人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修一第二章 一元二次函數(shù)、方程和不等式 章末重難點歸納總結(jié)（含答案及解析）

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式章末重難點歸納總結(jié)考點一不等式的性質(zhì)【例1-1】（2023上海市）如果，那么下列式子中一定成立的是（

）A． B． C． D．【例1-2】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知，，為不全相等的實數(shù)，，，那么與的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【例1-3】（2023·高一課時練習(xí)）已知，則的取值范圍是__________．【一隅三反】1．（2023·上海長寧·上海市延安中學(xué)?？既＃┤绻敲聪铝胁坏仁街姓_的是（

）A． B．C． D．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知a>0，b>0，M＝，N＝，則M與N的大小關(guān)系為（）A．M>N B．M<N C．M≤N D．M，N大小關(guān)系不確定3．（2023·云南紅河）（多選）下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則4．（2023·北京）若實數(shù)x、y滿足，，則的取值范圍是考點二基本不等式【例2-1】（2023·高一課時練習(xí)）下列使用均值不等式求最小值的過程，正確的是（

）A．若，則B．若，則由知，的最小值為1C．若，則D．若，則【例2-2】（2022秋·江蘇揚州·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，若，則的最小值是（

）A．7 B．9 C． D．【例2-3】（2023·廣東汕尾）已知，求的最小值為______.【例2-4】（2023春·江蘇淮安）已知函數(shù)（），則它的最小值為______.【例2-5】．（2023春·山東德州）已知正實數(shù)，滿足，且有解，則的取值范圍______．【一隅三反】1．（2023·福建福州）（多選）已知關(guān)于，且．下列正確的有（

）A．最小值為9 B．最小值為1C．若，則 D．2．（2022秋·江蘇揚州·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）（多選）以下結(jié)論正確的是（

）A． B．的最小值為2C．若，則 D．若，則3．（2023春·河南）（多選）已知，且有，則的可能取值為（

）A．3 B． C．4 D．4．（2023·海南海口）（多選）已知，，且，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為4C．的最小值為2 D．的最大值為4考點三三個一元二次的關(guān)系【例3-1】（2023春·吉林長春）已知函數(shù).(1)若不等式的解集為空集，求的取值范圍.(2)若，的解集為，求的最大值.【例3-2】（2023·黑龍江哈爾濱）已知函數(shù)．(1)若不等式的解集為R，求m的取值范圍；(2)解關(guān)于x的不等式．【一隅三反】1．（2023·河北滄州）（多選）已知函數(shù)，其中，若，則（

）A． B．C． D．2．（2023·江蘇揚州）（多選）以下四個命題，其中是真命題的有（

）A．若，則B．若，則C．若，則函數(shù)的最小值為D．若，，，則的最小值為43．（2022秋·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)的圖像過點和原點，對于任意，都有．(1)求函數(shù)的表達式；(2)設(shè)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．4．（2023春·湖北）已知函數(shù).(1)若關(guān)于的不等式的解集為，求的值；(2)在（1）的條件下，關(guān)于的不等式組的解集中有且僅有兩個整數(shù)解.求的取值范圍.

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式章末重難點歸納總結(jié)考點一不等式的性質(zhì)【例1-1】（2023上海市）如果，那么下列式子中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，A正確；由，得，則，B錯誤；由，得，C錯誤；由，得，即，D錯誤.故選：A【例1-2】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知，，為不全相等的實數(shù)，，，那么與的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,，，為不全相等的實數(shù)，因此等號不成立，即，．故選：A【例1-3】（2023·高一課時練習(xí)）已知，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】由題意，在中，∵，∴，解得：，故答案為：.【一隅三反】1．（2023·上海長寧·上海市延安中學(xué)?？既＃┤绻敲聪铝胁坏仁街姓_的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于A中，若，則，故A不正確；對于B中，當(dāng)時，無意義，故B不正確；對于C中，，由，可得，但不確定，所以與無法確定大小關(guān)系，故C不正確；對于D中，，由，可得，且，所以，所以，故D正確.故選：D.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知a>0，b>0，M＝，N＝，則M與N的大小關(guān)系為（）A．M>N B．M<N C．M≤N D．M，N大小關(guān)系不確定【答案】B【解析】，∴M<N.故選：B.3．（2023·云南紅河）（多選）下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】AD【解析】對于A選項，由不等式的同向可加性可知，該不等式成立，所以A正確；對于B選項，例如：，，但是，所以B錯誤；對于C選項，當(dāng)時，，所以C錯誤；對于D選項，因為，所以，又，所以，所以D正確.故選：AD．4．（2023·北京）若實數(shù)x、y滿足，，則的取值范圍是【答案】【解析】設(shè)，由題意可得，解得，所以，由，可得，所以，即，故的取值范圍是.考點二基本不等式【例2-1】（2023·高一課時練習(xí)）下列使用均值不等式求最小值的過程，正確的是（

