2025屆新疆昌吉回族自治州木壘縣第一中學(xué)高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析

2025屆新疆昌吉回族自治州木壘縣第一中學(xué)高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若，，,則a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．2．若函數(shù)f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)滿足f(1)＝，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]3．已知函數(shù)f（x）＝eb﹣x﹣ex﹣b+c（b，c均為常數(shù)）的圖象關(guān)于點（2，1）對稱，則f（5）+f（﹣1）＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．44．已知向量，，若，則（）A． B． C． D．5．設(shè)是雙曲線的左、右焦點，若雙曲線右支上存在一點，使（為坐標(biāo)原點），且，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，，若方程恰有三個不相等的實根，則的取值范圍為（）A． B．C． D．7．雙曲線的漸近線方程為()A． B．C． D．8．設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減，則（）A． B．C． D．9．已知復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)，則為A． B． C． D．10．設(shè)雙曲線的一條漸近線為，且一個焦點與拋物線的焦點相同，則此雙曲線的方程為（）A． B． C． D．11．已知復(fù)數(shù)，其中，，是虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．12．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A．1 B．-1 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖是一個算法流程圖，若輸出的實數(shù)的值為，則輸入的實數(shù)的值為______________.14．設(shè)f（x）＝etx（t＞0），過點P（t，0）且平行于y軸的直線與曲線C：y＝f（x）的交點為Q，曲線C過點Q的切線交x軸于點R，若S（1，f（1）），則△PRS的面積的最小值是_____．15．已知復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，則實數(shù)a＝_____，|z|＝_____．16．已知兩個單位向量滿足，則向量與的夾角為_____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面四邊形(圖①)中，與均為直角三角形且有公共斜邊，設(shè)，∠，∠，將沿折起，構(gòu)成如圖②所示的三棱錐，且使=.（1）求證：平面⊥平面；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）如圖，在斜三棱柱中，側(cè)面與側(cè)面都是菱形，，．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將曲線上每一點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，得到曲線，以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線與曲線交于點，將射線繞極點逆時針方向旋轉(zhuǎn)交曲線于點.（1）求曲線的參數(shù)方程；（2）求面積的最大值．20．（12分）已知橢圓的短軸的兩個端點分別為、，焦距為．（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓有兩個不同的交點、，設(shè)為直線上一點，且直線、的斜率的積為．證明：點在軸上．21．（12分）已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求和的普通方程；（2）過坐標(biāo)原點作直線交曲線于點（異于），交曲線于點，求的最小值.22．（10分）已知橢圓：（），四點，，，中恰有三點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的左右頂點分別為.是橢圓上異于的動點，求的正切的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系分析可得在上為增函數(shù)，又由，分析可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)函數(shù)，則有在上恒成立，則在上為增函數(shù)；又由，則；故選：．【點睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，涉及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解析】由f(1)=得a2=,∴a=或a=-(舍),即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上單調(diào)遞減,在[2,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)在(-∞,2]上單調(diào)遞增,在[2,+∞)上單調(diào)遞減,故選B.3、C【解析】

根據(jù)對稱性即可求出答案．【詳解】解：∵點（5，f（5））與點（﹣1，f（﹣1））滿足（5﹣1）÷2＝2，故它們關(guān)于點（2，1）對稱，所以f（5）+f（﹣1）＝2，故選：C．【點睛】本題主要考查函數(shù)的對稱性的應(yīng)用，屬于中檔題．4、A【解析】

利用平面向量平行的坐標(biāo)條件得到參數(shù)x的值.【詳解】由題意得，，，，解得.故選A.【點睛】本題考查向量平行定理，考查向量的坐標(biāo)運算，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

利用向量運算可得，即，由為的中位線，得到，所以，再根據(jù)雙曲線定義即可求得離心率.【詳解】取的中點，則由得，即；在中，為的中位線，所以，所以；由雙曲線定義知，且，所以，解得，故選：D【點睛】本題綜合考查向量運算與雙曲線的相關(guān)性質(zhì)，難度一般.6、B【解析】

