教育統(tǒng)計(jì)學(xué) 課件第11次-推斷統(tǒng)計(jì)的基本概念與參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)；第12次-相關(guān)分析及其應(yīng)用

教育統(tǒng)計(jì)學(xué)推斷統(tǒng)計(jì)的基本概念與

參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)學(xué)部本科科生課課程

北京師范大學(xué)教育學(xué)部胡詠梅統(tǒng)計(jì)學(xué)、描述統(tǒng)計(jì)、推斷統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)的原理與步驟單樣本的t檢驗(yàn)兩個(gè)獨(dú)立樣本的t檢驗(yàn)配對(duì)樣本的t檢驗(yàn)3o

統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門收集、整理、顯示和推理分析數(shù)據(jù)的科學(xué)，其目的是探

索數(shù)據(jù)內(nèi)在的數(shù)量規(guī)律性。o

簡(jiǎn)言之，統(tǒng)計(jì)學(xué)是收集、處理、分析、解釋數(shù)據(jù)并從數(shù)據(jù)中得出結(jié)論的科學(xué)。

描述統(tǒng)計(jì)

推斷統(tǒng)計(jì)1.統(tǒng)計(jì)學(xué)的概念

o

描述統(tǒng)計(jì)（descriptive

statistics)：研究如何整理原始數(shù)據(jù)資料，描述數(shù)

據(jù)的全貌的方法

。o目的在于使得雜亂無章的數(shù)據(jù)更好地顯示出事物或現(xiàn)象的某些特征，

有助于說明事物或現(xiàn)象的本質(zhì)。描述統(tǒng)計(jì)的概念

o

集中趨勢(shì)（算數(shù)平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、幾何平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等）o

離散趨勢(shì)（方差、標(biāo)準(zhǔn)差、四分位差、極差、差異系數(shù)等）o

數(shù)據(jù)分布的表與圖（頻數(shù)分布表、分組頻數(shù)分布表、累計(jì)頻數(shù)分布表、

條形圖、餅圖、直方圖等）描述統(tǒng)計(jì)的方法o

推斷統(tǒng)計(jì)（inferential

statistics)：研究如何利用樣本數(shù)據(jù)推斷總體特征

的統(tǒng)計(jì)學(xué)方法。o

嚴(yán)格地說，推斷統(tǒng)計(jì)是一種依據(jù)隨機(jī)樣本數(shù)據(jù)，從局部推斷總體，即對(duì)

總體的某些特征進(jìn)行推斷、估計(jì)和預(yù)測(cè)。推斷統(tǒng)計(jì)學(xué)主要包括參數(shù)估計(jì)

、假設(shè)檢驗(yàn)和多元統(tǒng)計(jì)分析三部分。推斷統(tǒng)計(jì)的概念o

對(duì)于數(shù)字特征量的估計(jì)（參數(shù)估計(jì)：點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì)）o

對(duì)于單樣本或兩個(gè)樣本的總體特征參數(shù)取值特點(diǎn)的假設(shè)

（H0

:μ

=

μ0

;

H0

:

μ1

=

μ2)o

多個(gè)樣本所來自的總體均值是否相等（方差分析，ANOVA）o

變量間關(guān)聯(lián)性的預(yù)測(cè)（相關(guān)分析）o

將變量關(guān)系模型化（回歸分析）o

對(duì)未來觀察的預(yù)測(cè)（時(shí)間序列分析）o

數(shù)據(jù)挖掘（如聚類分析、探索性因子分析等）推斷統(tǒng)計(jì)的方法o

基本概念o

假設(shè)檢驗(yàn)是根據(jù)樣本信息來判斷總體分布是否具有指定特征的統(tǒng)計(jì)推

斷方法。2.假設(shè)檢驗(yàn)的原理與步驟o

基本概念o

根據(jù)檢驗(yàn)假設(shè)時(shí)是否需要利用總體分布形態(tài)方面的信息，假

設(shè)檢驗(yàn)可分為參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)和非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)兩大類。o

參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)是在總體分布形態(tài)已知時(shí)，對(duì)總體某個(gè)未知參

數(shù)值的假設(shè)所作的檢驗(yàn)。2.假設(shè)檢驗(yàn)的原理例如，已知某個(gè)樣本的均值為

μ0

，它來自一個(gè)正態(tài)總體（

X

~

N(μ,σ

2

)），其中μ未知，問是否有理由說它來自均值為

μ0

的正態(tài)總體？檢驗(yàn)假設(shè)：μ

=

μ0參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)已知兩個(gè)相互獨(dú)立的樣本，它們分別來自兩個(gè)正態(tài)總體(X1

~N(μ1

,

σ

)，X2

~N(μ2

,

σ

)），其中μ1

、σ1

，μ2

、σ2

均是未知數(shù)，

能否說這兩個(gè)總體的均值相等或方差相等？檢驗(yàn)假設(shè)：μ1

=

μ2

或σ

=

σ22122212參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)是在總體分布形態(tài)未知（其實(shí)也不需要知道總體的分布形態(tài)）的情況下，對(duì)總體分布函數(shù)的類型或它的某些特征提出某種假設(shè)

所進(jìn)行的檢驗(yàn)。檢驗(yàn)?zāi)硺颖舅鶎倏傮w是否服從正態(tài)分布；檢驗(yàn)兩個(gè)樣本所屬總體的分布

是否相同；檢驗(yàn)兩個(gè)樣本來自的總體取值的平均狀況是否有顯著性差異

等等。非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)o

零假設(shè)是關(guān)于當(dāng)前樣本所屬的總體（在參數(shù)值或分布形式方面）與原設(shè)總體（在參數(shù)值或分布形式方面）無區(qū)別的假設(shè)。它往往是研究者

根據(jù)樣本信息期待拒絕的假設(shè)。一般用H0表示零假設(shè)。o

例如H0：樣本所屬總體服從正態(tài)分布。零假設(shè)和備擇假設(shè)o

備擇假設(shè)是指與零假設(shè)相互對(duì)立的假設(shè)。它是關(guān)于當(dāng)前樣本所屬總體（在參數(shù)值或分布形式方面）與原設(shè)總體（在參數(shù)值或分布形式方面）不同的假設(shè)。而且它是當(dāng)否定了零假設(shè)之后，應(yīng)當(dāng)接受的假設(shè)。一般用

H1表示備擇假設(shè)。o

例如，H1：樣本所屬總體不服從正態(tài)分布。備擇假設(shè)

o

先建立一個(gè)零假設(shè)H0

，然后在H0成立的條件下，看看會(huì)產(chǎn)生什么樣的后果。如果經(jīng)過一系列正確的邏輯推理和分析計(jì)算之后，導(dǎo)致了一個(gè)

不合理的現(xiàn)象出現(xiàn)，就有理由認(rèn)為原先的零假設(shè)H0

是錯(cuò)誤的，應(yīng)當(dāng)否

定H0；如果沒有出現(xiàn)不合理的現(xiàn)象，那我們就沒有充分的理由否定H0。

所以，就應(yīng)當(dāng)接受H0。假設(shè)檢驗(yàn)的基本思路o

小概率事件在一次試驗(yàn)中不可能發(fā)生。

o

如果在一次試驗(yàn)中，小概率事件居然發(fā)生了，我們就認(rèn)為是不合理的現(xiàn)

象，就有充分的理由懷疑其零假設(shè)的前提是不正確的，因而應(yīng)當(dāng)拒絕零

假設(shè)。不合理的現(xiàn)象

o

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，一般是將概率小于或等于α的事件，稱為小概率事件。o

通常規(guī)定α=0.05或α=0.01。o

在假設(shè)檢驗(yàn)中，零假設(shè)是否成立與α的大小是有關(guān)系的，稱α為顯著性

水平。小概率事件o

在假設(shè)檢驗(yàn)中，

“小概率事件”是指樣本統(tǒng)計(jì)量的值在其抽樣分布上出現(xiàn)的概率小于或等于事先規(guī)定的顯著性水平α

,

這時(shí)，就認(rèn)為小概率

事件發(fā)生了。把出現(xiàn)小概率的隨機(jī)事件稱為小概率事件。小概率事件

例8-1：某高校對(duì)男、女生每日平均鍛煉時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，分別隨機(jī)抽取了20名男同學(xué)和女同學(xué)，他們平均日鍛煉時(shí)間數(shù)據(jù)（單位：小時(shí)）如下表。（8.

1）(7.16)其中n=20

，即統(tǒng)計(jì)量服從自由度為2n-2的t分布。此時(shí)，若選定

α=0.05，則對(duì)于滿足概率

P{|t

|>

tα

/

2

(2n

一

2)}

=

α

的臨界值tα/2(2n-2)

，可查t分布表df=30和df=40時(shí)的臨界值,并估算出tα/2(38)≈2.025。我們可以計(jì)算出:

因?yàn)樾「怕适录?/p>

|t|>2.025”發(fā)生了，所以，拒絕H0

:

μ1

=

μ2

，接

受其備擇假設(shè)

H1

:

μ1

≠

μ2

，即認(rèn)為該校男女生日平均鍛煉時(shí)間是有顯著

差異的。由式（8.

1）所確定的統(tǒng)計(jì)量t的值域{t:|t|>

tα

/

2

(2n

-

2)}我們稱之為

H0

:

μ1

=μ2

的拒絕域，它的余集{t:|t

|≤tα

/

2

(2n

-

2)}

被稱為H0

的接受域。即當(dāng)樣本統(tǒng)計(jì)量t的值落入拒絕域時(shí)，我們要拒絕零假設(shè)H0

；當(dāng)樣本統(tǒng)計(jì)

量t的值落入接受域時(shí)，我們要接受H0

，即認(rèn)為

H0

:

μ1

=

μ2是相容的。拒絕域和接受域

1.建立零假設(shè)，如前例

H0

:

μ1

=

μ2

。2.在假定零假設(shè)成立的前提下，選擇合適的檢驗(yàn)方法及檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。3.計(jì)算給定樣本的統(tǒng)計(jì)量值。4.選定顯著性水平α

,

查統(tǒng)計(jì)量所服從的分布表來確定臨界值，從而確定H0

的拒絕域和接受域。5.對(duì)H

0

作出判斷。將臨界值與樣本統(tǒng)計(jì)量值相比較，若統(tǒng)計(jì)量值落在H0

的拒絕域中，則拒絕H0

；若統(tǒng)計(jì)量值落在H0

的接受域中，則接受H0。23假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟o

Analyze——Compare

Means（均值比較）——T

test（T檢驗(yàn)）

按不同的比較方式，T

test分為3個(gè)子過程：o

One-Sample

T

Test(單樣本的T檢驗(yàn))o

Independent-Samples

T

Test（獨(dú)立樣本的T檢驗(yàn)）o

Paired-Samples

T

Test（配對(duì)樣本的T檢驗(yàn)）。參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)的SPSS模塊單樣本的T檢驗(yàn)是檢驗(yàn)來自正態(tài)總體的一個(gè)樣本的總體均值與一個(gè)給定常數(shù)之間的差異是否顯著，即檢驗(yàn)假設(shè)

H0

:

μ

=μ0

是否成立，這里μ

、μ0

分別為總體均值和給定的常數(shù)。

3.單樣本的t檢驗(yàn)設(shè)

x1

、x2

…，xn

是來自正態(tài)總體N(μ,σ2

)

的樣本，其中

μ

和σ

均未知。如果假設(shè)H0

:

μ

=

μ0

成立，則由（7.8）知，統(tǒng)計(jì)量

（8.2）服從自由度為n-1的t分布，其中

X

、S

2

分別為樣本均值和樣本方差，n

為樣本容量。若

|t

|>tα

/

2

(n—1)，則拒絕

H0

；若

|t

|≤tα

/

2

(n—1)

，則接受

H0

。3.單樣本的

t檢驗(yàn)例8-20?8-1.sav?Analyze→Compare

Means→

One-Sample

T

Testo

兩個(gè)獨(dú)立樣本的T檢驗(yàn)是用以檢驗(yàn)服從正態(tài)分布的且相互獨(dú)立的兩個(gè)樣本的總體均值之間的差異是否顯著的假設(shè)檢驗(yàn)問題。設(shè)有兩個(gè)服從正態(tài)分布的相互獨(dú)立的總體X和Y，X

~

N

(

μ1,

σ

12

)

,Y

~

N

(

μ2

,

σ

)。分別從這兩個(gè)總體中抽取兩個(gè)

隨機(jī)樣本：x

1

、x

2

…，x

n

1

，y

1

、y

2

…，y

n

2

。通過這兩個(gè)樣本的數(shù)據(jù)信息來推斷出兩個(gè)總體均值差異是否顯著的結(jié)論，即需要檢驗(yàn)假

設(shè)

H

0

:

μ

1

=

μ

2

。224.兩個(gè)獨(dú)立樣本的t檢驗(yàn)在未知兩個(gè)總體的方差信息時(shí)，必須先通過F檢驗(yàn)來考察一下兩總體方差之間的差異是否顯著，即要先對(duì)兩總體方差進(jìn)行齊性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)假設(shè)

H0

:

σ

=

σ

。22124.兩個(gè)獨(dú)立樣本的t檢驗(yàn)

如果假設(shè)

H0

:

σ

=

σ

成立，則統(tǒng)計(jì)量S

2

2212方差齊性檢驗(yàn)（1）如果其相伴概率p≤

α

,

則拒絕H0

:

σ

=

σ

，即認(rèn)為兩個(gè)正態(tài)總體的方差差異顯著。此時(shí)，對(duì)于H0

:

μ1

=μ2，我們需要進(jìn)行方差非齊性下的T檢驗(yàn)，構(gòu)造如下

的t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：

令

，

則上式中的自由度

O

=

如果t統(tǒng)計(jì)量的相伴概率p≤α

,

則拒絕H0

:

μ1

=

μ2

；否則，接受H0

.2212方差非齊性下的兩個(gè)獨(dú)立樣本的T檢驗(yàn)

（2）如果統(tǒng)計(jì)量F的相伴概率p>α

,

則接受H0

:

σ

=

σ

，即認(rèn)為兩個(gè)總體的方差相等。此時(shí)，對(duì)于H0

:

μ1

=

μ2，我們進(jìn)行方差齊性下的T檢驗(yàn)，

構(gòu)造如下的t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：

如果t統(tǒng)計(jì)量的相伴概率p≤α

,

則拒絕H0

:

μ1

=

μ2

；否則，接受

H0

。2212方差齊性下的兩個(gè)獨(dú)立樣本的T檢驗(yàn)例8-3某小學(xué)對(duì)五年級(jí)學(xué)生開展語文教學(xué)改革試驗(yàn),選取甲、乙兩個(gè)平行班作試點(diǎn),每班各25人。甲班用傳統(tǒng)的教師講授的教學(xué)方法,

乙班采取學(xué)生

自學(xué)和師生相互討論的新的教學(xué)方法。一學(xué)年后,用同一份試題對(duì)兩個(gè)班

的學(xué)生進(jìn)行語文測(cè)驗(yàn),得到的成績(jī)?nèi)缦卤硭尽?這兩種教學(xué)方法的效果

是否有顯著性差異(α=0.01)?

數(shù)據(jù)文件8-2.sav

學(xué)生語文成績(jī)記為變量score

，分組變量名為tmehod

，其值為“

1”,表

示為傳統(tǒng)教學(xué)法，其值為“2”

，表示為新教學(xué)法(變量值標(biāo)簽為：1=“傳統(tǒng)教學(xué)法”

，2=“新教學(xué)法”)。

Analyze→Compare

Means→Independent

Samples

T

Test

…方差齊性下的兩個(gè)獨(dú)立樣本的T檢驗(yàn)

方差齊性檢驗(yàn)（Levene檢驗(yàn)）：F統(tǒng)計(jì)量的值為0.641

，其相伴概率為p=0.427>0.05

。因此，采用兩種不同教學(xué)方法下學(xué)生的語文成績(jī)變量

的方差是齊性的。在T檢驗(yàn)結(jié)果中應(yīng)該選擇Equal

variances

assumed（假設(shè)方差相等）一行的數(shù)據(jù)作為此例的T檢驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)（如若

Levene檢驗(yàn)結(jié)果表明方差非齊性，在T檢驗(yàn)結(jié)果中應(yīng)該選擇Equal

variances

not

assumed一行的數(shù)據(jù)作為T檢驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)）。

t統(tǒng)計(jì)量的值為

-2.804

，相伴概率為p=0.007<0.01

，因而拒絕零假設(shè)，即得出采用兩種教學(xué)方法下學(xué)生語文成績(jī)存在顯著性差異的結(jié)論。結(jié)論?第二個(gè)表格還給出Mean

