第07講 圓錐曲線中的離心率問題（高階拓展、競(jìng)賽適用）（教師版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第07講圓錐曲線中的離心率問題（高階拓展、競(jìng)賽適用）（7類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新I卷，第12題,5分求雙曲線的離心率無(wú)2024年新I卷，第16題,15分求橢圓的離心率根據(jù)橢圓過的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓中三角形(四邊形)的面積根據(jù)韋達(dá)走理求參數(shù)2023年新I卷，第5題,5分求橢圓的離心率或離心率的取值范圍由橢圓的離心率求參數(shù)的取值范圍無(wú)2023年新I卷，第16題,5分利用定義解決雙曲線中集點(diǎn)三角形問題求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍無(wú)2022年全國(guó)甲卷（文科），第11題,5分根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程2022年全國(guó)甲卷（理科），第10題,5分求橢圓的離心率或離心率的取值范圍已知兩點(diǎn)求斜率2022年全國(guó)乙卷（理科），第11題,5分求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值正弦定理解三角形2022年新I卷，第16題,5分根據(jù)離心率求楠圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)問題2021年全國(guó)乙卷（理科），第11題,5分求橢圓的離心率或離心率的取值范圍根據(jù)二次函數(shù)的最值或值域求參數(shù)2021年全國(guó)甲卷（理科），第5題,5分求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍無(wú)2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等或偏難，分值為5分【備考策略】1.理解離心率的定義及對(duì)曲線的影響2.能用定義法求離心率3.能用文中其他方法快速求解離心率4.能求解離心率的相關(guān)最值問題【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，一般以橢圓或雙曲線為載體在小題中考查，有時(shí)也會(huì)在大題中命題，需重點(diǎn)強(qiáng)化練習(xí)知識(shí)講解橢圓離心率求解的5種常用方法公式1:公式2:變形證明:公式3:已知棚圓方程為,兩焦點(diǎn)分別為,設(shè)焦點(diǎn)三角形,,則橢圓的離心率證明:,由正弦定理得:由等比定理得:,即.公式4:以橢圓兩焦點(diǎn)及橢圓上任一點(diǎn)(除長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)外)為頂點(diǎn),則證明:由正弦定理有.公式5:點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn),過的弦與橢圓焦點(diǎn)所在軸的夾角為為直線的斜率,且.,則當(dāng)曲線焦點(diǎn)在軸上時(shí),注:或者而不是或雙曲線離心率求解的5種常用方法公式1:公式證明:公式3:已知雙曲線方程為兩焦點(diǎn)分別為,設(shè)焦點(diǎn)三角形,則證明:,由正弦定理得:由等比定理得:即。公式4:以雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)及雙曲線上任意一點(diǎn)除實(shí)軸上兩個(gè)端點(diǎn)外)為頂點(diǎn)的,則離心率證明:由正弦定理,有即又公式5:點(diǎn)是雙曲線焦點(diǎn),過弦與雙曲線焦點(diǎn)所在軸夾角為為直線斜率,,則,當(dāng)曲線焦點(diǎn)在軸上時(shí),注:或者而不是或考點(diǎn)一、橢圓、雙曲線中的定義法或公式法求離心率1．（2024·全國(guó)·高考真題）已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（

）A．4 B．3 C．2 D．【答案】C【分析】由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得焦距，結(jié)合雙曲線定義計(jì)算可得，即可得離心率.【詳解】由題意，設(shè)、、，則，，，則，則.故選：C.2．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，結(jié)合離心率的意義列式計(jì)算作答.【詳解】由，得，因此，而，所以.故選：A3．（全國(guó)·高考真題）雙曲線C:的一條漸近線的傾斜角為130°，則C的離心率為A．2sin40° B．2cos40° C． D．【答案】D【分析】由雙曲線漸近線定義可得，再利用求雙曲線的離心率．【詳解】由已知可得，，故選D．【點(diǎn)睛】對(duì)于雙曲線：，有；對(duì)于橢圓，有，防止記混．4．（2024·新Ⅰ卷·高考真題）已知和為橢圓上兩點(diǎn).(1)求C的離心率;【詳解】（1）由題意得，解得，所以.5．（2024·北京·高考真題）已知橢圓：，以橢圓的焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形.過點(diǎn)且斜率存在的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，過點(diǎn)和的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為．(1)求橢圓的方程及離心率；【詳解】（1）由題意，從而，所以橢圓方程為，離心率為；1．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的短軸長(zhǎng)為2，則其離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì)即可求解.【詳解】由橢圓的短軸長(zhǎng)為2，知，，即，，因此，又橢圓的離心率，故選：A.2．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）雙曲線的一條漸近線過點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由一條漸近線過點(diǎn)得，代入即可求解．【詳解】雙曲線的漸近線方程為，將點(diǎn)代入中，得，故離心率，故選：A．3．（2024·河南周口·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的焦距與其虛軸長(zhǎng)之比為3：2，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，由已知可得，進(jìn)而可求離心率.【詳解】由題意可知，，則，設(shè)，則，所以，故的離心率為.故選：C.4．