第07講 離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)字特征（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第07講離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)字特征（3類(lèi)核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新I卷，第14題,5分求離散型隨機(jī)變量的均值均值的性質(zhì)計(jì)算古典概型問(wèn)題的概率2024年新Ⅱ卷，第18題,17分求離散型隨機(jī)變量的均值利用對(duì)立事件的概率公式求概率獨(dú)立事件的乘法公式2023年新I卷，第21題,12分求離散型隨機(jī)變量的均值利用全概率公式求概率2022年全國(guó)甲卷（理），第19題,12分寫(xiě)出簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量分布列求離散型隨機(jī)查量的均值/2021年新I卷，第18題,12分寫(xiě)出簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量分布列求離散型隨機(jī)查量的均值/2021年新Ⅱ卷，第21題,12分求離散型隨機(jī)查量的均值均值的實(shí)際應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根2020年新I卷，第12題,5分利用隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)解題對(duì)數(shù)的運(yùn)算2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等或偏難，分值為5-12分【備考策略】1.理解、掌握離散型隨機(jī)變量的定義2.會(huì)表示離散型隨機(jī)變量的分布列3.會(huì)計(jì)算離散型隨機(jī)變量的均值和方差【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般結(jié)合離散型隨機(jī)變量的分布列及均值方差在大題中考查，需重點(diǎn)強(qiáng)化復(fù)習(xí)知識(shí)講解1．離散型隨機(jī)變量定義隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱(chēng)為隨機(jī)變量，所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量．2．離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個(gè)值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列．(2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)：①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.3．離散型隨機(jī)變量均值(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱(chēng)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．(2)若Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(3)①若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p；②若X～B(n，p)，則E(X)＝np.4．離散型隨機(jī)變量方差(1)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相對(duì)于均值E(X)的偏離程度．而D(X)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－E(X))2pi為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫(huà)了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，稱(chēng)D(X)為隨機(jī)變量X的方差，并稱(chēng)其算術(shù)平方根eq\r(DX)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(3)若X服從兩點(diǎn)分布，則D(X)＝p(1－p)．(4)若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)．考點(diǎn)一、離散型隨機(jī)變量分布列1．（23-24高三·階段練習(xí)）在一個(gè)密閉不透明的箱子中有五個(gè)淺色球，其中一個(gè)球的標(biāo)號(hào)為1，另一個(gè)密閉不透明的箱子中有五個(gè)深色球，其中兩個(gè)球的標(biāo)號(hào)為2，3.(1)若在兩個(gè)箱子中各抽取兩個(gè)球，求抽取的四個(gè)球中，標(biāo)號(hào)為1，2，3的三個(gè)球中至少有兩個(gè)的概率;(2)若在兩個(gè)箱子中共隨機(jī)抽取四個(gè)球，記其中淺色球的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列.2．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）某縣教育局從縣直學(xué)校推薦的6名教師中任選3人去參加進(jìn)修活動(dòng)，這6名教師中，語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)教師各2人．(1)求選出的數(shù)學(xué)教師人數(shù)多于語(yǔ)文教師人數(shù)的概率；(2)設(shè)X表示選出的3人中數(shù)學(xué)教師的人數(shù)，求X的分布列．1．（23-24高二上·上?！ふn后作業(yè)）某學(xué)生參加一次考試，已知在備選的10道試題中，能答對(duì)其中的6道題.規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測(cè)試，求該生答對(duì)試題數(shù)X的分布列.2．