2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第二章等式與不等式2.1等式2.1.1等式的性質(zhì)與方程的解集學(xué)案含解析新人教B版必修第一冊(cè)

PAGE2.1.1等式的性質(zhì)與方程的解集學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)理解等式的性質(zhì),體會(huì)用等式的性質(zhì)解方程,培育學(xué)生數(shù)學(xué)抽象實(shí)力;2.通過(guò)類比推理,駕馭等式推理的基本形式和規(guī)則,探究出解方程的核心方法,培育學(xué)生邏輯推理實(shí)力;3.通過(guò)求方程的解集,培育學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力.自主預(yù)習(xí)1.感受等式的性質(zhì)在現(xiàn)實(shí)世界中的體現(xiàn).2.理解幾個(gè)重要的恒等式.3.會(huì)用十字相乘法進(jìn)行因式分解.4.理解一元一次方程以及一元二次方程的解集的求法.課堂探究一、等式的性質(zhì)1.復(fù)習(xí)回顧我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)等式的性質(zhì):(1)等式的兩邊同時(shí)加上同一個(gè)數(shù)或代數(shù)式,等式仍成立;(2)等式的兩邊同時(shí)乘以同一個(gè)不為零的數(shù)或代數(shù)式,等式仍成立.2.嘗試與發(fā)覺(jué)用符號(hào)語(yǔ)言和量詞表示上述等式的性質(zhì):(1)假如a=b,則對(duì)隨意c,都有a+c=b+c;(2)假如a=b,則對(duì)隨意不為零的c,都有ac=bc.因?yàn)闇p去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù),除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù),因此上述等式性質(zhì)中的“加上”與“乘以”假如分別改為“減去”與“除以”,結(jié)論仍成立.二、恒等式1.嘗試與發(fā)覺(jué)補(bǔ)全下列(1)(2)中的兩個(gè)公式,然后將下列含有字母的等式進(jìn)行分類,并說(shuō)出分類的標(biāo)準(zhǔn):(5)a2-b2=(平方差公式);

(6)(x+y)2=(兩數(shù)和的平方公式);

(7)3x-6=0;(8)(a+b)c=ac+bc;(5)m(m-1)=0;(6)t3+1=(t+1)(t2-t+1).2.感受新知(1)從量詞的角度來(lái)對(duì)以上6個(gè)等式進(jìn)行分類:對(duì)隨意實(shí)數(shù)都成立的等式有:.

只是存在實(shí)數(shù)使其成立的等式有:.

(2)一般地,含有字母的等式,假如其中的字母取隨意實(shí)數(shù)時(shí)等式都成立,則稱其為恒等式,也稱等式兩邊恒等.(3)恒等式是進(jìn)行代數(shù)變形的依據(jù)之一.例如,因?yàn)?x+y)2=x2+2xy+y2對(duì)隨意x,y都成立,所以可用其他代數(shù)式去替換其中的x,y,等式仍舊會(huì)成立,若用-z替換其中的y,則(x-z)2=x2+2x(-z)+(-z)2=x2-2xz+z2,由此就得到了以前學(xué)過(guò)的兩數(shù)差的平方公式.3.經(jīng)典例題例1化簡(jiǎn)(2x+1)2-(x-1)2.4.課堂練習(xí)(2)a2-6a+9;(2)4m(x-y)-8n(y-x);(3)(a2+4)2反思感悟分解因式的常用方法(1)平方差公式法;(2)完全平方公式法;(3)提取公因式法;(4)十字相乘法.下面我們介紹另外一個(gè)常常會(huì)用到的恒等式:對(duì)隨意的x,a,b,都有(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.這個(gè)恒等式的證明,只需將左邊綻開(kāi)然后合并同類項(xiàng)即可.可以利用這個(gè)恒等式來(lái)進(jìn)行因式分解.給定式子x2+Cx+D,假如能找到a和b,使得D=ab且C=a+b,則x2+Cx+D=(x+a)(x+b).為了便利記憶,已知C和D,找尋滿意條件的a和b的過(guò)程,通常用如圖來(lái)表示,其中兩條交叉的線表示對(duì)應(yīng)數(shù)相乘后相加要等于C,也正因?yàn)槿绱?這種因式分解的方法稱為“十字相乘法”.例如,對(duì)于式子x2+5x+6來(lái)說(shuō),因?yàn)?×3=6且2+3=5,所以x2+5x+6=.

