新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 北京卷押題練習(xí) 第17題 空間向量與立體幾何 解答題（解析版）

空間向量與立體幾何核心考點考情統(tǒng)計考向預(yù)測備考策略線面垂直，二面角2022·北京卷T13預(yù)測2024年新高考命題方向?qū)⒗^續(xù)線面位置關(guān)系，二面角展開命題．三角恒等變換是利用三角恒等式(兩角和與差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)進行變換，“角”的變換是三角恒等變換的核心線面平行，線面角2020·北京卷T14點的位置，二面角2019·北京卷T91.（2023·北京卷T16）如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)求證：SKIPIF1<0平面PAB；(2)求二面角SKIPIF1<0的大小．【解】（1）因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為直角三角形，又因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為直角三角形，故SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）由（1）SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為原點，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，過SKIPIF1<0且與SKIPIF1<0平行的直線為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標系，如圖，

則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為二面角SKIPIF1<0為銳二面角，所以二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0.2.（2022·北京卷T17）如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，側(cè)面SKIPIF1<0為正方形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M，N分別為SKIPIF1<0，AC的中點．(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．條件①：SKIPIF1<0；條件②：SKIPIF1<0．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．【解】（1）取SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，由三棱柱SKIPIF1<0可得四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，而SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，（2）因為側(cè)面SKIPIF1<0為正方形，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，若選①，則SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故可建立如所示的空間直角坐標系，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.若選②，因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故可建立如所示的空間直角坐標系，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.3.（2021·北京卷T17）如圖：在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0．（1）求證：SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點；（2）點SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上一點，且二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【解】(1)如圖所示，取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連結(jié)SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0為正方體，SKIPIF1<0為中點，故SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0四點共面，即平面CDE即平面SKIPIF1<0，據(jù)此可得：直線SKIPIF1<0交平面SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，當(dāng)直線與平面相交時只有唯一的交點，故點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0重合，即點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點.(2)以點SKIPIF1<0為坐標原點，SKIPIF1<0方向分別為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸正方向，建立空間直角坐標系SKIPIF1<0，不妨設(shè)正方體的棱長為2，設(shè)SKIPIF1<0，則：SKIPIF1<0，從而：SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為：SKIPIF1<0，則：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為：SKIPIF1<0，則：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，從而：SKIPIF1<0，則：SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0（SKIPIF1<0舍去）.1.直線與平面所成角如圖所示，設(shè)l為平面α的斜線，l∩α＝A，a為l的方向向量，n為平面α的法向量，θ為l與α所成的角，則sinθ＝｜cos＜a，n＞｜＝SKIPIF1<0【提醒】直線與平面所成角的范圍為SKIPIF1<0，而向量之間的夾角的范圍為[0，π]，所以公式中要加絕對值.2.平面與平面的夾角（1）平面與平面的夾角：平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角，如圖①.若平面α，β的法向量分別是n1和n2，則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的夾角或其補角.設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，則cosθ＝｜cos＜n1，n2＞｜＝SKIPIF1<0；（2）二面角：二面角α－l－β為θ或π－θ.設(shè)二面角大小為φ，則｜cosφ｜＝cosθ＝SKIPIF1<0，如圖②③.【提醒】注意二面角與兩個平面的夾角的區(qū)別與聯(lián)系，二面角的范圍為[0，π]，兩個平面的夾角的范圍為SKIPIF1<03.用向量法求異面直線所成的角的一般步驟(1)建立空間直角坐標系；(2)用坐標表示兩異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)注意兩異面直線所成角的范圍是SKIPIF1<0，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對值.4.向量法求直線與平面所成角的主要方法是：(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，將題目轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補角，取其余角就是斜線和平面所成的角.5.向量法求平面與平面夾角（二面角）的方法（1）找法向量：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角的大?。唬?）找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小.1．如圖所示，將邊長為2的正方形SKIPIF1<0沿對角線SKIPIF1<0折起，得到三棱錐SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點.

(1)證明：SKIPIF1<0(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求二面角SKIPIF1<0的余弦值及點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離．①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0【解】（1）證明：正方形SKIPIF1<0沿對角線SKIPIF1<0折起后的不變關(guān)系為SKIPIF1<0.連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如下圖：

因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理得SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）若選擇①，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由（1）可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩兩垂直，建立SKIPIF1<0空間直角坐標系，如下圖所示：

則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0的一個法向量SKIPIF1<0，于是，SKIPIF1<0，所以結(jié)合圖像可知，二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，所以A到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.若選擇②，SKIPIF1<0由（1）得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩兩垂直，建立SKIPIF1<0空間直角坐標系，如下圖所示：

則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0的一個法向量SKIPIF1<0，于是，SKIPIF1<0，所以結(jié)合圖像可知，二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，所以A到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.2．如圖，在五面體SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0.

(1)求證：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.條件①：SKIPIF1<0；條件②：SKIPIF1<0.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分【解】（1）證明：底面SKIPIF1<0為正方形,則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.（2）選①，取SKIPIF1<0中點G,連接SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0為梯形SKIPIF1<0的中位線，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0必相交，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，延長GM交BC于P,則P為中點，易得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為矩形.以M為原點，SKIPIF1<0所在直線為z軸，MG所在直線為x軸，過M作CB平行線為y軸，建立空間直角坐標系如圖：則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0.