（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在全國(guó)碩士研究生統(tǒng)一招生考試中，甲，乙，丙三名應(yīng)屆本科畢業(yè)生都以?xún)?yōu)秀的成績(jī)通過(guò)了某重點(diǎn)大學(xué)的初試，即將參加該重點(diǎn)大學(xué)組織的復(fù)試．已知甲，乙，丙三名同學(xué)通過(guò)復(fù)試的概率分別為，，p，復(fù)試是否通過(guò)互不影響，且甲，乙，丙三名同學(xué)都沒(méi)有通過(guò)復(fù)試的概率為．(1)求p的值；(2)設(shè)甲，乙，丙三名同學(xué)中通過(guò)復(fù)試的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列．考點(diǎn)二、離散型隨機(jī)變量的均值1．（2022·全國(guó)·高考真題）甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒(méi)有平局．三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．2．（2022·北京·高考真題）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到以上（含）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)．為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立．(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）；(3)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰(shuí)獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）3．（2021·北京·高考真題）在核酸檢測(cè)中,“k合1”混采核酸檢測(cè)是指：先將k個(gè)人的樣本混合在一起進(jìn)行1次檢測(cè),如果這k個(gè)人都沒(méi)有感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陰性，得到每人的檢測(cè)結(jié)果都為陰性，檢測(cè)結(jié)束:如果這k個(gè)人中有人感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，此時(shí)需對(duì)每人再進(jìn)行1次檢測(cè),得到每人的檢測(cè)結(jié)果，檢測(cè)結(jié)束.現(xiàn)對(duì)100人進(jìn)行核酸檢測(cè)，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測(cè)結(jié)果準(zhǔn)確.（I）將這100人隨機(jī)分成10組，每組10人，且對(duì)每組都采用“10合1”混采核酸檢測(cè).(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測(cè)的總次數(shù);(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設(shè)X是檢測(cè)的總次數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).(II）將這100人隨機(jī)分成20組，每組5人，且對(duì)每組都采用“5合1”混采核酸檢測(cè).設(shè)Y是檢測(cè)的總次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結(jié)論不要求證明)4．（2021·全國(guó)·高考真題）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類(lèi)問(wèn)題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類(lèi)問(wèn)題中選擇一類(lèi)并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類(lèi)問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分；B類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類(lèi)問(wèn)題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題的概率為0.6，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān).（1）若小明先回答A類(lèi)問(wèn)題，記為小明的累計(jì)得分，求的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類(lèi)問(wèn)題？并說(shuō)明理由.1．（24-25高三上·福建福州·階段練習(xí)）已知籃球比賽中，得分規(guī)則如下：3分線外側(cè)投入可得3分，踩線及3分線內(nèi)側(cè)投入可得2分，不進(jìn)得0分；經(jīng)過(guò)多次試驗(yàn)，某生投籃100次，有20個(gè)是3分線外側(cè)投入，20個(gè)是踩線及3分線內(nèi)側(cè)投入，其余不能入籃，且每次投籃為相互獨(dú)立事件．(1)求該生在4次投籃中恰有三次是3分線外側(cè)投入的概率；(2)求該生兩次投籃得分的分布列及數(shù)學(xué)期望．2．（24-25高三上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）良好的用眼習(xí)慣能夠從多方面保護(hù)眼睛的健康，降低近視發(fā)生的可能性，對(duì)于保護(hù)青少年的視力具有不可替代的重要作用．某班班主任為了讓本班學(xué)生能夠掌握良好的用眼習(xí)慣，開(kāi)展了“愛(ài)眼護(hù)眼”有獎(jiǎng)知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，班主任將競(jìng)賽題目分為兩組，規(guī)定每名學(xué)生從兩組題目中各隨機(jī)抽取2道題作答．已知該班學(xué)生甲答對(duì)組題的概率均為，答對(duì)組題的概率均為．