2完整版本.-一階偏微分方程

§2一階偏微分方程柯西-柯娃列夫斯卡婭定理[一階偏微分方程的通解]一階偏微分方程的一般形式在有些書中寫作或，其中如解出p1，可得：p1=f(x1,x2,…,xn,u,p2,…,pn)當方程的解包含某些“任意元素”(指函數(shù))，如果適當選取“任意元素”時，可得方程的任意解(某些“奇異解”除外)，則稱這樣的解為通解.在偏微分方程的研究中，重點在于確定方程在一些附加條件(即定解條件)下的解，而不在于求通解.[一階方程的柯西問題]稱為柯西問題，式中為已知函數(shù)，對柯西問題有如下的存在惟一性定理.[柯西－柯娃列夫斯卡婭定理]設f(x1,x2xn,u,p2pn)在點(x10,x20xn0,u0,p20pn0)的某一鄰域內(nèi)解析，而在點(x20xn0)的某鄰域內(nèi)解析，則柯西問題在點(x10xn0)的某一鄰域內(nèi)存在著惟一的解析解.這個定理應用的局限性較大，因它要求f及初始條件都是解析函數(shù)，一般的定解問題未必能滿足這種條件.對高階方程也有類似定理.一階線性方程1． 一階齊次線性方程[特征方程特征曲線初積分(首次積分)]給定一階齊次線性方程(1)式中ai為連續(xù)可微函數(shù)，在所考慮的區(qū)域內(nèi)的每一點不同時為零(下同).方程組(i=1,2n)或(2)稱為一階齊次線性偏微分方程的特征方程.如果曲線l:xi=xi(t)(i=1,2n)滿足特征方程(2)，就稱曲線l為一階齊次線性方程的特征曲線.如果函數(shù)symbol121\f"Symbol"\s12(x1,x2xn)在特征曲線上等于常數(shù)，即symbol121\f"Symbol"\s12(x1(t),x2(t)xn(t))=c就稱函數(shù)symbol121\f"Symbol"\s12(x1,x2xn)為特征方程(2)的初積分(首次積分).[齊次方程的通解]1o連續(xù)可微函數(shù)u=symbol121\f"Symbol"\s12(x1,x2xn)是齊次線性方程(1)的解的充分必要條件是：symbol121\f"Symbol"\s12(x1,x2xn)是這個方程的特征方程的初積分.2o設symbol121\f"Symbol"\s12i(x1,x2xn)(i=1,2n)是特征方程(2)在區(qū)域D上連續(xù)可微而且相互獨立的初積分(因此在D內(nèi)的每一點，矩陣的秩為n)，則u=symbol119\f"Symbol"\s12(symbol121\f"Symbol"\s121(x1,x2xn)symbol121\f"Symbol"\s12n-1(x1,x2xn))是一階齊次線性方程(1)的通解，其中symbol119\f"Symbol"\s12為n個變量的任意連續(xù)可微函數(shù).[柯西問題]考慮方程的柯西問題式中symbol106\f"Symbol"\s12(x2xn)為已知的連續(xù)可微函數(shù).設symbol121\f"Symbol"\s12i(x1,x2xn)(i=1,2n)為特征方程的任意n個相互獨立的初積分，引入?yún)⒆兞?)，從方程組解出x2xn得則柯西問題的解為u=symbol106\f"Symbol"\s12(symbol119\f"Symbol"\s122(symbol121\f"Symbol"\s121,symbol121\f"Symbol"\s122symbol121\f"Symbol"\s12n-1)symbol119\f"Symbol"\s12n(symbol121\f"Symbol"\s121,symbol121\f"Symbol"\s122symbol121\f"Symbol"\s12n-1))2． 非齊次線性方程它的求解方法與擬線性方程相同.一階擬線性方程一階擬線性方程為其中ai及R為x1,x2xn,u的連續(xù)可微函數(shù)且不同時為零.[一階擬線性方程的求解和它的特征方程]或為原擬線性方程的特征方程.如果曲線l:xi=xi(t)(i=1,2n),u=u(t)滿足特征方程，則稱它為擬線性方程的特征曲線.