練習(xí):用十字相乘法分解因式:(1)x2+3x+2;(2)x2+2x-15;(3)p2+13p+36.【嘗試與發(fā)覺(jué)】證明恒等式(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd.并由此探討Ex2+Fx+G的因式分解方法.上述恒等式的證明,也只需將左邊綻開(kāi)然后合并同類項(xiàng)即可.據(jù)此也可進(jìn)行因式分解.例如,對(duì)于3x2+11x+10來(lái)說(shuō),因?yàn)?×3=3,2×5=10,1×5+3×2=11,如圖所示,所以3x2+11x+10=(x+2)(3x+5).三、方程的解集1.思索:(1)一元一次方程kx+b=0(k≠0)的根是什么?(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么?2.新課講授方程的解(或根)是指能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.一般地,把一個(gè)方程全部解組成的集合稱為這個(gè)方程的解集.利用等式的性質(zhì)和有關(guān)恒等式進(jìn)行代數(shù)變形,可以得到一些方程的解集.3.做一做:求方程x2+3x+2=0的解集.4.想一想:一元二次方程的解集中肯定有兩個(gè)元素嗎?5.經(jīng)典例題例2求方程x2-5x+6=0的解集.例2說(shuō)明,假如一個(gè)一元二次方程可以通過(guò)因式分解化為(x-x1)(x-x2)=0的形式,那么就能便利得出原方程的解集.例3求關(guān)于x的方程ax=2的解集,其中a是常數(shù).【嘗試與發(fā)覺(jué)】能干脆在等式ax=2的兩邊同時(shí)除以a,從而得到x=2a嗎?為什么課堂練習(xí)1.設(shè)集合A={1,2,3},B={x|3x2-4mx+1=0},若A∩B={1},則m=()A.1 B.-12 C.12 D2.下列運(yùn)用等式的性質(zhì)進(jìn)行的變形中,正確的是()A.假如a=b,那么a+c=b-cB.假如ac=bc,C.假如a=b,那么ac=D.假如a2=3a,那么a=33.關(guān)于x的方程x2+px-2=0的解是1和q,則p=,p+q的值為.

核心素養(yǎng)專練1.已知U={2,1,0},M={x∈R|x2-2x=0},則?UM=()A.{0} B.{1,2} C.{1} D.{1,0,2}2.下列因式分解,錯(cuò)誤的是()A.x2+7x+10=(x+2)(x+5)B.x2-2x-8=(x-4)(x+2)C.y2-7y+12=(y-3)(y-4)D.y2+7y-18=(y-9)(y+2)3.(多選題)下列說(shuō)法正確的有()A.方程2x2-x-1=0的解集是{1,2}B.方程-6x2-x+2=0的解集是-C.若方程ax2+8ax+21=0的解集是{-7,-1},那么a的值是3D.假如集合A={x|ax2-2x-1=0}只有一個(gè)元素,則a的值是-14.已知集合A={-1,2},B={x|ax=1},若B?A,則由實(shí)數(shù)a的全部可能的取值組成的集合為.

5.若集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2+2(a+1)x+2a2-2=0},則當(dāng)a=1時(shí),A∩B=;若A∩B=B,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

6.將下列各式因式分解:(1)x2+3x+2;(2)2x2-7x+3;(3)10(x+2)2-29(x+2)+10.7.已知集合A={x|x2+ax-6=0},B={x|x2+bx+c=0},且A≠B,A∪B={-2,3},A∩B={-2},求a,b,c的值.參考答案課堂探究略課堂練習(xí)1.A2.B3.1-1核心素養(yǎng)專練1.C2.D3.BC4.05.{-4}a≥3或a<-16.(1)(x+1)(x+2)(2)(x-3)(2x-1)(3)(2x-1)(5x+8)7.解:∵A∩B={-2},∴-2∈A,即(-2)2+(-2)a-6=0,解得a=-1.∴A={-2,3}.∵A∪B={-2,3},A∩B={-2},且A≠B,∴B={-2}.∴(-2)2+b(-2)+c=0,Δ=b2-4c=0,解得b=c=4.綜上,a=-1,b=c=4.學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解等式的性質(zhì),能用等式的性質(zhì)解方程;2.駕馭常見(jiàn)的代數(shù)恒等式,并能用恒等式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值、十字相乘法分解因式;3.理解方程的解集的含義,會(huì)求一元一次方程及一元二次方程的解集.自主預(yù)習(xí)1.等式的性質(zhì)問(wèn)題1:你能寫出已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的等式的性質(zhì)并用符號(hào)語(yǔ)言和量詞表示嗎?2.恒等式問(wèn)題2:你能完成下方的“嘗試與發(fā)覺(jué)”,寫出你的分類標(biāo)準(zhǔn)嗎?嘗試與發(fā)覺(jué)補(bǔ)全下列(1)(2)中的兩個(gè)公式,然后將下列含有字母的等式進(jìn)行分類,并說(shuō)出分類的標(biāo)準(zhǔn):(1)a2-b2=(平方差公式);