假設(shè)學(xué)生甲每道題是否答對(duì)相互獨(dú)立．(1)求學(xué)生甲恰好答對(duì)3道題的概率；(2)設(shè)學(xué)生甲共答對(duì)了道題，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．3．（2024·安徽·一模）高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷的多項(xiàng)選擇題每小題滿(mǎn)分6分，每小題有4個(gè)選項(xiàng)，其中只有2個(gè)或者3個(gè)選項(xiàng)是正確的.若正確選項(xiàng)有2個(gè)，則選對(duì)其中1個(gè)得3分；若正確選項(xiàng)有3個(gè)，則選對(duì)其中1個(gè)得2分，選對(duì)其中2個(gè)得4分，答案中有錯(cuò)誤選項(xiàng)的得0分.設(shè)一套數(shù)學(xué)試卷的多項(xiàng)選擇題中有2個(gè)選項(xiàng)正確的概率為，有3個(gè)選項(xiàng)正確的概率為.在一次模擬考試中：(1)小明可以確認(rèn)一道多項(xiàng)選擇題的選項(xiàng)A是錯(cuò)誤的，從其余的三個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇2個(gè)作為答案，若小明該題得分X的數(shù)學(xué)期望為3，求p；(2)小明可以確認(rèn)另一道多項(xiàng)選擇題的選項(xiàng)A是正確的，其余的選項(xiàng)只能隨機(jī)選擇.小明有三種方案：①只選A不再選擇其他答案；②從另外三個(gè)選項(xiàng)中再隨機(jī)選擇1個(gè).共選2個(gè)；③從另外三個(gè)選項(xiàng)中再隨機(jī)選擇2個(gè)，共選3個(gè).若，以最后得分的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，小明應(yīng)該選擇哪個(gè)方案？4．（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）為創(chuàng)造良好的城市消防安全環(huán)境，某社區(qū)舉行“消防安全”答題活動(dòng)，答題人根據(jù)所獲得的分?jǐn)?shù)獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)品．工作人員給每位答題人提供了A，B兩類(lèi)題目．規(guī)定每位答題人共需回答3道題目．現(xiàn)有兩種方案供答題人任意選擇：甲方案：只答A類(lèi)題目；乙方案：第一次答A類(lèi)題目，以后按如下規(guī)則答題，每次答對(duì)時(shí)，則下一次答A類(lèi)題目，每次答錯(cuò)時(shí)，則下一次答B(yǎng)類(lèi)題目．已知A類(lèi)題目每次答對(duì)得40分，答錯(cuò)得0分，B類(lèi)題目每次答對(duì)得30分，答錯(cuò)得0分．若小李每道A類(lèi)題目能答對(duì)的概率均為，每道B類(lèi)題目能答對(duì)的概率均為，且每道題能否答對(duì)與回答順序無(wú)關(guān)．(1)若小李采用甲方案答題，求他的得分不低于80分的概率；(2)若想要答題得分的期望值更大，小李應(yīng)該選擇哪種答題方案？考點(diǎn)三、離散型隨機(jī)變量的方差1．（浙江·高考真題）設(shè)，則隨機(jī)變量的分布列是：則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)A．增大 B．減小C．先增大后減小 D．先減小后增大2．（浙江·高考真題）設(shè)，隨機(jī)變量的分布列如圖，則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，A．減小 B．增大C．先減小后增大 D．先增大后減小3．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）某公司擬通過(guò)摸球中獎(jiǎng)的方式對(duì)員工發(fā)放節(jié)日紅包．在一個(gè)不透明的袋子中裝有個(gè)形狀大小相同的標(biāo)有面值的球，每位員工從球袋中一次性隨機(jī)摸取m個(gè)球，摸完后全部放回袋中，球上所標(biāo)的面值之和為該員工所獲得的紅包數(shù)額．(1)若，，當(dāng)袋中的球中有個(gè)所標(biāo)面值為元，1個(gè)為元，1個(gè)為元時(shí)，在員工所獲得的紅包數(shù)額不低于元的條件下，求取到面值為元的球的概率；(2)若，，當(dāng)袋中的球中有1個(gè)所標(biāo)面值為元，2個(gè)為元，1個(gè)為元，1個(gè)為元時(shí)，求員工所獲得紅包數(shù)額的數(shù)學(xué)期望與方差．4．（2024·湖南·二模）猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來(lái)猜歌名，該游戲中有A，B，C三首歌曲.嘉賓甲參加猜歌名游戲，需從三首歌曲中各隨機(jī)選一首，自主選擇猜歌順序，只有猜對(duì)當(dāng)前歌曲的歌名才有資格猜下一首，并且獲得本歌曲對(duì)應(yīng)的獎(jiǎng)勵(lì)基金.假設(shè)甲猜對(duì)每首歌曲的歌名相互獨(dú)立，猜對(duì)三首歌曲的概率及猜對(duì)時(shí)獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)勵(lì)基金如下表：歌曲猜對(duì)的概率0.80.50.5獲得的獎(jiǎng)勵(lì)基金金額/元100020003000(1)求甲按“”的順序猜歌名，至少猜對(duì)兩首歌名的概率；(2)甲決定按“”或者“”兩種順序猜歌名，請(qǐng)你計(jì)算兩種猜歌順序嘉賓甲獲得獎(jiǎng)勵(lì)基金的期望；為了得到更多的獎(jiǎng)勵(lì)基金，請(qǐng)你給出合理的選擇建議，并說(shuō)明理由.1．（2024·福建泉州·二模）在一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲中，主持人從編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)外觀相同的空箱子中隨機(jī)選擇一個(gè)，放入一件獎(jiǎng)品，再將四個(gè)箱子關(guān)閉．主持人知道獎(jiǎng)品在哪個(gè)箱子里．