新高考數(shù)學一輪復習 圓錐曲線專項重難點突破專題21 圓錐曲線新定義問題(解析版)

專題21圓錐曲線新定義問題限時：120分鐘滿分：150分一、單選題：本大題共8小題，每個小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1．阿基米德(公元前287年～公元前212年)是古希臘偉大的物理學家，數(shù)學家和天文學家，并享有“數(shù)學之神”的稱號.他研究拋物線的求積法，得出了著名的阿基米德定理．在該定理中，拋物線的弦與過弦的端點的兩切線所圍成的三角形被稱為“阿基米德三角形”．若拋物線上任意兩點SKIPIF1<0處的切線交于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為“阿基米德三角形”，且當線段SKIPIF1<0經過拋物線的焦點SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0具有以下特征：（1）SKIPIF1<0點必在拋物線的準線上；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0．若經過拋物線SKIPIF1<0的焦點的一條弦為SKIPIF1<0，“阿基米德三角形”為SKIPIF1<0，且點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，則直線SKIPIF1<0的方程為（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】根據(jù)題意，可知SKIPIF1<0點在拋物線的準線SKIPIF1<0上，又點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故選：A.2．橢圓SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0為橢圓的右焦點，點A為橢圓的左頂點，點B為橢圓的短軸上的頂點，若SKIPIF1<0，此橢圓稱為“黃金橢圓”，“黃金橢圓”的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】設SKIPIF1<0為橢圓的半焦距，由題意可得SKIPIF1<0，由對稱性可設SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍）.故選:B.3．加斯帕爾-蒙日是1819世紀法國著名的幾何學家．如圖，他在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”．若長方形SKIPIF1<0的四邊均與橢圓SKIPIF1<0相切，則下列說法錯誤的是（

）

A．橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0 B．橢圓SKIPIF1<0的蒙日圓方程為SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0為正方形，則SKIPIF1<0的邊長為SKIPIF1<0 D．長方形SKIPIF1<0的面積的最大值為18【解析】由橢圓方程知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0，A正確；當長方形SKIPIF1<0的邊與橢圓的軸平行時，長方形的邊長分別為SKIPIF1<0和4，其對角線長為SKIPIF1<0，因此蒙日圓半徑為SKIPIF1<0，圓方程為SKIPIF1<0，B正確；設矩形的邊長分別為SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時取等號，所以長方形SKIPIF1<0的面積的最大值是20，此時該長方形SKIPIF1<0為正方形，邊長為SKIPIF1<0，C正確，D錯誤．故選：D．4．2022年卡塔爾世界杯中的數(shù)字元素——會徽（如圖）正視圖近似伯努利雙紐線.定義：在平面直角坐標系SKIPIF1<0中，把到定點SKIPIF1<0的距離之積等于SKIPIF1<0的點的軌跡稱為雙紐線SKIPIF1<0.已知SKIPIF1<0是雙紐線SKIPIF1<0上的一點，下列說法錯誤的是（

）A．雙紐線SKIPIF1<0關于原點SKIPIF1<0成中心對稱B．SKIPIF1<0C．雙曲線SKIPIF1<0上滿足SKIPIF1<0的點SKIPIF1<0有兩個D．SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0【解析】由到定點SKIPIF1<0的距離之積等于SKIPIF1<0的點的軌跡稱為雙紐線SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0替換方程中的SKIPIF1<0，方程不變，故雙紐線SKIPIF1<0關于原點SKIPIF1<0成中心對稱，故A正確；由等面積法得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B正確；令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以雙曲線SKIPIF1<0上滿足SKIPIF1<0的點SKIPIF1<0有一個，故C錯誤；因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，故D正確，故選：C.5．橢圓具有光學性質：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經過橢圓反射后，反射光線過橢圓的另一個焦點(如圖).已知橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0的直線與橢圓E交與點A，B，過點A作橢圓的切線l，點B關于l的對稱點為M，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】如圖，由橢圓的光學性質可得SKIPIF1<0三點共線.設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.故選：A.6．定義：橢圓SKIPIF1<0中長度為整數(shù)的焦點弦(過焦點的弦)為“好弦”．則橢圓SKIPIF1<0中所有“好弦”的長度之和為（