（2024·四川樂山·三模）設(shè)雙曲線，橢圓的離心率分別為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得橢圓的離心率，進(jìn)而可求得雙曲線的離心率，可求的值.【詳解】由橢圓，可得，所以，所以橢圓的離心率，又，所以雙曲線的離心率為，又雙曲線，所以，所以，解得.故選：B.5．（2024·山東·二模）如圖所示，已知雙曲線的焦點(diǎn)分別是是等邊三角形，若的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率等于．【答案】/.【分析】由等邊三角形性質(zhì)可得，然后由雙曲線的定義可得的關(guān)系，即可求得離心率.【詳解】因?yàn)槭堑冗吶切?，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則，又，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，所以．故答案為：6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為，焦點(diǎn)為,，一個(gè)短軸頂點(diǎn)為，則（

）A．40° B．50° C．80° D．100°【答案】D【分析】由題可得，可得，即可求解.【詳解】設(shè)橢圓的中心為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距分別為，，，則在等腰三角形中，，，．因?yàn)闄E圓的離心率為，所以在直角三角形中，，故，．故選：D考點(diǎn)二、利用“公式3”求焦點(diǎn)三角形中橢圓、雙曲線的離心率已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),是上的一點(diǎn),若,且,則的離心率為)A.B.C.D.2．（全國(guó)·高考真題）設(shè)橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，P是C上的點(diǎn)，⊥，∠=，則C的離心率為A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意可設(shè)|PF2|＝m，結(jié)合條件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，

故離心率e＝選D.點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.5．（全國(guó)·高考真題）設(shè)是等腰三角形，，則以，為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)的雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題設(shè)條件可知，由正弦定理可得，再由雙曲線的定義可得，最后由離心率公式進(jìn)行計(jì)算即可得解.【詳解】雙曲線的焦點(diǎn)為，，則，是等腰三角形，，，，由正弦定理即，解得，雙曲線過點(diǎn)，由雙曲線的定義可得，解得離心率，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的定義、離心率以及解三角形問題，屬于中檔題.求雙曲線離心率，一般可由下面兩個(gè)方面著手：（1）根據(jù)已知條件確定，，的等量關(guān)系，然后把用，代換，求的值；（2）已知條件構(gòu)造出，，的等式或不等式，結(jié)合化出關(guān)于，的式子，再利用，化成關(guān)于的等式或不等式，從而解出的值或范圍.1．（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，其右頂點(diǎn)為A，若橢圓上一點(diǎn)P，使得，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意求得、，再由正弦定理以及橢圓的定義，可算得與的關(guān)系，進(jìn)而求出橢圓的離心率.【詳解】由題意，，，，由正弦定理得，又，所以，，又，可得，所以橢圓的離心率.故選：B.2．（2023·北京·?？寄M預(yù)測(cè)）已知，分別是雙曲線C：（，）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為雙曲線C上一點(diǎn)，且，那么雙曲線C的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】由題意結(jié)合雙曲線的定義和直角三角形的幾何性質(zhì)，列式運(yùn)算可得其離心率的值.【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，則，由題意可得：，因?yàn)椋淼?故選：D.4．（2024·山東菏澤·高三統(tǒng)考）設(shè)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn).若在上存在一點(diǎn)，使，且，則的離心率為.【答案】.【解析】由已知可得三角形是等腰直角三角形，則根據(jù)橢圓定義可得三角形三邊長(zhǎng)度，利用勾股定理即可求解.【詳解】由已知可得三角形是等腰直角三角形，且，，由橢圓的定義可得，，又，在△中，由勾股定理可得：，即，，故答案為：.【點(diǎn)睛】該題考查了橢圓定義以及直角三角形中的勾股定理問題，屬于基礎(chǔ)題目.考點(diǎn)三、利用“公式5”求橢圓、雙曲線離心率1．（全國(guó)·高考真題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F且斜率為的直線交C于A、B兩點(diǎn)，若，則C的離心率為A． B． C． D．【答案】A【分析】過A，B分別作右準(zhǔn)線的垂直AM，AN，垂足分別為M,N,再過B作BH垂直AM垂足為H，設(shè)|BF|=x,則|AF|=4x,根據(jù)雙曲線的第二定義可知|AM|=4ex,|BN|=ex,|AH|=|AM|-|BN|=3ex,由于直線l的傾斜角為,所以，所以.2．（全國(guó)·高考真題）已知橢圓的離心率為，過右焦點(diǎn)且斜率為的直線與相交于兩點(diǎn)．若，則A．1 B． C． D．2【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，從而，則橢圓方程為．依題意可得直線方程為，聯(lián)立可得設(shè)坐標(biāo)分別為，則因?yàn)?，所以，從而有①再由可得，根?jù)橢圓第二定義可得，即②由①②可得，所以，則，解得．因?yàn)?，所以，故選B3．（2023·全國(guó)·高考真題）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，則的離心率為．【答案】/【分析】方法一：利用雙曲線的定義與向量數(shù)積的幾何意義得到關(guān)于的表達(dá)式，從而利用勾股定理求得，進(jìn)而利用余弦定理得到的齊次方程，從而得解.方法二：依題意設(shè)出各點(diǎn)坐標(biāo)，從而由向量坐標(biāo)運(yùn)算求得，，將點(diǎn)代入雙曲線得到關(guān)于的齊次方程，從而得解；【詳解】方法一：依題意，設(shè)，則，在中，，則，故或（舍去），所以，，則，故，所以在中，，整理得，故.方法二:依題意，得，令，因?yàn)?，所以，則，又，所以，則，又點(diǎn)在上，則，整理得，則，所以，即，整理得，則，解得或，又，所以或（舍去），故.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：雙曲線過焦點(diǎn)的三角形的解決關(guān)鍵是充分利用雙曲線的定義，結(jié)合勾股定理與余弦定理得到關(guān)于的齊次方程，從而得解.1．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】由，設(shè)出，根據(jù)橢圓的定義可知，，再由，可知和都是直角三角形，最后利用勾股定理列方程求解即可.【詳解】因?yàn)?，不妨令?/p>

