專題39 空間直線、平面的垂直解析版-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義知識(shí)梳理、考點(diǎn)突破和分層檢測(cè)

Page專題39空間直線、平面的垂直（新高考專用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 3【考點(diǎn)突破】 18【考點(diǎn)1】直線、平面垂直的判定與性質(zhì) 18【考點(diǎn)2】平面與平面垂直的判定與性質(zhì) 25【考點(diǎn)3】平行、垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用 35【分層檢測(cè)】 44【基礎(chǔ)篇】 44【能力篇】 56【培優(yōu)篇】 62考試要求：從定義和基本事實(shí)出發(fā)，借助長(zhǎng)方體，通過(guò)直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線l與平面α互相垂直.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示判定定理如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a,l⊥b,a∩b＝O,a?α,b?α))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2.直線和平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是90°；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°.(2)范圍：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3.二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.(2)二面角的平面角若有①O∈l；②OA?α，OB?β；③OA⊥l，OB⊥l，則二面角α－l－β的平面角是∠AOB.(3)二面角的平面角α的范圍：0°≤α≤180°.4.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示判定定理如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l?β))?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l?β))?l⊥α1.三個(gè)重要結(jié)論(1)若兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面.(2)若一條直線垂直于一個(gè)平面，則它垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個(gè)重要方法).(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.2.三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2024·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，，，該棱錐的高為（

）.A．1 B．2 C． D．2．（2024·全國(guó)·高考真題）已知正三棱臺(tái)的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B．1 C．2 D．33．（2023·北京·高考真題）坡屋頂是我國(guó)傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美．如圖，某坡屋頂可視為一個(gè)五面體，其中兩個(gè)面是全等的等腰梯形，兩個(gè)面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長(zhǎng)之和為（

）

A． B．C． D．4．（2023·天津·高考真題）在三棱錐中，點(diǎn)M,N分別在棱PC,PB上，且，，則三棱錐和三棱錐的體積之比為（

）A． B． C． D．二、解答題5．（2024·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，，，,點(diǎn)在上，且，．(1)若為線段中點(diǎn)，求證：平面．(2)若平面，求平面與平面夾角的余弦值．6．（2024·全國(guó)·高考真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．(1)證明：；(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．7．（2024·全國(guó)·高考真題）如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．(1)若，證明：平面；(2)若，且二面角的正弦值為，求．8．（2023·北京·高考真題）如圖，在三棱錐中，平面，．

(1)求證：平面PAB；(2)求二面角的大?。?．（2023·全國(guó)·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，．(1)求證：//平面；(2)若，求三棱錐的體積．10．（2023·全國(guó)·高考真題）如圖，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距離為1．

(1)證明：；(2)已知與的距離為2，求與平面所成角的正弦值．參考答案：1．D【分析】取點(diǎn)作輔助線，根據(jù)題意分析可知平面平面，可知平面，利用等體積法求點(diǎn)到面的距離.【詳解】如圖，底面為正方形，當(dāng)相鄰的棱長(zhǎng)相等時(shí)，不妨設(shè)，分別取的中點(diǎn)，連接，則，且，平面，可知平面，且平面，所以平面平面，過(guò)作的垂線，垂足為，即，由平面平面，平面，所以平面，由題意可得：，則，即，則，可得，所以四棱錐的高為.當(dāng)相對(duì)的棱長(zhǎng)相等時(shí)，不妨設(shè)，，因?yàn)椋藭r(shí)不能形成三角形，與題意不符，這樣情況不存在.故選：D.2．B【分析】解法一：根據(jù)臺(tái)體的體積公式可得三棱臺(tái)的高，做輔助線，結(jié)合正三棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征求得，進(jìn)而根據(jù)線面夾角的定義分析求解；解法二：將正三棱臺(tái)補(bǔ)成正三棱錐，與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，根據(jù)比例關(guān)系可得，進(jìn)而可求正三棱錐的高，即可得結(jié)果.【詳解】解法一：分別取的中點(diǎn)，則，可知，設(shè)正三棱臺(tái)的為，則，解得，如圖，分別過(guò)作底面垂線，垂足為，設(shè)，則，，可得，結(jié)合等腰梯形可得,即，解得，所以與平面ABC所成角的正切值為；解法二：將正三棱臺(tái)補(bǔ)成正三棱錐，則與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，因?yàn)?，則，可知，則，設(shè)正三棱錐的高為，則，解得，取底面ABC的中心為，則底面ABC，且，所以與平面ABC所成角的正切值.故選：B.3．C【分析】先根據(jù)線面角的定義求得，從而依次求，，，，再把所有棱長(zhǎng)相加即可得解.【詳解】如圖，過(guò)做平面，垂足為，過(guò)分別做，，垂足分別為，，連接，

由題意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面與底面夾角分別為和，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，平面，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以?同理：，又，故四邊形是矩形，所以由得，所以，所以，所以在直角三角形中，在直角三角形中，，，又因?yàn)?，所有棱長(zhǎng)之和為.故選：C4．B【分析】分別過(guò)作,垂足分別為.過(guò)作平面，垂足為，連接,過(guò)作,垂足為.先證平面，則可得到，再證.由三角形相似得到，，再由即可求出體積比.【詳解】如圖，分別過(guò)作,垂足分別為.過(guò)作平面，垂足為，連接,過(guò)作,垂足為.