）A．162 B．166 C．312 D．364【解析】由已知可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即橢圓SKIPIF1<0的右焦點坐標為SKIPIF1<0，對于過右焦點的弦SKIPIF1<0，則有：當弦SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸重合時，則弦長SKIPIF1<0，當弦SKIPIF1<0不與SKIPIF1<0軸重合時，設SKIPIF1<0，聯(lián)立方程SKIPIF1<0，消去x得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，綜上所述：SKIPIF1<0，故弦長為整數(shù)有SKIPIF1<0，由橢圓的對稱性可得：“好弦”的長度和為SKIPIF1<0．故選：B．7．某數(shù)學愛好者以函數(shù)圖像組合如圖“愛心”獻給在抗疫一線的白衣天使，向他們表達崇高的敬意！愛心輪廓是由曲線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0構成，若a，SKIPIF1<0，c依次成等比數(shù)列，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】由“愛心”圖知SKIPIF1<0經過點SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由“愛心”圖知SKIPIF1<0必過點SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若a，SKIPIF1<0，c，依次成等比數(shù)列，則SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選:A．8．數(shù)學中有許多寓意美好的曲線，曲線SKIPIF1<0被稱為“四葉玫瑰線”（如圖所示）.給出下列三個結論：①曲線SKIPIF1<0關于直線SKIPIF1<0對稱；②曲線SKIPIF1<0上任意一點到原點的距離都不超過1；③存在一個以原點為中心?邊長為SKIPIF1<0的正方形，使曲線SKIPIF1<0在此正方形區(qū)域內（含邊界）.其中，正確結論的序號是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【解析】對于①，用SKIPIF1<0替換方程中的SKIPIF1<0，方程形式不變，所以曲線SKIPIF1<0關于直線SKIPIF1<0對稱，故①正確，對于②，設點SKIPIF1<0是曲線上任意一點，則SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0到原點的距離為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時取等號，故②正確，對于③，由②可知，包含該曲線的以原點為圓心的最小的圓的半徑為1，所以最小圓應該是包含該曲線的最小正方形的內切圓，即正方形的邊長最短為2，故③錯誤.故選：A二、多選題：本大題共4小題，每個小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，只有一項或者多項是符合題目要求的.9．在平面內，若曲線SKIPIF1<0上存在點SKIPIF1<0，使點SKIPIF1<0到點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距離之和為10，則稱曲線SKIPIF1<0為“有用曲線”，以下曲線是“有用曲線”的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】設點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，因為點SKIPIF1<0到點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距離之和為10，由橢圓的定義可得點SKIPIF1<0的軌跡方程為：SKIPIF1<0，對A，由SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因此曲線SKIPIF1<0上存在點SKIPIF1<0滿足條件，所以SKIPIF1<0是“有用曲線”，故A正確；對B，因為曲線SKIPIF1<0在曲線SKIPIF1<0的內部，無交點，所以SKIPIF1<0不是“有用曲線”，故B錯誤；對C，曲線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有交點SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是“有用曲線”，故C正確；對D，曲線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0也有交點，所以SKIPIF1<0是“有用曲線"，故D正確.故選：ACD.10．卵形曲線也叫卵形線，是常見曲線的一種，分笛卡爾卵形線和卡西尼卵形線.卡西尼卵形線是平面內與兩個定點（叫做焦點）距離之積等于常數(shù)的點的軌跡.設焦點SKIPIF1<0是平面內兩個定點，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是定長），特別地，當SKIPIF1<0時的卡西尼卵形線又稱為伯努利雙紐線，某同學通過類比橢圓與雙曲線的研究方法，對伯努利雙紐線進行了相關性質的探究，得到下列結論，其中正確的是（

）A．曲線過原點B．關于原點中心對稱且關于坐標軸成軸對稱C．方程為SKIPIF1<0D．曲線上任意點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【解析】設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，化簡得到：SKIPIF1<0，故C正確；曲線過原點，A正確；關于原點中心對稱且關于坐標軸成軸對稱，B正確；驗證知SKIPIF1<0在曲線上，故D錯誤.故選：ABC.11．已知曲線C的方程為SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，若對于任意的SKIPIF1<0，都存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，則稱曲線C為Σ曲線.下列方程所表示的曲線中，是Σ曲線的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】A：SKIPIF1<0的圖象既關于x軸對稱，也關于y軸對稱，且圖象是封閉圖形.所以對于任意的點SKIPIF1<0，存在著點Q（x2，y2）使得SKIPIF1<0，所以滿足；B：SKIPIF1<0的圖象是雙曲線，且雙曲線的漸近線斜率為±1，所以漸近線將平面分為四個夾角為90°的區(qū)域，當P，Q在雙曲線同一支上，此時SKIPIF1<0，當P，Q不在雙曲線同一支上，此時SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不滿足；C：SKIPIF1<0的圖象是焦點在x軸上的拋物線，且關于x軸對稱，設P為拋物線上一點，過O點作OP的垂線，則垂線一定與拋物線交于Q點，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0D：取P（0，1），若SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0顯然不成立，所以此時SKIPIF1<0不成立，故選：AC12．中國結是一種手工編織工藝品，因為其外觀對稱精致，可以代表漢族悠久的歷史，符合中國傳統(tǒng)裝飾的習俗和審美觀念，故命名為中國結.中國結的意義在于它所顯示的情致與智慧正是漢族古老文明中的一個側面，也是數(shù)學奧秘的游戲呈現(xiàn).它有著復雜曼妙的曲線，卻可以還原成最單純的二維線條.其中的八字結對應著數(shù)學曲線中的雙紐線.曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0是雙紐線，則下列結論正確的是（