由過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，由橢圓的定義可得，，BF1+BF則，，又因?yàn)?，所以，則和都是直角三角形，由勾股定理可得，，即，解得，所以，，又，，所以，解得，所以橢圓的離心率為.故選：B.2．（2022·浙江·高考真題）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，過F且斜率為的直線交雙曲線于點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于點(diǎn)且．若，則雙曲線的離心率是．【答案】【分析】聯(lián)立直線和漸近線方程，可求出點(diǎn)，再根據(jù)可求得點(diǎn)，最后根據(jù)點(diǎn)在雙曲線上，即可解出離心率．【詳解】過且斜率為的直線，漸近線，聯(lián)立，得，由，得而點(diǎn)在雙曲線上，于是，解得：，所以離心率.故答案為：．3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知F為橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF的延長(zhǎng)線交橢圓C于點(diǎn)D，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意知，，設(shè)，由解得點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，化簡(jiǎn)即可求得離心率.【詳解】設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在軸上，方程為，，，設(shè)，由，且，故，，由點(diǎn)在橢圓上，故，整理得，故離心率，故選：B.考點(diǎn)四、斜率乘積求離心率1．（2024·四川達(dá)州·二模）雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為為上一點(diǎn)，若直線與直線斜率之積為2，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．3【答案】B【分析】設(shè)，由直線的斜率公式，結(jié)合的坐標(biāo)滿足雙曲線方程，可得的關(guān)系，由離心率公式即可求解.【詳解】由題意得，設(shè)，可得，即，又直線與直線斜率之積為2，得，則離心率.故選：.2．（2024·陜西銅川·三模）已知原點(diǎn)為，橢圓與直線交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，若直線的斜率為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，則，由點(diǎn)差法求解離心率即可.【詳解】設(shè)，則，則，兩式相減可得，，即，即，，故.故選：B1．（2024·廣東茂名·一模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，直線與橢圓交于另一點(diǎn)，若直線與的斜率之積為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法得到斜率的表達(dá)式，化簡(jiǎn)即可得到離心率的值.【詳解】直線經(jīng)過原點(diǎn)，設(shè)Ax1,y1，，..又，，兩式相減，得.，.離心率為.故選：B.2．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）橢圓的右頂點(diǎn)為，直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，直線PA，PB的斜率乘積為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題可得，設(shè)，，由，可得，進(jìn)而可求離心率.【詳解】由題可得，設(shè)，，則，又，則，，則，．故選：B考點(diǎn)五、余弦定理求離心率1．（2021·全國(guó)·高考真題）已知是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出，結(jié)合余弦定理可得答案.【詳解】因?yàn)?，由雙曲線的定義可得，所以，；因?yàn)?由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：雙曲線的定義是入手點(diǎn)，利用余弦定理建立間的等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.2．（2024·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，過的直線與交于，兩點(diǎn)，若，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，，，根據(jù)橢圓的定義及勾股定理求出、，即可求出、，再由余弦定理求出與的關(guān)系，即可求出離心率.【詳解】不妨設(shè)，，，則，．又，所以，化簡(jiǎn)得，顯然，所以，解得，，所以，，故，解得，故的離心率為．故選：D3．（2024·廣西桂林·模擬預(yù)測(cè)）已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)點(diǎn)到直線得距離公式求出，在和中，求出，利用余弦相反構(gòu)造的齊次式，即可得解.【詳解】，點(diǎn)到漸近線的距離為，即，因?yàn)?，所以，，在中，由余弦定理得?在中，由余弦定理得：.因?yàn)?，所以，所以，又，所以，所?故選：D4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為，若，則橢圓的離心率為（

