2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)專題《函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性》題型突破及解析

重難點(diǎn)專題01函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性

一、重難點(diǎn)題型歸納......................................錯誤!未定義書簽。

題型1利用函數(shù)性質(zhì)解不等式..........................................17

題型3構(gòu)造奇偶函數(shù)求函數(shù)值.............................錯誤味定義書簽。

題型4對稱性、奇偶性的運(yùn)用.............................錯誤味定義書簽。

?類型1對稱軸....................................錯誤!未定義書簽。

?類型2中心對稱+軸對稱構(gòu)造周期性................錯誤!未定義書簽。

?類型3“類”周期函數(shù)...............................錯誤!未定義書簽。

?類型4對稱性解決恒成立..........................錯誤!未定義書簽。

題型5三角函數(shù)中的對稱性問題...........................錯誤!未定義書簽。

題型6復(fù)雜奇函數(shù)問題...................................錯誤味定義書簽。

題型7函數(shù)的旋轉(zhuǎn)問題...................................錯誤!未定義書簽.

題型8兩個(gè)函數(shù)的對稱問題...............................錯誤味定義書簽。

二、最新真題、?？碱}組練...............................錯誤!未定義書簽。

題型1利用函數(shù)性質(zhì)解不等式

1、對于任意必'與6（-8,。]（必均有n-R成立，注意功能用來判斷函數(shù)的

單調(diào)性（有具體函數(shù)時(shí)，直接求導(dǎo)可求單調(diào)性）；

2、解不等式常涉及到奇偶性，注意配圖解不等式

3、涉及到偶函數(shù)時(shí)：如果口朝上：誰離對稱軸（X=°）遠(yuǎn)，誰的函數(shù)值就大；如果口朝

下：誰離對稱軸（”=°）遠(yuǎn)，誰的函數(shù)值就小.

【例題1】（2023?江西宜春?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)八"+2）=【。83（3"+3-1

若&T）"3+1）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

（-00,-2]卜2,』

A.D?

(-a>,-2]u[0,+⑼(-00,-2IU18)

C.D.

【變式1-1]1.(2023?湖南常德?常德市一中?？寄M預(yù)測)定義在氏上的可導(dǎo)函

數(shù)仆)滿足小)-八7)=ML+廣)，且在(O，+8)上，(X)+宏<0若實(shí)

數(shù)a滿足〃2a)-f(a+2)-23"+碇3+2e7>C,則a的取值范圍為

()

A卜利RIX+00)(-8,一||52,+8)(-00,21

【變式1-112.(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)

/(x)=sin(x-l)+尸】一表-x+4則滿足/(%)+f(3-2x)<6的方的取值

范圍是()

A(3,+8)(1，+8)(-00,3)(-00,1)

【變式1-113.(2023.湖北武漢?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)

f(x)=(-->+e-+i-2x,若不等式/"(2-ax)<f^+3)對任意x6R恒成

立，則實(shí)數(shù)0的取值可能是()

-4~：V23夜

A.B.4C.vzD.

【變式1-114.(2021.廣西.廣西師范大學(xué)附屬外國語學(xué)校?？寄M預(yù)測)設(shè)〃口

是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)"2°時(shí)，若對任意的

x€[0^+l]均有f(x+b)N尸㈤則實(shí)數(shù)%最大值是()

A.§B.7C.0D.1

【變式1-1]5.(2020,湖南邵陽?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)〃幻是定義在*的偶函數(shù),

且在區(qū)間[°，+8)上單調(diào)遞減，若實(shí)數(shù)嗨足'"g”)+"1號)>2/(1；則實(shí)

數(shù)°的取值范圍是

題型2利用奇偶性、周期性對稱性求值

函數(shù)周期性的常用結(jié)論與技巧

設(shè)函數(shù)丫=佝，

①若〃X+。）=f（L可，則函數(shù)的周期7=2%

②若""十0）=一八"則函數(shù)的周期丁=2。；

③若'"+a）_甌則函數(shù)的周期丁=2。；

④若f（x+a）一畫則函數(shù)的周期7=2。；

⑤〃x+a）=f（x+b）,則函數(shù)的周期T=|a—|

【例題2】（2022?全國?高三階段練習(xí)）已知函數(shù),⑸收⑺是定義在R上的偶函數(shù),

g（3）=2,若對任意“￡R,都有f（x+6）=f（%）+f（3）,對任意m-R且

m+n=4,都有。（呵=g（n：,則f（"）+g（"）=

【變式2-111.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)"乃存在導(dǎo)函

數(shù)3旦滿足f（-%）="x），f（4-x）=f（-Q則曲線y=f（w在點(diǎn)

（2022/（2022））處的切線方程可能是（）

ABy=oc.yf+iD.y=—”+i

【變式2?112.（多選）（2022?山東?濰坊七中高三階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)'=/（"）的定

義域?yàn)椤昵覞M足f（l+x）=〃lr）,米-2）+〃-％）=0,當(dāng)工門-1」時(shí),

“幻=一忱|+1,則下列說法正確的是（）

A.y="”+i）是偶函數(shù)B.y=""+3）為奇函數(shù)