Difference

兩組均值之差，值為-8.480

，即采用新教學(xué)法下學(xué)生的語文成績(jī)比采用傳統(tǒng)教學(xué)法的學(xué)生的語文成績(jī)高8.480

分。?Std.Error

difference差值的標(biāo)準(zhǔn)誤為3.02465

。兩種教學(xué)方法下學(xué)生語文成

績(jī)得分均值之差的95%的Confidence

Interval

of

the

Difference置信區(qū)間[-

16.59274

，-0.36726]也列在該表中。結(jié)論o

進(jìn)行配對(duì)樣本的T檢驗(yàn)要求被比較的兩個(gè)樣本具有顯著的相關(guān)關(guān)系，而

且它們的樣品能搭配成對(duì)。o

一類配對(duì)樣本是對(duì)同一組被試對(duì)象在實(shí)驗(yàn)前后兩次測(cè)試所獲得的數(shù)據(jù)；o

另一種配對(duì)樣本是按某些條件基本相同的原則，經(jīng)過一一配對(duì)而成的兩

組被試對(duì)象，實(shí)施不同的實(shí)驗(yàn)處理之后，所得到的兩組測(cè)試結(jié)果數(shù)據(jù)。5.配對(duì)樣本的t檢驗(yàn)

配對(duì)樣本的T檢驗(yàn)實(shí)際上就是比較不同處理的效果差異是否顯著，即檢驗(yàn)服從正態(tài)分布的配對(duì)樣本的總體均值是否相等，即

H0

:

μ1

=μ2其檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

其中n為樣品對(duì)數(shù)。X

1、X2

分別為兩個(gè)樣本的均值，S1

、S2

分別為兩個(gè)

樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，r

為兩個(gè)樣本的相關(guān)系數(shù)。如果該統(tǒng)計(jì)量的相伴概率p≤α

,

則拒絕

H0

:

μ1

=μ2

；如果p>α

,

則接受

H0

:

μ1

=

μ25.配對(duì)樣本的t檢驗(yàn)（Paired-SamplesT

Test

）o

例8-4

為了檢驗(yàn)?zāi)撤N識(shí)記方法的效能，對(duì)某班15名學(xué)生進(jìn)行了一周的識(shí)記訓(xùn)練，他們?cè)诮邮茏R(shí)記訓(xùn)練前后的識(shí)記成績(jī)?nèi)缦?，問這種識(shí)記訓(xùn)練

是否真的有效？

(α=0.05）5.配對(duì)樣本的t檢驗(yàn)（Paired-SamplesT

Test

）?數(shù)據(jù)文件：8-3.sav?學(xué)生在參加識(shí)記訓(xùn)練之前的測(cè)驗(yàn)成績(jī)記為變量prescore

，訓(xùn)練后的測(cè)驗(yàn)

成績(jī)記為變量postscore。?待檢驗(yàn)的假設(shè)為H0

:

μ1

=μ2?Analyze→Compare

Means→Paired→

Samples

T

Test

…46o

單擊Options按鈕?第一個(gè)表格給出了學(xué)生在進(jìn)行識(shí)記訓(xùn)練前后的測(cè)驗(yàn)成績(jī)變量prescore和postscore的描述性統(tǒng)計(jì)量：樣本容量N

，樣本均值Mean

，樣本標(biāo)準(zhǔn)差Std.Deviation以及樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤Std.ErrorMean

。從兩個(gè)樣本的均值和標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)據(jù)來看，它們的方差差異不大，而它們的均值有一定差異。這說明采用這種識(shí)記

訓(xùn)練后，學(xué)生的成績(jī)有一定提高。?第二個(gè)表格給出的是識(shí)記訓(xùn)練前后的測(cè)驗(yàn)成績(jī)之間的相關(guān)系數(shù)：Correlation=0

.

836

，相伴概率

p=0.000<0.05

，因此可以得出識(shí)記訓(xùn)練前后的測(cè)驗(yàn)成績(jī)之間存在顯著的線性關(guān)系的結(jié)論。?第三個(gè)表格給出的是配對(duì)變量差值的T檢驗(yàn)結(jié)果。均值之差為-6.000

，差值的標(biāo)準(zhǔn)差為8.39217

，差

值的均值標(biāo)準(zhǔn)誤為2

.

16685

。差值的95%置信區(qū)間下、上限為-10

.64743和-1

.35257

。t統(tǒng)計(jì)量的值為-

2.769

，其相伴概率為p=0.015<0.05

。因此，我們應(yīng)當(dāng)拒絕零假設(shè)，即得出識(shí)記訓(xùn)練前后學(xué)生的測(cè)驗(yàn)成績(jī)存在顯著性差異的結(jié)論。結(jié)論1.試述假設(shè)檢驗(yàn)的基本思路與一般步驟。2.某高校學(xué)生會(huì)欲通過調(diào)查學(xué)生平均每天上網(wǎng)時(shí)長(zhǎng)了解該校男女學(xué)生的業(yè)

余生活情況,分別隨機(jī)抽取了15名男女學(xué)生,他們平均每天瀏覽網(wǎng)頁的時(shí)間

數(shù)據(jù)(單位:分鐘)如下:試用數(shù)據(jù)文件“exe8-1.sav”計(jì)算能否據(jù)此數(shù)據(jù)就得出男學(xué)生與女學(xué)生

平均每天瀏覽網(wǎng)頁的時(shí)間不相等的結(jié)論。作業(yè)3.