）A．若，則B．若，則由知，的最小值為1C．若，則D．若，則【答案】D【解析】對于A，，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，?dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，?dāng)異號時，，當(dāng)且僅當(dāng)即等號成立，故A錯誤；對于B，當(dāng)，則由，當(dāng)且僅當(dāng)，顯然等號不成立，故錯誤，對于C，若，則，當(dāng)且僅當(dāng)即等號成立，故C錯誤；對于D，若，則，當(dāng)且僅當(dāng)或等號成立，故D正確.故選：D.【例2-2】（2022秋·江蘇揚州·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，若，則的最小值是（

）A．7 B．9 C． D．【答案】D【解析】因為，，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值是.故選：D.【例2-3】（2023·廣東汕尾）已知，求的最小值為______.【答案】【解析】，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因此，的最小值為.故答案為：.【例2-4】（2023春·江蘇淮安）已知函數(shù)（），則它的最小值為______.【答案】【解析】由，可得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號，則的最小值為.故答案為：.【例2-5】．（2023春·山東德州）已知正實數(shù)，滿足，且有解，則的取值范圍______．【答案】【解析】由題知，因為，所以，，若有解，則即可，因為，都是正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故.故答案為：【一隅三反】1．（2023·福建福州）（多選）已知關(guān)于，且．下列正確的有（

）A．最小值為9 B．最小值為1C．若，則 D．【答案】CD【解析】A選項，因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，A錯誤；B選項，因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，但由于，故等號取不到，所以的最小值不為-1，B錯誤；C選項，，因為，，所以由基本不等式得，故，C正確；D選項，由基本不等式得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，D正確.故選：CD2．（2022秋·江蘇揚州·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）（多選）以下結(jié)論正確的是（

）A． B．的最小值為2C．若，則 D．若，則【答案】AD【解析】對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故A正確；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，但，故B錯誤；對于C，因為，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)即即時等號成立，故C錯誤；對于D，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故D正確；故選：AD.3．（2023春·河南）（多選）已知，且有，則的可能取值為（

）A．3 B． C．4 D．【答案】CD【解析】因為,且滿足,所以,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號,則的最小值為16,所以的最小值為4.故選:CD.4．（2023·海南?？冢ǘ噙x）已知，，且，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為4C．的最小值為2 D．的最大值為4【答案】AC【解析】對于A項，因為，，，由基本不等式可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，故A正確；對于B項，根據(jù)基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時，故B錯誤；對于C項，根據(jù)基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故C正確；對于D項，根據(jù)基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，的最小值為4，故D不正確.故選：AC.考點三三個一元二次的關(guān)系【例3-1】（2023春·吉林長春）已知函數(shù).(1)若不等式的解集為空集，求的取值范圍.(2)若，的解集為，求的最大值.【答案】(1)(2)【解析】（1）由題意，函數(shù)，不等式的解集為空集，所以恒成立，即，解得，故的取值范圍.（2）因為，的解集為,所以有兩個不同實根，即是的兩個實根，故，，故同為負(fù)值，所以，，所以=，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，故的最大值為.【例3-2】（2023·黑龍江哈爾濱）已知函數(shù)．(1)若不等式的解集為R，求m的取值范圍；(2)解關(guān)于x的不等式．【答案】(1)(2)答案見解析【解析】（1）由已知得，在R上恒成立.①當(dāng)時，顯然不滿足題意.②當(dāng)時，只需滿足，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.（2）不等式，即為，即，可化為.①當(dāng)，即時，，解集為；②當(dāng)，即時，，解集為或;③當(dāng)，即時，i當(dāng)，即時，解集為；ii當(dāng)，即時，解集為；iii當(dāng)，即時，解集為.綜上所述：當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為或；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為.【一隅三反】1．（2023·河北滄州）（多選）已知函數(shù)，其中，若，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】由，得，又，所以，且的符號不確定，故的符號也不確定，故錯誤；由，得，故B正確；由，得，故C正確；因為，兩邊平方后不等式不一定成立，故D錯誤.故選：BC.2．（2023·江蘇揚州）（多選）以下四個命題，其中是真命題的有（

）A．若，則B．若，則C．若，則函數(shù)的最小值為D．若，，，則的最小值為4【答案】BC【解析】A選項，因，則，故A錯誤；B選項，因，則，故B正確；C選項，因，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故C正確；D選項，因，，則.當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號，故D錯誤.故選：BC3．（2022秋·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)的圖像過點和原點，對于任意，都有．(1)求函數(shù)的表達式；(2)設(shè)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．【答案】(1)(2)【解析】（1）由題意得，所以，因為對于任意，都有，即恒成立，故，解得，.所以；（2），則的對稱軸為，當(dāng)，即,函數(shù)在上單調(diào)遞增，故在上的最小值為；當(dāng)，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故在的最小值為；當(dāng)，即時,函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在上的最小值為.綜上,.4．（2023春·湖北）已知函數(shù).(1)若關(guān)于的不等式