2024-2025學年吉林省吉林市高二上學期期中數(shù)學試題及答案

★★吉林市普通高中2024-2025學年度高二年級上學期期中調研測試數(shù)學試題說明：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，貼好條形碼。2.答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。答非選擇題時，用0.5毫米的黑色簽字筆將答案寫在答題卡上。字體工整，筆跡清楚。3.請按題號順序在答題卡相應區(qū)域作答，超出區(qū)域所寫答案無效；在試卷上、草紙上答題無效。4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。8540一個是符合題目要求．．直線l:3xy20的傾斜角為A．30B．45C．60D．90．圓C:x2y2與圓C:x2y22x0的位置關系為412A．相離B．外切C．相交D．內切．若直線l:x10與直線l:(1a)x2y10平行，則實數(shù)a1213A．2．1C．2或1．．若{a,b,c}構成空間的一個基底，則下列向量不共面的是A．a,b,abB．a,b,2a3bC．cb,cb,aD．cb,abc,ax2a2y2b2．如圖，橢圓ab0)的兩個焦點分別為F,F，以線12段FF為邊作等邊三角形F，若該橢圓恰好平分ΔF的121212另兩邊，，則橢圓的離心率為12513121A．B．31C．D．222高二數(shù)學試題第1頁共6頁3)2)．一條光線從點(2,3)射出，經x軸反射后，與圓C：(x2y2相切，則反射(1后光線所在直線的斜率為433234235445A．C．或或．D．或或5335x2y2．已知動點P在橢圓1上，若點A(3,0)，點M滿足|1，且0，則||的最小值為A．33B．3C．22D．7．如圖1，平面四邊形中，，垂足為O，1，2，如圖2，將Δ沿翻折至Δ，使得平面平面，若點E為線段上的動點，則點E到直線距離的最小值為圖1圖215255255A．B．C．D．53618項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．y2x2．已知橢圓C:1，下列結論正確的是4A．橢圓C的長軸長是12B．橢圓C的短半軸長是443CC焦點的最短弦長是DC的焦點坐標分別是F(0,2)F(0,2)12高二數(shù)學試題第2頁共6頁．如圖，在平行六面體ABCD中，2，11111AA60，AC與BD的交點為M，設111111ABa，ADb，1c，則1111A．abc．abc22225C．|D．,．平面內與兩定點距離之積為定值的點的軌跡叫做卡西尼卵形線，它的發(fā)現(xiàn)為人類研究土星運行軌跡提供莫大幫助．已知平面內有一卵形線x2y2x2)2y25，則A．曲線E過原點．曲線E既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形C．曲線E上點的橫坐標的取值范圍是[3,3]D．曲線E上任意一點到原點距離的取值范圍是[1,3]三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．其中第14題的第一個空填對得2分，第二個空填對得3分．．點P(到直線l：4x3y50的距離為．13．過直線yx1上一點P向圓:(Cx3)2y2作兩條切線(A，B為切點)，1則四邊形面積的最小值為．P(x,y,z)且一個方向向量為n(,)(0)的直線方000xxyyzz程為000P(x,y,z)且一個法向量為m(,B,C)的平面方程000為(xx)B(yy)C(zz)0．現(xiàn)已知直線l的方程為6x63y2z2，則000直線l的一個方向向量n，若平面經過點M(3,3,1)且同時垂直于平面x3y2z70與平面2xy3z10，則直線l到平面的距離為．高二數(shù)學試題第3頁共6頁四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．13分）已知圓C經過點(，B(2,2)，且圓心在直線xy10上．（Ⅰ）求圓C的標準方程；（Ⅱ）若直線2xy60與圓C的交點為M，N，求||.15分）ABC平面24，11111點D，E分別在棱和棱上，且1，3，F(xiàn)為棱AC的中點．1111（Ⅰ）求證:BFCD；11（Ⅱ）求平面C與平面B夾角的余弦值．