選②：取SKIPIF1<0中點G,連接SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0為梯形SKIPIF1<0的中位線，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由題SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，延長GM交BC于P,則P為中點，易得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為矩形.以M為原點，SKIPIF1<0所在直線為z軸，MG所在直線為x軸，過M作CB平行線為y軸，建立空間直角坐標系如圖：則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0..3．如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面ABCD是邊長為2的正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E為BC的中點，F(xiàn)為PD的中點．(1)求證：SKIPIF1<0平面PAB；(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線AD與平面AEF所成角的正弦值．條件①：SKIPIF1<0；條件②：SKIPIF1<0．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．【解】（1）取PA中點G，連接GB，GF，如圖所示：因為F為PD的中點，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為四邊形ABCD為正方形，E為BC中點，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以四邊形BEFG為平行四邊形，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面PAB，SKIPIF1<0平面PAB．所以SKIPIF1<0平面PAB．（2）選條件①：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面PAB，SKIPIF1<0平面PAB，所以SKIPIF1<0平面PAB，又SKIPIF1<0平面PAB，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，以點A為坐標原點建立空間直角坐標系SKIPIF1<0，如圖所示：所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面AEF的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直線AD與平面AEF所成角SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0．所以直線AD與平面AEF所成角的正弦值為SKIPIF1<0.選條件②：SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0平面ABCD，故SKIPIF1<0平面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，SKIPIF1<0，以點A為坐標原點建立空間直角坐標系SKIPIF1<0，如圖所示：所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面AEF的法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直線AD與平面AEF所成角SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以直線AD與平面AEF所成角的正弦值為SKIPIF1<0.4．如圖，在五面體SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0是矩形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是正三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)求證：SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的余弦值．【解】（1）因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）如圖，分別取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，

則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0是正三角形，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，如圖，以點SKIPIF1<0為原點建立空間直角坐標系，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，可取SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即為平面SKIPIF1<0的一條法向量，則SKIPIF1<0，所以二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0．5．如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，側(cè)面SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點．(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的余弦值．【解】（1）如圖，連接SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．因為在三棱柱SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點．因為SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0．又因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（2）因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩兩相互垂直．如圖建立空間直角坐標系SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設(shè)平面SKIPIF1<0的法間量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于是SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的一個法向量．所以SKIPIF1<0．由題設(shè)，二面角SKIPIF1<0的平面角為鈍角，所以二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0．6．如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點(1)求證：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的余弦值.【解】（1）連接SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0四點共面.因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形.所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）由題設(shè)SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0兩兩垂直.如圖建立空間直角坐標系SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.平面SKIPIF1<0的一個法向量是SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.于是SKIPIF1<0，設(shè)二面角SKIPIF1<0的平面角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由圖可知SKIPIF1<0為銳角，所以SKIPIF1<0.7．如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使四棱錐SKIPIF1<0存在且唯一確定.（i）求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（ⅱ）設(shè)平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的余弦值.條件①：SKIPIF1<0；條件②：SKIPIF1<0；條件③：SKIPIF1<0.注：如果選擇的條件不符合要求，第（1）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.【解】（1）取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0四點共面，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）（i）取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，由（1）知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，選條件①：SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0全等，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（ⅱ）由（i）知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，建立如圖所示空間直角坐標系SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的法向量,且SKIPIF1<0,所以二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0.選條件③：SKIPIF1<0，(i)因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0全等，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(ii)同選條件①.不可選條件②，理由如下：由（i）可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是由已知條件可推出的條件，故不可選條件②.8．如圖，四棱柱SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0是邊長為SKIPIF1<0的正方形，側(cè)面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點．

(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個條件作為已知，使二面角SKIPIF1<0唯一確定，并求二面角SKIPIF1<0的余弦值．條件①：SKIPIF1<0；條件②：SKIPIF1<0；條件③：SKIPIF1<0．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．【解】（1）證明：方法一：在四棱柱SKIPIF1<0中，連結(jié)SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，連結(jié)SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，因為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.方法二：在四棱柱SKIPIF1<0中，設(shè)SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0，連結(jié)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為平行四邊形，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為平行四邊形，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．

（2）選擇條件①：因為底面SKIPIF1<0是正方形，所以SKIPIF1<0，側(cè)面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且側(cè)面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即四邊形SKIPIF1<0為矩形，因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，與選擇條件①：SKIPIF1<0等價，故條件SKIPIF1<0不能進一步確定SKIPIF1<0的夾角大小，故二面角SKIPIF1<0不能確定；選擇條件②：連結(jié)SKIPIF1<0，因為底面SKIPIF1<0是正方形，所以SKIPIF1<0，又因為側(cè)面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且側(cè)面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以如圖建立空間直角坐標系SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的一個法向量，設(shè)SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0面的一個法向量，則SKIPIF1<0即SKIPIF1<0.不妨設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為二面角SKIPIF1<0的平面角是鈍角，設(shè)為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0.選擇條件③：因為底面SKIPIF1<0是正方形，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為側(cè)面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且側(cè)面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以如圖建立空間直角坐標系SKIPIF1<0，（下面同選擇條件②）.9．如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點．

(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求二面角SKIPIF1<0的余弦值．條件①：SKIPIF1<0；條件②：SKIPIF1<0．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．【解】（1）

連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因為四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，SKIPIF1<0為它的對角線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0交點，所以點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，因為SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中點，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位線，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）若選條件①：SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0兩兩互相垂直，若選條件②：SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPI