線性二次型最優(yōu)調節(jié)器

第六章

線性二次型最優(yōu)調節(jié)器二次型性能指標簡介

有限時間狀態(tài)調節(jié)器問題

無限時間狀態(tài)調節(jié)器問題

定常狀態(tài)調節(jié)器問題

漸進穩(wěn)定的定常狀態(tài)調節(jié)器問題

非規(guī)范調節(jié)器問題

輸出調節(jié)器問題

跟蹤性問題

例題

目錄J=F:n

n

半正定對稱常數(shù)的終端加數(shù)矩陣Q:n

n

半正定對稱時變的終態(tài)加數(shù)矩陣R:m

m

正定對稱時變控制加數(shù)矩陣

,固定。

第一項是末值項，稱為終端代價，它實際是對終端狀態(tài)提出一個合乎需要的要求，表示在給定的終端時間到來時，系統(tǒng)的終態(tài)接近預定終態(tài)的程度。一，二次型性能指標簡介

積分項是一項綜合指標，積分中的第一項

表示對狀態(tài)的要求，可用它來衡量整個控制期間系統(tǒng)的給定狀態(tài)與實際狀態(tài)之間的綜合誤差，若表示誤差向量，則該項為用來衡量誤差大小代價函數(shù)。積分項中的第二項表示動態(tài)過程對控制的約束，即對控制過程總能量的限制。兩個積分項實際上是相互制約的，若要求控制狀態(tài)的誤差平方積分減小，必然會導致控制能量的增加，反之為了節(jié)省控制能量，就得犧牲對控制性能的要求。所以求兩積分項之和的極小值，實際上是求在狀態(tài)衰減速度與控制過程的消耗的能量之間的折中，通過對R(t)和Q(t)的選擇，可以實現(xiàn)對系統(tǒng)性能和控制能量的限制。

有限時間狀態(tài)調節(jié)器問題系統(tǒng)試求得狀態(tài)從轉移到，且使為極小的最優(yōu)控制假定：(1)不受約束。

(2)Q(t),R(t)分別為非負定對稱陣和正定對稱陣，F(xiàn)為非負定對稱常數(shù)陣。

若A(t),B(t),Q(t)和R(t)的元是連續(xù)有界函數(shù)，則問題必有解，最優(yōu)控制存在且唯一，并且有狀態(tài)線形反饋形式，即其中P(t)為Ricati方程。

的解，最優(yōu)性能指標為P(t)的性質:(1)當A(t),B(t),R(t)的元連續(xù)有界時，P(t)在上唯一存在

(2)P(t)為對稱矩陣，即

(3)P(t)為非負定矩陣

(4)若成立，則即P(t)平調增加。

(5)對任意,有成立。

無限時間狀態(tài)調節(jié)器問題完全能控線性時變系統(tǒng)二次型性能指標:

假定同有限時間狀態(tài)調節(jié)器，則最優(yōu)控制存在且唯一。其中

它是如下Ricati方程非負定解最優(yōu)性能指標為:

四定常狀態(tài)調節(jié)器問題已知完全能控線性定常系統(tǒng)二次性能指標:

除滿足無限時間狀態(tài)調節(jié)器問題所作假設外，還假定A,B,Q和R為常數(shù)矩陣，則存在，且為常數(shù)矩陣，它為代數(shù)Ricati方程非負定對稱解，或者是Ricati微分方程

的穩(wěn)態(tài)解。最優(yōu)控制為狀態(tài)的定常線性反饋最優(yōu)指標為

五漸進穩(wěn)定的定常狀態(tài)調節(jié)器問題對定常狀態(tài)調節(jié)器問題，若[A,B]能穩(wěn)定，[A,D]能觀測，其中D是使成立的任意矩陣，則

(1)以零位初始條件的Ricati方程式(6-3)的解，當時，收斂于非負定常矩陣，且它是滿足代數(shù)Ricati方程(6-2)的唯一非負定解。

(2)閉環(huán)系統(tǒng)特征值均有負實P，即從而保證閉環(huán)系統(tǒng)漸進穩(wěn)定。

(3)最優(yōu)控制及性能指標為六非規(guī)范調節(jié)器問題給定線性系統(tǒng)狀態(tài)方程和初始條件

二次型性能指標其中R為正定矩陣，且(正半定，非負定)，不受約束，求，使為最小將非規(guī)范調節(jié)器轉為規(guī)范調節(jié)器問題

令則原系統(tǒng)和性能指標變?yōu)榈葍r形式根據(jù)調節(jié)器理論有:

其中P是如下Ricati方程及邊界條件的解

原來問題最優(yōu)控制

最優(yōu)性能指標輸出調節(jié)器問題

1.有限時間輸出調節(jié)器問題已知線性時變系統(tǒng)狀態(tài)方程和初始條件分別為，性能指標:

其中不受約束，；F非負定對稱矩陣；R(t),Q(t),A(t),B(t)連續(xù)有界，O(t),R(t)分別為非負定，正定對稱矩陣，[A(t),C(t)]完全能觀測，則最優(yōu)控制存在唯一，且有下試確定:

其中Ｐ為下列Ricati方程唯一非負定解最優(yōu)狀態(tài)是下式的解:最優(yōu)性能指標

2.定常輸出最優(yōu)調節(jié)器

已知性能指標當[A,B]完全能控，[A,C]完全能觀測，Q,R分別為非負定和正定對稱矩陣，則

其中P為Ricati代數(shù)方程正定對稱解。閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程為最優(yōu)性能指標為:八跟蹤性問題

1.時變線性最優(yōu)調節(jié)器

設，定義，為預期輸出向量，求，使最小，F(xiàn),Q(t),R(t)含義同前，則

其中P(t),g(t)滿足下列微分方程

最優(yōu)性能指標其中滿足下列方程及邊界條件:2.線性定常跟蹤問題，求，使

取極小，其中

,Q,R分別為非負定常數(shù)和正定常數(shù),當足夠大且為有限時，即使結果為式中P,g滿足最優(yōu)軌線為

第六章例題給定一階受控系統(tǒng)現(xiàn)在取性能指標函數(shù)為，試求及并對閉環(huán)響應與的關系進行分析解:A=1,B=1,F=0,Q=1,R=,屬定常無限時間調節(jié)器問題，將已知數(shù)代入代數(shù)Ricati方程得解得考慮P為非負定，取而

將式(1)代入狀態(tài)方程，有即解得:由此可見，越小，響應越快，越大，響應越慢2.已知一階系統(tǒng)狀態(tài)方程，初始條件和性能指標分別為求使J極小的最優(yōu)軌線解:B=1,Q=2,R=1,F=10,有限時間狀態(tài)調節(jié)器的最優(yōu)控制為其中P是下列Ricati方程的解。即

邊界條件為P(1,1)=10,積分

經整理得:代入式(1)

代入狀態(tài)方程積分并由初始狀態(tài)得3.受控系統(tǒng)，性能指標為試闡述選擇的物理意義解:

由于性能指標函數(shù)為

將代入上式，有這是定常系統(tǒng)有限時間輸出調節(jié)器問題，其中輸出變量加權矩陣和控制變量加權矩陣均為單位陣。4.設線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

,初始條件為,試求使性能指標取極小值的最優(yōu)