2023F/。、_1

c.函數(shù)y=f⑺一電⑶有ic個(gè)不同的零點(diǎn)D.一=/=

【變式2-113.（2023?浙江溫州?模擬預(yù)測）定義在R上的函數(shù),（幻滿足

Z(x+1)+/(x-l)=f(2022：/(-2x+1)=f(2x+5)若f0=:

，，則

7（2022）=Sk=i%f（k-3=

____________________________，_______________________________________?

題型3構(gòu)造奇偶函數(shù)求函數(shù)值

對于外幻本身不具有奇偶性，通過構(gòu)造（通常將尾巴常數(shù)變?yōu)?）,構(gòu)造奇函數(shù)，利用奇

函數(shù)的對稱性，求函數(shù)值.

f（x）=ln（x+V1+x2）+三+4

【例題3】（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù),x在

1一8,司上的最大值和最小值分別為“、T則*+撈=（）

A.8B.6C.4D.2

【變式3-111.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fG）=a”3+bsin”+3,若

f（m）=\則/_小）=（）

A.TB.2C.5D.7

【變式3-112.（2022?河南?高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)

fG）=aln￡+bsinx+3,若f（m）=1,則，（一m）=（）

A.-1B.2C.5D.7

【變式3-113.（2022?河南省淮陽中學(xué)高三階段練習(xí)（文））己知函數(shù)

（^-1）SU1（X+^）-3,則詢在［一詞上的最大值與最小值之和

為.

【變式3-114.（2022?江西?貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)

/(x)=aln(V?+T-x)+bsinx-2(afeiO)f(m)=2f(-m)=

，右，則

tx2+2x+e2+sinx

/（%）

【變式3-115.若函數(shù)八t>0）的最大值為M,最小值為N,

且M+N=4,則實(shí)數(shù)'的值為—

題型4對稱性、奇偶性的運(yùn)用

函數(shù)對稱性(異號對稱)

(1)軸對稱：函數(shù)八')對于定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)x滿足八口+口則函數(shù)八、)關(guān)

0+J

于直線”’丁對稱，特別地當(dāng)八幻=八2a一出時(shí)，函數(shù)外幻關(guān)于直線對稱;

2.如果函數(shù))'=八五幅足f9+幻=-x),則函數(shù)y=’(幻的圖象關(guān)于直線”=°對稱.

_a+i

3/=A。一幻與丫=(X一b)關(guān)于直線'=丁對稱.

(2)點(diǎn)對稱：若函數(shù)f")關(guān)于直線(a°)對稱，則

①f(a+x)=_f(Q_x)

②"幻=-/(2a-x)

③f(一x)=-/(2a+x)

(2)點(diǎn)對稱：若函數(shù)"X)關(guān)于直線9力)對稱，則

①+X)=-/(a-x)+2h

②〃x)=-f(2a-x)+2A

(§)/,(-x)=-f(2a+r)+2h

?類型1對稱軸

【例題4-1](2022.寧夏?銀川一中高三階段練習(xí)(文))已知函數(shù)y=f(?的定義

域?yàn)?-8,l)U(l,+8),且f(*+l)為奇函數(shù)，當(dāng)％VI時(shí)，，(%)=-/-4之，則

f(x)=-

2的所有根之和等于()

A.4B.2C.ID.~6

f(x)=2e|x-21--a(2x~2+22-x)—a2

【變式4-1】1.已知函數(shù)八2有唯一零點(diǎn)，則負(fù)

實(shí)數(shù)0=（）

A.-2B.2C.-1D.2或

【變式44】2.己知函數(shù)滿足尸若函數(shù)丫=

與y=〃幻的圖像的交點(diǎn)為（卬％）,（如%，…，（3%）,日2m貝產(chǎn)=

A.1B.2C.3D.4

/（X）=,呼____

【變式4-1】3.已知函數(shù)①+1）（—2"2）,下面是關(guān)于此函數(shù)的有關(guān)命題，

其中正確的有

①函數(shù)f（幻是周期函數(shù)；

②函數(shù)f（幻既有最大值又有最小值；

③函數(shù)“幻的定義域?yàn)椤昵移鋱D象有對稱軸；

④對于任意的?‘（一1'°）,人"）<°（""）是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）

A.②③B.①③C.②④D.①@③

?類型2中心對稱+軸對稱構(gòu)造周期性

關(guān)于對稱中心與對稱軸構(gòu)造周期的經(jīng)驗(yàn)結(jié)論

1.若函數(shù)有兩個(gè)對稱中心（a,0）與（b,0））,則函數(shù)具有周期性，周期T=2|a-b|.

2.若函數(shù)有兩條對稱軸*=@與*=>則函數(shù)具有周期性，周期T=2|a-b|.

3.若函數(shù)有一個(gè)對稱中心（a,0）與一條對稱軸x=b,,則函數(shù)具有周期性，周期T=4|a-b|.

【例題4-2】已知函數(shù)”乃為定義域?yàn)?的偶函數(shù)，且滿足‘6+"）=’6一"）,

XE[-1,01開支）=_工尸（x）=f（%）+與1-9,10]

當(dāng)??時(shí)，/㈤”若函數(shù)I,在區(qū)間I兀的

所有零點(diǎn)之和為.