）A． B．或 C．或 D．或【答案】C【分析】由直線的斜率得和，由得和，中，由余弦定理列方程求橢圓的離心率.【詳解】由題知在軸上方，直線的斜率為，則，．由，，得，所以由橢圓的定義有．在中，由余弦定理得，整理得，得，即，解得或，故橢圓的離心率為或．故選：C.1．（2024·湖南長(zhǎng)沙·二模）已知，分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，過作的垂線，并與橢圓交于點(diǎn)，且滿足，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用橢圓的定義，結(jié)合余弦定理可得離心率.【詳解】如圖所示，設(shè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為，則為平行四邊形，由可知，，，三點(diǎn)共線，且，設(shè)，則，在中，，解得，注意到，在中結(jié)合余弦定理可得，，解得，則，所以，故選：C.2．（2024·浙江溫州·三模）已知是橢圓的左右焦點(diǎn)，上兩點(diǎn)滿足：，，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)焦點(diǎn)三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系，利用余弦定理即可求解.【詳解】由可知，設(shè)，則，,,則由余弦定理可得化簡(jiǎn)可得，故，（舍去），又,所以，化簡(jiǎn)可得，故，故選：D3．（2024·江西鷹潭·三模）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為，傾斜角為且過原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn).若，設(shè)橢圓的離心率為A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，得到四邊形為矩形，由直線過原點(diǎn)且傾斜角為，在和中，利用余弦定理計(jì)算得，結(jié)合橢圓的定義,求得離心率，進(jìn)而計(jì)算出.【詳解】如圖所示，

因?yàn)椋曳謩e為和的中點(diǎn)，，所以四邊形為矩形，又直線過原點(diǎn)且傾斜角為，即，，且為等腰三角形，所以，在中，根據(jù)余弦定理可得，即，同時(shí)，在中，根據(jù)余弦定理可得，即，所以，可得，.故選：B.4．（2024·浙江·三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C．連接，．若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角形面積關(guān)系得出，再由勾股定理及橢圓定義求出，利用余弦定理及求解即可.【詳解】設(shè)，由可得，由于與等高，所以，

又，，∴，又，∴，在中，，∵，在中，，化簡(jiǎn)可得，解得，故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)之一根據(jù)三角形面積關(guān)系得出，其次需要根據(jù)建立關(guān)系.考點(diǎn)六、構(gòu)造齊次方程求離心率1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，以為圓心的圓交軸正半軸于點(diǎn)，交軸于兩點(diǎn)，線段與交于點(diǎn).若的面積為（為橢圓的半焦距），則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題中條件三角形面積計(jì)算出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓的方程得到的等式，化簡(jiǎn)得出離心率的值；.【詳解】如圖所示，，所以圓的方程為，令，則，由圖可知，令，則或，所以.設(shè)點(diǎn)，因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得，又因?yàn)橹本€的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以令，得，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即，所以，化簡(jiǎn)得，所以，所以，因?yàn)?，所以，所?故選：C.2．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知點(diǎn)在橢圓上，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，利用橢圓的定義，求得的面積為，結(jié)合，求得，進(jìn)而得到，代入橢圓的方程，得到，轉(zhuǎn)化為，即可求解.【詳解】由橢圓E:x2a不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，由橢圓的定義知，因?yàn)?，可得，即，可得，所以，所以的面積為，可得，解得，又因?yàn)椋傻?，即，將點(diǎn)代入橢圓的方程，可得，整理得，因?yàn)?，可得，即，解得和（舍去），即橢圓的離心率為.故選：D.1．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：，點(diǎn)，，若以為直徑的圓過橢圓的右焦點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合圓的性質(zhì)及數(shù)量積的運(yùn)算律列式，化簡(jiǎn)可得，進(jìn)而求出離心率.【詳解】由以為直徑的圓過橢圓的右焦點(diǎn)，得，即，而，則，又，由，得，則，即，因此，整理得，解得，所以橢圓的離心率為.故選：C2．（2023·山東·煙臺(tái)二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線過點(diǎn)且與橢圓的長(zhǎng)軸垂直，直線過橢圓的上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)且與交于點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），且，則橢圓的離心率為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出直線，直線的方程，即可求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)坐標(biāo)，依題意可得點(diǎn)在橢圓上，將的坐標(biāo)代入橢圓方程，即可得解.【詳解】設(shè)橢圓的焦距為，則直線，直線，聯(lián)立，解得，即，因?yàn)?，故．因?yàn)?，所以點(diǎn)在橢圓上，將代入橢圓的方程得，即，即，解得或（舍去）.故選：A4．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，（如圖），過的直線交于，兩點(diǎn)，且軸，，則的離心率為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意利用向量可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合橢圓方程運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，由題意可得：，則，因?yàn)?，則，解得，即，且點(diǎn)在橢圓上，則，整理得，解得，即.考點(diǎn)七、離心率的范圍及最值問題1．（2021·全國(guó)·高考真題）設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿足，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，由，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出，分類討論求出的最大值，再構(gòu)建齊次不等式，解出即可．