由題意可將方程轉(zhuǎn)化為，令，，進而將方程轉(zhuǎn)化為，即或，再利用的單調(diào)性與最值即可得到結(jié)論.【詳解】由題意知方程在上恰有三個不相等的實根，即，①.因為，①式兩邊同除以，得.所以方程有三個不等的正實根.記，，則上述方程轉(zhuǎn)化為.即，所以或.因為，當(dāng)時，，所以在，上單調(diào)遞增，且時，.當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，且時，.所以當(dāng)時，取最大值，當(dāng)，有一根.所以恰有兩個不相等的實根，所以.故選：B.【點睛】本題考查了函數(shù)與方程的關(guān)系，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.7、A【解析】

將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，其漸近線方程為，化簡整理即得漸近線方程.【詳解】雙曲線得，則其漸近線方程為，整理得.故選：A【點睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用.8、D【解析】

利用是偶函數(shù)化簡，結(jié)合在區(qū)間上的單調(diào)性，比較出三者的大小關(guān)系.【詳解】是偶函數(shù)，，而，因為在上遞減，，即．故選:D【點睛】本小題主要考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性比較大小，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

利用復(fù)數(shù)的三角形式的乘法運算法則即可得出．【詳解】z1z2＝（cos23°+isin23°）?（cos37°+isin37°）＝cos60°+isin60°＝．故答案為C．【點睛】熟練掌握復(fù)數(shù)的三角形式的乘法運算法則是解題的關(guān)鍵，復(fù)數(shù)問題高考必考，常見考點有：點坐標(biāo)和復(fù)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，點的象限和復(fù)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，復(fù)數(shù)的加減乘除運算，復(fù)數(shù)的模長的計算.10、C【解析】

求得拋物線的焦點坐標(biāo)，可得雙曲線方程的漸近線方程為，由題意可得，又，即，解得，，即可得到所求雙曲線的方程.【詳解】解：拋物線的焦點為可得雙曲線即為的漸近線方程為由題意可得，即又，即解得，.即雙曲線的方程為.故選：C【點睛】本題主要考查了求雙曲線的方程，屬于中檔題.11、D【解析】試題分析：由,得,則，故選D.考點：1、復(fù)數(shù)的運算；2、復(fù)數(shù)的模.12、B【解析】

利用復(fù)數(shù)的四則運算即可求解.【詳解】由.故選：B【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運算，需掌握復(fù)數(shù)的運算法則，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)程序框圖得到程序功能，結(jié)合分段函數(shù)進行計算即可.【詳解】解：程序的功能是計算，若輸出的實數(shù)的值為，則當(dāng)時，由得，當(dāng)時，由，此時無解.故答案為：.【點睛】本題主要考查程序框圖的識別和判斷，理解程序功能是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

計算R（t，0），PR＝t﹣（t），△PRS的面積為S，導(dǎo)數(shù)S′，由S′＝0得t＝1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值.【詳解】∵PQ∥y軸，P（t，0），∴Q（t，f（t））即Q（t，），又f（x）＝etx（t＞0）的導(dǎo)數(shù)f′（x）＝tetx，∴過Q的切線斜率k＝t，設(shè)R（r，0），則k，∴r＝t，即R（t，0），PR＝t﹣（t），又S（1，f（1））即S（1，et），∴△PRS的面積為S，導(dǎo)數(shù)S′，由S′＝0得t＝1，當(dāng)t＞1時，S′＞0，當(dāng)0＜t＜1時，S′＜0，∴t＝1為極小值點，也為最小值點，∴△PRS的面積的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求面積的最值問題，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.15、11【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)運算法則計算復(fù)數(shù)z，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念和模長公式計算得解.【詳解】復(fù)數(shù)z，∵復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，∴，解得a＝1，∴z＝i，∴|z|＝1，故答案為：1，1．【點睛】此題考查復(fù)數(shù)的概念和模長計算，根據(jù)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)建立方程求解，計算模長，關(guān)鍵在于熟練掌握復(fù)數(shù)的運算法則.16、【解析】