【變式4-2】1.定義在區(qū)上的奇函數(shù)"乃滿足"2一切=了（無）,且在【°」）上單調(diào)遞

減,若方程"幻=T在1°,）上有實(shí)數(shù)根，則方程，出=1在區(qū)間1一1’判上所有

實(shí)根之和是()

A.30B.14C.12D.6

【變式4-212.已知定義域?yàn)榭诘暮瘮?shù)"幻的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，且

/(3-x)+/(-%)=0若曲線'在(6，，(6))處切線的斜率為％則曲線

y=fG)在(-2022/(-2022))處的切線方程為()

=1x1011

Ay=-4x-8088y=4x4-8088廠y~~i~~

A.BD?C.

【變式4-213.若函數(shù))‘=f(乃是氏上的奇函數(shù)，又y=f(”+i)為偶函數(shù)，且

-14X]<%2<1時(shí)，[f(&)-f-5)>0,比較f(201〃f(201%

〃2。19)的大小為()

/(2017)</(201S)</(2019)/(2018)</(2017)</(2019)

r\?D?

/(2018)</(2019)</(2017)/(2019)</(2018)</(2017)

V-z?L/?

【變式4-2】4.(多選)(2023?福建福州?福建省福州第一中學(xué)?？级?定義在氏上

的函數(shù)"幻"⑴，其導(dǎo)函數(shù)分別為‘⑶，若八幻二八一外，

g(-l)=l/(x)+^(x-1)=x2-1,/(x)+p(x+l)=x-sin；x

2,則()

A.外幻是奇函數(shù)

B.M幻關(guān)于Ji'Z寸稱

C.,幻周期為4

9(1)+以3)+以5)+...+。(99)=-1225

?類型3“類”周期函數(shù)

“似周期函數(shù)”或者“類周期函數(shù)”，俗稱放大鏡函數(shù)，要注意以下幾點(diǎn)辨析：

1.是從左往右放大，還是從右往左放大.

2.放大（縮小）時(shí)，要注意是否函數(shù)值有0.

3.放大（縮小）時(shí)，是否發(fā)生了上下平移.

【例題4-3]設(shè)函數(shù)丫=,（為的定義域?yàn)椤?如果存在非零常數(shù)7，對于任意大6°,

都有f（%+T）=T'/（%）,則稱函數(shù)y=f（幻是“似周期函數(shù)，，，非零常數(shù)7為函數(shù)

y=f（幻的，，似周期，，.現(xiàn)有下面四個(gè)關(guān)于，，似周期函數(shù)，，的命題：

①如果“似周期函數(shù)少二,（幻的"似周期''為一1,那么它是周期為2的周期函數(shù)；

②函數(shù)”乃=2”是“似周期函數(shù)，，；

③如果函數(shù)”乃=853又是“似周期函數(shù)，，，那么M=2如r,4E2或

3=（24+l?,"6Z,,.以上正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.OB.1C.2D.3

【變式4-3】1.已知函數(shù)“幻滿足當(dāng)時(shí)，2/（"-2）=/3,且當(dāng)"C（一2,0]

時(shí),f（x）=l%+l|T；當(dāng)時(shí)，f（x）=bgM（a>°且”1）.若函數(shù)不）的

圖象上關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)恰好有3對，則°的取值范圍是（）

A.（625,+8）B.（*64）c（9,6255D（9,64）

【變式4-312.設(shè)函數(shù)"句的定義域?yàn)椤隄M足f（"+l）=2/（力,且當(dāng)“E（°用時(shí)，

/（x）=x（%-l^若對任意方”-8,澗,都有f⑶-~2,則〃,的取值范圍是[）

【變式4-3】3.定義在夫上函數(shù)滿足'"+1）=云“2且當(dāng)”'[°」）時(shí),

f(x)=1-|2欠-1|則使得f(x)〈i在[m+8)上恒成立的m的最小值是()

791315

A.2B.2C.4D.4

?類型4對稱性解決恒成立

常見不等式恒成立轉(zhuǎn)最值問題：

VxGD,f(x)>mof(x)z>m

3xGD,f(x)>m=f(x)2>m

(2);

VxGD,/(x)>g(x)=(/(x)-g(x))2>0

(3)?

3xGD.f[x)>g(x)=(7(x)-^(x))>0

(4)M;

VxeD,XGM,>。(孫)of(M).>。(必).

(5)x2;

BxjED^EM,/(x)>。(必)=—)>。(必).

(6)11Ml;

VMWD,3XeM,f(M)>g(M)=/(%!)??>。(乂2)一

(7)2;

3xjGD,VXeM./(x)>g(必)=—)>。(必

(8)2l01al;

【例題4-4】已知函數(shù)/?=*+標(biāo)D且對于任意的xel2】，

LT(i￥(xf恒成立，則小的取值范圍為()

(-00,0)(一8,0]

?D?

[4,+oo）（12,+oo）

?L/?

rz\_2X-Hn

【變式4-4】1.已知函數(shù)/⑴一"（°-X-1）,函數(shù)g（%）=（mT”

（x-x-2）.若任意的石G[0,1],存在歷G【I，?,使得fd）=9（&）,則實(shí)數(shù)小

的取值范圍為（）

A.（琮B.2司c.MD.居

【變式4-4】2.已知,（”）是定義在R上的函數(shù)，且‘（”+1）關(guān)于直線”=一1對稱.

“乃={2一#叱。＜“＜2

當(dāng)時(shí)，2-log2r之2,若對任意的Wm+1],不等式

f（2—2%）Zfa+m）恒成立，則實(shí)數(shù)館的取值范圍是（）

A[一泄B4"C口+8）口生+8）

2

【變式4.4】3.已知"”）=麗—sEgI,g（x）=|向一仿n,若對于

V%13%2

十"一H"3使得/m）＞g（M）,則實(shí)數(shù),n的取值范圍

是.

題型5三角函數(shù)中的對稱性問題

1.三角函數(shù)的對稱性，周期性，奇偶性，單調(diào)性，考查時(shí)可能單獨(dú)考，也可能以多選的形

式綜合在一個(gè)題目中考查.

2.三角函數(shù)的奇偶性

（1）函數(shù)＞'=-Eg+⑺是奇函數(shù)=卬="（kWZ）,是偶函數(shù)。夕="+；（及W2）；

⑵函數(shù)丫=48s觸+⑼是奇函數(shù)=夕="+；汽J）,是偶函數(shù)=k'k￡Z）；

（3）函數(shù)丫=乂匕M皿+⑼是奇函數(shù)=A（kWZ）.

3.三角函數(shù)的對稱性

（1）函數(shù)y=4sin（s+0的圖象的對稱軸由3""一"七（門2）解得，對稱中心

的橫坐標(biāo)由3、+夕=H（AWZ）解得；

（2）函數(shù)V=4c0S（5+W：的圖象的對稱軸由+*=（k€Z）解得，對稱中心的

3義+/="笈+1U7

橫坐標(biāo)由？^1^r工）解得；

（3）函數(shù)>'=43“3*+@）的圖象的對稱中心由3'+"-G"W2）解得.

4.基本規(guī)律

1.三角函數(shù)的對稱中心（對稱軸）有數(shù)個(gè)，適當(dāng)結(jié)合條件確定合適.

2.要注意一個(gè)隱含性質(zhì)：一次函數(shù)是直線，它上邊任何一個(gè)點(diǎn)都可以作為對稱中心.一般情

況下，選擇它與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，或則別的合適的點(diǎn)

【例題5】（2022.湖南.長沙一中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)

f（乃=8S（3X+@）（3>0,0V0V"）的圖象的一條對稱軸與其相鄰的一個(gè)對

nn

稱中心的距離為彳，將“為的圖象向右平移憶個(gè)單位長度得到函數(shù)儀為的圖象.若函

pr3?rl

數(shù)儀幻的圖象在區(qū)間

上是增函數(shù)，則/的取值范圍為（)

匕21fl螞fl汨fl機(jī)|

A上司B.61C.卜'3）D."門

【變式5-1】1.（2023.天津.統(tǒng)考二模）設(shè)函數(shù)‘3="二9（外=11當(dāng)

'￡1-2023,2025］時(shí)，八幻與g（%）的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為（）

A.4051B.4049C.2025D.2023

_x+2

【變式5.1】2.已知函數(shù)丫=,加+1與丫-T■在I,a］（aWZ,且a>2017）

上有m個(gè)交點(diǎn)&'，"(&，乃)，，(3%),則

(xi+%)+(3+力)+?,?+(5+ym)=

2017

A.°B.小C.25D.

【變式5.1】3.已知函數(shù)f3=2（"】）+sinx+lM4^+”），若不等式

f（3'-9^+了（巾?3”-3）＜4對任意“^區(qū)均成立，則小的取值范圍為（

(-00,273-1)(-00,-273+1)

A?B.

（-2百+1,2百-1）

C*?

D（-273+1,4-00）

題型6復(fù)雜奇函數(shù)問題

1.若八”）滿足fm+幻+fQ_x）=2。，則，（幻關(guān)于（亨Q中心對稱

特殊的奇函數(shù)：（考試難點(diǎn)）：

討數(shù)與反比例復(fù)合，月。心言，月。心言，如岫三，g關(guān)，

②指數(shù)與反比例復(fù)告丫=會.盤"蕓,y=M

③對數(shù)與無理式復(fù)合，月（J（kx）±kx）,如ty=log.（J（x）

物口■對稱中心為（。，-j-）

3.

［例題6］已知函數(shù)""）=RiT+"e:若不等式‘（叱）+”］_2*?］對

VxER恒成立，則實(shí)數(shù)0的取值范圍是（）

A（0?R[0月（0，耳[。，11

A?D.JrLn）.

【變式6-111.對于定義在0上的函數(shù)"幻，點(diǎn)'（叫封是"功圖像的一個(gè)對稱中心

的充要條件是：對任意都有"幻+’（2小一%）=2英，判斷函數(shù)

/⑺=/+2爐+3%+4的對稱中心

【變式6-1】2.設(shè)函數(shù)/⑶=皿"+1T）,若以滿足不等式

f（a2-2a）+/（2b-b2）<0則當(dāng)l<a<4時(shí)2a-b

的最大值為

A.1B.1CC.5D.8

/（%）=%--+In—

【變式6-1】3.已知函數(shù)2LX,若

2019/,,.

f（短）+f島）+…+f（舞）+f（器）=-°I其中則

」_+例

2問》的最小值為

35V2

A.4B.4C.衣D.T

題型7函數(shù)的旋轉(zhuǎn)問題

【例題7】（2021?青島開學(xué)）將函數(shù)'=I""?-2（%W[-3,3]）的圖象繞點(diǎn)

