第10講 新高考新結(jié)構(gòu)命題下的概率統(tǒng)計(jì)解答題綜合訓(xùn)練（教師版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page新高考新結(jié)構(gòu)命題下的概率統(tǒng)計(jì)解答題綜合訓(xùn)練（9類核心考點(diǎn)精講精練）在新課標(biāo)、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推進(jìn)。這不僅僅是一場(chǎng)考試形式的變革，更是對(duì)教育模式和教育理念的全面革新。當(dāng)前的高考試題設(shè)計(jì)，以“三維”減量增質(zhì)為核心理念，力求在減少題目數(shù)量的同時(shí)，提升題目的質(zhì)量和考查的深度。這具體體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：三考題目設(shè)計(jì)著重考查學(xué)生的知識(shí)主干、學(xué)習(xí)能力和學(xué)科素養(yǎng)，確保試題能夠全面、客觀地反映學(xué)生的實(shí)際水平。三重強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生思維深度、創(chuàng)新精神和實(shí)際應(yīng)用能力的考查，鼓勵(lì)學(xué)生不拘泥于傳統(tǒng)模式，展現(xiàn)個(gè)人的獨(dú)特見(jiàn)解和創(chuàng)造力。三突出試題特別突出對(duì)學(xué)生思維過(guò)程、思維方法和創(chuàng)新能力的考查，通過(guò)精心設(shè)計(jì)的題目，引導(dǎo)學(xué)生深入思考和探索，培養(yǎng)邏輯思維和創(chuàng)新能力。面對(duì)新高考新結(jié)構(gòu)試卷的5個(gè)解答題，每個(gè)題目的考查焦點(diǎn)皆充滿變數(shù)，無(wú)法提前預(yù)知。概率統(tǒng)計(jì)版塊作為一個(gè)重要的考查領(lǐng)域，其身影可能悄然出現(xiàn)在第15題中，作為一道13分的題目，難度相對(duì)較為適中，易于學(xué)生入手。同樣不能忽視的是，概率統(tǒng)計(jì)版塊也可能被置于第18、19題這樣的壓軸大題中，此時(shí)的分值將提升至17分，挑戰(zhàn)學(xué)生的解題能力和思維深度，難度自然相應(yīng)加大。面對(duì)如此多變的命題趨勢(shì)，教師在教學(xué)備考過(guò)程中必須與時(shí)俱進(jìn)。不僅要深入掌握不同題目位置可能涉及的知識(shí)點(diǎn)及其命題方式，更要能夠靈活應(yīng)對(duì)，根據(jù)試題的實(shí)際情況調(diào)整教學(xué)策略。本文基于新高考新結(jié)構(gòu)試卷的特點(diǎn)，結(jié)合具體的概率統(tǒng)計(jì)解答題實(shí)例，旨在為廣大師生提供一份詳盡的概率統(tǒng)計(jì)解答題綜合訓(xùn)練指南，以期在新高考中取得更好的成績(jī)?？键c(diǎn)一、條件概率1．（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）某設(shè)備由相互獨(dú)立的甲?乙兩個(gè)部件組成，若兩個(gè)部件同時(shí)出現(xiàn)故障，則設(shè)備停止運(yùn)轉(zhuǎn)；若有且只有一個(gè)部件出現(xiàn)故障，則設(shè)備出現(xiàn)異常.在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)，甲部件出現(xiàn)故障的概率為，乙部件出現(xiàn)故障的概率為.甲部件出現(xiàn)故障，檢修費(fèi)用為3千元；乙部件出現(xiàn)故障，檢修費(fèi)用為2千元，在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)，甲?乙兩個(gè)部件至多各出現(xiàn)一次故障.(1)試估算一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)的平均檢修費(fèi)用；(2)求在設(shè)備出現(xiàn)異常的情況下，甲部件出現(xiàn)故障的概率.【答案】(1)千元(2)【分析】（1）由題意知，設(shè)一個(gè)周期內(nèi)檢修費(fèi)用為，取值為，依次求出相應(yīng)的概率，再利用期望公式計(jì)算，即可得到答案；（2）由條件概率公式即可得到結(jié)果.【詳解】（1）一個(gè)周期內(nèi)檢修費(fèi)用的所有可能取值為.一個(gè)周期內(nèi)的平均檢修費(fèi)用千元.（2）記設(shè)備出現(xiàn)異常為事件，甲部件出現(xiàn)故障為事件.2．（2024·遼寧·一模）某植物園種植一種觀賞花卉，這種觀賞花卉的高度(單位：cm)介于之間，現(xiàn)對(duì)植物園部分該種觀賞花卉的高度進(jìn)行測(cè)量，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示.(1)求的值;(2)以頻率估計(jì)概率，完成下列問(wèn)題.(i)若從所有花卉中隨機(jī)抽株，記高度在內(nèi)的株數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(ii)若在所有花卉中隨機(jī)抽取3株，求至少有2株高度在的條件下，至多1株高度低于的概率.【答案】(1)(2)(i)分布列見(jiàn)解析，；(ii)【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為得到方程，解得即可；（2）(i)依題意可得，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式求出分布列與數(shù)學(xué)期望；(ii)利用條件概率的概率公式計(jì)算可得.【詳解】（1）依題意可得，解得；（2）(i)由（1）可得高度在的頻率為，所以，所以，，，，，所以的分布列為：所以；(ii)在歐陽(yáng)花卉中隨機(jī)抽取株，記至少有株高度在為事件，至多株高度低于為事件，則，，所以.3．（2022·全國(guó)·高考真題）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對(duì)照組1090(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R．（ⅰ）證明：；（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計(jì)值，并利用（ⅰ）的結(jié)果給出R的估計(jì)值．附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)（i）證明見(jiàn)解析；(ii)；【分析】(1)由所給數(shù)據(jù)結(jié)合公式求出的值，將其與臨界值比較大小，由此確定是否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異；(2)(i)根據(jù)定義結(jié)合條件概率公式即可完成證明；(ii)根據(jù)（i）結(jié)合已知數(shù)據(jù)求.【詳解】（1）由已知，又，，所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.（2）(i)因?yàn)?，所以所以?ii)由已知，，又，，所以4．（2024·廣東佛山·三模）隨著春季學(xué)期開學(xué)，某市市場(chǎng)監(jiān)管局加強(qiáng)了對(duì)學(xué)校食堂食品安全管理，助力推廣校園文明餐桌行動(dòng)，培養(yǎng)廣大師生文明餐桌新理念，以“小餐桌”帶動(dòng)“大文明”，同時(shí)踐行綠色發(fā)展理念．該市某中學(xué)有A，B兩個(gè)餐廳為老師與學(xué)生們提供午餐與晚餐服務(wù)，王同學(xué)、張老師兩人每天午餐和晚餐都在學(xué)校就餐，近一個(gè)月（30天）選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計(jì)如下：選擇餐廳情況（午餐，晚餐）王同學(xué)9天6天12天3天張老師6天6天6天12天假設(shè)王同學(xué)、張老師選擇餐廳相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率．(1)估計(jì)一天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的概率；(2)記X為王同學(xué)、張老師在一天中就餐餐廳的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)假設(shè)M表示事件“A餐廳推出優(yōu)惠套餐”，N表示事件“某學(xué)生去A餐廳就餐”，，已知推出優(yōu)惠套餐的情況下學(xué)生去該餐廳就餐的概率會(huì)比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大，證明：．【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）運(yùn)用古典概型求概率即可．（2）根據(jù)已知條件計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的分布列及期望．（3）運(yùn)用條件概率及概率加法公式計(jì)算可證明結(jié)果．【詳解】（1）設(shè)事件C為“一天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐”，因?yàn)?0天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的天數(shù)為，所以．（2）由題意知，王同學(xué)午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐的概率為0.3，王同學(xué)午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的概率為0.1，張老師午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐的概率為0.2，張老師午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的概率為0.4，記X為王同學(xué)、張老師在一天中就餐餐廳的個(gè)數(shù)，則X的所有可能取值為1、2，所以，，所以X的分布列為X12P0.10.9所以X的數(shù)學(xué)期望（3）證明：由題知，所以，所以，所以，即：，所以，即.5．（2024·河南駐馬店·二模）某汽車銷售公司為了提升公司的業(yè)績(jī)，現(xiàn)將最近300個(gè)工作日每日的汽車銷售情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如圖所示.