游戲規(guī)則是：主持人請(qǐng)抽獎(jiǎng)人在這四個(gè)箱子中選擇一個(gè)，若獎(jiǎng)品在此箱子里，則獎(jiǎng)品由獲獎(jiǎng)人獲得．現(xiàn)有抽獎(jiǎng)人甲選擇了2號(hào)箱，在打開(kāi)2號(hào)箱之前，主持人先打開(kāi)了另外三個(gè)箱子中的一個(gè)空箱子．按游戲規(guī)則，主持人將隨機(jī)打開(kāi)甲選擇之外的一個(gè)空箱子，記為X號(hào)箱．(1)求的概率；(2)求X的方差；(3)若，現(xiàn)在給抽獎(jiǎng)人甲一次重新選擇的機(jī)會(huì)，請(qǐng)問(wèn)他是堅(jiān)持選2號(hào)箱，還是改選3號(hào)或4號(hào)箱？2．（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）開(kāi)展中小學(xué)生課后服務(wù)，是促進(jìn)學(xué)生健康成長(zhǎng)、幫助家長(zhǎng)解決接送學(xué)生困難的重要舉措是進(jìn)一步增強(qiáng)教育服務(wù)能力、使人民群眾具有更多獲得感和幸福感的民生工程.某校為確保學(xué)生課后服務(wù)工作順利開(kāi)展，制定了兩套工作方案，為了解學(xué)生對(duì)這兩個(gè)方案的支持情況，對(duì)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如表:男女支持方案一2416支持方案二2535假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且所有學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立.(1)從該校支持方案一和支持方案二的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，設(shè)為抽出兩人中女生的個(gè)數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望;(2)在(1)中表示抽出兩人中男生的個(gè)數(shù)，試判斷方差與的大小.3．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）某商場(chǎng)推出購(gòu)物抽獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則如下：①顧客在商場(chǎng)內(nèi)消費(fèi)每滿(mǎn)100元，可獲得1張抽獎(jiǎng)券；②顧客進(jìn)行一次抽獎(jiǎng)需消耗1張抽獎(jiǎng)券，抽獎(jiǎng)規(guī)則為：從放有5個(gè)白球，1個(gè)紅球的盒子中，隨機(jī)摸取1個(gè)球（每個(gè)球被摸到的可能性相同），若摸到白球，則沒(méi)有中獎(jiǎng)，若摸到紅球，則可獲得1份禮品，并得到一次額外抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)（額外抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)不消耗抽獎(jiǎng)券，抽獎(jiǎng)規(guī)則不變）；③每位顧客獲得的禮品數(shù)不超過(guò)3份，若獲得的禮品數(shù)滿(mǎn)3份，則不可繼續(xù)抽獎(jiǎng)；(1)顧客甲通過(guò)在商場(chǎng)內(nèi)消費(fèi)獲得了2張抽獎(jiǎng)券，求他通過(guò)抽獎(jiǎng)至少獲得1份禮品的概率；(2)顧客乙累計(jì)消耗3張抽獎(jiǎng)券抽獎(jiǎng)后，獲得的禮品數(shù)滿(mǎn)3份，則他在消耗第2張抽獎(jiǎng)券抽獎(jiǎng)的過(guò)程中，獲得禮品的概率是多少？(3)設(shè)顧客在消耗張抽獎(jiǎng)券抽獎(jiǎng)后，獲得的禮品數(shù)滿(mǎn)3份，要獲得張抽獎(jiǎng)券，至少要在商場(chǎng)中消費(fèi)滿(mǎn)元，求的值.（重復(fù)進(jìn)行某個(gè)伯努利試驗(yàn)，且每次試驗(yàn)的成功概率均為.隨機(jī)變量表示當(dāng)恰好出現(xiàn)次失敗時(shí)已經(jīng)成功的試驗(yàn)次數(shù).則服從參數(shù)為和的負(fù)二項(xiàng)分布.記作.它的均值，方差）1．（2024·青海海西·模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)袋中裝有6個(gè)同樣大小的小球，編號(hào)分別為1，2，3，4，5，6，現(xiàn)從袋中隨機(jī)取出3個(gè)小球，用X表示取出的3個(gè)小球中最大編號(hào)和最小編號(hào)的差．(1)求；(2)求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．2．（21-22高二下·廣東廣州·期中）甲?乙兩人進(jìn)行定點(diǎn)投籃游戲，投籃者若投中，則繼續(xù)投籃，否則由對(duì)方投籃，第一次由甲投籃；已知每次投籃甲.乙命中的概率分別為，.(1)求第三次由乙投籃的概率；(2)在前3次投籃中，乙投籃的次數(shù)為，求的分布列；(3)求的期望及標(biāo)準(zhǔn)差.3．（2024·廣東·二模）某廠有3組生產(chǎn)用設(shè)備，由于設(shè)備使用時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，每組設(shè)備在一個(gè)月內(nèi)均有的故障率．現(xiàn)該廠制定設(shè)備翻新計(jì)劃，每個(gè)月月初有的概率在剩余未改造設(shè)備中隨機(jī)抽取一組并在月底翻新，但月內(nèi)若有設(shè)備發(fā)生故障，則無(wú)論本月有無(wú)翻新計(jì)劃及是否抽到該設(shè)備，故障的設(shè)備都將立即翻新，且該月內(nèi)不再因?yàn)楣收戏缕渌O(shè)備（但若發(fā)生故障的不是已經(jīng)在送修計(jì)劃內(nèi)的設(shè)備，則計(jì)劃翻新仍將正常進(jìn)行），若再有設(shè)備發(fā)生故障則將會(huì)維修（但暫不翻新）后重新投入生產(chǎn)．(1)求第一個(gè)月恰好翻新一組設(shè)備的概率；(2)設(shè)第一個(gè)月結(jié)束后，已翻新的設(shè)備數(shù)量為隨機(jī)變量X，求X的均值．4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某中學(xué)為積極貫徹并落實(shí)教育部提出的“五育并舉”措施，在軍訓(xùn)期間成立了自動(dòng)步槍社團(tuán)來(lái)促進(jìn)同學(xué)們德智體美勞全面發(fā)展，在某次軍訓(xùn)課上該自動(dòng)步槍社團(tuán)的某同學(xué)進(jìn)行射擊訓(xùn)練，已知該同學(xué)每次射擊成功的概率均為.(1)求該同學(xué)進(jìn)行三次射擊恰好有兩次射擊成功的概率；(2)若該同學(xué)進(jìn)行三次射擊，第一次射擊成功得2分，第二次射擊成功得2分，第三次射擊成功得4分，記為三次射擊總得分，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.5．（23-24高三上·廣東湛江·期末）已知某公司生產(chǎn)的風(fēng)干牛肉干是按包銷(xiāo)售的，每包牛肉干的質(zhì)量（單位：g）服從正態(tài)分布，且.(1)若從公司銷(xiāo)售的牛肉干中隨機(jī)選取3包，求這3包中恰有2包質(zhì)量不小于的概率；(2)若從公司銷(xiāo)售的牛肉干中隨機(jī)選取（為正整數(shù)）包，記質(zhì)量在內(nèi)的包數(shù)為，且，求的最小值.6．（2024·黑龍江牡丹江·一模）某高中舉辦詩(shī)詞知識(shí)競(jìng)賽答題活動(dòng)，比賽分兩輪，具體規(guī)則如下：第一輪，參賽選手從類(lèi)道題中任選道進(jìn)行答題，答完后正確數(shù)超過(guò)兩道(否則終止比賽)才能進(jìn)行第二輪答題；第二輪答題從類(lèi)道題中任選道進(jìn)行答題，直到答完為止．類(lèi)題每答對(duì)一道得10分，類(lèi)題每答對(duì)一道得分，答錯(cuò)不扣分，以?xún)奢喛偡趾蜎Q定優(yōu)勝．總分分或分為三等獎(jiǎng)，分為二等獎(jiǎng)，分為一等獎(jiǎng)．某班小張同學(xué)類(lèi)題中有5道會(huì)做，類(lèi)5題中，每題答對(duì)的概率均為，且各題答對(duì)與否互不影響．(1)求小張同學(xué)被終止比賽的概率；(2)現(xiàn)已知小張同學(xué)第一輪中回答的類(lèi)題全部正確，求小張同學(xué)第二輪答完題后總得分的分布列及期望；(3)求小張同學(xué)獲得三等獎(jiǎng)的概率．7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某廠為提高工作效率，將全廠分為甲、乙2個(gè)車(chē)間，每個(gè)車(chē)間分別設(shè)有A，B，C，D，E5組．下表為該廠某日生產(chǎn)訂單情況統(tǒng)計(jì)表，請(qǐng)據(jù)表解答下列問(wèn)題：ABCDE甲車(chē)間100120150180200乙車(chē)間50120200150180(1)求甲、乙2個(gè)車(chē)間該日生產(chǎn)訂單的平均數(shù)與方差，并根據(jù)方差判斷哪一個(gè)車(chē)間工作效率比較穩(wěn)定？(2)設(shè)甲車(chē)間合格率為0.54，乙車(chē)間合格率為0.57，求甲、乙2個(gè)車(chē)間都不合格的概率；(3)你認(rèn)為哪個(gè)車(chē)間工作效率更高？請(qǐng)從平均數(shù)、方差、合格率的角度分析．8．（2024·新疆烏魯木齊·三模）某學(xué)科測(cè)試題有多項(xiàng)選擇題，在每小題給出的A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分，若正確答案為兩項(xiàng)，每對(duì)一項(xiàng)得3分；若正確答案為三項(xiàng)，每對(duì)一項(xiàng)得2分；…．學(xué)生在作答某題時(shí)，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)能正確地判斷，判斷不了（不選）和錯(cuò)誤的判斷的概率如下表：選項(xiàng)作出正確的判斷判斷不了（不選）作出錯(cuò)誤的判斷A0.40.20.4B0.20.30.5C0.60.30.1D0.50.30.2已知此題的正確選項(xiàng)為AD．(1)求學(xué)生答此題得6分的概率；(2)求學(xué)生此題得分的分布列及數(shù)學(xué)期望．9．（2024·湖南益陽(yáng)·一模）某公園為了提升公園形象，提高游客旅游的體驗(yàn)感，他們更新了部分設(shè)施，調(diào)整了部分旅游線路.為了解游客對(duì)新措施是否滿(mǎn)意，隨機(jī)抽取了100名游客進(jìn)行調(diào)查，男游客與女游客的人數(shù)之比為2:3，其中男游客有35名滿(mǎn)意，女游客有15名不滿(mǎn)意.滿(mǎn)意不滿(mǎn)意總計(jì)男游客35女游客15合計(jì)100(1)完成列聯(lián)表，依據(jù)表中數(shù)據(jù)，以及小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為游客對(duì)公園新措施滿(mǎn)意與否與性別有關(guān)?(2)從被調(diào)查的游客中按男、女分層抽樣抽取5名游客.再隨機(jī)從這5名游客中抽取3名游客征求他們對(duì)公園進(jìn)一步提高服務(wù)質(zhì)量的建議，其中抽取男游客的人數(shù)為.求出的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.87910．（2023·陜西西安·一模）某公司計(jì)劃在2023年年初將200萬(wàn)元用于投資，現(xiàn)有兩個(gè)項(xiàng)目供選擇.項(xiàng)目一：新能源汽車(chē).據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利，也可能虧損，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為和；項(xiàng)目二：通信設(shè)備.據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利，可能損失，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為.(1)針對(duì)以上兩個(gè)投資項(xiàng)目，請(qǐng)你為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目，并說(shuō)明理由；(2)若市場(chǎng)預(yù)期不變，該投資公司按照（1）中選擇的項(xiàng)目長(zhǎng)期投資（每一年的利潤(rùn)和本金繼續(xù)用作投資），問(wèn)大約在哪一年的年底總資產(chǎn)（利潤(rùn)+本金）可以翻兩番？（參考數(shù)據(jù)）1．（2024·甘肅張掖·三模）春節(jié)期間電影院上映5部影片：賀歲片有《第20條》，《飛馳人生》和《熱辣滾燙》，往期電影《滿(mǎn)江紅》，《流浪地球2》.媽媽有4張電影票給了姐姐和弟弟每人2張，讓他們自己選擇看哪2部電影.(1)求姐姐恰好看了2部賀歲片的概率；(2)求姐弟兩人觀看賀歲片的部數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.2．（2024·四川·一模）甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行定點(diǎn)投籃訓(xùn)練，據(jù)以往訓(xùn)練數(shù)據(jù)，甲每次投籃命中的概率為，乙每次投籃命中的概率為，各次投籃互不影響、現(xiàn)甲、乙兩人開(kāi)展多輪次的定點(diǎn)投籃活動(dòng)，每輪次各投個(gè)球，每投進(jìn)一個(gè)球記分，未投進(jìn)記分.(1)求甲在一輪投籃結(jié)束后的得分不大于的概率；(2)記甲、乙每輪投籃得分之和為.①求的分布列和數(shù)學(xué)期望；②若，則稱(chēng)該輪次為一個(gè)“成功輪次”.在連續(xù)輪次的投籃活動(dòng)中，記“成功輪次”為，當(dāng)為何值時(shí)，恒成立？3．（2024·廣西來(lái)賓·模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)共產(chǎn)黨第二十屆中央委員會(huì)第三次全體會(huì)議，于2024年7月15日至18日在北京舉行.全會(huì)提出，中國(guó)式現(xiàn)代化是物質(zhì)文明和精神文明相協(xié)調(diào)的現(xiàn)代化.必須增強(qiáng)文化自信，發(fā)展社會(huì)主義先進(jìn)文化，弘揚(yáng)革命文化，傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，加快適應(yīng)信息技術(shù)迅猛發(fā)展新形勢(shì)，培育形成規(guī)模宏大的優(yōu)秀文化人才隊(duì)伍，激發(fā)全民族文化創(chuàng)新創(chuàng)造活力.為此，某學(xué)校舉辦了“傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化”宣傳活動(dòng)，學(xué)校從全體學(xué)生中抽取了100人對(duì)該宣傳活動(dòng)的了解情況進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：男女合計(jì)了解20不了解2040合計(jì)(1)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整；(2)根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)該宣傳活動(dòng)的了解情況與性別有關(guān)聯(lián)？(3)若把上表中的頻率視作概率，現(xiàn)從了解該活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人參加傳統(tǒng)文化知識(shí)競(jìng)賽.記抽取的3人中女生人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：，其中0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.8284．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）在某地區(qū)進(jìn)行高中學(xué)生每周戶(hù)外運(yùn)動(dòng)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了名高中學(xué)生戶(hù)外運(yùn)動(dòng)的時(shí)間（單位：小時(shí)），得到如下樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.(1)求的值，估計(jì)該地區(qū)高中學(xué)生每周戶(hù)外運(yùn)動(dòng)的平均時(shí)間；（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）(2)為進(jìn)一步了解這名高中學(xué)生戶(hù)外運(yùn)動(dòng)的時(shí)間分配，在，兩組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了人，現(xiàn)從這人中隨機(jī)抽取人進(jìn)行訪談，記在內(nèi)的人數(shù)為，求的分布列和期望；(3)以頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)的高中學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，用“”表示這名學(xué)生中恰有名學(xué)生戶(hù)外運(yùn)動(dòng)時(shí)間在內(nèi)的概率，當(dāng)最大時(shí)，求的值.5．（2024·北京門(mén)頭溝·一模）2024年1月11日，記者從門(mén)頭溝區(qū)兩會(huì)上獲悉，目前國(guó)道109新線高速公路（簡(jiǎn)稱(chēng)新高速)全線35坐橋梁主體結(jié)構(gòu)已全部完成，項(xiàng)目整體進(jìn)度已達(dá)到，預(yù)計(jì)今年上半年開(kāi)始通車(chē)，通車(chē)后從西六環(huán)到門(mén)頭溝區(qū)清水鎮(zhèn)車(chē)程將縮短到40分鐘。新高速全線設(shè)頎主線收費(fèi)站兩處（分別位于安家莊和西臺(tái)子)和匝道收費(fèi)站四處(分別位于雁翅、火村、清水和齋堂)。