（一3，。）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。（04。工,），得到曲線￡龍于每一個(gè)旋轉(zhuǎn)角巴曲線C都是

一個(gè)函數(shù)的圖象，則6最大時(shí)的正切值為（）

32

A.2B.3C.1D.百

【變式7-11L（2021春?池州期末）設(shè)。是含數(shù)1的有限實(shí)數(shù)集，〃:是定義在"

上的函數(shù)，若幻的圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)石后與原圖象重合，則在以下各項(xiàng)中

fa:的取值只可能是

C里

A.aB.1C.3D.0

【變式7-112.（2017春?新華區(qū)校級期末）將函數(shù)丫=一d+“（“6[°閔】圖像繞

n（o<e<-）

點(diǎn)（1,0）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)”角2條到曲線C,若曲線C仍是一個(gè)函數(shù)的圖像,

則6的最大值為

nnnSn

A.6B.4C.3D.12

【變式7-1】3.（2021?沈河區(qū)校級四模）將函數(shù)八（乃=屋（欠-°）的圖像繞坐標(biāo)原

點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角取6c（0"D,得到曲線￡若曲線c仍然是一個(gè)函數(shù)的圖像,

則’的可能取值為（）

nn3n

A.4R.2C.4D.71

7rA

【變式7-1】4.（多選M2021?雨花區(qū)校級模擬）已知函數(shù)'=/（幻,"E4且'f

nn

函數(shù)y=f（幻，"G'的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)彳所得新的函數(shù)圖象與原函數(shù)

圖象重合，其中71可以雙任意正整數(shù)，則"外的值不可能為（）

A.0B.~C.71D.v3zr

題型8兩個(gè)函數(shù)的對稱問題

【例題8】（2021?武侯區(qū)校級模擬）已知函數(shù)""）=°"一”與函數(shù)

g（x）=%lnx+1的圖像上恰有兩對關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)0的取值范圍為

)

（e—1,+8）（芋,+8）仁,+8）（-co,e-l）

/B??\.z??

【變式8-l1l.（2021春?海淀區(qū)校級期末）若函數(shù)丫二"一"一1一%（（“']；,?

￡為自然對數(shù)的底數(shù)）與、=二一310的圖象上存在兩組關(guān)于又軸對稱的點(diǎn)，則實(shí)

數(shù)0的取值范圍是

A（°昌+2]|0>e3-4]

G+2,/_4]G+2,+8）

?JLx?

f（x）=~x3—mx+3

【變式8-112.（2021?云南模擬）已知函數(shù)6,

p（x）=—5x—41n-f1（rxg（x）（xE|-,411

，，若函數(shù),（%）與I%"的圖象上至少存在一對關(guān)于x

軸對稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)，〃的取值范圍是.

【變式8-113.（2021春?大同期中）已知函數(shù)f"）=ln（一幻與函數(shù)

gQ）=亡-（e-l汝-a的圖象上存在關(guān)于稀對稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

為.

【變式8-114.（2021?景德鎮(zhèn)模擬）對于定義域?yàn)槌蟮暮瘮?shù)，（幻，若滿足（1）

，（。）=0；⑵當(dāng)％",且“工°時(shí)，都有"（幻>°；（3）當(dāng)石且

㈤=131時(shí)，都有f（M）<f（%2）,則稱f（乃為，，偏對稱函數(shù)，，.現(xiàn)給出四個(gè)函數(shù)：

①/\a）=%sig；②/（%）=/“/+i-X）；③，3（%）=/+|幻；④

rZX_（ex-l,x>0

’"可一1一%，“<0,貝上偏對稱函數(shù)”有一個(gè).

1.（2022.全國.統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)"x）?（x）的定義域均為R,且

/3）+9（2-'）=50（乃一「（五一4）=7.若），=8（幻的圖像關(guān)于直線、=2對

稱，g（2）=4,則E"（k）=（）

A.-21B.~22C.-23口.-24

2.（2021?全國?統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)外幻的定.義域?yàn)镽,八五+1）為奇函數(shù)，

f（x+2）為偶函數(shù)，當(dāng)Xe[1,2]時(shí)f（x）=2+b￡（0）+/（3）=6則fG）=

（）

g37.s

A.4B.5C.4D.2

3.（多選）（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù),5）=5必（2”+0（0〈"〈可的

（I。）

圖像關(guān)于點(diǎn)'3）中心對稱，則（）

?。┰趨^(qū)間（常）

A.單調(diào)遞減

在區(qū)間,五'三%

B.兩個(gè)極值點(diǎn)

c.直線'=彳是曲線＞'=的對稱軸

_V3

D.直線是由線＞'=/（"）的切線

4.（多選）（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)〃為及其導(dǎo)函數(shù),（X）的定義域均

為々記g（%）=fs）,若'（二"），8（2+幻均為偶函數(shù)，則（）

=O

Af（o）=oB^（■1）C./（-1）=/（4；口.g（一】）=g（2）

r（x）=（x-i）2+ax+sin1+：

5.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）若為偶函數(shù),

則a=

6.（2023.黑龍江大慶.統(tǒng)考二模）已知函數(shù)外幻是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)

/（x）=lnz-mx+l若f（x）rcosg）=。有三個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)m的

取值范圍為

7.（2023?四川?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)門㈠及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R,

若〃1一20，打一小+2）都為偶函數(shù)，則2：/（幻=

為偶函數(shù)，若對任意XwR有心）=心）且A2023)=3,則

啕+〃】）“削

參考答案與試題解析

重難點(diǎn)專題01函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性

題型1利用函數(shù)性質(zhì)解不等式................17

題型2利用奇偶性、周期性對稱性求值...............................-24

題型3構(gòu)造奇偶函數(shù)求函數(shù)值...........................................28

題型4對稱性、奇偶性的運(yùn)用..........................................32

?類型1對稱軸..................................................32

?類型2中心對稱+軸對稱構(gòu)造周期性..............................36

?類型3“類”周期函數(shù)............................................42

?類型4對稱性解決恒成立........................................47

題型5三角函數(shù)中的對稱性問題.................53

題型6復(fù)雜奇函數(shù)問題................................................57

題型7函數(shù)的旋轉(zhuǎn)問題................................................62

題型8兩個(gè)函數(shù)的對稱問題............................................67

題型1利用函數(shù)性質(zhì)解不等式

-f4<Q

1、對于任意卬町均有“LR成立，注意功能用來判斷函數(shù)的

單調(diào)性（有具體函數(shù)時(shí)，直接求導(dǎo)可求單調(diào)性）;

2、解不等式常涉及到奇偶性，注意配圖解不等式

3、涉及到偶函數(shù)時(shí)：如果口朝上：誰離對稱軸（，二°）遠(yuǎn)，誰的函數(shù)值就大；如果口朝

下：誰離對稱軸（“=°）遠(yuǎn)，誰的函數(shù)值就小.

【例題1】（2023?江西宜春?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù),0+2）=bg3（3"+

若72f3+1）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

A（…2]B.F

（-oo,-2]u[0,+oo）（-oo,-2]u||,+a＞）

【答案】B

【分析】設(shè)以力=f（x+2）=log3（3?+3-，則可得0（幻為偶函數(shù),且在◎+8）

單調(diào)遞增，所以“外的圖象關(guān)于直線”=2對稱，在[2，+8）單調(diào)遞增，則將

f（a-l）＞f（2a+1）轉(zhuǎn)化為I。-1-2|＞|2a+1-2|；從而可求出實(shí)數(shù)a的取值

范圍.

[詳解]設(shè)9（T）=/（又+2）=1。83（3*+3-，

因?yàn)?（_x）=1。由（3."+3,=g（x]

所以9（幻為偶函數(shù),

所以尼+2）的圖象關(guān)于直線30對稱，

所以八口的圖象關(guān)于直線'=2對稱，

設(shè)y=3"+3二則y=3?ln3-3Fn3=（3?-3-少嗎

令八。,貝產(chǎn)一廠＞。，得x＞。，

所以y=3*+3T在（0,+8）上遞增，

因?yàn)楹瘮?shù)y=1°圖”在定義域上單調(diào)遞增，

所以以外在⑼+8）單調(diào)遞增,

所“（外在口+8）單調(diào)遞增，

因?yàn)閒（…）Nf（2a+1）

所以1。一1一2|?|20+1-2|,

所以（a-3）223-1）;化簡得（a+2）（3a-4）4。，解得々。今.

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為卜2'A

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件判斷出外”）的圖象關(guān)于直線

”=2對稱，在［2，+8）單調(diào)遞增，從而可求解不等式.

【變式1-111.（2023?湖南常德?常德市一中校考模擬預(yù)測）定義在氏上的可導(dǎo)函

數(shù)f（X）滿足?。?f（7）7（/+廣），且在9+8）上有八好十苗<°若實(shí)

數(shù)a滿足f（2a）-&+2）-2aL“+ae—+2?！?gt;C貝“a的取值范圍為

（）

A卜闊R已+8）（_8,一即［2,+8）（-oo,2|

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)以幻，利用偶函數(shù)的定義及導(dǎo)數(shù)法的正負(fù)與函數(shù)

的單調(diào)性的關(guān)系，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】由向一fS）=?+C,得/㈤?；=/（?x）?.

令g（x）=f（x）-i則g（x）=g（7）,即g（x）為偶函數(shù)

又XW9+8）時(shí)g（X）=f（X）+3<0

所以。(幻在(°，+⑼上單調(diào)遞減

山f(2。)-f(a+2)-2碇一"+碇-°T+2e-ft-2>C殂

田，伶

r(2a)-^>/(a+2)-^g(2a)Ng(a+2)

94口?

又g(”為偶函數(shù)，

所以9(|2a|)>9(|a+2|),

所以|2a|M|a+2|,即4a24a?+4a+4,解得一拉。42,

所以a的取值范圍為卜滔.

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決此題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)儀制，利用偶函數(shù)定義和導(dǎo)數(shù)法

求出函數(shù)的單調(diào)性，再利用偶函數(shù)和單調(diào)性即可解決抽象不等式.

【變式1-112.(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)

f(x)=sin(x-l)+尸】一日-x+4則滿足f(%)+/(3-2x)<6的力的取值

范圍是()

A.(3,+8)B.(…)c.(―8閉D.(-8，1)

【答案】B

［分析］構(gòu)造g3?=sin“+eX_er_x,x€R,發(fā)現(xiàn)為奇函數(shù)，然后“均是

以外向右平移1個(gè)單位長度，向上平移3個(gè)單位長度，可得"幻的對稱中心為

。'刃，能得到6='3+〃2-町通過求導(dǎo)可發(fā)現(xiàn)的在R上單調(diào)遞增，繼而

求解不等式

【詳解】解：假設(shè)g(%)=sinx+eX_er_x,%WR,

所以9(一%)=sin(-x)4-e-x-ex+x,所以g(%)+g(—％)=0,

所以以幻為奇函數(shù)，

=sin（x-1）+尸】一廠-Q-1）+3是以乃向右平移1個(gè)單位長度,

向上平移3個(gè)單位長度，所以“外的對稱中心為（1%所以6=f（幻+〃2-”）,

由f(x)=sin(x-1)+^-1一e】r—%+4求導(dǎo)得

/(x)=cos(x-1)+e*-1+e1-x-1=^-1+^FT+COS(X—1)—1

因?yàn)?."卜三"「當(dāng)且僅當(dāng)二餐打即“】，取等號,

所以f（X）>0所以“幻在R上單調(diào)遞增,

因?yàn)閒(%)+/(3-2x)<6=/(x)+f(2-欠)得f(3-2x)<f(2-x)

所以3-2%〈2-工，解得4>1

故選：B

【變式1-113.12023?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)

f(x)=尸'+…+f-25若不等式f(2-s)V/(1+3)對任意X6A恒成

立，則實(shí)數(shù)0的取值可能是（）

-4一二y/23夜

A.B.-C.vzD.

【答案】BC

【分析】令1="一得到g?）=〃+廣+/t,推得g⑴為偶函數(shù)，得到“幻

的圖象關(guān)于”=1對稱，再利用導(dǎo)數(shù)求得當(dāng)">1時(shí)，"幻單調(diào)遞增，當(dāng)“<1時(shí),

外口單調(diào)遞減，把不等式轉(zhuǎn)化為11一。.〈二+2恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì),

即可求解.

［詳解］由函數(shù)八乃=^7+°'7+爐.

令￡=無一1,則、=t+L可得。?=/+小+/_1

可得9(-0=e-e+ef+(-t)2-1=0，+°一+百-1=g(t)

所以9"）為偶函數(shù)，即函數(shù)外口的圖象關(guān)于、=1對稱,

又由g?)=+2f令9。)=P(0=e'_Lf+2i

可得"⑴='+「+2>°,所以S?為單調(diào)遞增函數(shù)，且W°)=°,

當(dāng)時(shí)，9⑴°⑴單調(diào)遞增，艮『>1時(shí)，”幻單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，g?)<°,9⑴單調(diào)遞減，即又<1時(shí)，外幻單調(diào)遞減，

由不等式"2-*<"X2+3),可得|2-。又一1|<|二+3-1|,即

|1-ax\<X2+2

所以不等式以一°幻<"2+2恒成立，即一爐一2<ax-l<爐+2恒成立，

(x2+ax+l>0,

所以小-0義+3>0的解集為R,所以a_4Vo且(_a)?_12<0.

解得-2<a<2,結(jié)合選項(xiàng)，可得BC適合.

故選：BC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用換元法設(shè)「=文-1,從而得到

g(')=U+MT,證明其為偶函數(shù)，則得到向的圖象關(guān)于X=1對稱,

再結(jié)合其單調(diào)性即可得到不等式組，解出即可.

【變式1-114.(2021.廣西.廣西師范大學(xué)附屬外國語學(xué)校校考模擬預(yù)測)設(shè)，(幻

是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)無‘。時(shí)，"0=1缶>1).若對任意的

x€[0J>+l]均有"x+b)N.(x)則實(shí)數(shù)石的最大值是()

A.'B.'C.°D.】

【答案】B

【解析】利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)易得時(shí)尸(幻="2幻，進(jìn)而根據(jù)偶函數(shù)的性

質(zhì)和函數(shù)在"-°上的單調(diào)性，將不等式很成立問題轉(zhuǎn)化.+引22》對任意的

”￡1°力+叫亙成立，若"K°,易于得出矛盾，在時(shí)利用不等式恒

成立的意義不難求得”的最大值.

［詳解］當(dāng)文￡［0力+1）時(shí)尸（幻=g"）2=口〃=八2》），

若對任意的*61°力+”,均有"x+"）N尸W即為〃”+「）Nf（2x）

由于0>L當(dāng)'-°時(shí)，,⑴="為單調(diào)遞增函數(shù)，

又??,函數(shù)f（%）為偶函數(shù)，

.JQ+b）>〃2為等價(jià)于|x+b|>|2x|即比+b|22*（...xG［0J>+1］）

由區(qū)間的定義可知°>T，若、+打N0,于是'+bN2x,即b>",

由于”的最大值為°+L故°-x顯然不可能恒成立；

???b+xV0,.?.x+b4-2x即又4一朗./+1?一如即b；

3

故"的最大值為-4

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立問題，涉及指數(shù)函數(shù)，函數(shù)的奇偶性，分類討論

思想，關(guān)鍵是無2°時(shí)產(chǎn)（幻=八2幻，化歸為"x+b）2f（2?,再利用偶函數(shù)和

單調(diào)性轉(zhuǎn)化為以+引22x對任意的、6［。力+1］恒成立，注意對x+上的符號的分

類討論.