(1)求的值以及該公司這300個(gè)工作日每日汽車銷售量的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(2)以頻率估計(jì)概率，若在所有工作日中隨機(jī)選擇4天，記汽車銷售量在區(qū)間內(nèi)的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)為增加銷售量，公司規(guī)定顧客每購(gòu)買一輛汽車可以進(jìn)行一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)則如下：抽獎(jiǎng)區(qū)有兩個(gè)盒子，其中盒中放有9張金卡?1張銀卡，盒中放有2張金卡?8張銀卡，顧客在不知情的情況下隨機(jī)選擇其中一個(gè)盒子進(jìn)行抽獎(jiǎng)，直到抽到金卡則抽獎(jiǎng)結(jié)束（每次抽出一張卡，然后放回原來(lái)的盒中，再進(jìn)行下次抽獎(jiǎng)，中途可更換盒子），卡片結(jié)果的排列對(duì)應(yīng)相應(yīng)的禮品.已知顧客小明每次抽獎(jiǎng)選擇兩個(gè)盒子的概率相同，求小明在首次抽獎(jiǎng)抽出銀卡的條件下，第二次從另外一個(gè)盒子中抽獎(jiǎng)抽出金卡的概率.【答案】(1)，150(2)分布列見(jiàn)解析，(3)【分析】（1）利用頻率分布直方圖中所有的矩形面積之和等于1求得值，根據(jù)平均數(shù)公式列式計(jì)算即得；（2）理解題意，判斷，分別計(jì)算的所有可能指的概率，列出分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望即得；（3）根據(jù)條件概率的計(jì)算公式可求該概率.【詳解】（1）依題意得解得.所求平均數(shù)為.（2）因汽車銷售量在區(qū)間內(nèi)的概率為，在所有工作日中隨機(jī)選擇4天，相當(dāng)于一個(gè)4重伯努利試驗(yàn)，故，則，

01234故.（3）設(shè)為“小明在首次抽獎(jiǎng)抽出銀卡”，則，設(shè)為“小明第二次從另外一個(gè)盒子中抽獎(jiǎng)抽出金卡”，則，故.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查頻率分布直方圖，二項(xiàng)分布以及條件概率公式的應(yīng)用，屬于較難題.解題關(guān)鍵在于根據(jù)題設(shè)條件，確定伯努利概型并進(jìn)行計(jì)算，設(shè)出相應(yīng)的事件，正確理解題意，利用條件概率公式計(jì)算.考點(diǎn)二、全概率公式與貝葉斯公式1．（2023·河南·三模）某學(xué)校安排甲、乙、丙三個(gè)班級(jí)同時(shí)到學(xué)校禮堂參加聯(lián)歡晚會(huì)，已知甲班藝術(shù)生占比8%，乙班藝術(shù)生占比6%，丙班藝術(shù)生占比5%．學(xué)生自由選擇座位，先到者先選．甲、乙、丙三個(gè)班人數(shù)分別占總?cè)藬?shù)的，，．若主持人隨機(jī)從場(chǎng)下學(xué)生中選一人參與互動(dòng)．(1)求選到的學(xué)生是藝術(shù)生的概率；(2)如果選到的學(xué)生是藝術(shù)生，判斷其來(lái)自哪個(gè)班的可能性最大．【答案】(1)(2)來(lái)自丙班的可能性最大【分析】（1）依據(jù)題意根據(jù)全概率公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)條件概率公式分別計(jì)算，即可判斷.【詳解】（1）設(shè)“任選一名學(xué)生恰好是藝術(shù)生”，“所選學(xué)生來(lái)自甲班”，“所選學(xué)生來(lái)自乙班”,“所選學(xué)生來(lái)自丙班”．由題可知：，，，，，

.（2）；

所以其來(lái)自丙班的可能性最高．2．（2024·福建廈門·模擬預(yù)測(cè)）甲箱裝有2個(gè)黑球和4個(gè)白球，乙箱裝有2個(gè)黑球和3個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同.某人先從兩個(gè)箱子中任選一個(gè)箱子，再?gòu)闹须S機(jī)摸出一球.(1)求摸出的球是黑球的概率；(2)若已知摸出的球是黑球，用概率公式判斷該球取自哪個(gè)箱子的可能性更大.【答案】(1)(2)該球取自乙箱的可能性更大【分析】（1）由條件概率的定義，分別求出從甲箱摸出的球是黑球的概率和從乙箱摸出的球是黑球的概率，然后由全概率公式，即可得答案.（2）根據(jù)貝葉斯公式，分別求出摸出的黑球是取自甲箱和取自乙箱的概率，比較其大小，即可得到答案.【詳解】（1）記事件A表示“球取自甲箱”，事件表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”，則，，，由全概率公式得：.（2）該球取自乙箱的可能性更大，理由如下：該球是取自甲箱的概率，該球取自乙箱的概率，因?yàn)椋栽撉蛉∽砸蚁涞目赡苄愿?3．（2024·新疆·二模）某人工智能研究實(shí)驗(yàn)室開發(fā)出一款全新聊天機(jī)器人棋型，它能夠通過(guò)學(xué)習(xí)和理解人類的語(yǔ)言來(lái)進(jìn)行對(duì)話．聊天機(jī)器人棋型的開發(fā)主要采用RLHF（人類反饋強(qiáng)化學(xué)習(xí)）技術(shù)，在測(cè)試它時(shí)，如果輸入的問(wèn)題沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤，則它的回答被采納的概率為90%，當(dāng)出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤時(shí)，它的回答被采納的概率為.(1)在某次測(cè)試中輸入了7個(gè)問(wèn)題，聊天機(jī)器人棋型的回答有5個(gè)被采納，現(xiàn)從這7個(gè)問(wèn)題中抽取4個(gè)，以表示抽取的問(wèn)題中回答被采納的問(wèn)題個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)設(shè)輸入的問(wèn)題出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤的概率為，若聊天機(jī)器人棋型的回答被采納的概率為，求的值．【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，E(2)【分析】（1）求出隨機(jī)變量的所有取值以及每一個(gè)值發(fā)生的概率即可得的分布列，再根據(jù)數(shù)學(xué)期望的公式即可計(jì)算得解的數(shù)學(xué)期望.（2）記“輸入的問(wèn)題沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤”為事件A，“輸入的問(wèn)題有語(yǔ)法錯(cuò)誤”為事件B，“回答被采納”為事件，進(jìn)而由已知以及全概率公式PC=P【詳解】（1）由題可知的所有取值為2，3，4，且服從超幾何分布，Pξ=2=C52故的分布列為：234則Eξ（2）記“輸入的問(wèn)題沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤”為事件A，記“輸入的問(wèn)題有語(yǔ)法錯(cuò)誤”為事件B，記“回答被采納”為事件，由已知得，PC=0.8，PC|A=0.9，PC|B所以由全概率公式得PC解得．4．（23-24高二下·福建南平·階段練習(xí)）某運(yùn)動(dòng)隊(duì)為評(píng)估短跑運(yùn)動(dòng)員在接力賽中的作用，對(duì)運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行數(shù)據(jù)分析.運(yùn)動(dòng)員甲在接力賽中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四個(gè)位置，統(tǒng)計(jì)以往多場(chǎng)比賽，其出場(chǎng)率與出場(chǎng)時(shí)比賽獲勝率如下表所示.比賽位置第一棒第二棒第三棒第四棒出場(chǎng)率0.30.20.2.0.3比賽勝率0.60.80.70.7(1)當(dāng)甲出場(chǎng)比賽時(shí)，求該運(yùn)動(dòng)隊(duì)獲勝的概率.(2)當(dāng)甲出場(chǎng)比賽時(shí)，在該運(yùn)動(dòng)隊(duì)獲勝的條件下，求甲跑第一棒的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可得出答案.（2）根據(jù)條件概率的計(jì)算公式即可求解.【詳解】（1）記“甲跑第一棒”為事件，“甲跑第二棒”為事件，“甲跑第三棒”為事件，“甲跑第四棒”為事件，“運(yùn)動(dòng)隊(duì)獲勝”為事件，則，所以當(dāng)甲出場(chǎng)比賽時(shí)，求該運(yùn)動(dòng)隊(duì)獲勝的概率為；（2），所以當(dāng)甲出場(chǎng)比賽時(shí)，在該運(yùn)動(dòng)隊(duì)獲勝的條件下，甲跑第一棒的概率為.5．（2024·遼寧·三模）隨著中國(guó)科技的進(jìn)步，涌現(xiàn)了一批高科技企業(yè)，也相應(yīng)產(chǎn)生了一批高科技產(chǎn)品，在城市，生產(chǎn)某高科技產(chǎn)品的本地企業(yè)有甲?乙兩個(gè)，城市的高科技產(chǎn)品的企業(yè)市場(chǎng)占有率和指標(biāo)的優(yōu)秀率如下表：市場(chǎng)占有率指標(biāo)的優(yōu)秀率企業(yè)甲企業(yè)乙其它(1)從城市的高科技產(chǎn)品的市場(chǎng)中隨機(jī)選一件產(chǎn)品，求所選產(chǎn)品的指標(biāo)為優(yōu)秀的概率；(2)從城市的高科技產(chǎn)品的市場(chǎng)中隨機(jī)選一件產(chǎn)品，若已知所選產(chǎn)品的指標(biāo)為優(yōu)秀，求該產(chǎn)品是產(chǎn)自企業(yè)甲的概率；(3)從城市的高科技產(chǎn)品的市場(chǎng)中依次取出6件指標(biāo)為優(yōu)秀的產(chǎn)品，若已知6件產(chǎn)品中恰有4件產(chǎn)品產(chǎn)自企業(yè)甲，記離散型隨機(jī)變量表示這6件產(chǎn)品中產(chǎn)自企業(yè)乙的件數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)(3)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）利用全概率公式計(jì)算可得；（2）利用條件概率的概率公式計(jì)算可得；（3）首先求出，，依題意可得的可能取值為、、，求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可得到分布列與數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）記事件、、分別為所選產(chǎn)品來(lái)自企業(yè)甲、企業(yè)乙、其它，記事件表示所選產(chǎn)品的指標(biāo)為優(yōu)秀，則，即所選產(chǎn)品的指標(biāo)為優(yōu)秀的概率.（2）由（1）可得，即若已知所選產(chǎn)品的指標(biāo)為優(yōu)秀，則該產(chǎn)品是產(chǎn)自企業(yè)甲的概率為.（3）由（1）可知，，，依題意的可能取值為、、，所以，，，所以的分布列為：所以.6．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)需要抽取甲?乙兩個(gè)箱子的商品，檢驗(yàn)其是否合格.其中甲箱中有9個(gè)正品和1個(gè)次品；乙箱中有8個(gè)正品和2個(gè)次品.從這兩個(gè)箱子中隨機(jī)選擇一個(gè)箱子，再?gòu)脑撓渲械瓤赡艹槌鲆粋€(gè)商品，稱為首次檢驗(yàn).