已知某年級(jí)學(xué)生的語文成績(jī)X服從正態(tài)分布,即X~N

(μ0,σ2

),其中μ0=80,σ2

未知?，F(xiàn)從該年級(jí)某班隨機(jī)抽取20名學(xué)生的語文成績(jī),數(shù)據(jù)如下:

75,88,73,93,85,76,68,90,61,58,78,89,95,77,60,74,91,95,88,87試用數(shù)據(jù)文件“exe8-2.sav”檢驗(yàn)該班學(xué)生的平均語文成績(jī)是否達(dá)到80分

(α=0.05)。作業(yè)4.為了考察某種閱讀訓(xùn)練的效能,從某班學(xué)生中隨機(jī)抽取30名學(xué)生對(duì)他們

進(jìn)行閱讀測(cè)驗(yàn),然后讓他們接受這種閱讀訓(xùn)練。經(jīng)過一段時(shí)間的訓(xùn)練后,

又對(duì)這30名學(xué)生進(jìn)行了類似的閱讀測(cè)驗(yàn),兩次測(cè)驗(yàn)成績(jī)?nèi)缦?試用數(shù)據(jù)文件“exe8-3.sav”檢驗(yàn)閱讀訓(xùn)練前后的測(cè)驗(yàn)成績(jī)是否有顯著性

差異(α=0.05)。作業(yè)相關(guān)分析及其應(yīng)用學(xué)部本科生課程北京師范大學(xué)教育學(xué)部胡詠梅教育統(tǒng)計(jì)學(xué)相關(guān)概念常用的相關(guān)分析方法相關(guān)分析的SPSS過程相關(guān)分析在教育與心理研究中的應(yīng)用contentso

確定性關(guān)系：

是通常的函數(shù)關(guān)系

，如圓的面積與半徑之間的關(guān)系：

S=πr2o

非確定性關(guān)系：即相關(guān)關(guān)系。例如，人的身高與體重之間的關(guān)系。一、相關(guān)概念o

相關(guān)關(guān)系o

變量之間的數(shù)量關(guān)系不十分嚴(yán)格，但卻存在某種依存關(guān)系

。(如智商與

學(xué)生學(xué)業(yè)成績(jī)的關(guān)系)o

不等于因果關(guān)系（如數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)之間的相關(guān)關(guān)系）一、相關(guān)概念o

相關(guān)分析是研究變量間相互關(guān)系緊密程度的統(tǒng)計(jì)分析方法。即它是研

究?jī)蓚€(gè)或兩個(gè)以上變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系，如果存在相關(guān)關(guān)系，

其相關(guān)的性質(zhì)（線性相關(guān)或曲線相關(guān)；正相關(guān)或負(fù)相關(guān)）和程度如何。o

用圖示法和計(jì)算法來刻畫變量之間的相關(guān)關(guān)系。相關(guān)分析

o

相關(guān)關(guān)系的圖示，是用散點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的分布情況，來描述兩個(gè)變量聯(lián)系的緊密程度，這種圖稱為相關(guān)散點(diǎn)圖，又簡(jiǎn)稱為散點(diǎn)圖。圖示法散點(diǎn)圖o

數(shù)據(jù)文件9-1.savo

Graphs-Legacy

Dialogs-Scatter/dot

，選擇Simple

Scatter

，并單擊Defineo

例9-1

已知某校初二一班20名同學(xué)某次月考的數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī)，請(qǐng)繪制出描述數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī)關(guān)系的散點(diǎn)圖。在SPSS中繪制散點(diǎn)圖o

在數(shù)量上表現(xiàn)變量間相關(guān)關(guān)系的量稱為相關(guān)量。o

相關(guān)系數(shù)是描述變量間線性關(guān)系程度和方向的相關(guān)量，通常用r來表示。o

[-1

，1

]o

r>0正相關(guān)

r<0負(fù)相關(guān)

r=0

零相關(guān)計(jì)算法二、常用的相關(guān)分析方法

o

積差相關(guān)法o

等級(jí)相關(guān)法o

點(diǎn)二列相關(guān)法o

二列相關(guān)法

積差相關(guān)系數(shù)（Pearson相關(guān)系數(shù)）

o

積差相關(guān)系數(shù)適用于兩個(gè)變量都是服從正態(tài)分布或兩個(gè)變量服從的分

布是接近正態(tài)的對(duì)稱分布的情形。o

對(duì)于scale測(cè)度水平（interval

variable/ratio

variable)的變量使用。積差相關(guān)系數(shù)例9-2對(duì)30名小學(xué)男教師進(jìn)行問卷調(diào)查，其工作滿意度與職業(yè)認(rèn)同感得分

如下，試計(jì)算小學(xué)男教師職業(yè)認(rèn)同感與工作滿意度的相關(guān)系數(shù)。o

等級(jí)相關(guān)法是適用于研究具有等級(jí)順序的測(cè)量數(shù)據(jù)（ordinal

variable）

間相互關(guān)系的方法。o

Spearman斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)系數(shù)\Kendall肯德爾和諧系數(shù)等級(jí)相關(guān)法

斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)系數(shù)(9.2)則可采用如下的簡(jiǎn)化公式計(jì)算

式中：Di

=

R

xi

—

Ry

i（對(duì)偶等級(jí)之差），n為對(duì)偶數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。式中R

xi

、Ry

i

分別是xi

、

yi

的秩，

。如果兩個(gè)變量的樣本數(shù)據(jù)均無相同秩，或只存在較少的相同秩的情況，斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)系數(shù)（9.3）例9-3某大學(xué)一年級(jí)10名本科新生高考總分與其家庭社會(huì)經(jīng)濟(jì)地位等級(jí)如下。試問學(xué)生的高考總分與其家庭社會(huì)經(jīng)濟(jì)地位之間的關(guān)聯(lián)度如何？學(xué)生的高考總分與其家庭社會(huì)經(jīng)濟(jì)地位之間的斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)系數(shù)為

0.205

。這一結(jié)果反映學(xué)生的高考總分與其家庭社會(huì)經(jīng)濟(jì)地位具有一定的

正相關(guān)性,即一般來說,家庭社會(huì)經(jīng)濟(jì)地位越高,學(xué)生高考成績(jī)也越高。0.205解：將n=10及上表中的數(shù)據(jù)代入公式，得：o

肯德爾和諧系數(shù)是計(jì)算多列等級(jí)變量相關(guān)程度的一種相關(guān)量。o

斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)是計(jì)算兩個(gè)等級(jí)變量的相關(guān)程度的相關(guān)量。用于評(píng)

價(jià)時(shí)只適用于兩個(gè)評(píng)分者評(píng)價(jià)n個(gè)人或n件作品，或是同一個(gè)人先后兩

次評(píng)價(jià)n個(gè)人或n件作品。肯德爾和諧系數(shù)

--斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)系數(shù)o

肯德爾和諧系數(shù)則適用于多列相關(guān)的等級(jí)數(shù)據(jù)。o

可以是k個(gè)(k>2)評(píng)分者評(píng)n個(gè)人或n件作品，也可以是同一個(gè)人先后k次

評(píng)n個(gè)人或n件作品。通過求得的肯德爾和諧系數(shù)，我們可以較為客觀地

判斷評(píng)價(jià)結(jié)果的一致性程度。肯德爾和諧系數(shù)用W表示肯德爾和諧系數(shù)，我們分兩種情形給出W的計(jì)算公式。①

同一評(píng)分者無相同等級(jí)評(píng)定時(shí)的W公式

(9.4)式中n是被評(píng)的對(duì)象數(shù)目，k是評(píng)分者的人數(shù)或等級(jí)變量的列數(shù)，S是每一

個(gè)被評(píng)對(duì)象所評(píng)等級(jí)之和Ri

與所有這些和的平均數(shù)R

的離差平方和.肯德爾和諧系數(shù)

W的變化范圍是

0

≤

W

≤

1

?？系聽柡椭C系數(shù)(9.5)即教師作文1作文2作文3

作文4

作文5

作文6教師1

教師2

教師3

教師4

教師5111212321232335445445645365666Ri61016

21

23

29同一評(píng)分者無相同等級(jí)評(píng)定的情況

教師作文1作文2作文3

作文4

作文5

作文6教師1教師2教師3教師4教師5111112222233333444445555566666Ri51015

2025

30

K個(gè)評(píng)分者的評(píng)價(jià)完全一致的情況（W=1)例9-4某高校碩士畢業(yè)論文答辯，需要4位答辯評(píng)委對(duì)5名同學(xué)的論文評(píng)定

等級(jí)，結(jié)果如下，試求其評(píng)分者的信度。

同一評(píng)分者無相同等級(jí)評(píng)定的情況解：由教育測(cè)量學(xué)中信度理論知，求評(píng)分者的信度

即是求k個(gè)評(píng)分者對(duì)n篇作文評(píng)價(jià)的一致性程度，因而

我們可以求其肯德爾和諧系數(shù)。將上表中的數(shù)據(jù)代入

公式，可得：即評(píng)分者的信度系數(shù)為0.813

，表明他們的評(píng)定結(jié)果

有較大的一致性。

其中k

、n和S的意義與（9.4）式相同.當(dāng)同一評(píng)分者對(duì)n個(gè)對(duì)象的評(píng)定出現(xiàn)相同等級(jí)時(shí)，肯德爾和諧系數(shù)的計(jì)算公式為同一評(píng)分者有相同等級(jí)評(píng)定的情況（9.6）

mi

為第i個(gè)評(píng)價(jià)者的評(píng)定結(jié)果中有重復(fù)等級(jí)的個(gè)數(shù)，nij為第i個(gè)

評(píng)價(jià)者的評(píng)定結(jié)果中第j個(gè)重復(fù)等級(jí)的相同等級(jí)數(shù)。同一評(píng)分者有相同等級(jí)評(píng)定的情況例9-54名專家對(duì)5位教師課題成果評(píng)定等級(jí)的結(jié)果見下表，試計(jì)算4名專

家對(duì)課題成果評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)掌握的一致性程度。所以，4名專家評(píng)定結(jié)果的肯德爾和諧系數(shù)為0

.676

,

說明專家的評(píng)價(jià)結(jié)果有較大的一致性。同一評(píng)分者有相同等級(jí)評(píng)定的情況

o

如果一個(gè)點(diǎn)數(shù)列中的點(diǎn)與一個(gè)“二分”數(shù)列的點(diǎn)存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，

則稱這兩個(gè)數(shù)列為點(diǎn)二列或點(diǎn)雙列。o

點(diǎn)二列相關(guān)法就是考察連續(xù)變量（其觀測(cè)值為點(diǎn)數(shù)列）與“二分”稱

名變量之間的相關(guān)程度的統(tǒng)計(jì)方法。點(diǎn)二列相關(guān)法點(diǎn)二列相關(guān)是求“二分”稱名變量與連續(xù)變量之間的相關(guān)系數(shù)rpq

，其

公式為：rpq

=

(9.8)p表示“二分”稱名變量中取某一值的比率；

q表示“二分”稱名變量中取另一值的比率；Y

p

表示與p部分相對(duì)應(yīng)的連續(xù)變量的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均值；

SY

表示連續(xù)變量全部觀測(cè)值的標(biāo)準(zhǔn)差，即

點(diǎn)二列相關(guān)法o

點(diǎn)二列相關(guān)系數(shù)在教育測(cè)量研究中常作為是非題的區(qū)分度指標(biāo)。o

試題的區(qū)分度是指試題對(duì)于被試反應(yīng)的區(qū)分程度和鑒別能力。通常用

某試題的得分與測(cè)驗(yàn)總分之間的相關(guān)系數(shù)來表示。o

是非題的區(qū)分度是求一個(gè)二分變量（是非題得分）與一個(gè)連續(xù)變量(

測(cè)驗(yàn)總分）的相關(guān)系數(shù)。

是非題的區(qū)分度o

例9-6

某校教育學(xué)院100名學(xué)生參加大學(xué)英語六級(jí)測(cè)試，其中一道是非題答對(duì)的有60人，答錯(cuò)的有40人，該題答對(duì)的那些學(xué)生的六級(jí)考試得分