由得，即得解.【詳解】由題意可知，則.解得，所以，向量與的夾角為.故答案為：【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的計算和夾角的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）取AB的中點O，連接，證得，從而證得C′O⊥平面ABD，再結(jié)合面面垂直的判定定理，即可證得平面⊥平面；（2）以O(shè)為原點，AB，OC所在的直線為y軸，z軸，建立的空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.【詳解】(1)取AB的中點O，連接，，在Rt△和Rt△ADB中，AB=2，則=DO=1，又C′D=，所以，即⊥OD，又⊥AB，且AB∩OD=O，平面ABD，所以⊥平面ABD，又C′O?平面，所以平面⊥平面DAB（2）以O(shè)為原點，AB，OC所在的直線為y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，-1，0)，B(0，1，0)，C′(0，0，1)，，所以，，，設(shè)平面的法向量為=()，則，即，代入坐標(biāo)得，令，得，，所以，設(shè)平面的法向量為=（），則，即，代入坐標(biāo)得，令，得，，所以，所以，所以二面角A-C′D-B的余弦值為.【點睛】本題考查了面面垂直的判定與證明，以及空間角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，通過嚴(yán)密推理是線面位置關(guān)系判定的關(guān)鍵，同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.18、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）．【解析】試題分析：（1）取中點，連，，由等邊三角形三邊合一可知，，即證．（2）以，，為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法可求得平面與平面所成的銳二面角的余弦值．試題解析：（Ⅰ）證明：連，，則和皆為正三角形．取中點，連，，則，，則平面，則（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又，所以．如圖所示，分別以，，為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面的法向量為，因為，，所以取面的法向量取，則，平面與平面所成的銳二面角的余弦值．19、（1）（為參數(shù)）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)伸縮變換結(jié)合曲線的參數(shù)方程可得出曲線的參數(shù)方程；（2）將曲線的方程化為普通方程，然后化為極坐標(biāo)方程，設(shè)點的極坐標(biāo)為，點的極坐標(biāo)為，將這兩點的極坐標(biāo)代入橢圓的極坐標(biāo)方程，得出和關(guān)于的表達(dá)式，然后利用三角恒等變換思想即可求出面積的最大值．【詳解】（1）由于曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將曲線上每一點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，得到曲線，則曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；（2）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程得，化為極坐標(biāo)方程得，即，設(shè)點的極坐標(biāo)為，點的極坐標(biāo)為，將這兩點的極坐標(biāo)代入橢圓的極坐標(biāo)方程得，，的面積為，當(dāng)時，的面積取到最大值.【點睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，考查了伸縮變換，同時也考查了利用極坐標(biāo)方程求解三角形面積的最值問題，要熟悉極坐標(biāo)方程所適用的基本類型，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.20、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）由已知條件得出、的值，進而可得出的值，由此可求得橢圓的方程；（2）設(shè)點，可得，且，，求出直線的斜率，進而可求得直線與的方程，將直線直線與的方程聯(lián)立，求出點的坐標(biāo)，即可證得結(jié)論.【詳解】（1）由題設(shè)，得，所以，即．故橢圓的方程為；（2）設(shè)，則，，．所以直線的斜率為，因為直線、的斜率的積為，所以直線的斜率為．直線的方程為，直線的方程為．聯(lián)立，解得點的縱坐標(biāo)為．因為點在橢圓上，所以，則，所以點在軸上．【點睛】本題考查橢圓方程的求解，同時也考查了點在定直線的證明，考查計算能力與推理能力，屬于中等題.21、（1）曲線的普通方程為：；曲線的普通方程為：（2）【解析】

（1）消去曲線參數(shù)方程中的參數(shù)，求得和的普通方程.（2）設(shè)出過原點的直線的極坐標(biāo)方程，代入曲線的極坐標(biāo)方程，求得的表達(dá)式，結(jié)合三角函數(shù)值域的求法，求得的最小值.【詳解】（1）曲線的普通方程為：；曲線的普通方程為：.（2）設(shè)過原點的直線的極坐標(biāo)方程為；由得，所以曲線的極坐標(biāo)方程為在曲線中，.由得曲線的極坐標(biāo)方程為，所以而到直線與曲線的交點的距