設symbol121\f"Symbol"\s12i(x1xn,u)(i=1,2n)為特征方程的n個相互獨立的初積分，那末對于任何連續(xù)可微函數(shù)symbol119\f"Symbol"\s12，symbol119\f"Symbol"\s12(symbol121\f"Symbol"\s121(x1xn,u),symbol121\f"Symbol"\s122(x1xn,u)symbol121\f"Symbol"\s12n(x1xn,u))=0都是擬線性方程的隱式解.[柯西問題]考慮方程的柯西問題symbol106\f"Symbol"\s12為已知的連續(xù)可微函數(shù).設symbol121\f"Symbol"\s121(x1,x2xn,u)symbol121\f"Symbol"\s12n(x1,x2xn,u)為特征方程的n個相互獨立的初積分，引入?yún)⒆兞?從解出x2xn,u則由給出柯西問題的隱式解.一階非線性方程[完全解·通解·奇異解]一階非線性方程的一般形式為若一階偏微分方程的解包含任意n個獨立的常數(shù)，則稱這樣的解為完全解(全積分).若V(x1,x2xn,u,c1,c2cn)=0為方程的完全解，從消去ci，若得一個解，則稱它為方程的奇異解(奇積分).以兩個獨立變量為例說明完全解與通解、奇異解的關系，設方程有完全解V(x,y,z,a,b)=0(a,b為任意常數(shù)),則方程等價于從方程組消去a,b所得的方程.利用常數(shù)變易法把a,b看作x,y的函數(shù)，將V(x,y,z,a,b)=0求關于x,y的偏導數(shù)，得那末與V=0聯(lián)立可確定a,b.有三種情況：1，將其與V(x,y,z,a,b)=0聯(lián)立可確定不含任意常數(shù)的奇異解.2如，即回到完全解.3當時，必有，這時，如果不屬于情形2，則a與b存在函數(shù)關系：b=SYMBOL119\f"Symbol"(a)，這里SYMBOL119\f"Symbol"為任意可微函數(shù)，并從方程V(x,y,z,a,b)=0和消去a,b，可確定方程的通解.定理偏微分方程的任何解包含在完全解內(nèi)或通解內(nèi)或奇異解內(nèi).[特征方程·特征帶·特征曲線·初積分]在一階非線性方程：中，設F對所有變量的二階偏導數(shù)存在且連續(xù)，稱或為非線性方程的特征方程.設特征方程的解為xi=xi(t),u=u(t),pi=pi(t)(i=1,2,…,n)稱它為非線性方程的特征帶.在x1,x2xn,u空間的曲線xi=xi(t),u=u(t)(i=1,2,…,n)稱為非線性方程的特征曲線.如果函數(shù)在特征方程的任一解xi=xi(t)(i=1,2n),u=u(t),pi=pi(t)(i=1,2n)上等于常數(shù)，即那末函數(shù)稱為特征方程的初積分.[求完全解的拉格朗日－恰比方法]考慮兩個變量的情況.對于方程F(x,y,z,p,q)=0，選擇使雅可比式的一個初積分G(x,y,z,p,q).解方程組(a為任意常數(shù))得p(x,y,z,a)及q(x,y,z,a).則方程dz=pdx+qdy的通解V(x,y,z,a,b)=0(b是積分dz=pdx+qdy出現(xiàn)的任意常數(shù))就是方程F(x,y,z,p,q)=0的完全解.例求方程的完全解.解方程的特征方程為這里成立所以特征方程的一個初積分為z2p2－x2.解方程組(a為任意常數(shù))得積分微分方程得完全解(b為任意常數(shù))[某些容易求完全解的方程]1僅含p,q的方程F(p,q)=0G=p是特征方程的一個初積分.從F(p,q)=0與p=a(a為任意常數(shù))得q=SYMBOL121\f"Symbol"(a)，積分dz=adx+SYMBOL121\f"Symbol"(a)dy得完全解z=ax+SYMBOL121\f"Symbol"(a)y+b(b為任意常數(shù))2不顯含x,y的方程F(z,p,q)=0特征方程為因此qdp-pdq=0，顯然為一個初積分，由F(z,p,q)=0，q=pa(a為任意常數(shù))解得p=SYMBOL121\f"Symbol"(z,a).于是由dz=SYMBOL121\f"Symbol"(z,a)dx+aSYMBOL121\f"Symbol"(z,a)dy得(b為任意常數(shù))可確定完全解.3變量分離形式的方程特征方程為可取初積分Gi=fi(xi,pi),(i=1,2n).從fi(xi,pi)=ai(i=1,2n)解出pi=SYMBOL106\f"Symbol"i(xi,ai)得完全解式中ai,b為任意常數(shù)，且.[克萊羅方程]方程稱為克萊羅方程，其完全解為對ci微分得(i=1,2,…,n)與完全解的表達式聯(lián)立消去ci即得奇異解.例求方程z－xp－yq－pq=0的完全解和奇異解.解這是克萊羅方程，它的完全解是z=ax+by+ab對a,b微分，得x=－b,y=－a，消去a,b得奇異解z=－xy[發(fā)甫方程]方程P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=0(1)稱為發(fā)甫方程，如果P,Q,R二次連續(xù)可微并滿足適當條件，那末方程可積分.如果可積分成一關系式時，則稱它為完全可積.1方程完全可積的充分必要條件當且僅當P,Q,R滿足條件(2)時，存在一個積分因子SYMBOL109\f"Symbol"(x,y,z)，使dU1=SYMBOL109\f"Symbol"(Pdx+Qdy+Rdz)從而方程的通解為U1(x,y,z)=c特別，當時，存在一個函數(shù)U(x,y,z)滿足從而dU=Pdx+Qdy+Rdz所以方程的通解為U(x,y,z)=c所以完全可積的發(fā)甫方程的通解是一單參數(shù)的曲面族.定理設對于發(fā)甫方程(1)在某區(qū)域D上的完全可積條件(2)成立，則對D內(nèi)任一點M(x,y,z)一定有方程的積分曲面通過，而且只有一個這樣的積分曲面通過.2方程積分曲面的求法設完全可積條件(2)成立.為了構(gòu)造積分曲面，把z看成x,y的函數(shù)(設R(x,y,z)≠0)，于是原方程化為由此得方程組發(fā)甫方程(1)與此方程組等價.把方程(3)中的y看成參變量，積分后得一個含有常數(shù)的通解然后用未知函數(shù)代替常數(shù)，將代入方程(4)，在完全可積的條件下，可得的一個常微分方程，其通解為c為任意常數(shù)，代回中即得發(fā)甫方程的積分曲面z=SYMBOL106\f"Symbol"(x,y,SYMBOL121\f"Symbol"(y,c))由于發(fā)甫方程關于x,y,z的對稱性，在上面的討論中，也可把x或y看成未知函數(shù)，得到同樣的結(jié)果.例求方程yzdx+2xzdy+xydz=0的積分曲面族.解容易驗證完全可積條件成立，顯然存在一個積分因子，用它乘原方程得積分后得積分曲面族xy2z=c也可把方程化為等價的方程組把y看成參變量，積分得通解用未知函數(shù)代替，將代入方程得積分后有所以原方程的積分曲面族是xy2z=c一階線性微分方程組[一階線性偏微分方程組的一般形式]兩個自變量的一階線性方程組的形式是或(1)其中Aij,Bij,Cij,Fi,aij,bij,fi是(x,t)的充分光滑函數(shù).[特征方程·特征方向·特征曲線]稱為方程組(1)的特征方程.在點(x,t)滿足特征方程的方向稱為該點的特征方向.如果一條曲線l，它上面的每一點的切線方向都和這點的特征方向一致，那末稱曲線l為特征曲線.[狹義雙曲型方程與橢圓型方程]如果區(qū)域D內(nèi)的每一點都存在n個不同的實的特征方向，那末稱方程組在D內(nèi)為狹義雙曲型的.如果區(qū)域D內(nèi)的每一點沒有一個實的特征方向，那末稱方程組在D內(nèi)為橢圓型的.[狹義雙曲型方程組的柯西問題]1化方程組為標準形式symbol151\f"TimesNewRoman"symbol151\f"TimesNewRoman"對角型因為det(aij-SYMBOL100\f"Symbol"ijSYMBOL108\f"Symbol")=0有n個不同的實根SYMBOL108\f"Symbol"1(x,t)SYMBOL108\f"Symbol"n(x,t)，不妨設那末常微分方程的積分曲線li(i=1,2,…,n)就是方程組(1)的特征曲線.方程的非零解(SYMBOL108\f"Symbol"k(1)SYMBOL108\f"Symbol"k(n))稱為對應于特征方向SYMBOL108\f"Symbol"k的特征矢量.作變換可將方程組化為標準形式symbol151\f"TimesNewRoman"symbol151\f"TimesNewRoman"對角型所以狹義雙曲型方程組可化為對角型，而一般的線性微分方程組(1)如在區(qū)域D內(nèi)通過未知函數(shù)的實系數(shù)可逆線性變換可化為對角型的話，(此時不一定要求SYMBOL108\f"Symbol"i都不相同)，就稱這樣的微分方程組在D內(nèi)為雙曲型的.2對角型方程組的柯西問題考慮對角型方程組的柯西問題SYMBOL106\f"Symbol"i(x)是[a,b]上的連續(xù)可微函數(shù).設SYMBOL97\f"Symbol"ij,SYMBOL98\f"Symbol"i,SYMBOL108\f"Symbol"i在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)可微，在D內(nèi)可得相應的積分方程組式中為第i條特征曲線li上點(x,t)與點(xi,0)之間的一段，(xi,0)為li與x軸上[a,b]的交點.上式可以更確切地寫為(i=1,2n)式中xi=xi(x,t,t)為過點(x,t)的第i條特征曲線，利用逐次逼近法可解此積分方程.為此令序列{vi(k)}(k=0,1,2)一致收斂于積分方程的連續(xù)可微解vi(x,t)(i=1,2n)，這個vi(x,t)也就是對角型方程組的柯西問題的解.設在區(qū)域D內(nèi)對角型方程組的柯西問題的解存在，那末解與初值有下面的關系：(i)依賴區(qū)間：過D中任意點M(x,t)作特征曲線l1,ln，交x軸于B,A，稱區(qū)間[A,B]為M點的依賴區(qū)間(圖14.1(a))，解在M點的值由區(qū)間[A,B]的初值確定而與[A,B]外的初值無關.(ii)決定區(qū)域：過點A,B分別作特征曲線ln,l1,稱ln,l1與區(qū)間[A,B]圍成的區(qū)域D1為區(qū)間[A,B]的決定區(qū)域(圖14.1(b))，在區(qū)域D1中解的值完全由[A,B]上的初值決定.(iii)影響區(qū)域：過點A,B分別作特征曲線l1,ln，稱l1,ln與[A,B]圍成的區(qū)域D2為區(qū)間[A,B]的影響區(qū)域(圖14.1(c)).特別當區(qū)間[A,B]縮為一點A時，A點的影響區(qū)域為D3(圖14.1(d)).在區(qū)域D2中解的值受[A,B]上的初值影響，而在區(qū)域D2外的解的值則不受[A,B]上的初值影響.圖14.1[線性雙曲型方程組的邊值問題]以下列線性方程組來說明：(1)1第一邊值問題(廣義柯西問題)設在平面(x,t)上給定曲線段，它處處不與特征方向相切.過A,B分別引最左和最右的特征曲線l1及l(fā)2.要求函數(shù)u(x,t),v(x,t)在，l1及l(fā)2圍成的閉區(qū)域上滿足方程組，且在上取給定的函數(shù)值(圖14.2(a)).2第二邊值問題(古沙問題)設l1是過P點的第一族特征線，l2是第二族特征線，在l1的一段PA上給定v(x,t)的數(shù)值，在l2的一段PB上給定u(x,t)的數(shù)值，過A點作第二族特征線，過B點作第一族特征線相交于Q.求在閉區(qū)域PAQB上方程組的解(圖14.2(b)).3第三邊值問題設AB為非特征曲線的曲線弧，AC為一特征線弧，且在AB與AC之間不存在過A點的另外特征曲線,過C點作第二族特征線與過B點的第一族特征線交于E點，在AC上給定v(x,t