【詳解】設(shè)，由，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，?dāng)，即時(shí)，，即，符合題意，由可得，即；當(dāng)，即時(shí)，，即，化簡(jiǎn)得，，顯然該不等式不成立．故選：C．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是如何求出的最大值，利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值，要根據(jù)定義域討論函數(shù)的單調(diào)性從而確定最值．2．（北京·高考真題）橢圓的焦點(diǎn)為，兩條準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)分別為M，N．若，則該橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)準(zhǔn)線方程公式，由橢圓的方程可得，表示出的長(zhǎng)，又，所以把和的長(zhǎng)度分別代入，化簡(jiǎn)即可求出離心率的取值范圍，再根據(jù)橢圓的離心率小于1，取交集即可.【詳解】因?yàn)闄E圓的準(zhǔn)線方程為，所以，又因?yàn)椋瑒t由，得到，所以，又因?yàn)?，所以，故，故選：D.3．（湖南·高考真題）設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若在其右準(zhǔn)線上存在P，使線段的中垂線過點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，再由題目條件得到，利用兩點(diǎn)間的距離公式列出式子，借助化簡(jiǎn)式子，得到關(guān)于離心率的式子，結(jié)合離心率的范圍解出不等式即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)，因?yàn)榫€段的中垂線過點(diǎn)，所以，即，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，即，所以，又因?yàn)?，所以，解?故選：D.4．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)是橢圓與雙曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且，其離心率分別為，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．6 D．12【答案】A【分析】根據(jù)橢圓以及雙曲線定義利用余弦定理和基本不等式計(jì)算可得當(dāng)時(shí)，取得最小值為3.【詳解】設(shè)，由余弦定理得，即；在橢圓中，等于橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，因此，在雙曲線中，等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，因此，則．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立故選：A5．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的最小值為1，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，整理可得，根據(jù)題意結(jié)合二次函數(shù)分析可得，進(jìn)而可求離心率.【詳解】由題意可設(shè)：，則，令，則，注意到，則，可知的圖象開口向上，對(duì)稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，可知在內(nèi)的最小值為，則，整理得，解得，不合題意；當(dāng)，即時(shí)，可知在內(nèi)的最小值為，符合題意；綜上所述：.可得橢圓的離心率，所以橢圓的離心率的取值范圍是.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)，整理得，換元，分類討論對(duì)稱軸的取值范圍，結(jié)合二次函數(shù)最值求的取值范圍.1．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測(cè)）已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若上存在不同的兩點(diǎn)，使得，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量關(guān)系結(jié)合橢圓的對(duì)稱性，找到當(dāng)分別位于的左、右頂點(diǎn)時(shí)，有最大值，求出離心率的取值范圍.【詳解】如圖，延長(zhǎng)交橢圓于，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，得，，當(dāng)分別位于的左、右頂點(diǎn)時(shí)，有最大值，又因?yàn)椴恢睾?，所以，即，解得，所以的離心率的取值范圍為．故選：C．2．（2024·河南濮陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，以為圓心的圓與軸相切于橢圓的焦點(diǎn)，圓與軸相交于兩點(diǎn)，若是銳角三角形，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)軸可設(shè)，代入橢圓方程可求得圓的半徑，根據(jù)為銳角三角形，可構(gòu)造關(guān)于的齊次不等式，進(jìn)而配湊出離心率，解不等式即可求得結(jié)果.【詳解】圓與軸相切于焦點(diǎn)，軸，可設(shè)，在橢圓上，，解得：，圓的半徑為；作軸，垂足為，，，為銳角三角形，，，，即，解得：，即橢圓離心率的取值范圍為.故選：D.3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)，點(diǎn)為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，那么最小為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別在橢圓和雙曲線中，利用焦點(diǎn)三角形中的余弦定理建立等量關(guān)系，再構(gòu)造，利用基本不等式，即可求解.【詳解】設(shè)兩曲線的半焦距為，由余弦定理得．在橢圓中，，得．在雙曲線中，，得．從而，得，則，即，即．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：B4．（2024·四川德陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線l的焦距為2c，右頂點(diǎn)為A，過A作x軸的垂線與E的漸近線交于M、N兩點(diǎn)，若則E的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．[3，2]【答案】A【分析】首先求出，再結(jié)合題干中的條件可知，通過解不等式可得的取值范圍，結(jié)合雙曲線的離心率公式可得答案.【詳解】由題意得，漸近線,將代入得坐標(biāo)為,所以,因?yàn)檩S，所以,由已知可得,兩邊同時(shí)除以得,所以，即，解得,所以，而雙曲線的離心率，故選：A.1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓的離心率是橢圓的離心率的倍，則的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】根據(jù)離心率公式求得橢圓和橢圓離心率，列式求解求得，進(jìn)而可得解.【詳解】因?yàn)闄E圓，所以橢圓離心率為，橢圓的離心率，則由題意可知，解得.所以的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.故選：D.2．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測(cè)）若動(dòng)直線始終與橢圓（且）有公共點(diǎn)，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由直線方程得出直線過定點(diǎn)，再由直線與橢圓有公共點(diǎn)列出不等式，結(jié)合橢圓離心率公式計(jì)算即可．【詳解】由直線得，直線過定點(diǎn)，由題意得，點(diǎn)在橢圓上或橢圓內(nèi)部，所以，則，所以橢圓焦點(diǎn)在軸上，所以，故選：C．3．（2024·江蘇南京·二模）設(shè)分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，直線與以為圓心、為半徑的圓切于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線與圓相切，利用勾股定理可以求出的長(zhǎng)度，進(jìn)而通過，可以得到的長(zhǎng)度，再次應(yīng)用勾股定理，求出的長(zhǎng)度，最后根據(jù)為橢圓上一點(diǎn)，運(yùn)用橢圓的定義，結(jié)合橢圓離心率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意，，，因?yàn)橹本€與以為圓心、為半徑的圓切，所以，因此由勾股定理可知，又，所以，因此，由勾股定理可得，根據(jù)橢圓定義，，.故選：B4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓與雙曲線的性質(zhì)得到離心率的表達(dá)式，再根據(jù)得到的范圍，代入中即可求解.【詳解】由題意可得．因?yàn)?，所以，所以，所以，所以的取值范圍?故選：B．5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)在上，為等腰三角形，且頂角為，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可得，過點(diǎn)作軸，求得，代入雙曲線方程求解.【詳解】如圖所示：因?yàn)闉榈妊切?，且頂角為，所以，過點(diǎn)作軸，垂足為，在中，則，故，代入雙曲線方程得，解得，即，所以，解得.故選：D6．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）雙曲線的一條漸近線為，則其離心率為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)漸近線方程解得，再由離心率公式求解即可.【詳解】解：因?yàn)殡p曲線的一條漸近線為()，即,所以漸近線的斜率為，即，解得，所以雙曲線的離心率.故選：A.7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）橢圓的左頂點(diǎn)為，點(diǎn)均在上，且點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)軸對(duì)稱，若直線均存在斜率，且斜率之積為，記的離心率為，則（

）.A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得到的坐標(biāo)，進(jìn)而利用兩點(diǎn)距離公式與點(diǎn)在橢圓上得到關(guān)于的齊次方程，從而得解.【詳解】由題可得，設(shè).則，又，則.則.故選：C二、多選題8．（2024·甘肅酒泉·三模）已知橢圓上存在點(diǎn)，使得，其中分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率可能為（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)橢圓的定義得到，，再由即可求出離心率的取值范圍，即可判斷.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，又，即，所以，則，又，所以，故符合題意的有BCD.故選：BCD9．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則雙曲線與有相同的（

）A．焦點(diǎn) B．焦距 C．離心率 D．漸近線【答案】CD【分析】由雙曲線的幾何性質(zhì)逐一判斷即可；【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A、B：設(shè)，易知的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為和，而的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故其左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為和，顯然和的焦點(diǎn)和焦距均不相同，故A，B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C、D：和的離心率均為，漸近線方程均為，故C，D正確．故選：CD.三、填空題10．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則C的離心率為.【答案】【分析】借助斜率與垂直的關(guān)系可得，即可得離心率.【詳解】由直線的斜率為，故有，即，則.故答案為：.一、單選題1．（2024·黑龍江大慶·三模）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，若經(jīng)過的弦滿足，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意，根據(jù)橢圓的定義可得，由，根據(jù)余弦定理可得，再由離心率公式求解即可.【詳解】