11115分）高二數(shù)學試題第4頁共6頁x2a2y2b231已知橢圓C:ab0)的離心率e，點P(3,)在橢圓C上.22（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；（Ⅱ）直線l:yxm與橢圓C的交點為A，B，點O為坐標原點，且Δ的面積4為，求直線l的方程.517分）已知點N(3,0)P是圓:(Mx3)2y2的垂直平分線l1與半徑的交點為Q，記點Q的軌跡是曲線W，設經過點D的直線l與曲線W的交點為A，B．（Ⅰ）求曲線W的方程；（Ⅱ）求||||的取值范圍；（Ⅲ）已知點C(4,0)，若直線與直線的斜率分別為k，k，求kk的值.121217分）如圖，在四棱錐P中，底面為菱形，4，26，高二數(shù)學試題第5頁共6頁60，且(0，M，，F(xiàn)分別為，PB，的中點.（Ⅰ）求證:平面；（Ⅱ）若平面與平面的夾角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值；內是否存在點H0?H的軌跡長度；若不存在，請說明理由．命題、校對：高二數(shù)學核心組高二數(shù)學試題第6頁共6頁部分試題題源：P98練習2和高考題改編；T3：浙江高考題改編；T6：教材，改編；吉林地區(qū)普通高中2024—2025學年度高二年級期中考試T2：教材數(shù)學試題參考答案：教材P773原題；教學建議：建議基礎年級教師在教學時關注課標+教材+真題+教參.一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．12345678CDBCBACD92題教學提示：人教A版P96頁按兩圓公共點個數(shù)，可以將兩圓位置關系劃分為三類：①兩圓相交，有兩個公共點；題教學提示：②兩圓相切，包括外切與內切，只有一個公共點；③兩圓相離，包括外離與內含，沒有公共點．請注意新舊教材的區(qū)別．C選項：（x2y2x2)2y258題教學建議：x2)2yx2)22y22P到直線l的距離2（關注教材P33a(au)[(x2)2y2][(x2)2y2][(x2)(x2)y22(x2)2(x2)2(x24)2②結合教師用書P708，可將所求問題轉化為兩條異面直線間的距離；x24)2,5x245x29,3x30③本題中，為二面角PC的一個平面角，可將所求問題轉化為定點到直線的距O曲線E上點的橫坐標取值范圍為[3,3]D選項：（x2y2x2)2y25離，可利用等面積法求解．部分試題的變式題：T2變式：圓C1：xy0與圓C224x2y24x4y80的公切線的條數(shù)是（B）x2)2y2x2)2y2：2A．1B．2C．3D．4x2y24x4)(x2y24x4)T3變式：設aR，則“a1”是“直線l:x10與直線l:(1a)x2y102平行”的（C）1x2y24)216x2(x224)216x2yA．充分不必要條件C．充要條件B．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件x224x2y215y9T6變式：一條光線從P(5,3)射出，經直線xy0反射后，與圓Cx2(y2)241：相切，則反射光線三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．其中第14題的第一個空填對得2分，第二個空填對得3分．所在的直線方程是（D）A．15x8y0B．15x8y0．．1．7x或2xy84x3yc0c的距離為1，則0x2或15x8y0D．C．P(變式：點到直線l：（A）1，，3）??????≠）均可）；3A．5或B．5C．7或3D．7高二數(shù)學試題答案第1頁（共6頁）14題教學建議：給直線的點向式方程、平面的點法式方程.P44拓廣探索（Ⅰ）（法四）出處：①人教A版選必一.②蘇教版選必二.P266.3.1直線的方向向量與平面的法向量C(t,1t)||||，設圓心，③人教版選修A類空間向量與代數(shù)4.2平面與直線的方程(t1)2(1t1)2(t2)(1t2)2·······················································2分2四、解答題整理，得4t82，t(2,3)圓心C，r|(21)2(31)25.·············5分，（法一）圓（Ⅱ）由（Ⅰ）知，圓心CC的標準方程為(x2)2(y3)2.7分設圓C的標準方程為(xa2yb2r2r，則圓心為C(a,b).)()(0)|436|(2,3)2xy60d5，10分到直線的距離為5ab1，a，圓的半徑r5，||2r22d45.