第9章-9.2.3-第2課時-向量的數量積(二)-課件

9.2.3第二課時向量數量積(二)第九章平面向量1.掌握平面向量數量積的運算律及常用的公式.2.會利用向量數量積的有關運算律進行計算或證明.學習目標內容索引知識梳理題型探究隨堂演練課時對點練1知識梳理PARTONE知識點一平面向量數量積的運算律對于向量a，b，c和實數λ，有(1)a·b＝____(交換律).(2)(λa)·b＝_____＝______＝λa·b(數乘結合律).(3)(a＋b)·c＝

(分配律).b·aa·(λb)λ(a·b)a·c＋b·c知識梳理思考

若a·b＝b·c，是否可以得出結論a＝c?答案

不可以.已知實數a，b，c(b≠0)，則ab＝bc?a＝c，但是a·b＝b·c推不出a＝c.理由如下：如圖，a·b＝|a||b|cosβ＝|b||OA|，b·c＝|b||c|cosα＝|b||OA|.所以a·b＝b·c，但是a≠c.知識梳理知識點二平面向量數量積的運算性質類比多項式的乘法公式，寫出下表中的平面向量數量積的運算性質.多項式乘法向量數量積(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a＋b)2＝______________(a－b)2＝a2－2ab＋b2(a－b)2＝a2－2a·b＋b2(a＋b)(a－b)＝a2－b2(a＋b)·(a－b)＝________(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·aa2＋2a·b＋b2a2－b2知識梳理1.a·0＝0.(

)2.λ(a·b)＝λa·b.(

)4.若a與b同向，則(a－b)2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2.(

)5.向量的數量積運算滿足(a·b)·c＝a·(b·c).(

)思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√××√√知識梳理2題型探究PARTTWO一、求兩向量的數量積例1

(多選)設a，b，c是任意的非零向量，且它們相互不共線，給出下列結論，正確的是A.a·c－b·c＝(a－b)·cB.(b·c)·a－(c·a)·b不與c垂直C.|a|－|b|<|a－b|D.(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2√√√題型探究解析

根據數量積的分配律知A正確；∵[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，∴(b·c)·a－(c·a)·b與c垂直，B錯誤；∵a，b不共線，∴|a|，|b|，|a－b|組成三角形，∴|a|－|b|<|a－b|成立，C正確；D正確.故正確結論的選項是ACD.題型探究向量的數量積a·b與實數a，b的乘積a·b有聯系，同時也有許多不同之處.例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特別是向量的數量積不滿足結合律.反思感悟②跟蹤訓練1給出下列結論：①若a·b＝a·c，則b＝c；②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；③(a＋b)2＝|a|2＋2|a||b|＋|b|2.其中正確的是_____.(填序號)解析

由向量數量積的性質和運算律知，①③錯誤，②正確.題型探究二、求向量的模和向量的夾角例2

(1)已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝________.題型探究方法二

(數形結合法)由|a|＝|2b|＝2知，以a與2b為鄰邊可作出邊長為2的菱形OACB，如圖，又∠AOB＝60°，題型探究題型探究解

因為|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2＝1－1＋1＝1，故|a＋2b|＝1.題型探究(1)求解向量模的問題就是要靈活應用a2＝|a|2，即|a|＝

，勿忘記開方.(2)求向量的夾角，主要是利用公式cosθ＝

求出夾角的余弦值，從而求得夾角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以尋找|a|，|b|，a·b三者之間的關系，然后代入求解.反思感悟跟蹤訓練2

已知向量a，b滿足|a|＝|b|＝1，且|3a－2b|＝

，求a，b的夾角.題型探究解

設a與b的夾角為θ，由題意得(3a－2b)2＝7，∴9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，題型探究三、與垂直有關的問題√題型探究因為n·(tm＋n)＝0，所以tm·n＋n2＝0，所以t＝－4.題型探究解決有關垂直問題時利用a⊥b?a·b＝0(a，b為非零向量).反思感悟解

設a與b的夾角為θ，由已知得(a＋2b)·(3a－b)＝3a2＋5a·b－2b2＝3＋10cosθ－8＝0，所以θ＝60°，即a與b的夾角為60°.跟蹤訓練3

已知向量a，b，且|a|＝1，|b|＝2，(a＋2b)⊥(3a－b)，求向量a與b夾角的大小.題型探究3隨堂演練PARTTHREE12345√√√隨堂演練解析

因為兩個單位向量e1，e2的夾角為θ，則|e1|＝|e2|＝1，則e1在e2上的投影向量為|e1|cosθe2＝cosθe2，故A正確；(e1＋e2)·(e1－e2)＝e－e＝0，故(e1＋e2)⊥(e1－e2)，故C正確；e1·e2＝|e1||e2|cosθ＝cosθ，故D錯誤.12345隨堂演練解析