由題可知，所以，解得，由得，整理得，所以.故選：A.2．（2024·江蘇蘇州·三模）已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過作的漸近線的平行線，與漸近線在第一象限交于點(diǎn)，此時(shí)，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．3【答案】C【分析】根據(jù)題意，聯(lián)立直線方程可得點(diǎn)坐標(biāo)，再由可得，在中可得，從而得到，再由離心率公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線，則其漸近線方程為，且，過作的漸近線的平行線，與漸近線在第一象限交于點(diǎn)，則直線方程為，聯(lián)立直線方程，解得，所以，過點(diǎn)作軸的垂線，交軸于點(diǎn)，因?yàn)?，則，則，且，即，化簡(jiǎn)可得，則.故選：C3．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓上第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且與軸相交于點(diǎn)，離心率，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由離心率得，，由得在圓上，解方程組求得點(diǎn)坐標(biāo)，利用的橫坐標(biāo)即可求得．【詳解】，，則，所以，，橢圓方程化為，，因此在圓上，由，解得，在第一象限，則，，則，故選：D．4．（2024·山東菏澤·二模）已知分別為橢圓和雙曲線的離心率，雙曲線漸近線的斜率不超過，則的最大值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)，求出，令，結(jié)合，即可求解.【詳解】由橢圓的離心率，雙曲線的離心率，可得，令，因?yàn)殡p曲線的漸近線的斜率不超過，即，則此時(shí)，即，則的最大值是.故選：B.5．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線:的左焦點(diǎn)為，過的直線交圓于，兩點(diǎn)，交的右支于點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接，過作與，易得，，設(shè)，結(jié)合雙曲線的定義分別求出對(duì)應(yīng)邊，在和中，由勾股定理得和之間的關(guān)系，即可求解.【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接，過作與，則，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，即為線段的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，，設(shè)，則，，，所以，在中，由勾股定理可得，即，解得，所以，，在中，由勾股定理得，即，解得，所以.故選：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解離心率的常用方法：（1）直接法：直接求出，，求解；（2）變用公式，整體求出；（3）利用題目中所給的幾何關(guān)系或者條件得出，，的關(guān)系；（4）構(gòu)造，的齊次式，解出.6．（2024·天津·二模）設(shè)雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，，，則C的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】由雙曲線的對(duì)稱性可得，且四邊形為平行四邊形，由數(shù)量積的定義，結(jié)合余弦定理代入計(jì)算，即可得離心率.【詳解】由雙曲線的對(duì)稱性可知，，有四邊形為平行四邊形，令，則，由雙曲線定義可知，故有，即，即，，則，即，，所以.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求雙曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見有兩種方法：一：求出，代入公式計(jì)算；二：只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范圍）.7．（2024·湖南·三模）已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過作直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若，且的面積為，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，首先證明，結(jié)合題意算得解得，即可得三角形為等邊三角形，進(jìn)一步結(jié)合橢圓定義可得，，，即是的中點(diǎn)，結(jié)合勾股定理、離心率公式即可求解.【詳解】我們首先來證明一個(gè)引理：若，則，證明如下：設(shè)，則由余弦定理有，即，所以，所以，從而引理得證；根據(jù)題意可得，，解得，因?yàn)?，所以，解得，由，，可得三角形為等邊三角形，所以，所以，所以，所以是的中點(diǎn)，所以，所以，即，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于得出三角形為等邊三角形，進(jìn)一步得出的齊次式關(guān)系即可求解.二、填空題8．（2024·陜西西安·三模）已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過的直線交雙曲線的左支于A，B兩點(diǎn)，，，則雙曲線的離心率為．【答案】【分析】設(shè)，，在中，利用余弦定理求出AB，再根據(jù)雙曲線的定義即可求出，再在中，利用余弦定理即可得解.【詳解】由題可設(shè)，，由余弦定理可得，即，解得，因?yàn)椋?，即，在中，，，，所以，即，解得，則所求雙曲線的離心率為．故答案為：．9．（2024高三下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知P、Q為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，、是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，，若，則橢圓C的離心率的取值范圍為.【答案】【分析】結(jié)合題目條件可得四邊形是矩形，設(shè)，由可得，又，化簡(jiǎn)計(jì)算即可得解.【詳解】如圖，，顯然四邊形是矩形，所以，由題意，，所以，設(shè)，則，所以，又點(diǎn)P在第一象限，所以，故，即，所以，橢圓C的離心率，由可得，又，所以，故.故答案為：.10．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左頂點(diǎn)是，右焦點(diǎn)是，點(diǎn)是雙曲線右支上異于頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，的平分線與直線交于點(diǎn)，過作軸，垂足是，若恒成立，則雙曲線的離心率為．【答案】【分析】過點(diǎn)作，根據(jù)題意，得到，設(shè)，由為的角平分線，求得，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合任意的都成立，列出方程組，求得，即可求解.【詳解】如圖所示，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，可得，因?yàn)椋?，設(shè)，則，由為的角平分線，可得，所以，由，可得，所以，整理得，若對(duì)于任意的都成立，則必有，解得，所以雙曲線的離心率為.故答案為：.