···························································13分(a1)2(b1)2r，解得b，·····················································5分由題意可得r5.(a2)2(b2)2r2.（法一）圓C的標準方程為(x2)2(y3)2.7分三棱柱ABC，平面，1111（Ⅰ）（法二）212111311FABC1//1平面，ABC111平面平面，，，由題意可得k，中點為(,)，2分11113223212ABCBF，線段的垂直平分線為y3xy30，x)，即11111ABBCBFAC4分中點，，111，F(xiàn)為1C3xy3，x，y3.11111xy上，10(2,3)為，圓心C在直線聯(lián)立解得即圓心Cxy10.AC,ACAAA1F11，1平面，，平面11111111圓的半徑r|(21)2(31)25，5分C1D1BFCD6分平面，111圓C的標準方程為(x2)2(y3)2.7分（Ⅰ）（法二）xy所在直線分別為軸，軸，軸，建立z（Ⅰ）（法三）BBA，BC，以為原點，1DE設圓C的一般方程為x2y2FD2E2F，則圓心為C(,).40)22B(0,0,0)1(0,0,4)C1(0,2,4)，如圖所示的空間直角坐標系，則，，2分DF，C(02,0)E(0,0,3)(20,0)，，，，DE10，D4，22E，F(xiàn)12.由題意可得解得分1F，CD(2，，3)，2DEF01，82D2EF0.4分圓C的一般方程為x224x6y0，即圓C的標準方程為(x2)2(y3)2.yBFCDBFCD2200，BFCD，即.·····································6分1111117分高二數(shù)學試題答案第2頁（共6頁）(2,0,0)1BCC的一個法向量，7分m2或211或或.（Ⅱ）依題意，是平面解得1直線l的方程為yx2yx2yx1yx1或或或.·····································15分CE(0，CD(23)，11設平面C1（Ⅱ）（法二）設x,y)，Bx,y)，1122的一個法向量為n(x，，z)，則nC1E，nC1D.nC1E2yz0yxm，z2y則即，取y1，則xz2，xzy消去，得5x28mx4m240.··················································7分聯(lián)立x2nCD2x2y3z0y2114平面C1n(2，11分的一個法向量為Δ(8m)245(4m24)0，化簡得m5，|n||||n|42323C11BCC1的夾角為cos|,n設平面與平面與平面，則，8m4m24由韋達定理得1x2,1x2，·····························································9分552由弦長公式可得即平面C11BCC夾角的余弦值為.·······················································15分13．【解析】64m24m2442|1k2(xx)24xx24m25·················11分c333121255離心率e，cac2a2a224m1x2a2y2原點到直線l的距離為d.13分a2b2c2b2a2橢圓的方程為1.412a241x21242m2545將P(3,)代入得a24，橢圓C的標準方程為y21.5分Sm25mm25，2452（Ⅱ）（法一）設x,y)，Bx,y)，1122解得m2或2或1或1.yxm，直線l的方程為yx2或yx2或yx1或yx1.·····································15分y聯(lián)立x2消去，得5x28mx4m240.··················································7分y214注：閱卷時請注意用不同形式的方程表述均可.則Δ(8m)245(4m24)0，化簡得m5，，則||||.設點Q(x,y)圓M的圓心M(3,0)，半徑為4，8m4m24由韋達定理得xx,xx，·····························································9分121255||||||4423，||23，121164m24m24SΔ|m||xx|m|(xx)24xx|m|1212124點QM，N的軌跡是以為焦點的橢圓，長軸長2a4，焦距2c23·································4分225x2116m2254aca2c2曲線W23,b1的方程為y1.