2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第十一章立體幾何初步11.2平面的基本事實(shí)與推論教師用書教案新人教B版必修第四冊(cè)

PAGE8-11．2平面的基本領(lǐng)實(shí)與推論[課程目標(biāo)]1.嫻熟駕馭平面的基本領(lǐng)實(shí)；2.駕馭平面基本領(lǐng)實(shí)的三個(gè)推論，會(huì)用三種語言表述推論．學(xué)問點(diǎn)平面的基本領(lǐng)實(shí)及推論[填一填][答一答]基本領(lǐng)實(shí)1、基本領(lǐng)實(shí)2、基本領(lǐng)實(shí)3的意義和作用是什么？提示：(1)基本領(lǐng)實(shí)1是空間里確定一個(gè)平面位置的方法與途徑，而確定平面是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的重要條件，這個(gè)轉(zhuǎn)化使得立體幾何的問題得以在確定的平面內(nèi)充分運(yùn)用平面幾何的學(xué)問來解決，是立體幾何中解決相當(dāng)一部分問題的主要的思想方法．(2)基本領(lǐng)實(shí)2說明白平面與曲面的本質(zhì)區(qū)分．通過直線的“直”來刻畫平面的“平”，通過直線的“無限延長(zhǎng)”來描述平面的“無限延展性”，它既是推斷直線在平面內(nèi)，又是檢驗(yàn)平面的方法．(3)基本領(lǐng)實(shí)3揭示了兩個(gè)平面相交的主要特征，供應(yīng)了確定兩個(gè)平面交線的方法．類型一數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換[例1]將下面用符號(hào)語言表示的關(guān)系改用文字語言予以敘述，并且用圖形語言予以表示．α∩β＝l，A∈l，AB?α，AC?β.[解]文字語言敘述為：點(diǎn)A在平面α與平面β的交線l上，AB，AC分別在平面α，β內(nèi)．圖形語言表示為如圖．符號(hào)語言簡(jiǎn)潔，層次感強(qiáng).文字語言比較自然、生動(dòng)，它能將問題所探討的對(duì)象的含義更加明白地?cái)⑹龀鰜?教科書上的概念、定理等多以文字語言敘述.圖形語言，易引起清楚的視覺形象，它能直觀地表達(dá)概念、定理的本質(zhì)以及相互關(guān)系，在抽象的數(shù)學(xué)思維面前起著詳細(xì)化和加深理解的作用.各種數(shù)學(xué)語言間的互譯可為我們?cè)诟鼜V袤的思維領(lǐng)域里找尋問題解決的途徑供應(yīng)便利.[變式訓(xùn)練1]用符號(hào)表示下列語句，并畫出圖形．(1)三個(gè)平面α，β，γ相交于一點(diǎn)P，且平面α與平面β交于PA，平面α與平面γ交于PB，平面β與平面γ交于PC；(2)平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC交于AC.解：(1)符號(hào)語言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC.圖形表示：如圖①.(2)符號(hào)語言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.圖形表示：如圖②.類型二共面問題[例2]求證：兩兩相交且不共點(diǎn)的四條直線共面．[分析]可嘗試先證明其中兩條直線確定一個(gè)平面，然后證明其他直線也在此平面內(nèi)．[證明]①?zèng)]有三線共點(diǎn)狀況，如圖(1)所示，設(shè)a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S.∵a∩d＝M，∴a，d可確定一個(gè)平面α.∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α，∴NQ?α，即b?α.同理c?α，∴a，b，c，d共面．②有三線共點(diǎn)的狀況，如圖(2)所示，設(shè)b，c，d三線相交于點(diǎn)K，與a分別交于N，P，M且K?a，∵K?a，∴K和a確定一個(gè)平面，設(shè)為β.∵N∈a，a?β，∴N∈β.∴NK?β，即b?β.同理c?β，d?β，∴a，b，c，d共面．由①②知，a，b，c，d共面．1.證明線共面問題往往先利用條件確定一個(gè)平面.再證明其余線都在此平面內(nèi)，也可以證明兩個(gè)平面重合.2.基本領(lǐng)實(shí)1是確定平面的依據(jù)，基本領(lǐng)實(shí)2是確定線在已確定的平面上的依據(jù).[變式訓(xùn)練2]一條直線與三條平行直線都相交．求證：這四條直線共面．證明：因?yàn)閍∥b，所以a和b確定一個(gè)平面α.因?yàn)閘∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈α，B∈α.故l?α.又a∥c，所以a和c確定一個(gè)平面β.同理l?β.即l和a既在α內(nèi)又在β內(nèi)，且l與a相交，故α，β重合，即直線a，b，c，l共面．類型三共線共點(diǎn)問題[例3]已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如圖所示，求證：P、Q、R三點(diǎn)共線．[證明]證法1：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.∴點(diǎn)P在平面ABC與平面α的交線上．同理可證Q、R也在平面ABC與平面α的交線上．∴P、Q、R三點(diǎn)共線．