的平均值為500

，該題答錯(cuò)的那些學(xué)生的六級(jí)考試得分的平均值475

。

100名學(xué)生六級(jí)考試得分的標(biāo)準(zhǔn)差為15

，試求該題的區(qū)分度。是非題的區(qū)分度解：由題意，答對(duì)該題的人數(shù)比率p=60/100=0

.6,

答錯(cuò)該題的人數(shù)比率

q=40/100=0.4

。Y

p

=500,Y

q

=475,

SY

=

15,將這些數(shù)據(jù)代入公式，可得：該是非題的區(qū)分度為0.816。是非題的區(qū)分度o

區(qū)分度Do

D

≥

0.4

非常好o

0.30

≤

D

≤

0.39

良好o

0.20

≤

D

≤

0.29尚可，須修改試題o

D

≤

0.

19差，

需被淘汰區(qū)分度的評(píng)價(jià)例9-7

某小學(xué)四年級(jí)男女學(xué)生20人的數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)缦卤?，問?shù)學(xué)成績(jī)與性別

是否有關(guān)？點(diǎn)二列相關(guān)法解：上表中“

1

”代表男生，

“0”代表女生。男生的比率p=

10/20=0.5

，女

生的比率q=

10/20=0.5。F,=80,F,=79,

S,=10.5.所以，20名學(xué)生性別與數(shù)學(xué)成績(jī)的相關(guān)系數(shù)為0.048

，由于此值接近于0，

因此，20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)劣與性別無關(guān)。點(diǎn)二列相關(guān)法o

二列相關(guān)用于考察兩個(gè)正態(tài)變量的相互關(guān)系，但是一列是一個(gè)連續(xù)變量的觀測(cè)值（等距或等比數(shù)據(jù)）

，另一列則是一個(gè)連續(xù)變量人為地按

一定標(biāo)準(zhǔn)劃分為兩個(gè)類別的數(shù)據(jù)，即人為地被劃分成一個(gè)二分變量。二列相關(guān)法

X

p

表示與p部分相對(duì)應(yīng)的連續(xù)變量X的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均值；X

q

表示與q部分相對(duì)應(yīng)的

連續(xù)變量X的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均值；SX

表示連續(xù)變量X全部觀測(cè)值的標(biāo)準(zhǔn)差；Y表示標(biāo)

準(zhǔn)正態(tài)曲線下p與q交界點(diǎn)處的縱線高度，求法是：依據(jù)|0.5-p|的值，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表

,

P欄中該數(shù)值所對(duì)應(yīng)的Y值就是所求的縱線高度。二列相關(guān)系數(shù)

rb

的計(jì)算公式是：

式中：p表示二分變量中取某一值的比率；q表示二分變量中取另一值的比率；（9.9）

二列相關(guān)系數(shù)在教育測(cè)量研究中常作為問答題的區(qū)分度指標(biāo)。問答題的區(qū)分度例9-8

下表為10名學(xué)生閱讀測(cè)試總分和其中一道問答題的得分，試求該問

答題的區(qū)分度（該問答題滿分為10分，得6分或6分以上則認(rèn)為該題通過）。問答題的區(qū)分度解：?jiǎn)柎痤}被人為地劃分為通過、不通過兩類,

因此,求該問答題的區(qū)分度需求二列相關(guān)系數(shù)rb。p

=5/10=0.5,q=5/10=0.5,Xp=80.6,X

q=64,SX=9.571,查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可

知,

當(dāng)p=0.5,|p-0.5|=0時(shí),Y=0.399。將這些數(shù)據(jù)代入式(9.9),可得

所以,該問答題的區(qū)分度為1.087,非常高。問答題的區(qū)分度o

測(cè)度一個(gè)稱名變量與一個(gè)等距變量的相關(guān)程度。o

例如測(cè)量性別與數(shù)學(xué)成績(jī)的相關(guān)程度。

Eta系數(shù)

o

例9-9某小六年級(jí)男女學(xué)生20人的英語成績(jī)?nèi)缦卤?，問英語成績(jī)與性別是否有關(guān)？

（

“

1”代表男生，

“0”代表女生）o

由題意可知，稱名變量

X有兩個(gè)取值即0和

1

。當(dāng)

X=0

時(shí)，Y的取值包含十個(gè)數(shù)值，即

79

，77

，63

，92

，58

，88

，82

，78

，91

，80

，這十個(gè)取值的均值為78.8；當(dāng)

X=

1

時(shí)，Y的取值同樣包含十個(gè)數(shù)值，即

85

，78，

62

，89

，60

，91

，83

，87

，88

，82

，這十個(gè)取值的均值為80.5

。Y的總

平均

Y

為79.65

。通過代入公式，我們可以計(jì)算出

Y（學(xué)生英語成績(jī)）與

X（性別）的關(guān)聯(lián)程度為0.081

，兩者關(guān)聯(lián)度很低，說明學(xué)生英語成績(jī)

與性別無關(guān)。o

偏相關(guān)（partial

correlation）分析是研究在消除第三變量（或其它多個(gè)變量）影響之后的兩個(gè)變量之間相關(guān)程度的方法。偏相關(guān)分析

ll

偏相關(guān)系數(shù)（partialcorrelations）

o

偏相關(guān)系數(shù)：它描述的是當(dāng)控制了一個(gè)或幾個(gè)附加變量的影響時(shí)兩個(gè)變

量的相關(guān)性。例如可以控制工齡的影響，來研究工資收入與受教育程度

之間的相關(guān)關(guān)系。簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)偏相關(guān)系數(shù)工資工齡教育2,3

=

（9.

11）式中,r12,3表示在剔除了變量X3

的影響之后,變量X1

與變量X2之間的偏

相關(guān)系數(shù);r12表示X1

與X2之間的簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù);r13表示X1

與X3之間的簡(jiǎn)

單相關(guān)系數(shù);r23表示X2

與X3之間的簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)。偏相關(guān)系數(shù)與公式（9.

11）類似，變量

X1

、X在2剔除變量

X、3

影響之后的偏相關(guān)系

數(shù)r12

,3用4

以下公式計(jì)算：2,34

=

（9.

12）偏相關(guān)系數(shù)例9-10某高校某班教育學(xué)專業(yè)本科生共30人，教育學(xué)原理（X1）、教育研究方法（X2）、教學(xué)論（X3）的考試成績(jī)?nèi)缦卤?。試通過該班情況分

析這三門課之間的相關(guān)關(guān)系。偏相關(guān)系數(shù)示例

偏相關(guān)系數(shù)示例

解:由表9-9中的數(shù)據(jù),我們可以利用具有統(tǒng)計(jì)運(yùn)算功能(LR)的計(jì)算器得出:r12=0.075,r13=0.

144,r23=0.

128

。將這些數(shù)據(jù)代入式(9.

11),可得

r12,3==0.058類似可計(jì)算出:r13,2=

0.144?0.075×0.128

=0.

136r23,

1=

0.128?0.075×0.144

=0.

1191?0.0752

1?0.12821?0.0752

1?0.1442零假設(shè)：總體中兩個(gè)變量間的相關(guān)系數(shù)為0。SPSS的相關(guān)分析過程給出該假設(shè)成立時(shí)統(tǒng)計(jì)量的相伴概率p

。常用公式

如下：

相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)(9.

13)(9.

14)式(9.

13)是皮爾遜和斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)t值計(jì)算公式。其

中,r是樣本相關(guān)系數(shù);n是樣本量;n-2是自由度。當(dāng)t>t0.05(n-2)時(shí),p<0.05,則拒絕零假設(shè),否則接受零假設(shè),即總體中兩變

量的相關(guān)系數(shù)為0。相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)式(9.

14)是偏相關(guān)系數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)t值計(jì)算公式。其中,r是相應(yīng)的偏相關(guān)

系數(shù);n是樣本量;k是控制變量的數(shù)目;n-k-2是自由度。當(dāng)t>t0.05(n-k-2)時(shí),p<0.05,則拒絕零假設(shè),否則接受零假設(shè),即總體中兩

變量的偏相關(guān)系數(shù)為0。相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)o

Analyze的下拉菜單中的Correlate

命令項(xiàng)具有三個(gè)相關(guān)分析功能子命令Bivariate

…

，Partial

…

,Distances

…

,

它們分別對(duì)應(yīng)著二元變量間的相關(guān)分

析、偏相關(guān)分析以及距離測(cè)度分析的三個(gè)SPSS

過程。相關(guān)分析的SPSS過程Analyze——correlate——bivariate(二元變量)口打開對(duì)話框;口選擇兩個(gè)變量或更多的變量；口Correlationcoefficient欄中3個(gè)復(fù)選項(xiàng)n

Pearson：連續(xù)變量n

Kendall’s

tau-b：兩個(gè)等級(jí)變量n

Spearman

：兩個(gè)等級(jí)變量

（系統(tǒng)將會(huì)自動(dòng)對(duì)變量值求秩）口Testof

significancen

Two-tailedn

One-tailed口

Flagssignificantcorrelations：加星號(hào)

二元變量的相關(guān)過程

o

用SPSS計(jì)算小學(xué)男教師職業(yè)認(rèn)同感與工作滿意度的相關(guān)系數(shù)。o

數(shù)據(jù)文件9-2.savo

Analyze-Correlate-Bivariate

…積差相關(guān)示例

結(jié)果表明，小學(xué)男教師的工作滿意度和職業(yè)認(rèn)同感的Pearson相關(guān)系數(shù)為0.781

，不相關(guān)的假設(shè)成立時(shí)的統(tǒng)計(jì)量相伴概率近似于0

，

“**”表示在

0.01的水平上，它們的相關(guān)系數(shù)有顯著意義。o

利用SPSS計(jì)算大學(xué)一年級(jí)本科新生高考總分與其家庭社會(huì)經(jīng)濟(jì)地位等

級(jí)之間的關(guān)聯(lián)度。o

數(shù)據(jù)文件9-3.sav。o

Analyze-Correlate-Bivariate

…

斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)示例結(jié)果表明，大學(xué)一年級(jí)本科新生高考總分與其家庭社會(huì)經(jīng)濟(jì)地位等級(jí)之

間的相關(guān)系數(shù)為0.606

，但不相關(guān)的假設(shè)成立時(shí)的統(tǒng)計(jì)量相伴概率為0.063。

因此，該相關(guān)系數(shù)在0.

1水平上顯著，在0.05水平上并不顯著。Kendall和諧系數(shù)示例

o雖然Correlation

Coefficients

選擇欄中有

Kendall

’

t

tau-b選項(xiàng)，但此選項(xiàng)并不是Kendall

和諧系數(shù)，它與

Spearman

相關(guān)類似，也是用來測(cè)量?jī)蓚€(gè)定序變量間的相關(guān)

程度。o

SPSS20.0版本中無法給出肯德爾系數(shù)的具體數(shù)值，因此若要獲得

4位答辯評(píng)委對(duì)5名同學(xué)的論文評(píng)定等級(jí)的評(píng)分者的信度，我們可以依次在

SPSS

16.0

中進(jìn)行如下

操作。o

數(shù)據(jù)文件o

Analyzecs-KRemlKendall和諧系數(shù)示例o

結(jié)果表明

Kendall’s

W值為

0.812

，相伴概率為

0.011