|m||m|5m2······················································12分425高二數(shù)學試題答案第3頁（共6頁）（Ⅱ）（法一）分以下兩種情況討論：軸重合，則|||(a(aa213（Ⅱ）（法三）分以下兩種情況討論：①若直線l與x；5分lx軸重合，則|||(a(aa213①若直線與；5分②若直線l不與軸重合，設直線的方程為xl，，x1，設點x,y)Bx,y)1122x1，設點x,y)Bx,y)Dlx②若直線不與軸重合，設直線的方程為l，x，1122聯(lián)立x2消去x，得(m24)y2230，y21(xy)，(xy)112244m2x，則Δ12(m24)m23)0，聯(lián)立x2消去，得(m24)y2230，則xΔ4m212(m24)16(m23)0，2m3y21由韋達定理得yy，yy，7分12241224mm42m32由弦長公式可得由韋達定理得yy，yy7分1224123(m29mm4|||1m2|y|1m2|ym2)|yy39分121224m24m[(x1x2yy](m21y2(my1my2yy)12||||12994392，m44，則033．m244m243(m2m24939分3m24綜上所述，||||的取值范圍是．10分[,3]49939，33．m244，則0（Ⅱ）（法二）分以下兩種情況討論：m2444m42334綜上所述，||||的取值范圍是[,3]10分33①當直線l的斜率不存在時，D，不妨設)|||；)，B422注：這道題也可結合直線的參數(shù)方程，將||||轉化為|tt|，再利用t的幾何意義求解.5分12yk(x②當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為yk(x，，設點，，x,y)Bx,y)1122（Ⅲ）（法一）分以下兩種情況討論：kk0①若直線l與x軸重合，點A，B，C都在x軸上，11分，y28k2x4k20，則Δ0，12聯(lián)立x2消去，得(4k2x4y214②若直線l不與軸重合，由（Ⅱ）知，直線的方程為，x1，點x,y)Bx,y)1122xl8k24k244k21由韋達定理得xx，xx7分124k21211y2xy4yxy4y211122kk由弦長公式可得12(x14)(x24)x14x2413分2yyy)|||1k2|x1|1k2|x1|k2)|(xx1)|1212(y4y(y4y21112212124k248k24k21(3)(3)m2yy3m(yy)9k2)xx(xx)1k2)|1|12121212124k216m6mm24分k2)4k2139m24015分44(4k223m9m2411433494k21103．4(4k2434(4k2（注：只計算分子為0，不化簡分母，不扣分）kk017分綜上所述，||||的取值范圍是[,3]．10分綜上所述：.124高二數(shù)學試題答案第4頁（共6頁）（Ⅲ）（法二）分以下兩種情況討論：即23，26,222,，3分①若直線l與軸垂直，直線x與直線yk(x②若直線l不與軸垂直，由（Ⅱ）知，直線的方程為，設點xkk0關于軸對稱，1211分x,y)Bx,y)，2,F,AB,平面xl，112平面5分（Ⅱ）由（1）知：，，，1y2(x4)y(x4)y2kk21113分12(x14)(x24)x14x24以F為原點，F(xiàn)B,FD,所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.B(2,0,0)，(2,0,0)，P(0,0,23)，C(4230),k(xx4)k(xx4)2x5k(xx)8k1221121215分xxxx)xxxx)12121212M,N分別為,的中點，M(10,3)，N3)，(4,23,23)，(2,0,0)，4k248k2k212k5k8k8k38k40k332k28k36k24k21404k244k214k2132k2(2,23,0)(01),（注：只計算分子為0，不化簡分母，不扣分）kk017分綜上所述：.3)(2,23,0),23,3).設平面的一個法向量為n(x,y,z)，則n，n.12（法一）連接BD，.111Δ中，4，Δ為等邊三角形.nMN210則x10，取y11，則z12.F為中點，,且422223，nNE(12)x2313z101底面為菱形，所以,Δ為等邊三角形.60，平面的一個法向量為n(0,1,2).F為中點，,且422223，m平面的一個法向量為，26,222,，3分nm|2|116則n,m，2