1．（2024·廣東江蘇·高考真題）設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過作平行于軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，若，則C的離心率為．【答案】【分析】由題意畫出雙曲線大致圖象，求出，結(jié)合雙曲線第一定義求出，即可得到的值，從而求出離心率.【詳解】由題可知三點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，設(shè)在第一象限，將代入得，即，故，，又，得，解得，代入得，故，即，所以.故答案為：2．（2023·天津·高考真題）已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，已知．(1)求橢圓的方程和離心率；(2)點(diǎn)在橢圓上（異于橢圓的頂點(diǎn)），直線交軸于點(diǎn)，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．【答案】(1)橢圓的方程為，離心率為.(2).【分析】（1）由解得，從而求出，代入橢圓方程即可求方程，再代入離心率公式即求離心率.（2）先設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去，再由韋達(dá)定理可得，從而得到點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo).由得，即可得到關(guān)于的方程，解出，代入直線的方程即可得到答案.【詳解】（1）如圖，

由題意得，解得，所以，所以橢圓的方程為，離心率為.（2）由題意得，直線斜率存在，由橢圓的方程為可得，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去整理得：，由韋達(dá)定理得，所以，所以，.所以,,，所以，所以，即，解得，所以直線的方程為.3．（2022·天津·高考真題）橢圓的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)為B滿足．(1)求橢圓的離心率；(2)直線l與橢圓有唯一公共點(diǎn)M，與y軸相交于點(diǎn)N（N異于M）．記O為原點(diǎn)，若，且的面積為，求橢圓的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的等量關(guān)系，由此可求得該橢圓的離心率的值；（2）由（1）可知橢圓的方程為，設(shè)直線的方程為，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，由可得出，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式以及已知條件可求得的值，即可得出橢圓的方程.【詳解】（1）解：，離心率為.（2）解：由（1）可知橢圓的方程為，易知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，由，①，，由可得，②由可得，③聯(lián)立①②③可得，，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．4．（2022·全國(guó)·高考真題）（多選）雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點(diǎn)，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)過作圓的切線切點(diǎn)為，利用正弦定理結(jié)合三角變換、雙曲線的定義得到或，即可得解，注意就在雙支上還是在單支上分類討論.【詳解】[方法一]：幾何法，雙曲線定義的應(yīng)用情況一

M、N在雙曲線的同一支，依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)過作圓的切線切點(diǎn)為B，所以，因?yàn)?，所以在雙曲線的左支，，，，設(shè)，由即，則，選A情況二若M、N在雙曲線的兩支，因?yàn)?，所以在雙曲線的右支，所以，，，設(shè)，由，即，則，所以，即，所以雙曲線的離心率選C[方法二]：答案回代法特值雙曲線，過且與圓相切的一條直線為，兩交點(diǎn)都在左支,，，則，特值雙曲線，過且與圓相切的一條直線為，兩交點(diǎn)在左右兩支，在右支，，，則，[方法三]：依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)過作圓的切線切點(diǎn)為，若分別在左右支，因?yàn)?，且，所以在雙曲線的右支，又，，，設(shè)，，在中，有，故即，所以，而，，，故，代入整理得到，即，所以雙曲線的離心率若均在左支上，同理有，其中為鈍角，故，故即，代入，，，整理得到：，故，故，故選：AC.5．（2021·天津·高考真題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于C、D兩點(diǎn)，若．則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】設(shè)公共焦點(diǎn)為，進(jìn)而可得準(zhǔn)線為，代入雙曲線及漸