*f2(t)2.證：上式=ε