2024-2025學年新教材高中數(shù)學第八章立體幾何初步8.4.1平面習題含解析新人教A版必修第二冊

.4空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系8.4.1平面課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達標練1.空間中可以確定一個平面的條件是()A.三個點 B.四個點C.三角形 D.四邊形解析當三個點共線時不能確定一個平面,故選項A錯誤;當四個點為三棱錐的四個頂點時,最多確定四個平面,故選項B錯誤;三角形的三個頂點不共線,因此能確定一個平面,故選項C正確;空間四邊形不能確定一個平面,故選項D錯誤.答案C2.圓心和圓上隨意兩點可確定的平面有()A.0個 B.1個C.2個 D.1個或多數(shù)個解析若圓心和圓上兩點共線,則可確定多數(shù)個平面;若三點不共線,則確定一個平面.答案D3.已知A,B是點,a,b,l是直線,α是平面,假如a?α,b?α,l∩a=A,l∩b=B,那么下列關(guān)系中成立的是()A.l?α B.l∈αC.l∩α=A D.l∩α=B解析由基本領(lǐng)實2或畫圖可知:l?α.答案A4.已知α,β為平面,A,B,M,N為點,a為直線,下列推理錯誤的是()A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β?a?βB.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β?α∩β=MNC.A∈α,A∈β?α∩β=AD.A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共線?α,β重合解析兩平面有公共點,則兩平面有一條交線,故C錯.答案C5.(多選題)下列說法錯誤的是()A.不共面的四點中,隨意三點不共線B.三條兩兩相交的直線在同一平面內(nèi)C.有三個不同公共點的兩個平面重合D.依次首尾相接的四條線段不肯定共面解析由基本領(lǐng)實易知選項A,D正確;對于選項B,如正方體中,具有同一頂點的三條棱不在同一平面內(nèi),故選項B錯誤;對于選項C,三個不同的公共點可在兩平面的交線上,故選項C錯誤.答案BC6.平面α∩平面β=l,點A,B∈α,點C∈平面β且C?l,AB∩l=R,設(shè)過點A,B,C三點的平面為平面γ,則β∩γ=()A.直線AC B.直線BCC.直線CR D.以上都不對解析依據(jù)題意畫出圖形,如圖所示,因為點C∈β,且點C∈γ,所以C∈β∩γ.因為點R∈AB,所以點R∈γ,又R∈β,所以R∈β∩γ,從而β∩γ=CR.答案C7.三條直線兩兩平行,則過其中隨意兩條直線最多共可確定個平面.

解析當三條直線在同一個平面內(nèi)時,則可確定一個平面;當三條直線不在同一個平面內(nèi)時,如三棱柱三條側(cè)棱所在直線,此時可確定三個平面.答案38.若直線l與平面α相交于點O,A,B∈l,C,D∈α,且AC∥BD,則O,C,D三點的位置關(guān)系是.

解析如圖,∵AC∥BD,∴AC與BD確定一個平面,記作平面β,則α∩β=直線CD.∵l∩α=O,∴O∈α.又O∈AB?β,∴O∈直線CD,∴O,C,D三點共線.答案共線9.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點M,N,E,F分別是棱CD,AB,DD1,AA1上的點,若MN與EF交于點Q,求證:D,A,Q三點共線.證明∵MN∩EF=Q,∴Q∈直線MN,Q∈直線EF.又M∈直線CD,N∈直線AB,CD?平面ABCD,AB?平面ABCD,∴M,N∈平面ABCD,∴MN?平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.同理,可得EF?平面ADD1A1.∴Q∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,∴Q∈直線AD,即D,A,Q三點共線.10.(2024全國高一課時練習)如圖所示,已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為D1C1,C1B1的中點,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求證:(1)D,B,F,E四點共面;(2)若A1C交平面DBEF于R點,則P,Q,R三點共線.證明(1)∵EF是△D1B1C1的中位線,∴EF∥B1D1.在正方體AC1中,B1D1∥BD,∴EF∥BD.∴EF,BD確定一個平面,即D,B,F,E四點共面.(2)正方體AC1中,設(shè)A1ACC1確定的平面為α,又設(shè)平面BDEF為β.∵A1C1∩EF=Q,∴Q∈A1C1,Q∈EF,∴Q∈α,Q∈β.則Q是α與β的公共點.同理,P是α與β的公共點.∴α∩β=PQ.又A1C交平面β于點R,∴R∈A1C.∴R∈α,且R∈β,則R∈PQ,故P,Q,R三點共線.實力提升練1.(2024廣東佛山其次中學高二月考)已知平面α與平面β,γ都相交,則這三個平面的交線可能有()A.1條或2條 B.2條或3條C.1條或3條 D.1條或2條或3條解析當α過平面β與γ的交線時,這三個平面有1條交線;當β與γ平行時,α與β和γ各有一條交線,共有2條交線;當β∩γ=b,α∩β=a,α∩γ=c時,有3條交線.答案D2.已知α,β,γ是平面,a,b,c是直線,α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c,若a∩b=P,則()A.P∈c B.P?c C.c∩a=? D.c∩β=?解析如圖,∵a∩b=P,∴P∈a,P∈b.∵α∩β=a,β∩γ=b,∴P∈α,P∈γ,而γ∩α=c,∴P∈c.答案A3.(多選題)如圖,ABCD-A1B1C1D1是長方體,O是B1D1的中點,直線A1C交平面AB1D1于點M,則下列結(jié)論正確的是()A.A,M,O三點共線B.A,M,O,A1四點共面C.A,O,C,M四點共面D.B,B1,O,M四點共面解析因為A,M,O三點既在平面AB1D1內(nèi),又在平面AA1C內(nèi),故A,M,O三點共線,從而易知ABC均正確.答案ABC4.(2024山西大附中高二期中)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是棱DD1和BB1上的點,MD=DD1,NB=BB1,那么正方體中過M,N,C1的截面圖形是()A.三角形 B.四邊形C.五邊形 D.六邊形解析先確定截面上的已知邊與幾何體上和其共面的邊的交點,再確定截面與幾何體的棱的交點.設(shè)直線C1M,CD相交于點E,直線C1N,CB相交于點F,連接EF交直線AD于點P,交直線AB于點Q,則五邊形C1MPQN為所求截面圖形.答案C5.如圖,已知在四面體A-BCD中,E,F分別是AB,AD的中點,G,H分別是BC,CD上的點,且=2.求證:直線EG,FH,AC相交于同一點.證明∵E,F分別是AB,AD的中點,∴EF∥BD,且EF=BD.又=2,∴GH∥BD,且GH=BD,∴EF∥GH,且EF>GH,∴四邊形EFHG是梯形,其兩腰所在直線必相交.設(shè)兩腰EG,FH的延長線相交于一點P,∵EG?平面ABC,FH?平面ACD,∴P∈平面ABC,P∈平面ACD.又平面ABC∩平面ACD=AC,∴P∈AC,故直線EG,FH,AC相交于同一點.素養(yǎng)培優(yōu)練(2024全國高一課時練習)如圖,在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是AA1,D1C1的中點,過D,M,N三點的平面與正方體的下底面A1B1C1D1相交于直線l.(1)畫出直