將首次檢驗(yàn)的商品放回原來(lái)的箱子，再進(jìn)行二次檢驗(yàn)，若兩次檢驗(yàn)都為正品，則通過(guò)檢驗(yàn).首次檢驗(yàn)選到甲箱或乙箱的概率均為.(1)求首次檢驗(yàn)抽到合格產(chǎn)品的概率；(2)在首次檢驗(yàn)抽到合格產(chǎn)品的條件下，求首次檢驗(yàn)選到的箱子為甲箱的概率；(3)將首次檢驗(yàn)抽出的合格產(chǎn)品放回原來(lái)的箱子，繼續(xù)進(jìn)行二次檢驗(yàn)時(shí)有如下兩種方案：方案一，從首次檢驗(yàn)選到的箱子中抽?。环桨付?，從另外一個(gè)箱子中抽取.比較兩個(gè)方案，哪個(gè)方案檢驗(yàn)通過(guò)的概率大.【答案】(1)(2)(3)方案一【分析】（1）按照條件概率的計(jì)算公式即可得出答案；（2）按照貝葉斯逆向概率公式代入即可求解；（3）由前面的小問(wèn)得出的結(jié)論分別計(jì)算兩種方案在二次檢驗(yàn)抽到合格品的概率，比較大小，從而選擇決策方案.【詳解】（1）將首次檢驗(yàn)選到甲箱記為事件，選到乙箱記為事件，首次檢驗(yàn)抽到合格品記為事件.則首次檢驗(yàn)抽到合格品的概率.（2）在首次抽到合格品的條件下，首次抽到甲箱的概率.（3）將二次檢驗(yàn)抽到合格品記為事件.由上一小問(wèn)可知，在首次抽到合格品的條件下，首次抽到甲箱的概率，則在首次抽到合格品的條件下，首次抽到乙箱的概率..從而，在首次檢驗(yàn)通過(guò)，即事件發(fā)生的條件下：①若選擇方案一，則，.故此條件下在二次檢驗(yàn)抽到合格品的概率.所以在方案一下，檢驗(yàn)通過(guò)的概率；②若選擇方案二，則，.故此條件下在二次檢驗(yàn)抽到合格品的概率.所以在方案二下，檢驗(yàn)通過(guò)的概率.而，故選擇方案一檢驗(yàn)通過(guò)的概率更大.考點(diǎn)三、二項(xiàng)分布1．（2024·山東棗莊·模擬預(yù)測(cè)）在一個(gè)袋子中有若干紅球和白球（除顏色外均相同），袋中紅球數(shù)占總球數(shù)的比例為．(1)若有放回摸球，摸到紅球時(shí)停止．在第次沒(méi)有摸到紅球的條件下，求第3次也沒(méi)有摸到紅球的概率；(2)某同學(xué)不知道比例，為估計(jì)的值，設(shè)計(jì)了如下兩種方案：方案一：從袋中進(jìn)行有放回摸球，摸出紅球或摸球次停止．方案二：從袋中進(jìn)行有放回摸球次．分別求兩個(gè)方案紅球出現(xiàn)頻率的數(shù)學(xué)期望，并以數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，分析哪個(gè)方案估計(jì)的值更合理．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)事件“第2次沒(méi)有摸到紅球”，事件“第3次也沒(méi)有摸到紅球”，根據(jù)條件概率公式計(jì)算可得；（2）記“方案一”中紅球出現(xiàn)的頻率用隨機(jī)變量表示，的可能取值為，求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可得到分布列與數(shù)學(xué)期望，“方案二”中紅球出現(xiàn)的頻率用隨機(jī)變量表示，則，由二項(xiàng)分布的概率公式得到分布列，即可求出期望，再判斷即可.【詳解】（1）設(shè)事件“第2次沒(méi)有摸到紅球”，事件“第3次也沒(méi)有摸到紅球”，則，，所以；（2）“方案一”中紅球出現(xiàn)的頻率用隨機(jī)變量表示，則的可能取值為：，且，，，，，，所以的分布列為：01則，“方案二”中紅球出現(xiàn)的頻率用隨機(jī)變量表示，因?yàn)?，所以的分布列為：，即的分布列為?1所以，則，因?yàn)?，，所以“方案二”估?jì)的值更合理.2．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）某學(xué)校組織一場(chǎng)由老師與學(xué)生進(jìn)行的智力問(wèn)題比賽，最終由小明同學(xué)和唐老師入圍決賽，決賽規(guī)則如下：①學(xué)生：回答n個(gè)問(wèn)題，每個(gè)問(wèn)題小明回答正確的概率均為；若小明回答錯(cuò)誤，可以行使學(xué)生權(quán)益，即可以進(jìn)行場(chǎng)外求助，由場(chǎng)外同學(xué)小亮幫助答題，且小亮每個(gè)問(wèn)題回答正確的概率均為.②教師：回答個(gè)問(wèn)題，每個(gè)問(wèn)題唐老師回答正確的概率均為.假設(shè)每道題目答對(duì)與否相互獨(dú)立，最終答對(duì)題目多的一方獲勝.(1)若，，記小明同學(xué)答對(duì)問(wèn)題（含場(chǎng)外求助答對(duì)題數(shù)）的數(shù)量為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望：(2)若，且小明同學(xué)獲勝的概率不小于，求p的最小值.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，；(2).【分析】（1）求出小明答每個(gè)問(wèn)題，回答正確的概率，再利用二項(xiàng)分布求出分布列及期望.（2）求出小明答對(duì)1個(gè)、2個(gè)試題的概率，唐老師答對(duì)0個(gè)、1個(gè)試題的概率，再把小明獲勝的事件分拆成互斥事件的和，即可求出概率.【詳解】（1）小明同學(xué)答每個(gè)問(wèn)題，回答正確的概率，的所有可能取值為，顯然，則，，，，則的分布列為0123數(shù)學(xué)期望.（2）記事件為小明同學(xué)答對(duì)了道題，事件為唐老師答對(duì)了道題，，，其中小明同學(xué)答對(duì)某道題的概率為，答錯(cuò)某道題的概率為，則，，，，所以小明同學(xué)獲勝的概率為，解得，所以的最小值為.3．（2024·河北·三模）某學(xué)校的數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)學(xué)校學(xué)生的冰雪運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行調(diào)研，發(fā)現(xiàn)約有的學(xué)生喜歡滑雪運(yùn)動(dòng)．從這些被調(diào)研的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行調(diào)查，假設(shè)每個(gè)學(xué)生被選到的可能性相等．(1)記表示喜歡滑雪運(yùn)動(dòng)的人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望．(2)若該數(shù)學(xué)興趣小組計(jì)劃在全校學(xué)生中抽選一名喜歡滑雪運(yùn)動(dòng)的學(xué)生進(jìn)行訪談．抽選規(guī)則如下：在全校學(xué)生中隨機(jī)抽選一名學(xué)生，如果該學(xué)生喜歡滑雪運(yùn)動(dòng)，就不再抽選其他學(xué)生，結(jié)束抽選活動(dòng)；如果該學(xué)生不喜歡滑雪運(yùn)動(dòng)，則繼續(xù)隨機(jī)抽選，直到抽選到一名喜歡滑雪運(yùn)動(dòng)的學(xué)生為止，結(jié)束抽選活動(dòng)．并且規(guī)定抽取的次數(shù)不超過(guò)次，其中小于當(dāng)次調(diào)查的總?cè)藬?shù)．設(shè)在抽選活動(dòng)結(jié)束時(shí)，抽到不喜歡滑雪運(yùn)動(dòng)的學(xué)生的人數(shù)為，求抽到名學(xué)生不喜歡滑雪運(yùn)動(dòng)的概率．【答案】(1)．(2)【分析】（1）由題意服從二項(xiàng)分布，由二項(xiàng)分布期望公式直接可得解；（2）由題意可知，時(shí)，前次取到是不愛(ài)好滑雪的人，第次取到愛(ài)好滑雪得的人，利用獨(dú)立事件的乘法公式求解，當(dāng)時(shí)，取到的所以人都不愛(ài)好滑雪，活動(dòng)結(jié)束.【詳解】（1）由題意，，，.（2）由題意，的可能取值為，，，，，，，綜上，.4．（2024·北京西城·三模）根據(jù)2024城市魅力排行榜，一線城市4個(gè)，分別為：上海、北京、深圳、廣州；新一線城市15個(gè)，分別為：成都、杭州、重慶、蘇州、武漢、西安、南京、長(zhǎng)沙、天津、鄭州、東莞、無(wú)錫、寧波、青島、合肥.其中城區(qū)常住人口超過(guò)一千萬(wàn)的超大城市10個(gè)，分別為：上海、北京、深圳、重慶、廣州、成都、天津、東莞、武漢、杭州.(1)從10個(gè)超大城市中隨機(jī)抽取一座城市，求該城市是一線城市的概率；(2)從10個(gè)超大城市按不可放回抽樣的方式隨機(jī)抽取3個(gè)城市，隨機(jī)變量X表示新一線城市的數(shù)量，求隨機(jī)變量X的分布列和期望；(3)從10個(gè)超大城市中按可放回抽樣的方式隨機(jī)抽取3個(gè)城市，隨機(jī)變量Y表示新一線城市的數(shù)量，比較E（X）與E（Y）的大小關(guān)系.（直接寫出結(jié)果）【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，(3)【分析】（1）根據(jù)古典概型直接求概率；（2）根據(jù)超幾何分布求得X取值對(duì)應(yīng)的概率，得到分布列和期望；（3），運(yùn)用二項(xiàng)分布期望公式求得，即可得到二者相等.【詳解】（1）10個(gè)超大城市中包含4個(gè)一線城市，所以從10個(gè)超大城市中隨機(jī)抽取一座城市，該城市是一線城市的概率為.（2）10個(gè)超大城市中包含6個(gè)新一線城市，X所有可能的取值為：.；；；.所以X的分布列為：X0123P.（3）理由如下：從10個(gè)超大城市中按可放回抽樣的方式隨機(jī)抽取3個(gè)城市，隨機(jī)變量，，所以.5．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）甲、乙兩同學(xué)進(jìn)行射擊比賽，已知甲射擊一次命中的概率為，乙射擊一次命中的概率為，比賽共進(jìn)行輪次，且每次射擊結(jié)果相互獨(dú)立，現(xiàn)有兩種比賽方案，方案一：射擊次，每次命中得2分，未命中得0分；方案二：從第一次射擊開始，若本次命中，則得6分，并繼續(xù)射擊；若本次未命中，則得0分，并終止射擊．(1)設(shè)甲同學(xué)在方案一中射擊輪次總得分為隨機(jī)變量是，求；(2)甲、乙同學(xué)分別選取方案一、方案二進(jìn)行比賽，試確定的最小值，使得當(dāng)時(shí)，甲的總得分期望大于乙．【答案】(1)20(2)12【分析】（1）由已知設(shè)，則服從二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布期望的公式和期望的性質(zhì)求解即可；（2）設(shè)乙同學(xué)的總得分為隨機(jī)變量，寫出的所有可能取值，并計(jì)算相應(yīng)的概率，并求解，利用設(shè)，求解的最小值即可.【詳解】（1）設(shè)，故，所以，故；（2）由（1）知，設(shè)乙同學(xué)的總得分為隨機(jī)變量，的所有可能取值為，，，，，所以，，，，，，，所以，設(shè)，則，故，即，代入，故，設(shè)，易知，當(dāng)時(shí)，，且，則滿足題意的最小為12.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查概率的綜合問(wèn)題，方案一利用二項(xiàng)分布求期望，方案二的期望表達(dá)式與數(shù)列知識(shí)結(jié)合，通過(guò)變形轉(zhuǎn)化為錯(cuò)位相減法求和問(wèn)題，再利用作差法求解.6．（2024·河南駐馬店·二模）某汽車銷售公司為了提升公司的業(yè)績(jī)，現(xiàn)將最近300個(gè)工作日每日的汽車銷售情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如圖所示.

(1)求的值以及該公司這300個(gè)工作日每日汽車銷售量的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(2)以頻率估計(jì)概率，若在所有工作日中隨機(jī)選擇4天，記汽車銷售量在區(qū)間內(nèi)的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)為增加銷售量，公司規(guī)定顧客每購(gòu)買一輛汽車可以進(jìn)行一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)則如下：抽獎(jiǎng)區(qū)有兩個(gè)盒子，其中盒中放有9張金卡?1張銀卡，盒中放有2張金卡?8張銀卡，顧客在不知情的情況下隨機(jī)選擇其中一個(gè)盒子進(jìn)行抽獎(jiǎng)，直到抽到金卡則抽獎(jiǎng)結(jié)束（每次抽出一張卡，然后放回原來(lái)的盒中，再進(jìn)行下次抽獎(jiǎng)，中途可更換盒子），卡片結(jié)果的排列對(duì)應(yīng)相應(yīng)的禮品.已知顧客小明每次抽獎(jiǎng)選擇兩個(gè)盒子的概率相同，求小明在首次抽獎(jiǎng)抽出銀卡的條件下，第二次從另外一個(gè)盒子中抽獎(jiǎng)抽出金卡的概率.【答案】(1)，150(2)分布列見(jiàn)解析，(3)【分析】（1）利用頻率分布直方圖中所有的矩形面積之和等于1求得值，根據(jù)平均數(shù)公式列式計(jì)算即得；（2）理解題意，判斷，分別計(jì)算的所有可能指的概率，列出分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望即得；（3）根據(jù)條件概率的計(jì)算公式可求該概率.【詳解】（1）依題意得解得.所求平均數(shù)為.（2）因汽車銷售量在區(qū)間內(nèi)的概率為，在所有工作日中隨機(jī)選擇4天，相當(dāng)于一個(gè)4重伯努利試驗(yàn)，故，則，

01234故.（3）設(shè)為“小明在首次抽獎(jiǎng)抽出銀卡”，則，設(shè)為“小明第二次從另外一個(gè)盒子中抽獎(jiǎng)抽出金卡”，則，故.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查頻率分布直方圖，二項(xiàng)分布以及條件概率公式的應(yīng)用，屬于較難題.解題關(guān)鍵在于根據(jù)題設(shè)條件，確定伯努利概型并進(jìn)行計(jì)算，設(shè)出相應(yīng)的事件，正確理解題意，利用條件概率公式計(jì)算.考點(diǎn)四、超幾何分布1．（2024·上海長(zhǎng)寧·二模）盒子中裝有大小和質(zhì)地相同的6個(gè)紅球和3個(gè)白球；(1)從盒子中隨機(jī)抽取出1個(gè)球，觀察其顏色后放回，并同時(shí)放入與其顏色相同的球3個(gè)，然后再?gòu)暮凶与S機(jī)取出1個(gè)球，求第二次取出的球是紅球的概率；(2)從盒子中不放回地依次隨機(jī)取出2個(gè)球，設(shè)2個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)為，求的分布、期望與方差；【答案】(1)(2)分布見(jiàn)解析，期望【分析】（1）由獨(dú)立乘法公式、互斥加法公式即可運(yùn)算求解古典概型概率；（2）的所有可能取值為0，1，2，它服從超幾何分布，結(jié)合超幾何分布概率的求法求得相應(yīng)的概率進(jìn)而可得的分布，結(jié)合期望、方差計(jì)算公式即可求解.【詳解】（1）第一次取出紅球的概率為，取出白球的概率為，第一次取出紅球，第二次取出紅球的概率為，第一次取出白球，第二次取出紅球的概率為，所有第二次取出的球是紅球的概率為；（2）的所有可能取值為0，1，2，，所以的分布為，它的期望為，它的方差為.2．（2023·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）某校體育節(jié)組織比賽，需要志愿者參加服務(wù)的項(xiàng)目有：60米袋鼠跳、100米、200米、1500米、3000米、4×100米接力．(1)志愿者小明同學(xué)可以在6個(gè)項(xiàng)目中選擇3個(gè)項(xiàng)目參加服務(wù)，求小明在選擇60米袋鼠跳服務(wù)的條件下，選擇3000米服務(wù)的概率；(2)為了調(diào)查志愿者選擇服務(wù)項(xiàng)目的情況，從志愿者中抽取了15名同學(xué)，其中有9名首選100米，6名首選4×100米接力．現(xiàn)從這15名同學(xué)中再選3名同學(xué)做進(jìn)一步調(diào)查．將其中首選4×100米接力的人數(shù)記作X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)；(2)分布列見(jiàn)詳解，.【分析】（1）小明選擇60米袋鼠跳服務(wù)為事件，小明選擇3000米服務(wù)為事件，利用組合知識(shí)和古典概型概率公式求出，然后由條件概率公式可得；（2）根據(jù)超幾何分布概率公式計(jì)算可得分布列，再由期望公式可得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）記小明選擇60米袋鼠跳服務(wù)為事件，小明選擇3000米服務(wù)為事件，則，，所以，即小明在選擇60米袋鼠跳服務(wù)的條件下，選擇3000米服務(wù)的概率為.（2）由題知，的所有可能取值為，由超幾何分布概率公式得：，.得隨機(jī)變量X的分布列為：0123所以.3．（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）袋中有8個(gè)除顏色外完全相同的小球，其中1個(gè)黑球，3個(gè)白球，4個(gè)紅球.(1)若從袋中一次性取出兩個(gè)小球，即取到的紅球個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若從袋中不放回的取3次，每次取一個(gè)小球，取到黑球記0分，取到白球記2分，取到紅球記4分，在最終得分為8分的條件下，恰取到一個(gè)紅球的概率.【答案】(1)(2)2【分析】（1）由超幾何分布的概率公式以及期望公式求解可得答案；（2）設(shè)事件“最后得分為8分”；事件“恰取到一個(gè)紅球”，求出，，再根據(jù)條件概率的概率公式計(jì)算可得答案.【詳解】（1）由題意得的可能取值為：，，，，所以的分布列為：012數(shù)學(xué)期望；（2）設(shè)事件“最后得分為8分”；事件“恰取到一個(gè)紅球”；由題意，最后得分為8分有兩種情況：摸出2個(gè)白球1個(gè)紅球或1個(gè)黑球2個(gè)紅球，所以，，所以.4．（2024·山西·三模）袋中裝有大小、形狀、材質(zhì)完全相同的n個(gè)小球，其中有個(gè)紅球.(1)若，現(xiàn)從袋中隨機(jī)摸出2個(gè)小球，其中紅球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，求的方差(2)從袋中有放回地摸取小球次，每次摸出一個(gè)小球，其中摸到紅球的次數(shù)為隨機(jī)變量，若的期望，方差，求;(3)若，現(xiàn)從袋中有放回地摸取小球10次，每次摸出1個(gè)小球，記錄顏色后將摸出的小球放回袋中.以摸出紅球的頻率估計(jì)袋中紅球所占比例，若，求紅球占比估計(jì)值的誤差不超過(guò)的概率.參考數(shù)據(jù):0123456789100.02820.01210.00520.00220.00100.00040.00020.00010.00000.00000.0000【答案】(1)(2)15(3)0.708【分析】（1）根據(jù)題意服從超幾何分布，先計(jì)算概率，再計(jì)算期望代入方差公式即可.（2）有放回的摸球，所以服從二項(xiàng)分布，利用期望，方差公式聯(lián)立求出.（3）有放回的摸球，每次摸一個(gè)球，摸10次，紅球出現(xiàn)的次數(shù)是服從二項(xiàng)分布的，想利用摸出紅球的頻率估計(jì)袋中紅球所占比例，當(dāng)紅球有30個(gè)時(shí)，紅球?qū)嶋H的比例為如果紅球占比估計(jì)值的誤差不超過(guò)，，則只能取2、3或4.，又因?yàn)榧t球出現(xiàn)的次數(shù)是服從二項(xiàng)分布的，所以概率利用二項(xiàng)分布的計(jì)算可得.【詳解】（1）X的取值有0，1，2.且服從超幾何分布.因此,,;分布列如下：X012P..（2）因?yàn)橛蟹呕氐孛?個(gè)小球次，每次摸到紅球的概率是，所以，，，即，所以.（3）設(shè)從袋中有放回地摸取小球10次，每次摸出1個(gè)小球中紅球出現(xiàn)次，所以摸出紅球的頻率為，當(dāng)，紅球所占比例為，如果以摸出紅球的頻率估計(jì)袋中紅球所占比例，且誤差不超過(guò)，因此：，即只能取2、3或4.所以紅球占比估計(jì)值的誤差不超過(guò)的概率：.5．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）某自然保護(hù)區(qū)經(jīng)過(guò)幾十年的發(fā)展，某種瀕臨滅絕動(dòng)物數(shù)量有大幅度的增加.已知這種動(dòng)物擁有兩個(gè)亞種（分別記為種和種）.為了調(diào)查該區(qū)域中這兩個(gè)亞種的數(shù)目，某動(dòng)物研究小組計(jì)劃在該區(qū)域中捕捉100個(gè)動(dòng)物，統(tǒng)計(jì)其中種的數(shù)目后，將捕獲的動(dòng)物全部放回，作為一次試驗(yàn)結(jié)果.重復(fù)進(jìn)行這個(gè)試驗(yàn)共20次，記第次試驗(yàn)中種的數(shù)目為隨機(jī)變量.設(shè)該區(qū)域中種的數(shù)目為，種的數(shù)目為（，均大于100），每一次試驗(yàn)均相互獨(dú)立.(1)求的分布列；(2)記隨機(jī)變量.已知，（i）證明：，；（ii）該小組完成所有試驗(yàn)后，得到的實(shí)際取值分別為.數(shù)據(jù)的平均值，方差.采用和分別代替和，給出，的估計(jì)值.（已知隨機(jī)變量服從超幾何分布記為：（其中為總數(shù)，為某類元素的個(gè)數(shù)，為抽取的個(gè)數(shù)），則）【答案】(1)見(jiàn)解析(2)（?。┳C明見(jiàn)解析；（ⅱ），【分析】（1）利用超幾何分布求解即可；（2）（?。├镁岛头讲畹男再|(zhì)求解即可；（ⅱ）利用題目給的方差公式結(jié)合第（?。┲械慕Y(jié)論，求出，，然后列方程求解即可.【詳解】（1）依題意，均服從完全相同的超幾何分布，且，均大于100，故的分布列為.0199100（2）（i）均服從完全相同的超幾何分布，故，，故，（ii）由（?。┛芍木道霉接?jì)算的方差，所以依題意有解得，．所以可以估計(jì)，．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用期望和方差的性質(zhì)，以及超幾何分布的方差公式.考點(diǎn)五、正態(tài)分布1．（2024·黑龍江·三模）為建立健全國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康監(jiān)測(cè)評(píng)價(jià)機(jī)制，激勵(lì)學(xué)生積極參加身體鍛煉，教育部印發(fā)了《國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》，要求各學(xué)校每學(xué)年開展覆蓋本校各年級(jí)學(xué)生的《標(biāo)準(zhǔn)》測(cè)試工作.為做好全省的迎檢工作，某市在高三年級(jí)開展了一次體質(zhì)健康模擬測(cè)試，并從中隨機(jī)抽取了500名學(xué)生的數(shù)據(jù)，根據(jù)他們的健康指數(shù)繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)估計(jì)這500名學(xué)生健康指數(shù)的平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(2)由頻率分布直方圖知，該市學(xué)生的健康指數(shù)X近似服從正態(tài)分布N(，)，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差(=84.75).①求P(60.29≤X≤87.92)；②已知該市高三學(xué)生約有30000名，記健康指數(shù)在區(qū)間[60.29，87.92]的人數(shù)為，試求E().附：參考數(shù)據(jù)：，若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(，)，則，，.【答案】(1)69.5(2)①0.819；②24570【分析】（1）以組中值代替小組平均值，根據(jù)加權(quán)平均數(shù)公式計(jì)算可得；（2）①根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求解即可；②根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式計(jì)算即可.【詳解】（1）由題意得，平均數(shù)=50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5；（2）①由(1)可知=69.5，≈9.21，則P(60.29≤X≤87.92)=P(69.5-9.21≤X≤69.5+9.21×2)則P(60.29≤X≤87.92)=P(69.5-9.21≤X≤69.5+9.21×2)=P(≤X≤)=×0.683+×0.955=0.819；②由①可知1名學(xué)生的健康指數(shù)位于[60.29，87.92]的概率為0.819，依題意，服從二項(xiàng)分布，即～B(30000,0.819)，則E()=np=24570.2．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）某品牌專賣店統(tǒng)計(jì)歷史消費(fèi)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：進(jìn)店消費(fèi)的顧客的消費(fèi)額X（單位：元）服從正態(tài)分布．為回饋廣大顧客，專賣店對(duì)消費(fèi)達(dá)一定金額的顧客開展了品牌知識(shí)有獎(jiǎng)答題活動(dòng)，顧客需要依次回答兩類試題，若顧客答對(duì)第一類題，則回答第二類題，若顧客沒(méi)有答對(duì)第一類題，則不再答第二類題，直接結(jié)束有獎(jiǎng)答題活動(dòng)．對(duì)于每一類題，答錯(cuò)得0分，答對(duì)得10分，兩類題總分20分，答題結(jié)束后可減免與得分相同數(shù)額的現(xiàn)金（單位：元）．每類試題均有兩次答題機(jī)會(huì)，在任意一類試題中，若第一次回答正確，則認(rèn)為答對(duì)該類試題，就不再進(jìn)行第二次答題．若第一次回答錯(cuò)誤，則進(jìn)行第二次答題，若第二次答題正確，則也認(rèn)為答對(duì)該類試題；若第二次回答錯(cuò)誤，則認(rèn)為答錯(cuò)該類試題．(1)若某天有200位進(jìn)店消費(fèi)的顧客，請(qǐng)估計(jì)該天消費(fèi)額在內(nèi)的人數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）；附：若，則．(2)某顧客消費(fèi)達(dá)到指定金額后可參與答題活動(dòng)，類題中的兩次答題機(jī)會(huì)答對(duì)的概率都是，類題中的兩次答題機(jī)會(huì)答對(duì)的概率都是，且每次答題相互獨(dú)立．若答題結(jié)束后可減免的現(xiàn)金數(shù)額為元，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)168(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）先求出在內(nèi)的概率，再用總?cè)藬?shù)乘以該概率即可；（2）由題可知，的可能取值為，根據(jù)題意計(jì)算概率即可得到分布列，進(jìn)而可求數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由題意，若某天該商場(chǎng)有200位顧客，估計(jì)該天消費(fèi)額在內(nèi)的人數(shù)為：（人）；（2）設(shè)的取值為，則，，所以的分布列為01020數(shù)學(xué)期望3．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）“公平正義”是社會(huì)主義和諧社會(huì)的重要特征，是社會(huì)主義法治理念的價(jià)值追求.“考試”作為一種公平公正選拔人才的有效途徑，正被廣泛采用.一般地，對(duì)于一次成功的考試來(lái)說(shuō)，所有考生得考試成績(jī)應(yīng)服從正態(tài)分布.某單位準(zhǔn)備通過(guò)考試（按照高分優(yōu)先錄取的原則）錄用300人，其中275個(gè)高薪職位和25個(gè)普薪職位.實(shí)際報(bào)名人數(shù)為2000名，考試滿分為400分.記考生的成績(jī)?yōu)?，且，已知所有考生考試的平均成?jī)，且360分及其以上的高分考生有30名.(1)求的值．（結(jié)果保留位整數(shù)）(2)該單位的最低錄取分?jǐn)?shù)約是多少？（結(jié)果保留為整數(shù)）(3)考生甲的成績(jī)?yōu)?86分，若甲被錄取，能否獲得高薪職位？若不能被錄取，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考資料：①當(dāng)時(shí)，令，則．②當(dāng)，，，，．【答案】(1)(2)分(3)甲能獲得高薪，理由見(jiàn)解析【分析】（1）依題意，令，得到，根據(jù)及所給條件求出；（2）由（1）可得，設(shè)最錄取分?jǐn)?shù)為，根據(jù)，求得，即可得到答案；（3）考生甲的成績(jī)?yōu)?，得到甲能被錄取概率為，從而推?dǎo)出分以上的人數(shù)，即可得解.【詳解】（1）依題意，令，則，所以可得，，，又因?yàn)?，則，解得；（2）由（1）可得，設(shè)最錄取分?jǐn)?shù)為，則，，，所以，即最低錄取分?jǐn)?shù)線為分．（3）考生甲的成績(jī)?yōu)榉址?，所以甲能被錄取概率為，表明不低于考生甲的成?jī)的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，約有，即考生甲大約排在第名，排在名之前，所以甲能獲得高薪.4．（2024·福建福州·三模）已知某種機(jī)器的電源電壓U（單位：V）服從正態(tài)分布．其電壓通常有3種狀態(tài)：①不超過(guò)200V；②在200V~240V之間③超過(guò)240V．在上述三種狀態(tài)下，該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率分別為0.15，0.05，0.2．(1)求該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品時(shí)，電壓不超過(guò)200V的概率；(2)從該機(jī)器生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取n（）件，記其中恰有2件不合格品的概率為，求取得最大值時(shí)n的值．附：若，取，．【答案】(1)(2)【分析】（1）記電壓“不超過(guò)200V”、“在200V~240V之間”、“超過(guò)240V”分別為事件A，B，C，“該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品”為事件D，得到，分別求得，結(jié)合條件概率和全概率的公式，即可求解.（2）設(shè)不合格品件數(shù)為，得到，求得，結(jié)合，求得的范圍，即可求解.【詳解】（1）解：記電壓“不超過(guò)200V”、“在200V~240V之間”、“超過(guò)240V”分別為事件A，B，C，“該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品”為事件D，因?yàn)椋?，，．所以?/p>

則所以該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品時(shí)，電壓不超過(guò)200V的概率為．（2）解：從該機(jī)器生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取n件，設(shè)不合格品件數(shù)為，則，所以，由，解得．所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以最大，因此當(dāng)時(shí)最大．5．（2024·福建龍巖·三模）某企業(yè)對(duì)某品牌芯片開發(fā)了一條生產(chǎn)線進(jìn)行試產(chǎn).其芯片質(zhì)量按等級(jí)劃分為五個(gè)層級(jí)，分別對(duì)應(yīng)如下五組質(zhì)量指標(biāo)值：.根據(jù)長(zhǎng)期檢測(cè)結(jié)果，得到芯片的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，并把質(zhì)量指標(biāo)值不小于80的產(chǎn)品稱為等品，其它產(chǎn)品稱為等品.現(xiàn)從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取100件作為樣本，統(tǒng)計(jì)得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)長(zhǎng)期檢測(cè)結(jié)果，該芯片質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為11，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值.若從生產(chǎn)線中任取一件芯片，試估計(jì)該芯片為等品的概率(保留小數(shù)點(diǎn)后面兩位有效數(shù)字)；(①同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表；②參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，.)(2)（i）從樣本的質(zhì)量指標(biāo)值在和[85，95]的芯片中隨機(jī)抽取3件，記其中質(zhì)量指標(biāo)值在[85，95]的芯片件數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（ii）該企業(yè)為節(jié)省檢測(cè)成本，采用隨機(jī)混裝的方式將所有的芯片按100件一箱包裝.已知一件等品芯片的利潤(rùn)是元，一件等品芯片的利潤(rùn)是元，根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，試求的值，使得每箱產(chǎn)品的利潤(rùn)最大.【答案】(1)(2)（i）分布列見(jiàn)解析，；（ii）【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求得樣本平均數(shù)，然后利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求解概率.（2）（i）先求出的取值，然后求出對(duì)應(yīng)的概率，即可求出分布列，代入期望公式求解即可；（ii）先根據(jù)二項(xiàng)分布的期望求出，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值時(shí)的即可.【詳解】（1）由題意，估計(jì)從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取100件的平均數(shù)為：．即，，所以，因?yàn)橘|(zhì)量指標(biāo)值近似服從正態(tài)分布，所以，所以從生產(chǎn)線中任取一件芯片，該芯片為等品的概率約為.（2）（i），所以所取樣本的個(gè)數(shù)為20件，質(zhì)量指標(biāo)值在的芯片件數(shù)為10件，故可能取的值為0，1，2，3，相應(yīng)的概率為：，，，，隨機(jī)變量的分布列為：0123所以的數(shù)學(xué)期望.（ii）設(shè)每箱產(chǎn)品中A等品有件，則每箱產(chǎn)品中等品有件，設(shè)每箱產(chǎn)品的利潤(rùn)為元，由題意知：，由（1）知：每箱零件中A等品的概率為，所以，所以，所以.令，由得，，又，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.所以當(dāng)時(shí)，每箱產(chǎn)品利潤(rùn)最大.6．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）某工廠為了提高精度，采購(gòu)了一批新型機(jī)器，現(xiàn)對(duì)這批機(jī)器的生產(chǎn)效能進(jìn)行測(cè)試，對(duì)其生產(chǎn)的第一批零件的內(nèi)徑進(jìn)行測(cè)量，統(tǒng)計(jì)繪制了如下圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求a的值以及這批零件內(nèi)徑的平均值和方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(2)以頻率估計(jì)概率，若在這批零件中隨機(jī)抽取4個(gè)，記內(nèi)徑在區(qū)間內(nèi)的零件個(gè)數(shù)為，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望；(3)已知這批零件的內(nèi)徑（單位：mm）服從正態(tài)分布，現(xiàn)以頻率分布直方圖中的平均數(shù)作為的估計(jì)值，頻率分布直方圖中的標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，則在這批零件中隨機(jī)抽取200個(gè)，記內(nèi)徑在區(qū)間上的零件個(gè)數(shù)為，求的方差.參考數(shù)據(jù)：，若，則，，.【答案】(1)，，(2)的分布列見(jiàn)解析，(3)【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為1，及頻率分布直方圖中均值和方差的計(jì)算公式，求出相應(yīng)的值即可；（2）確定的可能取值，求出不同的值對(duì)應(yīng)的概率，得到的分布列，再根據(jù)離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式求出的數(shù)學(xué)期望即可；（3）由根據(jù)正態(tài)分布的概率求法，求出的概率，再根據(jù)二項(xiàng)分布的定義判定，最后根據(jù)二項(xiàng)分布方差的計(jì)算公式求出的方差.【詳解】（1）由，則，這批零件內(nèi)徑的平均值：，，這批零件內(nèi)徑的方差：，（2）由題意知，的可能取值為0，1，2，3，4，則，，，，，因此可得的分布列：012340.40960.40960.15360.02560.0016則的數(shù)學(xué)期望.（3）由題意知，，，又，，則，由二項(xiàng)分布的定義知,由二項(xiàng)分布的方差公式知，.考點(diǎn)六、獨(dú)立性檢驗(yàn)1．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）春夏之交因晝夜溫差大，細(xì)菌、病毒等活躍，是流感高發(fā)季節(jié)．某校高二年級(jí)某組團(tuán)統(tǒng)計(jì)了流感暴發(fā)前的半個(gè)月與流感暴發(fā)后的半個(gè)月的學(xué)生請(qǐng)假情況，得到如下數(shù)據(jù)：因發(fā)燒請(qǐng)假非發(fā)燒請(qǐng)假合計(jì)流感暴發(fā)前1030流感暴發(fā)后30合計(jì)70(1)完成列聯(lián)表，并依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷能否認(rèn)為流感暴發(fā)對(duì)請(qǐng)假的同學(xué)中發(fā)燒的人數(shù)有影響．(2)后經(jīng)過(guò)了解，在全校因發(fā)燒請(qǐng)假的同學(xué)中男生占比為，且的因發(fā)燒請(qǐng)假的男生需要輸液治療，的因發(fā)燒請(qǐng)假的女生需要輸液治療．學(xué)校隨機(jī)選擇一名因發(fā)燒請(qǐng)假在醫(yī)院輸液的同學(xué)進(jìn)行慰問(wèn)，求這名同學(xué)是女生的概率．附：．0．050．010．0013．8416．63510．828【答案】(1)表格見(jiàn)解析，有影響(2)【分析】（1）根據(jù)題意完成列聯(lián)表，計(jì)算，再與臨界值比較即可；（2）利用條件概率公式求解.【詳解】（1）零假設(shè)為：流感暴發(fā)與請(qǐng)假的同學(xué)中發(fā)燒的人數(shù)之間相互獨(dú)立．完成列聯(lián)表如下所示．因發(fā)燒請(qǐng)假非發(fā)燒請(qǐng)假合計(jì)流感暴發(fā)前102030流感暴發(fā)后301040合計(jì)403070根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得．所以我們推斷不成立，即可以認(rèn)為流感暴發(fā)對(duì)請(qǐng)假的同學(xué)中發(fā)燒的人數(shù)有影響．（2）設(shè)事件表示請(qǐng)假的同學(xué)為女生，事件表示需要輸液治療，，，則．所以這名同學(xué)是女生的概率為．2．（2024·山西太原·模擬預(yù)測(cè)）貴州省“美麗鄉(xiāng)村”籃球聯(lián)賽在比賽間隙進(jìn)行蘆笙舞、侗族大歌等非物質(zhì)文化遺產(chǎn)展演，這項(xiàng)活動(dòng)將體育運(yùn)動(dòng)與當(dāng)?shù)孛褡迕袼孜幕嘤|合，創(chuàng)造出獨(dú)特的文體公共產(chǎn)品．為了打造更具吸引力的賽事，某平臺(tái)發(fā)起了群眾觀賽意見(jiàn)反饋調(diào)查，共收回了200份調(diào)查問(wèn)卷．性別關(guān)注賽事不關(guān)注賽事男8436女4040(1)通過(guò)進(jìn)一步分析關(guān)注賽事群眾的調(diào)查問(wèn)卷得知，關(guān)注表演的女性用戶有24名，現(xiàn)從關(guān)注賽事的群眾中抽取一人，設(shè)“抽取的一人為男性”為事件A，“抽取的一人關(guān)注表演”為事件B，若，則以此次調(diào)查的數(shù)據(jù)為依據(jù)，估計(jì)從平臺(tái)用戶中任意抽取一名用戶，該用戶關(guān)注表演的概率為多少；(2)是否有的把握認(rèn)為是否關(guān)注賽事與性別有關(guān)？附：，其中．0.0500.0100.0050.001k3.8416.6357.87910.828【答案】(1)0.22(2)有的把握認(rèn)為是否關(guān)注賽事與性別有關(guān)【分析】（1）利用條件概率公式結(jié)合給定的概率公式求解即可.（2）列出列聯(lián)表，計(jì)算得到卡方，進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)即可.【詳解】（1）由題意可知，關(guān)注賽事的總?cè)藬?shù)為人，其中男性84人，女性40人，女性中關(guān)注表演的有24人，則不關(guān)注表演的女性有16人．設(shè)在關(guān)注賽事的84名男性中，關(guān)注表演的有m人，則不關(guān)注表演的男性有人，所以不關(guān)注表演的共有人，則，且，由，得，解得，所以關(guān)注表演的男性有20人，即在樣本中關(guān)注表演的共有4人，在樣本中的比例為，由此估計(jì)，從平臺(tái)的所有用戶中任意抽取一名用戶，該用戶關(guān)注表演的概率約為0.22．（2）由題意得列聯(lián)表如下：性別關(guān)注賽事不關(guān)注賽事合計(jì)男8436120女404080合計(jì)12476200則，故有的把握認(rèn)為是否關(guān)注賽事與性別有關(guān)．3．（2024·重慶渝中·模擬預(yù)測(cè)）為考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，得到如下的列聯(lián)表（單位：只）：藥物疾病合計(jì)未患病患病未服用5040服用合計(jì)75200(1)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整；(2)依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為藥物有效呢？從概率的角度解釋得到的結(jié)論；(3)為了進(jìn)一步研究，現(xiàn)按分層抽樣的方法從未患病動(dòng)物中抽取10只作為樣本，從該樣本中隨機(jī)抽取4只，設(shè)其中未服用藥物的動(dòng)物數(shù)為，求的分布列及期望.附表及公式：.0.150.100.050.0252.0722.7063.8415.024【答案】(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析(3)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表即可；（2）由公式計(jì)算，然后根據(jù)臨界值表進(jìn)行判斷；（3）由題意可得的值可能為0，1，2，3，4，求出相應(yīng)的概率，從而可求得的分布列與期望．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得如下列聯(lián)表：藥物疾病合計(jì)未患病患病未服用504090服用7535110合計(jì)12575200（2）由列聯(lián)表可得，在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為藥物有效.解釋：由于，所以表示有小于的可能性證明這兩個(gè)事件無(wú)關(guān)，也就是在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為藥物有效.（3）根據(jù)題意，10只未患病動(dòng)物中，有6只服用藥物，4只未服用藥物，所以的值可能為0，1，2，3，4，則，，，，，的分布列如下：01234則．4．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）某學(xué)校為了研究不同性別的學(xué)生對(duì)“村BA”賽事的了解情況，進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，分別隨機(jī)抽取男生和女生各80名作為樣本，設(shè)事件“了解村BA”，“學(xué)生為女生”，據(jù)統(tǒng)計(jì)，.(1)根據(jù)已知條件，補(bǔ)全列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷該校學(xué)生對(duì)“村BA”的了解情況與性別是否有關(guān)？了解不了解總計(jì)男生女生總計(jì)(2)現(xiàn)從該校不了解“村BA”的學(xué)生中，采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取10名學(xué)生，再?gòu)倪@10名學(xué)生隨機(jī)抽取4人，設(shè)抽取的4人中男生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：，.0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828【答案】(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析，有關(guān)(2)分布列見(jiàn)解析，．【分析】（1）先根據(jù)條件概率求得人數(shù)完善列聯(lián)表，再代入公式求出，將該值與臨界值比較即可求解.（2）先根據(jù)分層抽樣確定抽取的男生人數(shù)和女生人數(shù)，再寫出的所有可能取值并計(jì)算相應(yīng)的概率，列出分布列并根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式可得出答案.【詳解】（1）因?yàn)?，所以?duì)“村BA”了解的女生人數(shù)為，了解“村BA”的學(xué)生人數(shù)為，結(jié)合男生和女生各80名，作出列聯(lián)表為：了解不了解總計(jì)男生305080女生57580總計(jì)35125160，因此，有的把握認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)“村BA”的了解情況與性別有關(guān)；（2）由(1)知，采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取10名學(xué)生，其中男生人數(shù)為，女生人數(shù)為．隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3，4.，.故隨機(jī)變量的分布列如下：01234則.5．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）元宵節(jié)是中國(guó)的傳統(tǒng)節(jié)日，為慶祝元宵節(jié)，某大學(xué)開展吃元宵、吃酒圓、猜燈謎等一系列活動(dòng)．(1)為探究元宵節(jié)吃湯圓和吃元宵的地域差異，某小組開展調(diào)研，得到如下列聯(lián)表，已知，是否有的把握認(rèn)定吃湯圓或元宵與地域有關(guān)？北方南方湯圓1636元宵2424(2)在猜燈謎活動(dòng)中共有10道標(biāo)有序號(hào)的各不相同的題目，甲同學(xué)隨機(jī)抽取其中的5道回答．（i）求抽取的5道題中恰有5道題序號(hào)均相鄰的概率；（ii）已知：若是兩點(diǎn)分布，且，則，若甲抽取的題目中有對(duì)相鄰序號(hào)的題目，計(jì)算的數(shù)學(xué)期望．附：【答案】(1)有的把握認(rèn)定吃湯圓或元宵與地域有關(guān)；(2)（i）；（ii）【分析】（1）利用獨(dú)立性檢驗(yàn)公式進(jìn)行計(jì)算，并判斷與的大小關(guān)系，即可作出判斷；（2）（?。┯浭录椤俺槿〉?道題中恰有5道題序號(hào)相鄰”，利用組合公式計(jì)算總的基事件個(gè)數(shù)和事件包含的基事件個(gè)數(shù)，再利用古典概型公式計(jì)算即可求解；（ⅱ）設(shè)隨機(jī)變量為第題與第題均被選中，為其余情況，結(jié)合題中條件進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）列聯(lián)表如下：北方南方合計(jì)湯圓163652元宵242448合計(jì)4060100原假設(shè)：吃湯圓或元宵與地域無(wú)關(guān)．，故拒絕，即有95%的把握認(rèn)定吃湯圓或元宵與地域有關(guān)．（2）（?。┯浭录嗀為“抽取的5道題中恰有5道題序號(hào)相鄰”，則．（ⅱ）設(shè)隨機(jī)變量為第題與第題均被選中，為其余情況，則，由甲抽取的題目中有對(duì)相鄰序號(hào)的題目，則由定義：若是兩點(diǎn)分布，且，則，則．6．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）在學(xué)校食堂就餐成為了很多學(xué)生的就餐選擇．學(xué)校為了解學(xué)生食堂就餐情況，在校內(nèi)隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，其中男生和女生人數(shù)之比為，現(xiàn)將一周內(nèi)在食堂就餐超過(guò)8次的學(xué)生認(rèn)定為“喜歡食堂就餐”，不超過(guò)8次的學(xué)生認(rèn)定為“不喜歡食堂就餐”．“喜歡食堂就餐”的人數(shù)比“不喜歡食堂就餐”人數(shù)多20人，“不喜歡食堂就餐”的男生只有10人．男生女生合計(jì)喜歡食堂就餐不喜歡食堂就餐10合計(jì)100(1)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析學(xué)生喜歡食堂就餐是否與性別有關(guān)：(2)用頻率估計(jì)概率，從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取10名，記其中“喜歡食堂就餐”的人數(shù)為X．事件“”的概率為，求隨機(jī)變量X的期望和方差．參考公式：，其中．a(chǎn)0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)表格見(jiàn)解析，有關(guān)(2)期望6，方差【分析】（1）根據(jù)題意，補(bǔ)充完善列聯(lián)表，進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)即可.（2）根據(jù)題意，，利用二項(xiàng)分布的均值方差公式求解.【詳解】（1）列聯(lián)表見(jiàn)圖，男生女生合計(jì)喜歡食堂就餐402060不喜歡食堂就餐103040合計(jì)5050100零假設(shè)：假設(shè)食堂就餐與性別無(wú)關(guān)，由列聯(lián)表可得，根據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷不成立，即可以得到學(xué)生喜歡食堂就餐與性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò).（2）由題意可知，抽取的10名學(xué)生，喜歡飯?zhí)镁筒偷膶W(xué)生人數(shù)服從二項(xiàng)分布，且喜歡飯?zhí)镁筒偷念l率為，則，故其期望，方差.考點(diǎn)七、線性回歸直線方程1．（2024·山東濟(jì)南·三模）近年來(lái)，我國(guó)眾多新能源汽車制造企業(yè)迅速崛起．某企業(yè)著力推進(jìn)技術(shù)革新，利潤(rùn)穩(wěn)步提高．統(tǒng)計(jì)該企業(yè)2019年至2023年的利潤(rùn)（單位：億元），得到如圖所示的散點(diǎn)圖．其中2019年至2023年對(duì)應(yīng)的年份代碼依次為1，2，3，4，5．(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，和哪一個(gè)適宜作為企業(yè)利潤(rùn)y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）(2)根據(jù)（1）中的判斷結(jié)果，建立y關(guān)于x的回歸方程；(3)根據(jù)（2）的結(jié)果，估計(jì)2024年的企業(yè)利潤(rùn)．參考公式及數(shù)據(jù)；，，，，，，【答案】(1)適宜作為企業(yè)利潤(rùn)y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的回歸方程類型(2)(3)估計(jì)2024年的企業(yè)利潤(rùn)為93.3億元【分析】（1）利用散點(diǎn)圖的變化趨勢(shì)，即可得出答案；（2）利用最小二乘法求出即可得解；（3）令即可得解.【詳解】（1）由散點(diǎn)圖的變化趨勢(shì)，知適宜作為企業(yè)利潤(rùn)y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的回歸方程類型；（2）由題意得：，，，，所以；（3）令，，估計(jì)2024年的企業(yè)利潤(rùn)為99.25億元．2．（2024·福建南平·模擬預(yù)測(cè)）某大型商場(chǎng)的所有飲料自動(dòng)售賣機(jī)在一天中某種飲料的銷售量（單位：瓶）與天氣溫度（單位：）有很強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系，為能及時(shí)給飲料自動(dòng)售賣機(jī)添加該種飲料，該商場(chǎng)對(duì)天氣溫度和飲料的銷售量進(jìn)行了數(shù)據(jù)收集，得到下面的表格：1015202530354041664256204840968192經(jīng)分析，可以用作為關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程．(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程(結(jié)果保留兩位小數(shù))；(2)若飲料自動(dòng)售賣機(jī)在一天中不需添加飲料的記1分，需添加飲料的記2分，每臺(tái)飲料自動(dòng)售賣機(jī)在一天中需添加飲料的概率均為，在商場(chǎng)的所有飲料自動(dòng)售賣機(jī)中隨機(jī)抽取3臺(tái)，記總得分為隨機(jī)變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考公式及數(shù)據(jù)：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，經(jīng)驗(yàn)回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）設(shè)，轉(zhuǎn)化為，利用最小二乘法，求得，求得，進(jìn)而得到關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（2）根據(jù)題意，得到變量的可能取值為，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，結(jié)合期望的公式，即可求解.【詳解】（1）解：設(shè)，由，可得，因?yàn)?，，，所以，由表中的?shù)據(jù)可得，則，所以，則，可得，所以關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.（2）解：由題意，隨機(jī)變量的可能取值為，可得，，，，所以變量的分布列為3456P所以，期望為3．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）“南澳牡蠣”是我國(guó)地理標(biāo)志產(chǎn)品，產(chǎn)量高、肉質(zhì)肥、營(yíng)養(yǎng)好，素有“海洋牛奶精品”的美譽(yù).2024年該基地考慮增加人工投入，現(xiàn)有以往的人工投入增量x（人）與年收益增量y（萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)如下：人工投入增量x（人）234681013年收益增量y（萬(wàn)元）13223142505658該基地為了預(yù)測(cè)人工投入增量為16人時(shí)的年收益增量，建立了y與x的兩個(gè)回歸模型：模型①：由最小二乘公式可求得y與x的線性回歸方程：；模型②：由散點(diǎn)圖的樣本點(diǎn)分布，可以認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在曲線：的附近，對(duì)人工投入增量x做變換，令，則，且有，，，.(1)（i）根據(jù)所給的統(tǒng)計(jì)量，求模型②中y關(guān)于x的回歸方程（精確到0.1）；（ii）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較兩種模型的決定系數(shù)，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測(cè)人工投入增量為16人時(shí)的年收益增量.回歸模型模型①模型②回歸方程182.479.2(2)根據(jù)養(yǎng)殖規(guī)模與以往的養(yǎng)殖經(jīng)驗(yàn)，產(chǎn)自某南澳牡蠣養(yǎng)殖基地的單個(gè)“南澳牡蠣”質(zhì)量（克）在正常環(huán)境下服從正態(tài)分布.購(gòu)買10只該基地的“南澳牡蠣”，會(huì)買到質(zhì)量小于20g的牡蠣的可能性有多大?附：若隨機(jī)變量，則，；樣本的最小二乘估計(jì)公式為：，，.【答案】(1)（i）；（ii）答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）（i）根據(jù)公式計(jì)算得到回歸直線方程；（ii）通過(guò)比較的大小可得到擬合效果的差異，將代入回歸方程可得到預(yù)測(cè)值.（2）根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性得到，購(gòu)買10只該基地的“南澳牡蠣”，其中質(zhì)量小于20g的牡蠣為只，故，由間接法列式得到結(jié)果即可；【詳解】（1）（i）由，有，且，所以模型②中關(guān)于的回歸方程為.（ii）由表格中的數(shù)據(jù)，有，即，模型①的小于模型②，說(shuō)明回歸模型②刻畫的擬合效果更好．當(dāng)時(shí)，模型②的收益增量的預(yù)測(cè)值為（萬(wàn)元），這個(gè)結(jié)果比模型①的預(yù)測(cè)精度更高、更可靠．（2）由已知單個(gè)“南澳牡蠣”質(zhì)量，則，由正態(tài)分布的對(duì)稱性可知，，設(shè)購(gòu)買10只該基地的“南澳牡蠣”，其中質(zhì)量小于的牡蠣為只，故，所以，所以這10只“南澳牡蠣”中，會(huì)買到質(zhì)量小于的牡蠣的可能性僅為．4．（2024·山東淄博·二模）汽車尾氣排放超標(biāo)是導(dǎo)致全球變暖、海平面上升的重要因素．我國(guó)近幾年著重強(qiáng)調(diào)可持續(xù)發(fā)展，加大新能源項(xiàng)目的支持力度，積極推動(dòng)新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展．某汽車制造企業(yè)對(duì)某地區(qū)新能源汽車的銷售情況進(jìn)行調(diào)查，得到下面的統(tǒng)計(jì)表：年份t20152016201720182019年份代碼x（x＝t﹣2014）12345銷量y（萬(wàn)輛）1012172026(1)計(jì)算銷量y關(guān)于年份代碼x的線性相關(guān)系數(shù)r，并判斷是否可以認(rèn)為y與x有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系（若|r|≥0.75，則認(rèn)為有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系）．若是，求出y關(guān)于x的線性回歸方程：若不是，說(shuō)明理由；(2)為了解購(gòu)車車主的性別與購(gòu)車種類（分為新能源汽車與傳統(tǒng)燃油汽車）的情況，該企業(yè)又隨機(jī)調(diào)查了該地區(qū)100位購(gòu)車車主的購(gòu)車情況，假設(shè)一位車主只購(gòu)一輛車．男性車主中購(gòu)置傳統(tǒng)燃油汽車的有40名，購(gòu)置新能源汽車的有30名：女性車主中有一半購(gòu)置新能源汽車．將頻率視為概率，已知一位車主購(gòu)得新能源汽車，請(qǐng)問(wèn)這位車主是女性的概率．附：若為樣本點(diǎn)，相關(guān)系數(shù)公式：r；為回歸方程，則，．【答案】(1)有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，(2)【分析】（1）運(yùn)用公式求解相關(guān)系數(shù)，得出結(jié)論，進(jìn)而求出線性回歸方程即可;（2）運(yùn)用條件概率公式計(jì)算即可.【詳解】（1）由題意得，，，，因此，銷量與年份代碼有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系：，，關(guān)于的線性回歸方程為.（2）由題意知，該地區(qū)名購(gòu)車車主中，男車主有名，女性車主有名，購(gòu)置新能源汽車的男性車主有名，購(gòu)置新能源汽車的女性車主有名．“一位車主購(gòu)得新能源汽車”記作事件，“車主是女性”記作事件，一位車主購(gòu)得新能源汽車，這位車主是女性的概率為：5．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）某海鮮餐廳在試營(yíng)業(yè)期間，同時(shí)采用自助餐和團(tuán)購(gòu)套餐兩種營(yíng)銷模式，其中自助餐模式是指顧客可隨意享用餐廳內(nèi)所有菜品，最長(zhǎng)可用餐2小時(shí)；團(tuán)購(gòu)套餐是指顧客在APP上購(gòu)買團(tuán)購(gòu)券后到店消費(fèi)，只可享用套餐內(nèi)所包含的菜品，用餐時(shí)間不限.該餐廳為了了解這兩種營(yíng)銷模式的受歡迎程度，現(xiàn)隨機(jī)調(diào)查了130位顧客對(duì)這兩種營(yíng)銷模式的意見(jiàn)反饋，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：認(rèn)為自助餐更有性價(jià)比認(rèn)為團(tuán)購(gòu)套餐更有性價(jià)比男性顧客4020女性顧客3040(1)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷能否認(rèn)為顧客對(duì)這兩種營(yíng)銷模式的意見(jiàn)與顧客的性別有關(guān)；(2)店長(zhǎng)統(tǒng)計(jì)了第，，，天自助餐的用餐人數(shù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下（已知）：（天）（用餐人數(shù)）32527395經(jīng)計(jì)算得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，以樣本的相關(guān)系數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)該經(jīng)驗(yàn)回歸方程的擬合效果進(jìn)行說(shuō)明.附：（i）在經(jīng)驗(yàn)回歸方程中，.（ii）相關(guān)系數(shù)若，可認(rèn)為該模型擬合效果良好，反之，則認(rèn)為該模型擬合效果不好.（iii），其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)答案見(jiàn)解析.【分析】（1）提出零假設(shè)，計(jì)算，比較其與臨界值大小，給出結(jié)論.（2）由條件，結(jié)合公式求相關(guān)系數(shù)即可判斷.【詳解】（1）零假設(shè)為顧客對(duì)這兩種營(yíng)銷模式的意見(jiàn)與顧客的性別獨(dú)立，由已知，又，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立，因此，可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為顧客對(duì)這兩種營(yíng)銷模式的意見(jiàn)與顧客的性別無(wú)關(guān).（2）因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸方程為，所以，，又，所以，，所以，所以該經(jīng)驗(yàn)回歸方程的擬合效果非常好.6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）氮氧化物是一種常見(jiàn)的大氣污染物，它是由氮和氧兩種元素組成的化合物，有多種不同的形式．下圖為我國(guó)2014年至2022年氮氧化物排放量（單位：萬(wàn)噸）的折線圖，其中，年份代碼1～9分別對(duì)應(yīng)年份2014～2022．計(jì)算得，，．(1)是否可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系？請(qǐng)用折線圖和相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；(2)是否可用題中數(shù)據(jù)擬合得到的線性回歸模型預(yù)測(cè)2023年和2033年的氮氧化物排放量？請(qǐng)說(shuō)明理由．附：相關(guān)系數(shù)，．【答案】(1)可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，答案見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）結(jié)合參考數(shù)據(jù)，求出相關(guān)系數(shù)，進(jìn)而可以得出結(jié)論；（2）2023年與題設(shè)數(shù)據(jù)的年份較接近，可以用回歸模型預(yù)測(cè)2023年的氮氧化物排放量，2033年與題設(shè)數(shù)據(jù)的年份相距過(guò)遠(yuǎn)，而影響氮氧化物排放量的因素有很多，不可以預(yù)測(cè)2033年的氮氧化物排放量.【詳解】（1）從折線圖看，各點(diǎn)近似落在一條直線附近，因而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系．因?yàn)?，所以該組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)．，因而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系．（2）可以用回歸模型預(yù)測(cè)2023年的氮氧化物排放量，但不可以預(yù)測(cè)2033年的氮氧化物排放量，理由如下：①2023年與題設(shè)數(shù)據(jù)的年份較接近，因而可以認(rèn)為，短期內(nèi)氮氧化物的排放量將延續(xù)（1）中的線性趨勢(shì)，故可以用（1）中的回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè)；②2033年與題設(shè)數(shù)據(jù)的年份相距過(guò)遠(yuǎn)，而影響氮氧化物排放量的因素有很多，這些因素在短期內(nèi)可能保持，但從長(zhǎng)期角度看很有可能會(huì)變化，因而用（1）中的回歸模型預(yù)測(cè)是不準(zhǔn)確的．考點(diǎn)八、概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)列雜糅1．（2023·全國(guó)·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對(duì)方投籃．無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求出；（2）設(shè)，由題意可得，根據(jù)數(shù)列知識(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列即可解出；（3）先求出兩點(diǎn)分布的期望，再根據(jù)題中的結(jié)論以及等比數(shù)列的求和公式即可求出．【詳解】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，所以，.（2）設(shè)，依題可知，，則，即，構(gòu)造等比數(shù)列，設(shè)，解得，則，又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即．（3）因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，故．【點(diǎn)睛】本題第一問(wèn)直接考查全概率公式的應(yīng)用，后兩問(wèn)的解題關(guān)鍵是根據(jù)題意找到遞推式，然后根據(jù)數(shù)列的基本知識(shí)求解．2．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)不透明的盒子，甲盒子裝有2個(gè)紅球和1個(gè)白球，乙盒中裝有1個(gè)紅球和1個(gè)白球，現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒子中各任取一個(gè)球交換放入另一個(gè)盒子中，重復(fù)次這樣的操作后，記甲盒子中紅球的個(gè)數(shù)為，甲盒中恰有1個(gè)紅球的概率為，恰有2個(gè)紅球的概率為（注：所有小球大小、形狀、質(zhì)地均相同）(1)求的值；(2)設(shè)，證明：；(3)求的數(shù)學(xué)期望的值．【答案】(1)，(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）交換后甲盒有1個(gè)紅球，說(shuō)明甲給乙紅球，乙給甲白球，若交換后甲盒有2個(gè)紅黑球，說(shuō)明兩個(gè)盒子相互交換1個(gè)白球或者交換1個(gè)紅球；（2）根據(jù)全概率公式進(jìn)行求解；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論和期望公式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）由題可知：，（2）次操作后，甲盒有3個(gè)紅球的概率，由全概率公式知：，（3），又，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列3．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)盒子中都有大小、形狀、質(zhì)地相同的2個(gè)紅球和1個(gè)黑球．從兩個(gè)盒子中各任取一個(gè)球交換，記為一次操作．重復(fù)進(jìn)行次操作后，記甲盒子中黑球個(gè)數(shù)為，甲盒中恰有1個(gè)黑球的概率為，恰有2個(gè)黑球的概率為．(1)求隨機(jī)變量的分布列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)求證：．【答案】(1)分布列見(jiàn)解析(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由題意分析的可能取值為0，1，2，結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率公式，分別求出概率，寫出分布列；（2）由全概率公式得到，判斷出數(shù)列為以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列即可求解；（3）利用（2）得到的通項(xiàng)公式裂項(xiàng)相消求和求解即可.【詳解】（1）由題可知的可能取值為0，1，2，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式得到：即為甲盒中拿黑球乙盒中拿紅球交換，即為甲盒中拿黑球乙盒中拿黑球交換或甲盒中拿紅球乙盒中拿紅球交換，即為甲盒中拿紅球乙盒中拿黑球交換，則，的分布列為：012（2）由全概率公式可知：，即，即，，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，，即an的通項(xiàng)公式；（3），所以得證.4．（2024·廣西南寧·三模）夏日天氣炎熱，學(xué)校為高三備考的同學(xué)準(zhǔn)備了綠豆湯和銀耳羹兩種涼飲，某同學(xué)每天都會(huì)在兩種涼飲中選擇一種，已知該同學(xué)第1天選擇綠豆湯的概率是，若前一天選擇綠豆湯，后一天繼續(xù)選擇綠豆湯的概率為，而前一天選擇銀耳羹，后一天繼續(xù)選擇銀耳羹的概率為，如此往復(fù)．(1)求該同學(xué)第2天選擇綠豆湯的概率；(2)記該同學(xué)第天選擇綠豆湯的概率為，證明：為等比數(shù)列；(3)求從第1天到第10天中，該同學(xué)選擇綠豆湯的概率大于選擇銀耳羹概率的天數(shù)．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)1天【分析】（1）利用條件概率公式計(jì)算即得；（2）利用全概率公式列式，再利用構(gòu)造法證明即得；（3）由（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再分奇偶解不等式得解．【詳解】（1）設(shè)表示第1天選擇綠豆湯，表示第2天選擇綠豆湯，則表示第1天選擇銀耳羹，根據(jù)題意得，，所以．（2）設(shè)表示第天選擇綠豆湯，則，根據(jù)題意得，，由全概率公式得，，即，整理得，，又，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．（3）由（2）得，，由題意，只需，即，則，即，顯然必為奇數(shù)，為偶數(shù)時(shí)不成立，當(dāng)時(shí)，考慮的解，當(dāng)時(shí)，顯然成立，當(dāng)時(shí)，，不成立，由單調(diào)遞減得，時(shí)，也不成立，綜上，該同學(xué)只有1天選擇綠豆湯的概率大于選擇銀耳羹的概率．5．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束．甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為，各球的結(jié)果相互獨(dú)立．在某局雙方平后，甲先發(fā)球，兩人又打了個(gè)球該局比賽結(jié)束．(1)求事件“且乙獲勝”的概率；(2)求；(3)記事件“且甲獲勝”的概率為，求證：．【答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）事件“且乙獲勝”，表示在雙方平后，甲先發(fā)球，兩人又打了2個(gè)球，且這兩個(gè)球均由乙得分;（2）事件“”表示在雙方平后，甲先發(fā)球，兩人又打了4個(gè)球，且這4個(gè)球分為前兩球是甲、乙各得1分，后兩個(gè)球均由甲得分，或則均由乙得分;（3）對(duì)和進(jìn)行分析研究，再求出甲先發(fā)球，記“比賽2局結(jié)果為平局”為事件，求出其概率為，最后得到當(dāng)時(shí)，，再利用等比數(shù)列得通項(xiàng)公式以及求和公式可得答案.【詳解】（1）記事件“且乙獲勝”為事件，則這兩個(gè)球均由乙得分，所以.（2）由題可得：事件“”表示在雙方平后，甲先發(fā)球，兩人又打了4個(gè)球，且這4個(gè)球分為前兩球是甲、乙各得1分，后兩個(gè)球均由甲得分，或則均由乙得分，所以（3）由比賽規(guī)則可知：當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，事件“且甲獲勝”，就是在雙方平后，甲先發(fā)球，兩人又打了個(gè)球，且這個(gè)球的得分情況為：前個(gè)球是每?jī)蓚€(gè)球甲、乙各得1分，最后第，個(gè)球均由甲得分；記“比賽2局結(jié)果為平局”為事件，則．則．又因?yàn)?，所以．綜上，所以，因?yàn)?，，所?．（2024·湖南衡陽(yáng)·一模）學(xué)校教學(xué)樓的每?jī)蓪訕侵g的上下樓梯有個(gè)臺(tái)階，從下至上記臺(tái)階所在位置為，同學(xué)甲在上樓的過(guò)程中，每一步等可能地跨或個(gè)臺(tái)階（位置或）.(1)記甲邁步后所在的位置為，寫出的分布列和期望值.(2)求甲步內(nèi)到過(guò)位置的概率；(3)求步之內(nèi)同時(shí)到過(guò)位置和的有多少種走法，及發(fā)生的概率.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，(2)(3)種，【分析】（1）列出的所有可能取值,分別求出每種取值下的概率,即可得分布列和期望；（2）步內(nèi)到過(guò)位置可以有三