新高速的建成為市民出行帶來(lái)了很大便利，為此有關(guān)部門(mén)特意從門(mén)頭溝某居民小區(qū)中隨機(jī)抽取了200位打算利用新高速出行的居民，對(duì)其出行的原因和下高速的出口進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查（問(wèn)卷中每位居民只填寫(xiě)一種出行原因和對(duì)應(yīng)的一個(gè)下高速的出口)，具體情況如下：（假設(shè)該小區(qū)所有打算利用新高速出行的居民的出行相對(duì)獨(dú)立，且均選擇上表中的一個(gè)高速出口下高速）。項(xiàng)目齋堂出口清水出口安家莊出口雁翅出口火村出口西臺(tái)子出口上班4082532旅游30201010128探親161010554(1)從被調(diào)查的居民中隨機(jī)選1人，求該居民利用新高速出行探親且在清水出口下高速的概率；(2)用上表樣本的頻率估計(jì)概率，從該小區(qū)所有打算利用新高速出行上班的人中隨機(jī)抽取2人，從出行旅游的人中隨機(jī)抽取1人，這三人中從齋堂出口下高速的人數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)用上表樣本的頻率估計(jì)概率，從該小區(qū)所有打算利用新高速出行上班的人中隨機(jī)抽取1人，用“”表示此人從齋堂出口下高速，“”表示此人不從齋堂出口下高速：從該小區(qū)所有打算利用新高速出行旅游的人中隨機(jī)抽取1人，用“”表示此人從齋堂出口下高速，“”表示此人不從齋堂出口下高速，寫(xiě)出方差的大小關(guān)系．(結(jié)論不要求證明）．6．（2024·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)）南昌二中一直有個(gè)優(yōu)秀的傳統(tǒng)“畢業(yè)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)分享會(huì)”：每屆高考結(jié)束后，各班推薦優(yōu)秀學(xué)生代表與下一屆學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)分享.2024屆高三年級(jí)班號(hào)依次為0，1，2，…，27，高三0班推薦2名男生和2名女生，其余各班均推薦1名男生和1名女生參加分享會(huì)；第一場(chǎng)分享會(huì)的4名學(xué)生嘉賓是從高三0班的優(yōu)秀學(xué)生代表中選出的2名和高三1班的2名優(yōu)秀學(xué)生代表共同形成，第二場(chǎng)分享會(huì)的4名學(xué)生嘉賓是從上一場(chǎng)4名嘉賓中選出的2名和高三2班的2名優(yōu)秀學(xué)生代表共同形成，…，按照這樣的方式，依次進(jìn)行到第二十七場(chǎng)分享會(huì).(1)求在第一場(chǎng)分享會(huì)學(xué)生嘉賓中有2名男生的概率；(2)求在第二場(chǎng)分享會(huì)學(xué)生嘉賓中有2名男生的概率；(3)記在第二十七場(chǎng)分享會(huì)學(xué)生嘉賓中男生人數(shù)為，求的分布列和期望.7．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）某自然保護(hù)區(qū)經(jīng)過(guò)幾十年的發(fā)展，某種瀕臨滅絕動(dòng)物數(shù)量有大幅度的增加.已知這種動(dòng)物擁有兩個(gè)亞種（分別記為種和種）.為了調(diào)查該區(qū)域中這兩個(gè)亞種的數(shù)目，某動(dòng)物研究小組計(jì)劃在該區(qū)域中捕捉100個(gè)動(dòng)物，統(tǒng)計(jì)其中種的數(shù)目后，將捕獲的動(dòng)物全部放回，作為一次試驗(yàn)結(jié)果.重復(fù)進(jìn)行這個(gè)試驗(yàn)共20次，記第次試驗(yàn)中種的數(shù)目為隨機(jī)變量.設(shè)該區(qū)域中種的數(shù)目為，種的數(shù)目為（，均大于100），每一次試驗(yàn)均相互獨(dú)立.(1)求的分布列；(2)記隨機(jī)變量.已知，（i）證明：，；（ii）該小組完成所有試驗(yàn)后，得到的實(shí)際取值分別為.數(shù)據(jù)的平均值，方差.采用和分別代替和，給出，的估計(jì)值.（已知隨機(jī)變量服從超幾何分布記為：（其中為總數(shù)，為某類(lèi)元素的個(gè)數(shù)，為抽取的個(gè)數(shù)），則）8．（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測(cè)）在坐標(biāo)平面內(nèi)的區(qū)域，隨機(jī)生成一個(gè)橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的一個(gè)整點(diǎn)，記該點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離是隨機(jī)變量X相關(guān)公式:(1)當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出X的分布列和期望.(2)記隨機(jī)變量與分別表示的橫縱坐標(biāo).①求出的期望②現(xiàn)在實(shí)際上選取了四個(gè)點(diǎn)嘗試運(yùn)用樣本的平均值去估計(jì)數(shù)學(xué)期望，以此來(lái)得到估計(jì)值(四舍五入取整).(3)記方差，試證明.9．（2024·安徽·三模）現(xiàn)有甲?乙兩個(gè)不透明盒子，都裝有1個(gè)紅球和1個(gè)白球，這些球的大小?形狀?質(zhì)地完全相同.(1)若從甲?乙兩個(gè)盒子中各任取一個(gè)球交換放入另一個(gè)盒子中，次這樣的操作后，記甲盒子中紅球的個(gè)數(shù)為.求的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)現(xiàn)從甲中有放回的抽取次，每次抽取1球，若抽取次數(shù)不超過(guò)次的情況下，抽取到2次紅球，則停止抽取，一直抽取不到2次紅球，第次抽取完也停止抽取，令抽取停止時(shí)，抽取的次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望，并證明：.10．（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測(cè)）有一個(gè)摸球游戲，在一個(gè)口袋中裝有個(gè)紅球和個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同，每次從中摸一個(gè)球，記錄摸出球的顏色，然后再將球放回口袋中．