2024-2025學年新教材高中數學第十一章立體幾何初步11.2平面的基本事實與推論教師用書教案新人教B版必修第四冊

PAGE8-11．2平面的基本領實與推論[課程目標]1.嫻熟駕馭平面的基本領實；2.駕馭平面基本領實的三個推論，會用三種語言表述推論．學問點平面的基本領實及推論[填一填][答一答]基本領實1、基本領實2、基本領實3的意義和作用是什么？提示：(1)基本領實1是空間里確定一個平面位置的方法與途徑，而確定平面是將空間問題轉化為平面問題的重要條件，這個轉化使得立體幾何的問題得以在確定的平面內充分運用平面幾何的學問來解決，是立體幾何中解決相當一部分問題的主要的思想方法．(2)基本領實2說明白平面與曲面的本質區(qū)分．通過直線的“直”來刻畫平面的“平”，通過直線的“無限延長”來描述平面的“無限延展性”，它既是推斷直線在平面內，又是檢驗平面的方法．(3)基本領實3揭示了兩個平面相交的主要特征，供應了確定兩個平面交線的方法．類型一數學語言的轉換[例1]將下面用符號語言表示的關系改用文字語言予以敘述，并且用圖形語言予以表示．α∩β＝l，A∈l，AB?α，AC?β.[解]文字語言敘述為：點A在平面α與平面β的交線l上，AB，AC分別在平面α，β內．圖形語言表示為如圖．符號語言簡潔，層次感強.文字語言比較自然、生動，它能將問題所探討的對象的含義更加明白地敘述出來.教科書上的概念、定理等多以文字語言敘述.圖形語言，易引起清楚的視覺形象，它能直觀地表達概念、定理的本質以及相互關系，在抽象的數學思維面前起著詳細化和加深理解的作用.各種數學語言間的互譯可為我們在更廣袤的思維領域里找尋問題解決的途徑供應便利.[變式訓練1]用符號表示下列語句，并畫出圖形．(1)三個平面α，β，γ相交于一點P，且平面α與平面β交于PA，平面α與平面γ交于PB，平面β與平面γ交于PC；(2)平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC交于AC.解：(1)符號語言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC.圖形表示：如圖①.(2)符號語言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.圖形表示：如圖②.類型二共面問題[例2]求證：兩兩相交且不共點的四條直線共面．[分析]可嘗試先證明其中兩條直線確定一個平面，然后證明其他直線也在此平面內．[證明]①沒有三線共點狀況，如圖(1)所示，設a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S.∵a∩d＝M，∴a，d可確定一個平面α.∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α，∴NQ?α，即b?α.同理c?α，∴a，b，c，d共面．②有三線共點的狀況，如圖(2)所示，設b，c，d三線相交于點K，與a分別交于N，P，M且K?a，∵K?a，∴K和a確定一個平面，設為β.∵N∈a，a?β，∴N∈β.∴NK?β，即b?β.同理c?β，d?β，∴a，b，c，d共面．由①②知，a，b，c，d共面．1.證明線共面問題往往先利用條件確定一個平面.再證明其余線都在此平面內，也可以證明兩個平面重合.2.基本領實1是確定平面的依據，基本領實2是確定線在已確定的平面上的依據.[變式訓練2]一條直線與三條平行直線都相交．求證：這四條直線共面．證明：因為a∥b，所以a和b確定一個平面α.因為l∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈α，B∈α.故l?α.又a∥c，所以a和c確定一個平面β.同理l?β.即l和a既在α內又在β內，且l與a相交，故α，β重合，即直線a，b，c，l共面．類型三共線共點問題[例3]已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如圖所示，求證：P、Q、R三點共線．[證明]證法1：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.∴點P在平面ABC與平面α的交線上．同理可證Q、R也在平面ABC與平面α的交線上．∴P、Q、R三點共線．證法2：∵AP∩AR＝A，∴直線AP與直線AR確定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC?平面APR.∴Q∈平面APR，又∵Q∈α，∴Q∈PR，∴P、Q、R三點共線．證明多點共線的方法是利用基本領實3，只需說明這些點都是兩個平面的公共點，則必在這兩個面的交線上.證法二的思路為P、R確定一條直線，Q也在這條直線上，這也是證明共點、共線、共面問題的常用方法.[變式訓練3]如圖所示，在四面體ABCD中，E、G分別為BC、AB的中點，F在CD上，H在AD上，且有DFFC＝DHHA＝23.求證：直線EF、GH、BD交于一點．證明：∵E、G分別為BC、AB的中點，∴GE∥AC.又∵DFFC＝DHHA＝23，∴FH∥AC，從而FH∥GE.故E、F、H、G四點共面．∵AGGB＝11，AHHD＝32，∴AGGB≠AHHD.∴GH不平行于BD.同理，EF不平行于BD.∵FH≠GE，∴GH不平行于EF.∴四邊形EFHG是一個梯形，設GH和EF交于一點O.∵O在平面ABD內，又在平面BCD內，∴O在這兩個平面的交線上，而這兩個平面的交線是BD，且交線只有這一條，∴點O在直線BD上．∴EF、GH、BD交于一點．類型四交線問題[例4]如圖所示，G是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1延長線上一點，E，F是棱AB，BC(1)過點G及直線AC；(2)過三點E，F，D1.[解](1)畫法：連接GA交A1D1于點M；連接GC交C1D1于點N；連接MN，AC，則MA，CN，MN，AC為所求平面與正方體表面的交線．如圖①所示．(2)畫法：連接EF交DC的延長線于點P，交DA的延長線于點Q；連接D1P交CC1于點M，連接D1Q交AA1于點N；連接MF，NE，則D1M，MF，FE，EN，ND1為所求平面與正方體表面的交線．如圖②畫兩平面的交線時，關鍵是找到這兩個平面的兩個公共點，這兩個公共點的連線即是交線.在找公共點的過程中往往要借助于基本領實2和基本領實3，一般是用基本領實2找到，再用基本領實3證明.[變式訓練4]在長方體ABCD-A1B1C1D1中，P為棱BB1的中點，畫出由A1、C1、P三點所確定的平面α與長方體表面的交線，并作出平面α與平面ABCD解：平面α與長方體表面的交線，如右圖．平面α與平面ABCD的交線可以這樣確定：如圖，延長C1P則它與CB肯定相交，設交點為點M，則M是平面α與平面ABCD的一個公共點，延長A1P交AB于點N，則N也是平面α與平面ABCD的一個公共點，故MN就是兩平面的交線．1．已知點A，直線a，平面α，以下命題表達正確且為真命題的個數是(A)①A∈a，a?α?A?α.②A∈a，a∈α?A∈α.③A?a，a?α?A?α.④A∈a，a?α?A?α.A．0B．1C．2D．3解析：①中，若a∩α＝A，則A∈α，∴①錯；②中，a∈α的符號錯誤，應為a?α，∴②錯；③中，A可以在平面α內直線a以外的其余點處，故③錯；④中，A∈a，a?α，∴A∈α，這里A?α的符號錯．2．若始終線a在平面α內，則正確的作圖是(A)解析：B中直線a不應超出平面α；C中直線a不在平面α內；D中直線a與平面α相交．3．給出以下結論，其中正確的個數是(B)①在空間中，若四點中任何三點不共線，則此四點不共面．②假如直線a?平面α，直線b?平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，則l?α.③已知三個平面α、β、γ兩兩相交，并且它們的交線交于一點，那么平面α、β、γ可將空間分成八部分．A．1B．2C．3D．0解析：①錯誤，平行四邊形ABCD四個頂點中，隨意三點不共線，但這四點共面；②直線l即直線MN，∵M∈a，N∈b，a?α，b?α，∴M∈α，N∈α，∴l(xiāng)?α正確．③正確，如墻角．4．在空間中，可以確定一個平面的條件的序號有④.①兩兩相交的三條直線．②三條直線，其中的一條與另外兩條直線分別相交．③三個點．④三條直線，它們兩兩相交，但不交于同一點．解析：①中兩兩相交的三條直線，它們可能交于同一個點，也可能不交于同一個點，若交于同一