(2)(x+y)2=(兩數(shù)和的平方公式);

(3)3x-6=0;(4)(a+b)c=ac+bc;(5)m(m-1)=0;(6)t3+1=(t+1)(t2-t+1).問(wèn)題3:什么叫恒等式?證明恒等式:對(duì)隨意的x,a,b都有(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.怎樣利用這個(gè)恒等式進(jìn)行分解因式?3.方程的解集問(wèn)題4:(1)一元一次方程kx+b=0(k≠0)的根是什么?(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么?(3)什么叫做方程的解集?課堂探究一、等式的性質(zhì)探究一:(1)假如a+c=b+c,肯定有a=b嗎?(2)假如ac=bc,肯定有a=b嗎?二、恒等式例1化簡(jiǎn)(2x+1)2-(x-1)2.(幾種方法)跟蹤訓(xùn)練1:化簡(jiǎn)下列各式(1)a2-6a+9;(2)4m(x-y)-8n(y-x);(3)(a2+4)2探究二:(1)給定式子x2+Cx+D,怎樣找到a,b,使得x2+Cx+D=(x+a)(x+b)?練習(xí):分解因式(1)x2+3x+2;(2)x2+2x-15;(3)p2+13p+36.(2)【嘗試與發(fā)覺(jué)】證明恒等式(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd.并由此探討Ex2+Fx+G的因式分解方法.跟蹤訓(xùn)練2:分解因式:(1)15x2-23x+8;(2)mx2+(m2+m+1)x+m2+m.三、方程的解集例2求方程x2-5x+6=0的解集.跟蹤訓(xùn)練3:求下列方程的解集(1)x2-4x+4=0;(2)x2+6x+8=0.思索與探討:一元二次方程的解集中肯定有兩個(gè)元素嗎?例3求關(guān)于x的方程ax=2的解集,其中a是常數(shù).【嘗試與發(fā)覺(jué)】能干脆在等式ax=2的兩邊同時(shí)除以a,從而得到x=2a嗎?為什么歸納總結(jié):含參數(shù)的一元一次方程ax=b的解的狀況.核心素養(yǎng)專練【合格基礎(chǔ)練】1.依據(jù)等式的性質(zhì),下列結(jié)論正確的是()A.若xa=ya,B.若x=y,則xa=C.若x+a=y-a,則x=yD.若x=y,則ax=by2.(多選題)假如x=y,a為有理數(shù),那么下列等式肯定成立的是()A.1-y=1-x B.x2=y2C.xa=yD.ax=ay3.我市某樓盤打算以每平方米15000元的均價(jià)對(duì)外銷售,有關(guān)房地產(chǎn)的新政策出臺(tái)后,購(gòu)房者持幣觀望,為了加快資金周轉(zhuǎn),房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)商對(duì)價(jià)格經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次下調(diào),最終以每平方米12150元的均價(jià)銷售,則平均每次下調(diào)的百分率是()A.8% B.9% C.10% D.11%4.若m2-5m-6=(m+a)(m+b),則a,b的值為.

5.把下列各式分解因式:(1)x2+5x-6;(2)(x+y)2-4y(x+y);(3)x4+11x2-12; (4)x2-6xy+8y2.6.求關(guān)于x的方程ax=x-1的解集,其中a是常數(shù).【等級(jí)過(guò)關(guān)練】7.(多選題)已知集合A={1,2},B={x|ax-2=0},若B?A,則a的值可能是()A.0 B.1 C.2 D.38.把下列各式分解因式:(1)4x2-14xy-18y2;(2)7(x+y)3-5(x+y)2-2(x+y);(3)x3-4xy2-2x2y+8y3;(4)x2-4mx-8mn-4n2.9.已知a+b=23,ab=2,求代數(shù)式a3b+2a2b2+ab3的值10.已知關(guān)于x的方程x-3-2x2=1-x+2a6與2x+a參考答案自主預(yù)習(xí)略課堂探究略核心素養(yǎng)專練【合格基礎(chǔ)練】1.A2.ABD3.C4.a=-6,b=1或a=1,b=-65.(1)(x+6)(x-1)(2)(x+y)(x-3y)(3)(x2+12)(x+1)(x-1)(4)(x-2y)(x-4y)6.解:原方程化為(a-1)x=-1,當(dāng)a=1時(shí),無(wú)解,∴解集為?;當(dāng)a≠1時(shí),x=-1a-1=11【等級(jí)過(guò)關(guān)練】7