(1)若、，重復(fù)上述摸球試驗(yàn)5次，用X表示5次中摸出紅球的次數(shù)，求X的分布列及方差；(2)若，．①當(dāng)甲在游戲的過(guò)程中，又來(lái)了乙和丙，他們一起玩摸球游戲，第一次由甲摸球，若甲摸到紅球，則下一次甲繼續(xù)摸球，否則隨機(jī)在另外兩人中等可能地指定一人摸球，被指定的人如果摸到紅球，則下一次還是他自己繼續(xù)摸球，否則也隨機(jī)在另外兩人中等可能地指定一人摸球，如此進(jìn)行下去，記為第n次是甲摸球的概率，求；②第二天，甲獨(dú)自一人繼續(xù)摸球游戲，每次從袋中摸一個(gè)球，記錄摸出球的顏色，然后將球放回口袋中，當(dāng)?shù)?次摸到紅球時(shí)停止游戲，否則游戲一直繼續(xù)進(jìn)行下去，以隨機(jī)變量Y表示所需摸球的次數(shù)，這里Y服從的分布稱(chēng)作帕斯卡分布或負(fù)二項(xiàng)分布．帕斯卡分布的定義如下：在重復(fù)、獨(dú)立的伯努利試驗(yàn)中，若每次試驗(yàn)成功的概率為，失敗的概率為，若將試驗(yàn)進(jìn)行到恰好出現(xiàn)r（r為常數(shù)）次成功時(shí)結(jié)束試驗(yàn)，以隨機(jī)變量Y表示所需試驗(yàn)的次數(shù)，則Y是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，稱(chēng)Y服從以r、p為參數(shù)的帕斯卡分布或負(fù)二項(xiàng)分布，記作．帕斯卡分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)上一種離散概率分布，常用于描述生物群聚性，醫(yī)學(xué)上也用來(lái)描述傳染性或非獨(dú)立性疾病的分布和致病生物的分布．根據(jù)定義，我們能夠得到這里的，，．求．1．（浙江高考真題）袋子和中裝有若干個(gè)均勻的紅球和白球，從中摸一個(gè)紅球的概率是，從中摸出一個(gè)紅球的概率為p.（1）從A中有放回地摸球，每次摸出一個(gè)，有3次摸到紅球則停止.①求恰好摸5次停止的概率；②記5次之內(nèi)（含5次）摸到紅球的次數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.（2）若A、B兩個(gè)袋子中的球數(shù)之比為1：2，將A、B中的球裝在一起后，從中摸出一個(gè)紅球的概率是，求p的值.2．（山東·高考真題）甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語(yǔ)活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語(yǔ)，在一輪活動(dòng)中，如果兩人都猜對(duì)，則“星隊(duì)”得3分；如果只有一個(gè)人猜對(duì)，則“星隊(duì)”得1分；如果兩人都沒(méi)猜對(duì)，則“星隊(duì)”得0分．已知甲每輪猜對(duì)的概率是，乙每輪猜對(duì)的概率是；每輪活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響．各輪結(jié)果亦互不影響．假設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動(dòng)，求：（Ⅰ）“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率；（Ⅱ）“星隊(duì)”兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．3．（安徽·高考真題）本小題滿(mǎn)分13分）工作人員需進(jìn)入核電站完成某項(xiàng)具有高輻射危險(xiǎn)的任務(wù)，每次只派一個(gè)人進(jìn)去，且每個(gè)人只派一次，工作時(shí)間不超過(guò)10分鐘，如果有一個(gè)人10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)則撤出，再派下一個(gè)人．現(xiàn)在一共只有甲、乙、丙三個(gè)人可派，他們各自能完成任務(wù)的概率分別，假設(shè)互不相等，且假定各人能否完成任務(wù)的事件相互獨(dú)立.（1）如果按甲在先，乙次之，丙最后的順序派人，求任務(wù)能被完成的概率．若改變?nèi)齻€(gè)人被派出的先后順序，任務(wù)能被完成的概率是否發(fā)生變化？（2）若按某指定順序派人，這三個(gè)人各自能完成任務(wù)的概率依次為，其中是的一個(gè)排列，求所需派出人員數(shù)目的分布列和均值（數(shù)字期望）；（3）假定，試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)字期望）達(dá)到最?。?．（四川·高考真題）本著健康、低碳的生活理念，租自行車(chē)騎游的人越來(lái)越多.某自行車(chē)租車(chē)點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車(chē)每次租不超過(guò)兩小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)兩小時(shí)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為2元（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）.有人獨(dú)立來(lái)該租車(chē)點(diǎn)則車(chē)騎游.各租一車(chē)一次.設(shè)甲、乙不超過(guò)兩小時(shí)還車(chē)的概率分別為；兩小時(shí)以上且不超過(guò)三小時(shí)還車(chē)的概率分別為；兩人租車(chē)時(shí)間都不會(huì)超過(guò)四小時(shí).（Ⅰ）求出甲、乙所付租車(chē)費(fèi)用相同的概率；（Ⅱ）求甲、乙兩人所付的租車(chē)費(fèi)用之和為隨機(jī)變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望5．（陜西·高考真題）如圖，A地到火車(chē)站共有兩條路徑和，據(jù)統(tǒng)計(jì)，通過(guò)兩條路徑所用的時(shí)間互不影響，所用時(shí)間落在各時(shí)間段內(nèi)的頻率如下表：時(shí)間（分鐘）的頻率0.10.20.30.20.2的頻率00.10.40.