）A．曲線SKIPIF1<0的圖象關于原點對稱B．曲線SKIPIF1<0經過5個整點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點）C．曲線SKIPIF1<0上任意一點到坐標原點SKIPIF1<0的距離都不超過3D．若直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0只有一個交點，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0【解析】把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以曲線SKIPIF1<0的圖象關于原點對稱，故A正確；令SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，即曲線經過SKIPIF1<0，結合圖象，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因此結合圖象曲線SKIPIF1<0只能經過3個整點，SKIPIF1<0，故B錯誤；SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以曲線SKIPIF1<0上任意一點到坐標原點SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，即都不超過3，故C正確；直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0一定有公共點SKIPIF1<0，若直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0只有一個交點，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0無解，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13．古希臘數(shù)學家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積，已知橢圓C的面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是橢圓C的兩個焦點，過SKIPIF1<0的直線交橢圓C于A，B兩點，若SKIPIF1<0的周長為8，則橢圓C的離心率為．【解析】由題意可知：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.14．定義：點SKIPIF1<0為曲線SKIPIF1<0外的一點，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的兩個動點，則SKIPIF1<0取最大值時，SKIPIF1<0叫點SKIPIF1<0對曲線SKIPIF1<0的張角.已知點SKIPIF1<0為拋物線SKIPIF1<0上的動點，設SKIPIF1<0對圓SKIPIF1<0的張角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為.【解析】如圖，SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0最小，則SKIPIF1<0最大，即需SKIPIF1<0最小.設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.15．在平面直角坐標系xOy中，點M不與原點О重合，稱射線OM與SKIPIF1<0的交點N為點M的“中心投影點”，曲線SKIPIF1<0上所有點的“中心投影點”構成的曲線長度是【解析】曲線SKIPIF1<0的漸近線方程為：SKIPIF1<0，設漸近線與圓SKIPIF1<0的交點分別為SKIPIF1<0,如下圖：則曲線SKIPIF1<0上所有點的“中心投影點”構成的曲線為圓弧SKIPIF1<0由題意SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，16．在平面直角坐標系中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若在曲線C上存在一點P，使得∠APB為鈍角，則稱曲線上存在“鈍點”，下列曲線中，有“鈍點”的曲線為．（填序號）①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0．【解析】設點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，若∠APB為鈍角，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0不共線，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，化簡可得SKIPIF1<0，反之若SKIPIF1<0，則∠APB為鈍角，對于曲線SKIPIF1<0，取曲線上的點SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為鈍角，故曲線SKIPIF1<0為有“鈍點”的曲線；對于曲線SKIPIF1<0，若曲線上的點SKIPIF1<0為“鈍點”，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，矛盾所以曲線SKIPIF1<0不是有“鈍點”的曲線；對于曲線SKIPIF1<0，若曲線上點SKIPIF1<0為“鈍點”，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，矛盾所以曲線SKIPIF1<0不是有“鈍點”的曲線；對于曲線SKIPIF1<0，取曲線上的點SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為鈍角，故曲線SKIPIF1<0為有“鈍點”的曲線；對于曲線SKIPIF1<0，取曲線上的點SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為鈍角，故曲線SKIPIF1<0為有“鈍點”的曲線.所以曲線①④⑤為有“鈍點”的曲線.故答案為：①④⑤.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．我們把具有公共焦點、公共對稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”．(1)設橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0有相同的焦點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，M是橢圓SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0的公共點，且SKIPIF1<0的周長為6，求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)如圖，已知“盾圓”D的方程為SKIPIF1<0設“盾圓”D上的任意一點M到SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，M到直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0為定值．【解析】（1）設橢圓的半焦距為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0的周長為6，所以a＋c＝3，因為橢圓SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0有相同的焦點，所以c＝1，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（2）設“盾圓”D上的任意一點M的坐標為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0為定值．18．