【變式1-1］5.（2020?湖南邵陽?統(tǒng)考三模）已知函數(shù)是定義在*的偶函數(shù)，

且在區(qū)間回+◎上單調(diào)遞減，若實(shí)數(shù)嗨足"'°830）+'（"8甘）'2〃4,則實(shí)

數(shù)°的取值范圍是

【答案】K'S

【分析】先利用偶函數(shù)的性質(zhì)將不等式化簡為“gg33）Nf（l）,再利用函數(shù)在

1°'+8）上的單調(diào)性即可轉(zhuǎn)化為Hog3al工1,然后求得。的范圍.

【詳解】因?yàn)閒（X）為R上偶函數(shù),則f（x）=f（7）=f（|x|）,

，（1。呼）=/（-log3a）=f（log3fl）=/（|log3a|）

所以1,

所以f（l°g⑺+/（logia）=2f（Rog3a|）>2/（1）即用嗚。口>,⑴

因?yàn)?乃為［“+8）上的減函數(shù)，11083H>0,1>0所以Ilog劃<1,

解得-1<log3a<1所以W3,。的范圍為匕萬］

【點(diǎn)睛】1.函數(shù)值不等式的求法：（1）利用函數(shù)的奇偶性、特殊點(diǎn)函數(shù)值等性質(zhì)

將函數(shù)值不等式轉(zhuǎn)化為與"打）大小比較的形式：“叼）>〃孫1

（2）利用函數(shù)單調(diào)性將“打）>/（叼）轉(zhuǎn)化為自變量大小比較的形式，再求解不

等式即可.

2.偶函數(shù)的性質(zhì)J（”）=〃T）=f（叫奇函數(shù)性質(zhì)「左）=〃_6；

x

3.若f（）在D上為增函數(shù)，對于任意文"2W都有必<&=f（M）</（x2）.

若"X）在D上為減函數(shù)，對于任意卬MW0,都產(chǎn)<Mo,（M）>,（孫）

題型2利用奇偶性、周期性對稱性求值

函數(shù)周期性的常用結(jié)論與技巧

設(shè)函數(shù)y=f（”、€跖a>°.

①若〃X+a）=f（X_a）,則函數(shù)的周期T=2a；

②若〃x+G=_f（x）,則函數(shù)的周期T=2a；

③若一網(wǎng)則函數(shù)的周期'=2a；

④若r（"+Q）一甌則函數(shù)的周期7=2。；

⑤/白+可=/仁+%則函數(shù)的周期/二舊一川

【例題2］（2022?全國?高三階段練習(xí)）已知函數(shù),⑶也（幻是定義在R卜的偶函數(shù),

。(3)=2,若對任意”6R,都有，a+6)=f(%)+f(3),對任意…WR且

m+n=4,都有g(shù)(他)=g(n；則f(99)+g(99)=

【答案】2

【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)”燈國(約的周期性，再利用性質(zhì)計(jì)算作答.

【詳解】因函數(shù)"幻是K上的偶函數(shù)，旦任意“*上都有,(v+6)=f(箕)+f(3),

則當(dāng)。=-3時(shí)，f(3)=f(-3)+f(3)=2f(3；即f(3)=0有f(%+6)=f。),

則是以6為周期的周期函數(shù)，=f(16X6+3)=f(3)=°,

又函數(shù)(幻是R上的偶函數(shù)，且任意叫n€R且^+九二匕都有g(shù)(m)=g(n；

G

則對V"R，g@)=g(4—Q=g(%—4),函數(shù)。(幻是以4為周期的周期函數(shù)，

g(99)=g(24X4+3)=g(3)=2,所以f(99)+g(99)=2

故答案為：2

【變式2-111.(2()23?全國?高三專題練習(xí))己知定義域?yàn)閰^(qū)的函數(shù)"乃存在導(dǎo)函

數(shù)人盼，且滿足八一％)=〃0次4一切="一。則曲線y=f&)在點(diǎn)

(2022/(2022))處的切線方程可能是()

Ay="B.y=°c.y』+iD.y=—”+i

【答案】B

【分析】利用“乃是偶函數(shù)、周期為4,得“乃關(guān)于”=2對稱，”=2°22是〃%)

的對稱軸，即”=202組f⑺的極值點(diǎn)，從而八2022)=0,可得答案

【詳解】以幻的定義域?yàn)椤暧砂艘换?"乃可知，"盼是偶函數(shù)，

由f(4—)=f(7可知，川)周期為％

因?yàn)橄?f(7=/(4-2故f⑺關(guān)于x=2軸對稱，

又因?yàn)?°22=2+505X4“"=2°22也是向的對稱軸，

因?yàn)?出在R上存在導(dǎo)函數(shù),⑴，

所以x=2022是f（%）的極值點(diǎn),

即"2022）=0曲線y=f&）在點(diǎn)（2°22,f（2022））處的切線斜率為0,

故切線方程可能為y=°

故選：B.

【變式2-1】2.（多選）（2022?