因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面平?又因?yàn)槠矫嫫矫妫?，平面，所以平面，?在中，因?yàn)椋?，所以，在中，因?yàn)?，所以，所?故選：B5．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)為，接，可證四邊形為平行四邊形，由線面平行的判定定理可得平面.（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量后可求夾角的余弦值.【詳解】（1）取的中點(diǎn)為，接，則，而，故，故四邊形為平行四邊形，故，而平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)?，故，故，故四邊形為平行四邊形，故，所以平面，而平面，故，而，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則設(shè)平面的法向量為，則由可得，取，設(shè)平面的法向量為，則由可得，取，故，故平面與平面夾角的余弦值為6．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由題意，根據(jù)余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可證得，則，結(jié)合線面垂直的判定定理與性質(zhì)即可證明；（2）由（1），根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)可證明，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解面面角即可.【詳解】（1）由，得，又，在中，由余弦定理得,所以，則，即，所以，又平面，所以平面，又平面，故；（2）連接，由，則，在中，，得，所以，由（1）知，又平面，所以平面，又平面，所以，則兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，由是的中點(diǎn)，得，所以，設(shè)平面和平面的一個(gè)法向量分別為，則，，令，得，所以，所以，設(shè)平面和平面所成角為，則，即平面和平面所成角的正弦值為.7．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先證出平面，即可得，由勾股定理逆定理可得，從而，再根據(jù)線面平行的判定定理即可證出；（2）過(guò)點(diǎn)D作于，再過(guò)點(diǎn)作于，連接，根據(jù)三垂線法可知，即為二面角的平面角，即可求得，再分別用的長(zhǎng)度表示出，即可解方程求出．【詳解】（1）（1）因?yàn)槠矫?，而平面，所以，又，，平面，所以平面，而平面，所?因?yàn)?，所以，根?jù)平面知識(shí)可知，又平面，平面，所以平面．（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作于，再過(guò)點(diǎn)作于，連接，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?，而平面平面，所以平面，又，所以平面，根?jù)二面角的定義可知，即為二面角的平面角，即，即．因?yàn)?，設(shè)，則，由等面積法可得，，又，而為等腰直角三角形，所以，故，解得，即．8．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先由線面垂直的性質(zhì)證得，再利用勾股定理證得，從而利用線面垂直的判定定理即可得證；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面與平面的法向量，再利用空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，同理，所以為直角三角形，又因?yàn)椋?，所以，則為直角三角形，故，又因?yàn)椋?，所以平?（2）由（1）平面，又平面，則，以為原點(diǎn)，為軸，過(guò)且與平行的直線為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即令，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以，所以，又因?yàn)槎娼菫殇J二面角，所以二面角的大小為.9．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.（2）作出并證明為棱錐的高，利用三棱錐的體積公式直接可求體積.【詳解】（1）連接，設(shè)，則，，，則，解得，則為的中點(diǎn)，由分別為的中點(diǎn)，于是，即，則四邊形為平行四邊形，，又平面平面，所以平面.（2）過(guò)作垂直的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，在中，，所以，因?yàn)椋?，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，即三棱錐的高為，因?yàn)椋?，所以，又，所?10．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面垂直，面面垂直的判定與性質(zhì)定理可得平面，再由勾股定理求出為中點(diǎn)，即可得證；（2）利用直角三角形求出的長(zhǎng)及點(diǎn)到面的距離，根據(jù)線面角定義直接可得正弦值.【詳解】（1）如圖，

底面，面，，又，平面，,平面ACC1A1，又平面，平面平面，過(guò)作交于，又平面平面，平面，平面到平面的距離為1，，在中，，設(shè)，則，為直角三角形，且，，，，，解得，，（2），，過(guò)B作，交于D，則為中點(diǎn)，由直線與距離為2，所以，，，在，，延長(zhǎng)，使，連接，由知四邊形為平行四邊形，，平面，又平面，則在中，，，在中，，，,又到平面距離也為1，所以與平面所成角的正弦值為.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】直線、平面垂直的判定與性質(zhì)一、單選題1．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形是圓柱的軸截面，是底面圓周上異于，的一點(diǎn)，則下面結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．B．平面C．平面平面D．平面2．（2024·遼寧大連·一模）已知直線a，b，c是三條不同的直線，平面α，β，γ是三個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，且，則D．若，且，則3．（23-24高三上·四川·階段練習(xí)）已知l，m是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（

）A．若，，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，且與所成的角和與所成的角相等，則二、多選題4．（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）如圖所示，點(diǎn)為正方體形木料上底面的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．三棱錐的體積為定值B．存在點(diǎn)，使平面C．不存在點(diǎn)，使平面D．經(jīng)過(guò)點(diǎn)在上底面上畫(huà)一條直線與垂直，若與直線重合，則點(diǎn)為上底面中心三、解答題5．（2024·天津河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，，，分別是，的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求證：平面；(3)求直線與平面所成角的正弦值．6．（2024·山東濟(jì)寧·三模）圖1是由正方形ABCD和兩個(gè)正三角形組成的一個(gè)平面圖形，其中，現(xiàn)將沿AD折起使得平面平面，將沿CD折起使得平面平面，連接EF，BE，BF，如圖2.(1)求證:平面；(2)求平面與平面夾角的大小.參考答案：1．D【分析】由條件，結(jié)合線面垂直判定定理證明平面，再證明，判斷A，由，根據(jù)線面平行判定定證明平面，判斷B，由平面，結(jié)合面面垂直判定定理證明平面平面，判斷C，設(shè)平面，結(jié)合線面垂直性質(zhì)可證，推出矛盾，判斷D.【詳解】因?yàn)樗倪呅问菆A柱的軸截面，則線段是直徑，都是母線．又是底面圓周上異于的一點(diǎn)，于是得.而平面，平面，則.因?yàn)?，平面，則平面，因?yàn)槠矫?，因此得，A正確；因?yàn)?平面，平面，所以平面，B正確；因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面平面，C正確．點(diǎn)不在底面內(nèi)，而直線在底面內(nèi)，即是兩條不同直線，若平面，因平面，則，與矛盾，D不正確；故選：D.2．D【分析】由空間中直線與平面的位置關(guān)系，對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行分析即可．【詳解】若，則a，b可以是平行，也可以是相交或異面，故A錯(cuò)誤；若，則或，故B錯(cuò)誤；若且，當(dāng)時(shí)，不能證明，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；若，且，在上取一點(diǎn)，作，由面面垂直的性質(zhì)定理可得且，既與重合，可得，故D正確.故選：D3．C【分析】利用線面的位置關(guān)系，結(jié)合空間想象即可得解.【詳解】若，，，則與有可能平行，故A錯(cuò)誤；若，，則可能在內(nèi)，故B錯(cuò)誤；若，，則，又，則，故C正確；若，且與所成的角和與所成的角相等，則與有可能相交，故D錯(cuò)誤.故選：C.4．AD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三棱錐的體積公式、正方體的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)以及線面平行的性質(zhì)，一一判斷即可【詳解】三棱錐中，底面的面積為定值，由平面平面可知，平面上任意一點(diǎn)到平面的距離都相等，則可得三棱錐的體積為定值．故A選項(xiàng)正確；在正方體中，，平面，且，所以平面，若存在點(diǎn)使得平面，則與重合或平行，顯然這樣的點(diǎn)不存在，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；在正方體中，，平面，平面，所以平面，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，為，則存在點(diǎn)使得平面，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)檎襟w中，平面，由題可得平面，所以，又因?yàn)?，，平面，所以平面，平面，則．當(dāng)與重合時(shí)，．在正方形中，則可得為與的交點(diǎn)，即為上底面的中心，故D選項(xiàng)正確．故選：AD.5．(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)及線面平行的判斷定理，即可證明；（2）根據(jù)線面垂直的判定定理，轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，求線面角，再根據(jù)幾何關(guān)系求解正弦值.【詳解】（1）在中，，分別是，的中點(diǎn)，，又平面，平面，平面．（2）四邊形是正方形，，又平面，平面，

，又，且平面，平面．（3）由（2）知，平面，為斜線在平面上的射影，為直線與平面所成的角．由題意，在中，，，，，即直線與平面所成角的正弦值為．6．(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）取的中點(diǎn)，利用面面垂直的性質(zhì)，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)、線面平行的判定推理即得.（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用面面角的向量求法求解即得.【詳解】（1）分別取棱的中點(diǎn)，連接，由是邊長(zhǎng)為2正三角形，得，又平面平面，平面平面，平面，則平面，同理平面，于是，即四邊形為平行四邊形，，而平面平面，所以平面.（2）取棱的中點(diǎn)，連接，由四邊形為正方形，得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，由，平面平面，平面平面平面，得平面，則為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面的夾角為則，而，解得，所以平面與平面的夾角為.反思提升：(1)證明線面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性；③面面垂直的性質(zhì).(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直，則需借助線面垂直的性質(zhì).【考點(diǎn)2】平面與平面垂直的判定與性質(zhì)一、單選題1．（2024·四川成都·三模）已知直線、、與平面、，下列命題正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，，則2．（2024·江西鷹潭·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在長(zhǎng)方形中，，，E為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段EC（端點(diǎn)除外）上的動(dòng)點(diǎn)．現(xiàn)將沿AF折起，使平面平面，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)D作，K為垂足．設(shè)，則t的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）在正四棱錐中，點(diǎn)分別是棱上的點(diǎn)，且，，，其中，則（

）A．當(dāng)時(shí)，平面平面B．當(dāng)，，時(shí)，平面C．當(dāng)，，時(shí)，點(diǎn)平面D．當(dāng)，時(shí)，存在，使得平面平面4．（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）在正三棱柱中，的重心為，以為球心的球與平面相切．若點(diǎn)在該球面上，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．存在點(diǎn)和實(shí)數(shù)，使得B．三棱錐體積的最大值為C．若直線與平面所成的角為，則的最大值為D．若，則所有滿足條件的點(diǎn)形成的軌跡的長(zhǎng)度為三、解答題5．（2024·江西新余·二模）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，且，.

(1)若為的中點(diǎn)，證明：平面平面；(2)若，，線段上的點(diǎn)滿足，且平面與平面夾角的余弦值為，求實(shí)數(shù)的值.6．（2024·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，平面平面，平面平面．(1)證明：平面ABC．(2)若，，求直線BC與平面所成角的正弦值．參考答案：1．B【分析】對(duì)于A，由只需之間的位置關(guān)系即可判斷；對(duì)于B，由面面垂直的判定即可判斷；對(duì)于C，由線面位置關(guān)系即可判斷；對(duì)于D，由面面垂直的性質(zhì)即可判斷.【詳解】對(duì)于A，若，，則平行、相交或異面；對(duì)于B，若，則存在，使得，又因?yàn)椋?，而，所以，故B正確；對(duì)于C，若，，則或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，，，且如果不在內(nèi)，則不會(huì)有，故D錯(cuò)誤.故選：B.2．A【分析】過(guò)點(diǎn)D作，垂足為H，過(guò)點(diǎn)F作，交AB于點(diǎn)P，設(shè)，用表示，在中，求出的函數(shù)關(guān)系，可求t的取值范圍.【詳解】如圖，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)D作，垂足為H，連接HK．過(guò)點(diǎn)F作，交AB于點(diǎn)P．設(shè)，，，所以．設(shè)，則．因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，，平面，所以平面，又平面，所以．又因?yàn)?，，，平面，所以平面，平面，所以，即．在中，，，因?yàn)楹投际侵苯侨切?，，，所以，則有．因?yàn)椋?，，，所以，，得．因?yàn)?，所以．故選：A.3．BD【分析】舉出反例可判斷A；連接交于點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)可得，由線面平行的判定可知B正確；假設(shè)平面，可知平面與平面重合，顯然不成立，知C錯(cuò)誤；由線面垂直的判定可知平面，取中點(diǎn)，由平行關(guān)系可得平面，則平面與交點(diǎn)滿足題意，知D正確.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，平面與平面重合，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)，，時(shí)，與重合，與重合，為中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，四邊形為正方形，為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，，又平面，平面，平面，即平面，B正確；對(duì)于C，連接，假設(shè)平面，又平面，平面，平面，平面，平面即為平面，顯然不成立，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，取中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，四邊形為正方形，，為正方形的中心，平面，又平面，，又，平面，平面，分別為中點(diǎn)，，平面；過(guò)作，交于，則平面，平面平面，D正確.故選：BD.4．BC【分析】對(duì)于A，由球與平面的位置關(guān)系，判斷結(jié)論；對(duì)于B，面積為定值，由到平面的最大距離求三棱錐體積的最大值；對(duì)于C，求出當(dāng)最大時(shí)的位置，由兩角和的正弦公式求的最大值；對(duì)于D，根據(jù)軌跡形狀求長(zhǎng)度.【詳解】方法一：對(duì)于A，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，正三棱柱中，平面平面，平面平面，平面，平面，，而為的重心，，到平面的距離為，而到平面的距離為，球與平面相離，則不存在這樣的和實(shí)數(shù)，使，A錯(cuò)．對(duì)于B，到平面的距離為，球半徑，則到平面的最大距離為，，B正確．對(duì)于C，設(shè)為球的的上頂點(diǎn)，平面于點(diǎn)，與球相切且與平面共面，，，設(shè)，則有，得，，C正確．對(duì)于，過(guò)且與垂直的平面為平面，到平面的距離等于倍的到平面的距離，即，而球半徑，則平面截球的截面圓半徑，所以截面圓周長(zhǎng)即的軌跡長(zhǎng)度為，D錯(cuò).故選：BC．方法二：對(duì)于A，如圖：左圖中為中點(diǎn)，為在平面上的投影．右圖為俯視圖下看的球，由于為重心，在俯視圖看來(lái)就是正三角形的中心，所以球?qū)嶋H上與三個(gè)側(cè)面均相切，則易得半徑．而，因此球與底面不相交，因此是錯(cuò)的；對(duì)于B，有，正確；對(duì)于C，作出平面的截面如下圖：當(dāng)最大時(shí)的位置如上圖所示，不難計(jì)算出，所以，那么此時(shí)，所以C正確；對(duì)于D，軌跡即過(guò)B且垂直于的平面與球的交線圓，而，此式右邊是球面上的大圓的周長(zhǎng)，所以是不可能的，所以D錯(cuò)．故選：BC．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用正三棱柱的結(jié)構(gòu)特征和三角形重心的位置特征，求出重心到相關(guān)平面的距離，可解決向量共面，棱錐高度最大，軌跡及位置關(guān)系等問(wèn)題.5．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取中點(diǎn)為，利用直角梯形中位線的性質(zhì)，線面垂直的性質(zhì)判定推理即可；（2）通過(guò)正三角形證明，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角得向量求法計(jì)算求解即可.【詳解】（1）取中點(diǎn)為，由條件可得為梯形的中位線，則，又，則，且，平面，平面，根據(jù)線面垂直的判定定理，得平面，平面，.由，則，又，為梯形的兩腰，則與相交，平面，又平面，所以平面平面.（2）取的中點(diǎn)為Q，由，，則，，因此△為等邊三角形，.由（1）知平面，，，兩兩垂直，如圖，以，，分別為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

由，，則，，，，，由，所以，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由取，得，，得.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由取，得，，即平面的一個(gè)法向量為.記平面與平面夾角的大小為，所以，化簡(jiǎn)得，即，所以實(shí)數(shù)的值為.6．(1)證明見(jiàn)解析(2)．【分析】（1）取O為內(nèi)一點(diǎn)，作，利用面面垂直的性質(zhì)，證得，，結(jié)合線面垂直的判定定理，即可證得平面．（2）以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得和平面的一個(gè)法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）證明：取O為內(nèi)一點(diǎn)，作OE垂直AB，交AB于點(diǎn)E，作OF垂直BC，交BC于點(diǎn)F，因?yàn)槠矫嫫矫媲移矫嫫矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，同理，因?yàn)?，且平面，所以平面．?）解：因?yàn)锽C，BA，兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，令，則，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以，設(shè)直線與平面所成的角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為．反思提升：(1)面面垂直判定的兩種方法與一個(gè)轉(zhuǎn)化①兩種方法：(i)面面垂直的定義；(ii)面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β).②一個(gè)轉(zhuǎn)化：在已知兩個(gè)平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.(2)面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用①兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的直線”.②兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線垂直于第三個(gè)平面.【考點(diǎn)3】平行、垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用一、單選題1．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）已知棱長(zhǎng)為1的正方體分別是AB和BC的中點(diǎn)，則MN到平面的距離為（

）A． B． C． D．2．（23-24高三上·陜西商洛·階段練習(xí)）如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)在棱上，且，則點(diǎn)到平面的距離之和為（

）

A． B． C． D．二、多選題3．（2023·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，某廣場(chǎng)上放置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個(gè)一樣的正三棱錐得到的，它的所有邊長(zhǎng)均相同，數(shù)學(xué)上我們稱之為半正多面體（semiregular

solid），亦稱為阿基米德多面體，如圖2，設(shè)，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A．該多面體的表面積為B．該多面體的體積為C．該多面體的平行平面間的距離均為D．過(guò)A、Q、G三點(diǎn)的平面截該多面體所得的截面面積為4．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，G為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．CG與所成角的余弦值為B．與平面的交點(diǎn)H是的重心C．三棱錐的外接球的體積為D．與平面所成角的正弦值為三、解答題5．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，斜三棱柱的各棱長(zhǎng)均為，側(cè)棱與底面所成角為，且側(cè)面底面．

(1)證明：點(diǎn)在平面上的射影為的中點(diǎn)；(2)求二面角的正切值．6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖四棱臺(tái)中，，平面，.(1)證明：；(2)若，，，求二面角的余弦值.參考答案：1．C【分析】延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，由幾何關(guān)系證明MN到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離，再由等體積法求出結(jié)果即可；【詳解】延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，，因?yàn)榉謩e是AB和BC的中點(diǎn)，則，由正方體的性質(zhì)可得，所以，又平面，平面，所以平面，所以MN到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離，設(shè)為，則，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，所以，，，所以，即，故選：C.2．B【分析】根據(jù)條件確定點(diǎn)P的位置，利用線面平行把點(diǎn)到平面的距離分別轉(zhuǎn)化點(diǎn)到平面的距離求解即可.【詳解】在棱長(zhǎng)為2的正方體中，平面，平面，則，由，得，在中，，則，即點(diǎn)為中點(diǎn)，又平面，平面，因此平面，于是點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，同理點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，連接，過(guò)分作的垂線，垂足分別為，如圖，

由，得，解得，在中，，則，所以點(diǎn)到平面的距離之和為.故選：B3．ABD【分析】根據(jù)該多面體結(jié)構(gòu)特征即可求出表面積判斷A，利用割補(bǔ)法求體積判斷B，分別求解兩平行平面的距離即可判斷C，利用平面性質(zhì)找到截面圖形，利用正六邊形由六個(gè)正三角形組成求面積判斷D.【詳解】由題意，該多面體的面由6個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形和8個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形構(gòu)成，故該多面體的表面積為，故A正確；該多面體的體積為原正方體的體積去掉8個(gè)相同的三棱錐的體積，注意到該多面體的原正方體邊長(zhǎng)為，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，若該多面體平行平面為上下兩個(gè)正方形所在的平面，則平行平面間的距離為；若該多面體平行平面為兩個(gè)正三角形所在的平行平面，如圖，

不妨記正方體為，，，故是平行四邊形，所以，又E，Q分別為，的中點(diǎn)，所以，同理，所以，平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，所以平面平面，設(shè)對(duì)角線分別交平面和平面于點(diǎn)，因?yàn)?，，平面，所以平面，又平面，所以，同理，又，平面，所以平面，又平面平面，所以平面，即為平面與平面的距離，則,由正方體邊長(zhǎng)為得，根據(jù)，則，解得，根據(jù)對(duì)稱性知，所以，此時(shí)平面EMQ與平面BCG的距離為，即兩個(gè)正三角形所在的平行平面間的距離為，故C錯(cuò)誤；根據(jù)平面性質(zhì)知，過(guò)A、Q、G三點(diǎn)的平面截得的截面圖形是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABGPQE，故截面面積為，故D正確.故選：ABD4．ABC【分析】對(duì)于A，連接，可得即為異面直線與所成角或其補(bǔ)角；對(duì)于B，可得四面體為正四面體，證明平面即可判斷；對(duì)于C，三棱錐和正方體有相同的外接球，求出即可；對(duì)于D，可得為直線與平面所成的角，即可求出判斷.【詳解】對(duì)于A，連接，則由正方體的性質(zhì)可知，所以即為異面直線與所成角或其補(bǔ)角，連接，設(shè)，則為的中點(diǎn)，連接，則，在中，，即與所成角的余弦值為，故A正確；對(duì)于B，連接，則，則四面體為正四面體，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，同理可得，因?yàn)?，平面所以平面，垂足為，又四面體為正四面體，所以為的中心，即為的重心，故B正確；對(duì)C，由于三棱錐的頂點(diǎn)均為正方體的頂點(diǎn)，所以三棱錐和正方體有相同的外接球，所以外接球半徑，體積為，故C正確；對(duì)D，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由選項(xiàng)B知平面，所以為直線與平面所成的角，由為正三角形，且為的重心，所以為的中點(diǎn)，也是的中點(diǎn)，在中，，所以，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查空間角中的線線角的余弦值的求法，線面角的正弦值的求法，法一：作出空間角再利用解三角形的知識(shí)求解，法二建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的夾角公式求解.5．(1)證明見(jiàn)解析；(2)2【分析】（1）于，由平面平面，證得平面，再證得為等邊三角形，可得為中點(diǎn)；（2）過(guò)作于，則是二面角的平面角，由已知數(shù)據(jù)計(jì)算即可．【詳解】（1）過(guò)作于，由平面平面，平面平面，平面，，得平面，因此，

又，從而為等邊三角形，為中點(diǎn)．（2）由于是等邊三角形，所以，而平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，則有，過(guò)作于，連接，，平面，所以平面，由平面，則，則是二面角的平面角．由于，，所以中，．因此二面角的正切值為.6．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先證明平面，再由平面，則可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩個(gè)平面的法向量，判斷二面角為銳角，求出二面角的余弦值即可.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，則，，四邊形為平行四邊形，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)槠矫?，，所以平面，又平面，所?（2）因?yàn)槠矫?，平面，所以，由?）得，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，在四棱臺(tái)中，四邊形相似于四邊形，且相似比為，，所以，，所以，平面的一個(gè)法向量為，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，則所以，由圖可知，二面角為銳角，故二面角的余弦值為.反思提升：三種垂直的綜合問(wèn)題，一般通過(guò)作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化.求解時(shí)應(yīng)注意垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用.如果有平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.分層分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知正三棱臺(tái)的上底面積為，下底面積為，高為2，則該三棱臺(tái)的表面積為（

）A． B． C． D．182．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)O在線段上且，則點(diǎn)O到平面的距離是（

）A． B． C． D．3．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）在四棱錐中，為等邊三角形，四邊形為矩形，且，平面平面，則直線AC與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．14．（2024高三下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知m，n是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平面平行的充要條件是B．平面內(nèi)有兩條直線m，n分別與平面平行，則C．若，且，則D．平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平面垂直，則二、多選題5．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，為不同的兩點(diǎn)，直線，，為不同的三條直線，平面，為不同的兩個(gè)平面，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，，，則D．若，，，，則直線6．（2023·云南·三模）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若直線不平行于平面，，則內(nèi)不存在與平行的直線B．若平面平面，平面平面，，則C．設(shè)為直線，在平面內(nèi)，則“”是“且”的充分不必要條件D．若平面平面，平面平面，則平面與平面所成的二面角和平面與平面所成的二面角相等或互補(bǔ)7．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）在正四面體A－BCD中，，點(diǎn)O為的重心，過(guò)點(diǎn)O的截面平行于AB和CD，分別交BC，BD，AD，AC于E，F(xiàn)，G，H，則（

）A．四邊形EFGH的周長(zhǎng)為8B．四邊形EFGH的面積為2C．直線AB和平面EFGH的距離為D．直線AC與平面EFGH所成的角為三、填空題8．（2024·陜西·三模）如圖，四邊形是圓柱的軸截面，是底面圓周上異于的一點(diǎn)，則下面結(jié)論中正確的序號(hào)是．（填序號(hào)）①；②；③平面；④平面平面．9．（23-24高三下·重慶·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在正四棱柱中，為的中點(diǎn)，則中點(diǎn)到平面的距離為．10．（1997·全國(guó)·高考真題）已知m、l是直線，α、β是平面，給出下列命題：①若l垂直于α內(nèi)兩條相交直線，則；②若l平行于α，則l平行于α內(nèi)所有的直線；③若，且，則；④若且，則；⑤若，且，則．其中正確命題的序號(hào)是．四、解答題11．（2024·上海普陀·二模）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，，、分別是、的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的大小.12．（2024·江蘇·二模）如圖，直三棱柱的體積為1，，，．(1)求證：；(2)求二面角的余弦值．參考答案：1．A【分析】由上下底面的面積可求出上下底面邊長(zhǎng)，構(gòu)造直角三角形結(jié)合棱臺(tái)的高求出側(cè)面梯形的高，求出側(cè)面積后得表面積.【詳解】由面積公式可得正三棱臺(tái)上下底面邊長(zhǎng)分別為和，設(shè)在底面內(nèi)的射影為，作于，平面，平面，則有，又，，平面，所以平面，平面，所以，由，，，則，又，所以，則，故三棱臺(tái)的側(cè)面積為，表面積為.故選：A.2．B【分析】證明出平面，故的長(zhǎng)即為點(diǎn)到平面的距離，求出，根據(jù)比例關(guān)系得到答案.【詳解】如圖，因?yàn)?，且正方體棱長(zhǎng)為1，所以，平面，又平面，所以，因?yàn)椋矫?，所以平面，的長(zhǎng)即為點(diǎn)到平面的距離，，因?yàn)辄c(diǎn)O在線段上且，所以點(diǎn)O到平面的距離．故選：B3．A【分析】取為的中點(diǎn)，先證明平面，得為所求線面角，由邊長(zhǎng)間的關(guān)系求正弦值.【詳解】平面平面，又平面平面，平面，，則平面，又平面，故平面平面，取的中點(diǎn)，連接，如圖所示，平面平面，平面平面，為等邊三角形，則，故平面，則直線AC與平面所成角即為，令，則，，，故.故選：A4．D【分析】利用面面垂直的判定定理易得D項(xiàng)正確；對(duì)于A,B,C，只需借助于正方體模型舉出反例即可一一排除.【詳解】如圖,作正方體,對(duì)于A，設(shè)平面為平面，平面為平面，在平面內(nèi)可以作無(wú)數(shù)條直線與平行，則這些直線都與平面平行，但平面與平面相交，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)平面為，平面為，平面為,在內(nèi)可以作兩條直線m，n與平行，則易得，但平面與相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)平面為，平面為，取直線為，直線為，則，且，但與相交，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由面面垂直的判定定理知，平面內(nèi)只要有一條直線與平面垂直，就能得到，故D正確．故選：D.5．AC【分析】利用已知條件判斷線線位置關(guān)系，可知A正確，BD錯(cuò)誤；根據(jù)點(diǎn)線面的位置關(guān)系，結(jié)合立體幾何的基本事實(shí)1，2，可以得到結(jié)論：C正確.【詳解】若，則垂直于任一條平行于的直線，又，則，故A正確；若，不能推出,還可能平行或異面，故B錯(cuò)誤；若，則，，又，故，故C正確；若，，則為內(nèi)的一條直線，不一定對(duì)，故D錯(cuò)誤.故選：AC6．BD【分析】可根據(jù)線面平行的判定定理可判斷A；根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可判斷B；根據(jù)線面垂直的判定定理及性質(zhì)可判斷C；根據(jù)，時(shí)的特殊情況進(jìn)行判斷.【詳解】選項(xiàng)A，若存在直線，則由直線和平面平行的判定定理知直線與平面平行，與條件相矛盾，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B，由面面垂直的性質(zhì)可知，若平面，則，但題目中不確定位置，可能出現(xiàn)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知，可得到且，故滿足充分性；當(dāng)直線不相交時(shí)，由線面垂直的判定定理知：且時(shí)，得不到，故不滿足必要性，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D，當(dāng)，時(shí)，可滿足題設(shè)條件，此時(shí)平面與平面所成的二面角為,平面與平面所成的二面角為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BD.7．BCD【分析】根據(jù)點(diǎn)式的重心和可以求出,同理可求出,則可以判斷A，,則四邊形的面積可求，可以判斷B，將正四面體補(bǔ)成正方體，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用向量法求出距離和夾角，則可以判斷CD【詳解】O為的垂心，連AO延長(zhǎng)與CD交于M點(diǎn)，則∴，∴，，，∴，∴周長(zhǎng)為6，A錯(cuò)．，則，B對(duì)．將四面體補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，則正方體邊長(zhǎng)為，∴P，Q分別為AB，CD中點(diǎn)，PQ⊥平面EFGH，∴A到平面EFGH距離，C對(duì)AC與PQ夾角為，則AC與平面EFGH的夾角為，D對(duì)故選：BCD8．①②④【分析】證明平面，即可得到，同理可得，即可判斷①②，推出矛盾說(shuō)明③，根據(jù)平面說(shuō)明④.【詳解】因?yàn)樗倪呅问菆A柱的軸截面，則線段是底面圓的直徑，都是母線．又是底面圓周上異于的一點(diǎn)，于是得，而平面，平面，則．因?yàn)槠矫?，則平面，因?yàn)槠矫?，所以，①正確：同理可證，②正確：點(diǎn)不在底面內(nèi)，而直線在底面內(nèi)，即是兩條不同直線，若平面，因平面，與過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知平面矛盾，③不正確；因?yàn)槠矫?，而平面，于是得平面平面，④正確．故答案為：①②④9．【分析】中點(diǎn)到平面距離為到平面距離的一半，由，等體積法求點(diǎn)到平面的距離.【詳解】設(shè)中點(diǎn)為O，O到平面距離為到平面距離的一半，連接，設(shè)到平面的距離為，由，即，，∴O到平面CDE的距離為.故答案為：.10．①④【分析】對(duì)于①，考慮直線與平面垂直的判定定理，符合定理的條件故正確；對(duì)于②⑤，可舉出反例；對(duì)于③考慮的判定方法，而條件不滿足，故錯(cuò)誤；對(duì)于④符合面面垂直的判定定理，故正確．【詳解】對(duì)于①，由線面垂直的判斷定理可知，若l垂直于a內(nèi)的兩條相交直線，則，故①正確，對(duì)于②，若，如圖1，

可知，與是異面關(guān)系，故②不正確，對(duì)于③，若，且，無(wú)法得到，故無(wú)法得到，故③不正確，對(duì)于④，根據(jù)面面垂直的判斷定理可得，若且，，則，故④正確，對(duì)于⑤，如圖2，滿足，且，則異面，

故⑤不正確，故正確命題的序號(hào)是①④．故答案為：①④11．(1)證明見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）取線段、的中點(diǎn)分別為、，連接、、，然后四邊形為平行四邊形，得到線線平行，從而證明線面平行；（2）根據(jù)線面角的定義，可由幾何圖形作出線面角，然后根據(jù)三角形求解即可.【詳解】（1）證明：取線段、的中點(diǎn)分別為、，連接、、，則，，又底面是正方形，即，則，即四邊形為平行四邊形，則，又在平面外，平面，故平面.

（2）取線段的中點(diǎn)為點(diǎn)，連接、，又，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，則，且，，又二面角的大小為，即平面平面，又平面，平面平面，則平面，則是直線與平面所成角，在中，，即，故直線與平面所成角的大小為.12．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）法一：由線面垂直證明即可；法二：用空間直角坐標(biāo)系證明即可；（2）法一：過(guò)作于，連接，由已知得出為二面角的平面角，求解即可；法二：建立空間直角坐標(biāo)系求解．【詳解】（1）直三棱柱的體積為：，則，四邊形為正方形，法一：在直棱柱中，面，，又平面，則，因?yàn)椋?，，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)椋?，在正方形中，有，因?yàn)?，，，平面，所以平面，又平面，所以．法二：直棱柱，平面，又，以為原點(diǎn)，，，所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，所以．（2）由（1）得，設(shè)，在中，過(guò)作于，連接，因?yàn)?，，平面，且，所以平面，又平面，所以，所以為二面角的平面角，因?yàn)椋?，得，又在中，，得，，所以二面角的余弦值為．法二：，，，，，，，設(shè)平面的法向量：，則，取，得，，，設(shè)面的法向量，則，取，得，設(shè)二面角的大小為，則：，因?yàn)闉殇J角，所以二面角余弦值為．【能力篇】一、單選題1．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）在平行六面體中，已知，，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的一項(xiàng)是（

）A．直線與BD所成的角為90°B．線段的長(zhǎng)度為C．直線與所成的角為90°D．直線與平面ABCD所成角的正弦值為二、多選題2．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是面的中心，則下列結(jié)論正確的是（

）A．四點(diǎn)共面 B．平面被正方體截得的截面是等腰梯形C．平面 D．平面平面三、填空題3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知平面平面，，，，，則異面直線與所成角的余弦值為.四、解答題4．（2024·山東青島·三模）如圖所示，多面體，底面是正方形，點(diǎn)為底面的中心，點(diǎn)為的中點(diǎn)，側(cè)面與是全等的等腰梯形，，其余棱長(zhǎng)均為2.(1)證明:平面；(2)若點(diǎn)在棱上，直線與平面所成角的正弦值為，求.參考答案：1．D【分析】在平行六面體中，取，利用空間向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算，逐一分析選項(xiàng)，即可得出答案.【詳解】在平行六面體中，令，，，由，，得，，對(duì)于，顯然，，則，即，因此直線與所成的角為，A正確；對(duì)于B，，即，B正確；對(duì)于C，，即，因此直線與所成的角為，C正確；對(duì)于D，在平行六面體中，四邊形是菱形，即，又，，平面，于是平面，又平面，則平面平面，連接交于點(diǎn)，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，由平面平面，因此平面，即直線與平面所成角為，，則，即，由及選項(xiàng)C知，，則，D錯(cuò)誤.故選：D2．BD【分析】可得過(guò)三點(diǎn)的平面為一個(gè)正六邊形，判斷A；分別連接和，截面是等腰梯形，判斷B；分別取的中點(diǎn)，易證顯然不平行平面，可判斷C；平面，可判斷D.【詳解】對(duì)于A：如圖經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的平面為一個(gè)正六邊形，點(diǎn)在平面外，四點(diǎn)不共面，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B：分別連接和，則平面即平面，截面是等腰梯形，選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：分別取的中點(diǎn)，則平面即為平面，由正六邊形，可知，所以不平行于，又平面，所以，所以平面，所以不平行于平面，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)槭堑妊切?，，，，是的中點(diǎn)，易證，由正方體可得平面，平面，又平面，，平面，平面，平面，平面平面故選項(xiàng)D正確．故選：BD．3．/【分析】作出異面直線與所成的角，利用余弦定理求出相關(guān)線段長(zhǎng)，進(jìn)而求出夾角的余弦.【詳解】延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，則四邊形為平行四邊形，有，于是或其補(bǔ)角是異面直線與所成的角，如圖，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作，連接，由四邊形是等腰梯形，得，，由已知可得，即，而，則≌，有，，于是，，由，得，則，由平面平面，平面平面，得平面，而平面，因此，，在中，由余弦定理得，所以異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：4．(1)證明見(jiàn)解析(2)1【分析】（1）取中點(diǎn)，通過(guò)證明平面，平面平面，得證平面.（2)以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由直線與平面所成角的正弦值為，利用向量法求出的值即可.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)，因?yàn)閭?cè)面是等腰梯形，所以，又，所以，和都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，得，所以四邊形為等腰梯形，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，又，平面，，所以平面，平面，所?/p>