證法2：∵AP∩AR＝A，∴直線AP與直線AR確定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC?平面APR.∴Q∈平面APR，又∵Q∈α，∴Q∈PR，∴P、Q、R三點(diǎn)共線．證明多點(diǎn)共線的方法是利用基本領(lǐng)實(shí)3，只需說明這些點(diǎn)都是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，則必在這兩個(gè)面的交線上.證法二的思路為P、R確定一條直線，Q也在這條直線上，這也是證明共點(diǎn)、共線、共面問題的常用方法.[變式訓(xùn)練3]如圖所示，在四面體ABCD中，E、G分別為BC、AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在CD上，H在AD上，且有DFFC＝DHHA＝23.求證：直線EF、GH、BD交于一點(diǎn)．證明：∵E、G分別為BC、AB的中點(diǎn)，∴GE∥AC.又∵DFFC＝DHHA＝23，∴FH∥AC，從而FH∥GE.故E、F、H、G四點(diǎn)共面．∵AGGB＝11，AHHD＝32，∴AGGB≠AHHD.∴GH不平行于BD.同理，EF不平行于BD.∵FH≠GE，∴GH不平行于EF.∴四邊形EFHG是一個(gè)梯形，設(shè)GH和EF交于一點(diǎn)O.∵O在平面ABD內(nèi)，又在平面BCD內(nèi)，∴O在這兩個(gè)平面的交線上，而這兩個(gè)平面的交線是BD，且交線只有這一條，∴點(diǎn)O在直線BD上．∴EF、GH、BD交于一點(diǎn)．類型四交線問題[例4]如圖所示，G是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，E，F(xiàn)是棱AB，BC(1)過點(diǎn)G及直線AC；(2)過三點(diǎn)E，F(xiàn)，D1.[解](1)畫法：連接GA交A1D1于點(diǎn)M；連接GC交C1D1于點(diǎn)N；連接MN，AC，則MA，CN，MN，AC為所求平面與正方體表面的交線．如圖①所示．(2)畫法：連接EF交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q；連接D1P交CC1于點(diǎn)M，連接D1Q交AA1于點(diǎn)N；連接MF，NE，則D1M，MF，F(xiàn)E，EN，ND1為所求平面與正方體表面的交線．如圖②畫兩平面的交線時(shí)，關(guān)鍵是找到這兩個(gè)平面的兩個(gè)公共點(diǎn)，這兩個(gè)公共點(diǎn)的連線即是交線.在找公共點(diǎn)的過程中往往要借助于基本領(lǐng)實(shí)2和基本領(lǐng)實(shí)3，一般是用基本領(lǐng)實(shí)2找到，再用基本領(lǐng)實(shí)3證明.[變式訓(xùn)練4]在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，P為棱BB1的中點(diǎn)，畫出由A1、C1、P三點(diǎn)所確定的平面α與長(zhǎng)方體表面的交線，并作出平面α與平面ABCD解：平面α與長(zhǎng)方體表面的交線，如右圖．平面α與平面ABCD的交線可以這樣確定：如圖，延長(zhǎng)C1P則它與CB肯定相交，設(shè)交點(diǎn)為點(diǎn)M，則M是平面α與平面ABCD的一個(gè)公共點(diǎn)，延長(zhǎng)A1P交AB于點(diǎn)N，則N也是平面α與平面ABCD的一個(gè)公共點(diǎn)，故MN就是兩平面的交線．1．已知點(diǎn)A，直線a，平面α，以下命題表達(dá)正確且為真命題的個(gè)數(shù)是(A)①A∈a，a?α?A?α.②A∈a，a∈α?A∈α.③A?a，a?α?A?α.④A∈a，a?α?A?α.A．0B．1C．2D．3解析：①中，若a∩α＝A，則A∈α，∴①錯(cuò)；②中，a∈α的符號(hào)錯(cuò)誤，應(yīng)為a?α，∴②錯(cuò)；③中，A可以在平面α內(nèi)直線a以外的其余點(diǎn)處，故③錯(cuò)；④中，A∈a，a?α，∴A∈α，這里A?α的符號(hào)錯(cuò)．2．若始終線a在平面α內(nèi)，則正確的作圖是(A)解析：B中直線a不應(yīng)超出平面α；C中直線a不在平面α內(nèi)；D中直線a與平面α相交．3．給出以下結(jié)論，其中正確的個(gè)數(shù)是(B)①在空間中，若四點(diǎn)中任何三點(diǎn)不共線，則此四點(diǎn)不共面．②假如直線a?平面α，直線b?平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，則l?α.③已知三個(gè)平面α、β、γ兩兩相交，并且它們的交線交于一點(diǎn)，那么平面α、β、γ可將空間分成八部分．A．1B．2C．3D．0解析：①錯(cuò)誤，平行四邊形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)中，隨意三點(diǎn)不共線，但這四點(diǎn)共面；②直線l即直線MN，∵M(jìn)∈a，N∈b，a?α，b?α，∴M∈α，N∈α，∴l(xiāng)?α正確．③正確，如墻角．4．在空間中，可以確定一個(gè)平面的條件的序號(hào)有④.①兩兩相交的三條直線．②三條直線，其中的一條與另外兩條直線分別相交．③三個(gè)點(diǎn)．④三條直線，它們兩兩相交，但不交于同一點(diǎn)．解析：①中兩兩相交的三條直線，它們可能交于同一個(gè)點(diǎn)，也可能不交于同一個(gè)點(diǎn)，若交于同一