27.2.2 相似三角形的性質 人教版九年級數學下冊課件

相似三角形的性質

——第二十七章相似教學目標01.掌握相似三角形對應高線、中線和角平分線的比與相似比之間的關系

重點02.理解并掌握相似三角形周長與面積的的比與相似比之間的關系.

重點03.能夠運用相似三角形的性質解決相關問題

難點三個角分別相等，三邊成比例的兩個三角形相似.大家回憶一下相似三角形的定義是什么？思考：三角形中有各種各樣的幾何量，例如三條邊的長度，三個內角的度數，高、中線、角平分線的長度、以及周長、面積等.如果兩個三角形相似，那么它們的這些幾何量之間有什么關系呢？根據三角形相似的定義我們可以知道，相似三角形的對應角相等，對應邊成比例，下面我們開始研究相似三角形的其他幾何量之間的關系.如圖，已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比為k，思考一下它們的對應高、對應中線、對應角平分線的比各是多少？ABCA'B'C'ABCA'B'C'D'D如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，求它們對應高的比.分析:分別作△ABC和△A′B′C′的對應高AD和A′D′先證明△ABD和△A′B′D′相似，因為△ABC和△A′B′C′相似，由相似三角形的對應角相等，所以∠B＝∠B′，又因為∠ADB＝∠A′D′B′＝90°.根據兩角對應相等的兩個三角形相似得到△ABD和△A′B′D′相似，然后由相似三角形的對應邊成比例得到即可得到相似三角形對應高的比等于相似比.ABCA'B'C'D'D如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，求它們對應高的比.∴△ABD∽△A′B′D′（兩角分別相等的兩個三角形相似）

∴解：如圖，分別作出△ABC和△A'

B'

C'

的高AD和A'D'則∠ADB=∠A'

D'

B'=90°∵△ABC∽△A′B′C′∴∠B=∠B'

結論：相似三角形對應高的比等于相似比類似地，我們可以證明相似三角形對應中線、對應角平分線的比也等于k，同桌分工合作，嘗試應用上述的方法進行證明.下面我們一起來看看證明過程，大家也判斷一下自己的證明過程是否正確如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，求它們對應中線的比.結論：相似三角形對應中線的比等于相似比ABCA'B'C'D'D解：如圖，分別作出△ABC和△A'

B'

C'

的中線AD和

A'D'則∵△ABC

∽△A′B′C′∴∠B＝∠B'

，

∴△ABD∽△A'

B'

D'

（兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似）∴如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，求它們對應角平分線的比.結論：相似三角形對應角平分線的比等于相似比ABCA'B'C'D'D解：如圖，分別作出△ABC和△A'

B'

C'

的角平分線

AD和

A'D'，則∠BAD=∠B'A'D'

∵△ABC

∽△A′B′C′∴∠B＝∠B'

，∴△ABD∽△A'

B'

D'

（兩角分別相等的兩個三角形相似）∴總結：相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比一般地，我們有：相似三角形對應線段的比等于相似比.注意：在應用相似三角形對應線段的性質解題時，要注意并不是相似三角形中任意高的比、中線的比、角平分線的比都等于相似比，而是相似三角形中對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比等于相似比.相似三角形的周長有什么關系呢？解：如圖△ABC∽△A'B'C'，相似比為k，那么因此AB=kA'B'，BC=kB'C'，CA=kC'A'，從而結論：相似三角形周長的比等于相似比思考：相似三角形面積的比與相似比有什么關系？如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k.由前面的結論，我們可以得到結論：相似三角形面積的比等于相似比的平方解：在△ABC和△DEF中，∵AB=2DE，AC=2DF，又∵∠D=∠A，ABCDEF∴例題鞏固：

如圖，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D.若△ABC的邊BC上的高為6，面積為，求△DEF的邊EF上的高和面積.∴△DEF

∽△ABC

，相似比為∵△ABC的邊BC上的高為6，面積為，∴△DEF的邊EF上的高為×6=3，面積為（相似三角形對應高的比等于相似比，面積比等于相似比的平方）兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似