新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講與練第3講 均值不等式及其應(yīng)用（解析版）

第3講均值不等式及其應(yīng)用學(xué)校____________姓名____________班級____________一、知識梳理1.均值不等式如果a，b都是正數(shù)，那么eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，當且僅當a＝b時，等號成立.數(shù)eq\f(a＋b,2)稱為a，b的算術(shù)平均值；數(shù)eq\r(ab)稱為a，b的幾何平均值.2.兩個重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當且僅當a＝b時取等號.(2)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，當且僅當a＝b時取等號.3.利用均值不等式求最值(1)已知x，y都是正數(shù)，如果積xy等于定值P，那么當x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2eq\r(P).(2)已知x，y都是正數(shù)，如果和x＋y等于定值S，那么當x＝y(tǒng)時，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.考點和典型例題1、利用均值不等式求最值【典例1-1】（2022·遼寧鞍山·二模）已知正實數(shù)a、b滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．5 D．9【答案】B【詳解】SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時等號成立.故選：B.【典例1-2】（（2022·山東濰坊·二模）已知正實數(shù)a，b滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】B【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時等號成立，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為正實數(shù)，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，故選：B.【典例1-3】（（2022·天津紅橋·一模）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．6 B．9 C．SKIPIF1<0 D．18【答案】B【詳解】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時取等號，故SKIPIF1<0的最小值為9；故選：B【典例1-4】（（2022·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為__．【答案】SKIPIF1<0【詳解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當且僅當析SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，等號成立.故答案為：SKIPIF1<0【典例1-5】（（2022·天津南開·一模）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為______．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【詳解】由題意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時取得等號，故SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<02、均值不等式的綜合應(yīng)用【典例2-1】（2022·江蘇·漣水縣第一中學(xué)高三期中）已知SKIPIF1<0分別為雙曲線SKIPIF1<0的左?右焦點，SKIPIF1<0為雙曲線右支上任一點，則SKIPIF1<0最小值為（

）A．19 B．23 C．25 D．85【答案】B【詳解】令SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時等號成立，所以SKIPIF1<0，即最小值為23.故選：B【典例2-2】（2022·陜西渭南·二模（理））若對SKIPIF1<0x，SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0成立，則實數(shù)a的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時等號成立，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時等號成立，所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0；由題意知，SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，故a的最小值為SKIPIF1<0.故選：B.【典例2-3】（2022·河北·高三階段練習(xí)）已知實數(shù)a，b滿足條件SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】D【詳解】因為SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時取等號，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時等號成立，所以SKIPIF1<0的最小值為2故選：D.【典例2-4】（2022·安徽黃山·二模（理））設(shè)SKIPIF1<0的內(nèi)角SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0面積的取值范圍為______________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，化簡得：SKIPIF1<0，由正弦定理可得：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當僅當SKIPIF1<0時等號成立，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0【典例2-5】（2022·浙江·高三開學(xué)考試）已知正實數(shù)a，b，c，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為_______________．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【詳解】由正實數(shù)a，b，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0而SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時取等號，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，即SKIPIF1<0時取等號，故答案為：SKIPIF1<03、均值不等式的實際應(yīng)用【典例3-1】兩直立矮墻成SKIPIF1<0二面角，現(xiàn)利用這兩面矮墻和籬笆圍成一個面積為SKIPIF1<0的直角梯形菜園SKIPIF1<0墻足夠長SKIPIF1<0，則所用籬笆總長度的最小值為（

）A．16m B．18mC．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，設(shè)籬笆長度為y，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，梯形的面積為SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時等號成立，所以籬笆總長度最小為18m．故選：B【典例3-2】如圖，鎮(zhèn)江金山的江天禪寺是歷史悠久的佛教圣地，其周圍的金山湖公園也成為市民休閑旅游的最佳選擇.為了擴大對家鄉(xiāng)旅游的宣傳，現(xiàn)對江天禪寺進行無人機拍照.已知慈壽塔DE的右側(cè)是金山湖，我們選擇了三個點，分別是寶塔左側(cè)一點A與湖對岸B，F(xiàn)點，設(shè)寶塔底部E點和這三個點在同一直線上，無人機從A點沿AD直線飛行200米到達寶塔頂部D點后，然后再飛到F點的正上方，對山腳的江天禪寺EB區(qū)域進行拍照.現(xiàn)測得從A處看寶塔頂部D的仰角為60°，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0米.若無人機在C點處獲得最佳拍照角度時（即SKIPIF1<0最大），該無人機離地面的高度為（

）A．SKIPIF1<0米 B．SKIPIF1<0米 C．SKIPIF1<0米 D．200米【答案】C【詳解】在SKIPIF1<0中，由正弦定理得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，再由余弦定理：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)該無人機離地面的高度為SKIPIF1<0米，則SKIPIF1<0，當且僅當：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0取等號，此時無人機獲得最佳拍照角度，該無人機離地面的高度為SKIPIF1<0米.故選：C【典例3-3】某校生物興趣小組為開展課題研究，分得一塊面積為32SKIPIF1<0的矩形空地，并計劃在該空地上設(shè)置三塊全等的矩形試驗區(qū)（如圖所示）.要求試驗區(qū)四周各空0.5SKIPIF1<0，各試驗區(qū)之間也空0.5SKIPIF1<0.則每塊試驗區(qū)的面積的最大值為___________SKIPIF1<0.【答案】6【詳解】設(shè)矩形空地的長為SKIPIF1<0m，則寬為SKIPIF1<0m，依題意可得，試驗區(qū)的總面積SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時等號成立，所以每塊試驗區(qū)的面積的最大值為SKIPIF1<0.故答案為：6【典例3-4】蘄春縣內(nèi)有一路段A長325米，在某時間內(nèi)的車流量y（千輛/小時）與汽車的平均速度v（千米/小時）之間的函數(shù)關(guān)系為SKIPIF1<0，交通部門利用大數(shù)據(jù)，采用“信號燈不再固定長短，交通更加智能化”策略，紅燈設(shè)置時間T（秒）＝路段長×SKIPIF1<0，那么在車流量最大時，路段A的紅燈設(shè)置時間為___________秒.【答案】87.75##SKIPIF1<0【詳解】不妨設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時等號成