因為|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.2.設e1和e2是互相垂直的單位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，則a·b等于A.－2 B.－1 C.1 D.212345√隨堂演練解析

∵|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝22－8×2×1×cos60°＋16×12＝12，∴|a－4b|＝.3.已知|a|＝2，|b|＝1，a與b之間的夾角為60°，那么向量a－4b的模為A.2 B. C.6 D.1212345√隨堂演練12345√解析

由題意知(3a＋5b)·(ma－b)＝0，即3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0，即3m×32＋(5m－3)×3×2cos60°－5×22＝0，隨堂演練123455.已知向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，則向量a與a－b的夾角為_____.隨堂演練1.知識清單：(1)向量的數量積的運算律.(2)利用向量的數量積求向量的模和夾角.(3)向量垂直的應用.2.方法歸納：類比法.3.常見誤區(qū)：忽視向量的數量積不滿足結合律.課堂小結4課時對點練PARTFOUR12345678910111213141516√解析

由題意得(2a＋b)·(2a－b)＝4a2－b2＝4－1＝3.基礎鞏固12345678910111213141516√解析

設向量a與b的夾角為θ.因為a·(a＋b)＝a2＋a·b＝4＋2cosθ＝3，基礎鞏固3.已知向量a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，則|2a＋3b|等于A.16 B.256 C.8 D.6412345678910111213141516√解析

方法一

∵|2a＋3b|2＝4a2＋9b2＋12a·b＝16＋144＋96＝256，∴|2a＋3b|＝16.方法二

由題意知2a＝b，∴|2a＋3b|＝|4b|＝4|b|＝16.基礎鞏固12345678910111213141516√解析

|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，

①|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，

②由①－②得4a·b＝4，∴a·b＝1.基礎鞏固5.若向量a與b的夾角為60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，則|a|等于A.2 B.4 C.6 D.1212345678910111213141516解析

因為(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2＝|a|2－|a|·|b|cos60°－6|b|2＝|a|2－2|a|－96＝－72.所以|a|2－2|a|－24＝0.解得|a|＝6或|a|＝－4(舍去).√基礎鞏固解析

設a與b的夾角為θ，則θ＝120°，所以(－3a)·(a＋b)＝－3|a|2－3a·b＝－3－3×1×1×cos120°6.若向量a的方向是正南，向量b的方向是北偏東60°，且|a|＝|b|＝1，則(－3a)·(a＋b)＝________.12345678910111213141516基礎鞏固7.已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b與λa－b垂直，則λ＝_______.12345678910111213141516解析

∵(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0，基礎鞏固123456789101112131415169基礎鞏固123456789101112131415169.已知向量a，b的夾角為60°，且|a|＝2，|b|＝1，若c＝2a－b，d＝a＋2b，求：(1)c·d；解

c·d＝(2a－b)·(a＋2b)＝2a2－2b2＋3a·b基礎鞏固12345678910111213141516(2)|c＋2d|.解

|c＋2d|2＝(4a＋3b)2＝16a2＋9b2＋24a·b基礎鞏固1234567891011121314151610.已知單位向量e1與e2的夾角為α，且cosα＝

，向量a＝3e1－2e2與b＝3e1－e2的夾角為β，求β的余弦值.基礎鞏固12345678910111213141516解

因為a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cosα＋4＝9，所以|a|＝3，因為b2＝(3e1－e2)2＝9－2×3×1×cosα＋1＝8，基礎鞏固12345678910111213141516√√綜合運用解析

由題意，得|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角是120°，故B結論錯誤；∵(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3，∵(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝4×1×2×cos120°＋4＝0，∴(4a＋b)⊥b，故C結論正確；∵a·b＝1×2×cos120°＝－1，故D結論正確.12345678910111213141516綜合運用12345678910111213141516√綜合運用12345678910111213141516綜合運用1234567891011121314151613.已知a是平面內的單位向量，若向量b滿足b·(a－b)＝0，則|b|的取值范圍是________.[0,1]解析

∵b·(a－b)＝a·b－|b|2＝|a||b|cosθ－|b|2＝0，∴|b|＝|a|cosθ＝cosθ(θ為a與b的夾角)，θ∈[0，π]，∴0≤|b|≤1.綜合運用12