焦距為2c的橢圓SKIPIF1<0（a＞b＞0），如果滿足“2b=a+c”，則稱此橢圓為“等差橢圓”．(1)如果橢圓SKIPIF1<0（a＞b＞0）是“等差橢圓”，求SKIPIF1<0的值；(2)對于焦距為12的“等差橢圓”，點A為橢圓短軸的上頂點，P為橢圓上異于A點的任一點，Q為P關于原點O的對稱點（Q也異于A），直線AP、AQ分別與x軸交于M、N兩點，判斷以線段MN為直徑的圓是否過定點？說明理由．【解析】（1）因為橢圓SKIPIF1<0（a＞b＞0）是“等差橢圓”，所以2b=a+c，所以c=2b﹣a，又c2=a2﹣b2，所以（2b﹣a）2=a2﹣b2，化簡得SKIPIF1<0．（2）過定點（0，±10），理由如下：由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，橢圓方程為：SKIPIF1<0，所以A（0，8），設P（x0，y0）（x0≠0），則Q（﹣x0，﹣y0），所以直線AP的方程為：SKIPIF1<0，令y=0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，所以以MN為直徑的圓的方程為SKIPIF1<0，結合SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，令x=0，得y=±10，所以該圓恒過定點（0，±10）．19．已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為橢圓短軸的上端點，SKIPIF1<0為橢圓上異于SKIPIF1<0點的任一點，若SKIPIF1<0點到SKIPIF1<0點距離的最大值僅在SKIPIF1<0點為短軸的另一端點時取到，則稱此橢圓為“圓橢圓”.（1）若SKIPIF1<0，判斷橢圓SKIPIF1<0是否為“圓橢圓”；（2）若橢圓SKIPIF1<0是“圓橢圓”，求SKIPIF1<0的取值范圍.【解析】（1）由題意：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，二次函數(shù)開口向下，對稱軸SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上單調遞減，∴SKIPIF1<0時函數(shù)值最大，此時SKIPIF1<0為橢圓的短軸的另一個端點，∴橢圓是“圓橢圓”；（2）由（1）：橢圓方程：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴二次項系數(shù)SKIPIF1<0，函數(shù)開口向下，由題意得，當且僅當SKIPIF1<0時函數(shù)值達到最大，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，綜上，SKIPIF1<0的范圍為SKIPIF1<0.20．中國結是一種手工編制工藝品，因其外觀對稱精致，符合中國傳統(tǒng)裝飾的審美觀念，廣受中國人喜愛.它有著復雜奇妙的曲線，卻可以還原成單純的二維線條，其中的“八字結”對應著數(shù)學曲線中的伯努利雙紐線.在SKIPIF1<0平面上，我們把與定點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0距離之積等于SKIPIF1<0的動點的軌跡稱為伯努利雙紐線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為該曲線的兩個焦點.數(shù)學家雅各布?伯努利曾將該曲線作為橢圓的一種類比開展研究.已知曲線SKIPIF1<0是一條伯努利雙紐線.(1)求曲線C的焦點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐標；(2)試判斷曲線C上是否存在兩個不同的點A，B（異于坐標原點O），使得以AB為直徑的圓過坐標原點O.如果存在，求出A，B坐標；如果不存在，請說明理由.【解析】（1）方法一：設焦點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，曲線SKIPIF1<0與x軸正半軸交于點SKIPIF1<0，由題意知SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；方法二：設焦點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由題意知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因此，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）假設曲線C上存在兩點A，B，使得以AB為直徑的圓過坐標原點O，即SKIPIF1<0，由題意知直線OA，OB斜率均存在，不妨設直線OA的方程為SKIPIF1<0，直線OB的方程為SKIPIF1<0，將直線OA的方程與曲線C聯(lián)立，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.解得SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0不可能成立，于是假設不成立，即曲線C上不存在兩點A，B，使得以AB為直徑的圓過坐標原點O.21．定義：一般地，當SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時，我們把方程SKIPIF1<0表示的橢圓SKIPIF1<0稱為橢圓SKIPIF1<0的相似橢圓．已知橢圓SKIPIF1<0，橢圓SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）是橢圓SKIPIF1<0的相似橢圓，點SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上異于其左、右頂點SKIPIF1<0的任意一點．(1)當SKIPIF1<0時，若與橢圓SKIPIF1<0有且只有一個公共點的直線SKIPIF1<0恰好相交于點SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)當SKIPIF1<0（e為橢圓SKIPIF1<0的離心率）時，設直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【解析】（1）設SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，將其代入橢圓SKIPIF1<0的方程，消去SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因為直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0有且只有一個公共點，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入上式，整理得SKIPIF1<0，同理可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為關于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的兩根，所以，SKIPIF1<0．又點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）由橢圓SKIPIF1<0，得其離心率SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，橢圓SKIPIF1<0的標準方程為SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，恰好為橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點，易知直線SKIPIF1<0的斜率均存在且不為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．設直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0